专题12弧长和扇形面积暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年人教版九年级数学上册

专题12弧长和扇形面积暑假预习讲义 1. 熟记公式：理解推导逻辑，牢记弧长公式、扇形面积两组计算公式，分清公式里圆心角度数、半径两个关键量。 2.基础运算：已知半径、圆心角，可计算弧长与扇形面积；也可逆向根据弧长、面积反求半径、圆心角。 3. 辨析概念：区分扇形、弓形，掌握弓形面积等于扇形面积加减三角形面积的计算方法。 4. 综合计算：求解阴影部分面积，常用割补、拼接法，转化为扇形与规则图形的面积和差。 5. 实际应用：能够解决扇面、弯道、扇形零件这类生活场景计算题。 6. 规避易错点：计算时分清弧长与面积公式，切勿混淆；角度运算不与弧度混用。 7. 数学思想：运用转化思想处理不规则阴影面积，为后续圆锥侧面积预习铺垫基础。 预习必备 知识梳理 1.基础概念 2.弧长公式 3.扇形公式 4.弓形面积计算 5.圆锥侧面积与全面积 6.高频易错点汇总 常考精型 精讲精练 1.求弧长 2.求扇形半径 3.求圆心角 4.求某点的弧形运动路径长度 5.求扇形面积 6.求图形旋转后扫过面积 7.求弓形面积 8.求其他不规则图形面积 9.求圆锥侧面积 10.求圆锥底面半径 11.求圆锥的高 12.求圆锥侧面展开图的圆心角 13.圆锥的实际问题 14.圆锥侧面最短路径问题 强化题型 解答题7题 知识点01：基础概念 弧长：圆上一段弧的长度，区别于弧的度数（度数是角度，弧长是长度）。 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形，分为优弓形、劣弓形。 符号说明： n：圆心角度数；R：圆的半径；l：弧长；S扇：扇形面积。 知识点02弧长公式（核心必背，直接套用 / 逆用） 1.弧长公式：l=（n= 圆心角度数，R= 圆的半径，l= 弧长） 2.常用变形（已知弧长反求量） 3.适用题型 弯道长度、车轮滚动路程、旋转轨迹曲线长、扇形弧边长度。 知识点03：扇形的面积公式 1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2.扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为360的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S = R2，所以圆心角是1的扇形面积是，于是圆心角为n的扇形面积是S扇形 = ，还可以用弧长表示扇形面积S扇形 = lR，其中l为扇形的弧长． 知识点04：弓形面积计算（高频考点） · 劣弓形（弧为劣弧） 弓形面积 = 对应扇形面积 − 等腰三角形面积 S弓=S扇-S△ · 优弓形（弧为优弧） 弓形面积 = 对应扇形面积 + 等腰三角形面积 S弓=S扇+S△​ 补充：等腰三角形两条边为半径，顶角等于扇形圆心角。 知识点05圆锥的侧面积和全面积 1.圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线． 2.圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高． 3.圆锥的基本特征 （1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面． （2）圆锥的母线长都相等． （3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形． 4.圆锥的侧面积和全面积： 母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积S侧=rl．全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，即S全=rl+r2． 5.圆锥展开扇形圆心角推导 设展开扇形圆心角为n 知识但：高频易错点（老师课堂重点强调） 1.弧长、扇形面积公式记混分母：弧长分母 180，扇形面积分母 360； 2.圆锥母线、底面半径混淆，计算侧面积时代错数值； 3.计算弓形面积不分优劣弧，直接用扇形减三角形； 4.求圆锥展开圆心角忘记使用母线当作扇形半径； 5.单位问题：公式中n只代入角度数值，无需带度； 6.扇形面积两种公式不会灵活选用：有弧长优先用S=lr更简便。 题型1.求弧长 【典例】如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【跟踪专练1】等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，点为上一点，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的周长为__________． 【跟踪专练3】如图，点，，，都在上，，，且半径为，则弧的长度为（     ） A． B． C． D． 题型2.求扇形半径 【典例】已知的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径是________． 【跟踪专练1】若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【跟踪专练2】为了表演课本剧，小明同学用圆心角为的扇形纸板，制作了一个底面半径是的圆锥形生日帽道具．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是______cm． 【跟踪专练3】如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型3.求圆心角 【典例】已知弧的长为，该弧所在圆的半径为，则该弧的度数为______． 【跟踪专练1】一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为，当重物上升时，滑轮的一条半径按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度． 【跟踪专练3】如图，是的直径，，C是上半圆弧的中点，D是下半圆上一个动点，过点A作的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 题型4.求某点的弧形运动路径长度 【典例】如图，某游乐场的旋转木马旋转一周需240秒，旋转半径是6米．旋转时，一木马某时刻在点处，80秒后旋转到点，则该木马旋转的路径长（即弧的长）为__________．（结果保留） 【跟踪专练1】“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 【跟踪专练3】如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（       ） A． B． C． D． 题型5.求扇形面积 【典例】已知扇形的半径长为9，扇形的圆心角的度数为，则该扇形的面积是________． 【跟踪专练1】如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留） 【跟踪专练3】如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（     ） A． B． C． D． 题型6.求图形旋转后扫过面积 【典例】如图，某时钟的分针长为，且该分针匀速转一周需要，则经过，该分针扫过的面积是_______． 【跟踪专练1】贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【跟踪专练2】如图，点B在线段上，，，，．固定，将绕点C按顺时针旋转使得与重合，并停止旋转．则线段经旋转运动所扫过的平面图形的面积为 _____． 【跟踪专练3】如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 题型7.求弓形面积 【典例】如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是_____________． 【跟踪专练1】如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则图中弓形（阴影部分）的面积为______． 【跟踪专练3】如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 题型8.求其他不规则图形面积 【典例】如图，将以为直径的半圆绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为点．若，则图中阴影部分图形的面积为_______．（结果保留） 【跟踪专练1】如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知三角形为等腰直角三角形，米，以为圆心，8米长为半径画弧，以为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积__________．（结果保留） 【跟踪专练3】如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A． B． C． D．π 题型9.求圆锥侧面积 【典例】若一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则这个圆锥的侧面积为________． 【跟踪专练1】如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】圆锥的底面圆直径为6，侧面展开扇形圆心角的度数为，则该圆锥的侧面积是______． 【跟踪专练3】一个圆锥，根据下列所给条件能计算出它的侧面积的是（     ） ①圆锥侧面展开图的圆心角，圆锥的母线长； ②底面圆的面积，圆锥的母线长； ③圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的半径； ④圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的周长． A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 题型10.求圆锥底面半径 【典例】用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_______． 【跟踪专练1】若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 【跟踪专练3】如图，点，，，都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，经过格点，，，三点在同一直线上，，，三点在同一直线上，若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 题型11.求圆锥的高 【典例】已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图的圆心角的度数为，则圆锥的高为________． 【跟踪专练1】一个圆柱形鱼缸，底面积是平方厘米，高是30厘米，里面盛有一些水，把一个底面半径10厘米的圆锥形实心铸件完全浸没在水中，鱼缸的水面上升了2厘米，则这个圆锥的高是（   ）厘米． A．2 B．4 C．6 D．8 【跟踪专练2】如图，若从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是____． 【跟踪专练3】如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 题型12.求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例】已知圆锥的底面半径是，母线长是，则它的侧面展开图的圆心角为____________． 【跟踪专练1】如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是2，则圆锥的母线为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【跟踪专练2】编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ． 【跟踪专练3】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 题型13.圆锥的实际问题 【典例】若圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为________． 【跟踪专练1】一个圆锥的底面直径是，侧面展开图的面积是，则母线长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【跟踪专练2】工地上有一个圆锥形沙堆，沙堆的底面周长是18.84米，高3米．把它铺在一条长31.4米，宽9米的公路上可以铺厚度________米．（π取3.14） 【跟踪专练3】如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型14.圆锥侧面最短路径问题 【典例】如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（    ） A．3 B． C． D．4 【跟踪专练1】已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 【跟踪专练2】如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 解答题 1．如图，圆心角为的扇形的半径为10．求这个扇形的面积和周长．（精确到和0.01） 2．如图，扇形的圆心角为，其弧长是． (1)求此弧所在圆的半径长； (2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______． 3．如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． (1)求扇形的圆心角度数； (2)依据相关数据，求花窗的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． (1)请你在图中画出； (2)在（1）的条件下，求点C旋转到的过程中所经过的路径长（结果保留π）． 5．如图①，是的直径，点C是上的点，连接并延长至点D，使，连接交于点E． (1)求证：点C是劣弧的中点； (2)如图②，连接，若，求阴影部分的面积． 6．如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）．    (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径． 7．如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12弧长和扇形面积暑假预习讲义 1. 熟记公式：理解推导逻辑，牢记弧长公式、扇形面积两组计算公式，分清公式里圆心角度数、半径两个关键量。 2.基础运算：已知半径、圆心角，可计算弧长与扇形面积；也可逆向根据弧长、面积反求半径、圆心角。 3. 辨析概念：区分扇形、弓形，掌握弓形面积等于扇形面积加减三角形面积的计算方法。 4. 综合计算：求解阴影部分面积，常用割补、拼接法，转化为扇形与规则图形的面积和差。 5. 实际应用：能够解决扇面、弯道、扇形零件这类生活场景计算题。 6. 规避易错点：计算时分清弧长与面积公式，切勿混淆；角度运算不与弧度混用。 7. 数学思想：运用转化思想处理不规则阴影面积，为后续圆锥侧面积预习铺垫基础。 预习必备 知识梳理 1.基础概念 2.弧长公式 3.扇形公式 4.弓形面积计算 5.圆锥侧面积与全面积 6.高频易错点汇总 常考精型 精讲精练 1.求弧长 2.求扇形半径 3.求圆心角 4.求某点的弧形运动路径长度 5.求扇形面积 6.求图形旋转后扫过面积 7.求弓形面积 8.求其他不规则图形面积 9.求圆锥侧面积 10.求圆锥底面半径 11.求圆锥的高 12.求圆锥侧面展开图的圆心角 13.圆锥的实际问题 14.圆锥侧面最短路径问题 强化题型 解答题7题 知识点01：基础概念 弧长：圆上一段弧的长度，区别于弧的度数（度数是角度，弧长是长度）。 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形，分为优弓形、劣弓形。 符号说明： n：圆心角度数；R：圆的半径；l：弧长；S扇：扇形面积。 知识点02弧长公式（核心必背，直接套用 / 逆用） 1.弧长公式：l=（n= 圆心角度数，R= 圆的半径，l= 弧长） 2.常用变形（已知弧长反求量） 3.适用题型 弯道长度、车轮滚动路程、旋转轨迹曲线长、扇形弧边长度。 知识点03：扇形的面积公式 1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2.扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为360的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S = R2，所以圆心角是1的扇形面积是，于是圆心角为n的扇形面积是S扇形 = ，还可以用弧长表示扇形面积S扇形 = lR，其中l为扇形的弧长． 知识点04：弓形面积计算（高频考点） · 劣弓形（弧为劣弧） 弓形面积 = 对应扇形面积 − 等腰三角形面积 S弓=S扇-S△ · 优弓形（弧为优弧） 弓形面积 = 对应扇形面积 + 等腰三角形面积 S弓=S扇+S△​ 补充：等腰三角形两条边为半径，顶角等于扇形圆心角。 知识点05圆锥的侧面积和全面积 1.圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线． 2.圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高． 3.圆锥的基本特征 （1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面． （2）圆锥的母线长都相等． （3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形． 4.圆锥的侧面积和全面积： 母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积S侧=rl．全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，即S全=rl+r2． 5.圆锥展开扇形圆心角推导 设展开扇形圆心角为n 知识但：高频易错点（老师课堂重点强调） 1.弧长、扇形面积公式记混分母：弧长分母 180，扇形面积分母 360； 2.圆锥母线、底面半径混淆，计算侧面积时代错数值； 3.计算弓形面积不分优劣弧，直接用扇形减三角形； 4.求圆锥展开圆心角忘记使用母线当作扇形半径； 5.单位问题：公式中n只代入角度数值，无需带度； 6.扇形面积两种公式不会灵活选用：有弧长优先用S=lr更简便。 题型1.求弧长 【典例】如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【答案】/ 【分析】根据弧长公式，将已知半径和圆心角度数代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，车轮半径，圆心角 ∴劣弧的长 ． 【跟踪专练1】等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到，，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴的长为，的长为，的长为， ∴这个等宽曲线的周长为． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，点为上一点，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的周长为__________． 【答案】 【分析】由矩形性质得，，且，故为等腰直角三角形，，由，弧为半径 、圆心角的圆弧，再求出各段长度相加即可． 【详解】四边形是矩形， ，，，． ， 为等腰直角三角形， ，， ， 的长为． 阴影部分的周长为． 【跟踪专练3】如图，点，，，都在上，，，且半径为，则弧的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆周角定理可得，再根据垂径定理可得，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， 又， ∴， ， 弧的长度为：． 题型2.求扇形半径 【典例】已知的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径是________． 【答案】 【分析】设此弧所在圆的半径为，根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设此弧所在圆的半径为， 根据弧长公式， 将，代入得， 解得， 则此弧所在圆的半径是． 【跟踪专练1】若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，弧长公式为，分别是圆心角，半径，据此列式代数进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设扇形的半径为， ∵扇形的弧长为，， 则 ∴ 解得， 故选：B 【跟踪专练2】为了表演课本剧，小明同学用圆心角为的扇形纸板，制作了一个底面半径是的圆锥形生日帽道具．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是______cm． 【答案】 【分析】本题主要考查圆锥侧面展开图与扇形的关系，解题的关键是熟练掌握圆锥及其侧面展开图中相关量之间的关系．根据圆锥底面周长等于扇形弧长建立方程求解即可． 【详解】解：设扇形纸板的半径为， 扇形的圆心角为，圆锥的底面半径是， 根据圆锥底面周长等于扇形弧长可得，， 解得，． 答：这个扇形纸板的半径是． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】取圆心，连接，，，，根据圆周角定理得，设半径为米，则米，在中，根据勾股定理得，解得，圆弧所在圆的半径米． 【详解】解：如图，取圆心，连接 ， ， ， 设半径为米，则米， 在中，根据勾股定理得， ， 即， 解得， 圆弧所在圆的半径米． 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键． 题型3.求圆心角 【典例】已知弧的长为，该弧所在圆的半径为，则该弧的度数为______． 【答案】 【分析】设弧的度数为，利用弧长公式构造方程并求解即可． 【详解】解：设弧的度数为， 由弧长公式可得，， ∴， 解得． 【跟踪专练1】一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为，当重物上升时，滑轮的一条半径按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，解题的关键是理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算． 本题理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算，然后即可求解． 【详解】解：重物上升即是弧长， 所以根据弧长公式可求得旋转的度数， ， 解得． 故选：C． 【跟踪专练2】已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度． 【答案】120 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n度， ∵圆锥的底面半径为， ∴圆锥的底面周长为，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， 则， 解得：． 【跟踪专练3】如图，是的直径，，C是上半圆弧的中点，D是下半圆上一个动点，过点A作的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角定理、勾股定理．作出辅助线并找到点的运动轨迹是解答的关键． 连接，，根据圆心角定理可得，根据勾股定理可得，根据，可知点在以为直径的半圆上运动，根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，， 点是上半圆的中点， ， ， ， ， 在中， ， ， 点在以为直径的半圆上运动， ． 故选B． 题型4.求某点的弧形运动路径长度 【典例】如图，某游乐场的旋转木马旋转一周需240秒，旋转半径是6米．旋转时，一木马某时刻在点处，80秒后旋转到点，则该木马旋转的路径长（即弧的长）为__________．（结果保留） 【答案】米 【详解】解：由题意可知，旋转木马旋转一周的时间为240秒，对应的圆心角为， 秒旋转的圆心角度数为， 根据弧长公式，其中，， 该木马旋转的路径长为（米）． 【跟踪专练1】“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定圆的半径和圆心角，利用弧长公式 进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧， 半径，圆心角， 手腕的运动路线长：． 【跟踪专练2】如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 【答案】 【分析】先分析得出点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为，在由已知条件根据勾股定理，求出，最后运用弧长公式求出点A经过的路径长． 【详解】∵将绕点O顺时针旋转，得到， ∴点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为， ∵点A的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点A经过的路径长为的长， ∴． 【跟踪专练3】如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轨迹、弧长公式、圆的周长公式等知识，解题的关键是搞清楚轨迹是什么图形，记住弧长公式，圆周长公式．通过观察图形可知圆心运动路径的长度等于长加上的长，其中的长为圆的周长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图所示，圆心运动路径的长度等于． 故选：A． 题型5.求扇形面积 【典例】已知扇形的半径长为9，扇形的圆心角的度数为，则该扇形的面积是________． 【答案】 【分析】直接代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵扇形的圆心角为，其半径为， ∴． 【跟踪专练1】如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用扇形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：． 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留） 【答案】 【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形和扇形的面积之和． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 图中阴影部分的面积为：． 【跟踪专练3】如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设空白部分的面积为，则，，得到，根据，即可求解． 【详解】解：设空白部分的面积为， ，， ， ， ， 故选：D． 题型6.求图形旋转后扫过面积 【典例】如图，某时钟的分针长为，且该分针匀速转一周需要，则经过，该分针扫过的面积是_______． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形面积．求出分针的旋转度数，再根据扇形面积公式解答即可． 【详解】解：根据题意得：分针旋转了：， 所以该分针扫过的面积是． 故答案为：． 【跟踪专练1】贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【分析】本题考查扇形的面积，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可． 【详解】解：由题意，扇叶扫过的图形为扇形，且，半径米， ∴扇叶扫过的面积为平方米， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，点B在线段上，，，，．固定，将绕点C按顺时针旋转使得与重合，并停止旋转．则线段经旋转运动所扫过的平面图形的面积为 _____． 【答案】 【分析】先画出线段经旋转运动所形成的平面图形，然后根据直角三角形的性质求出，，结合，可得，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：线段经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在上的点H处， 则， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】用割和补求不规则图形的面积是常用的解题方法． 【跟踪专练3】如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，根据旋转的性质得出，，根据，利用扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴ ． 题型7.求弓形面积 【典例】如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了弓形面积计算，阴影面积计算，勾股定理，设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为，得到；正确分割表示阴影的面积是解题的关键． 【详解】设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为， 根据题意，得，， ∴， ∵， ∴ ， ∵中，，， ∴， ． 故答案为：24． 【跟踪专练1】如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则图中弓形（阴影部分）的面积为______． 【答案】 【分析】根据弓形的面积=扇形的面积-三角形的面积求解即可． 【详解】解：如图，AC⊥OB， ∵圆心角为60°，OA=OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴OC=OB=1， ∴AC=， ∴S△OAB=OB×AC=×2×=， ∵S扇形OAB==， ∴弓形（阴影部分）的面积= S扇形OAB- S△OAB=， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 【跟踪专练3】如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理和弧之间的关系，扇形的面积等．连接，根据，得出，进而得到，利用即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型8.求其他不规则图形面积 【典例】如图，将以为直径的半圆绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为点．若，则图中阴影部分图形的面积为_______．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，熟记扇形面积公式且能准确识图是解题的关键．根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形的面积加上半圆面积再减去半圆面积，由此求解即可． 【详解】解：根据题意 ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求扇形的面积．过点D作于点E，根据阴影部分的面积为，解答即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵，， ∴为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故选：B 【跟踪专练2】如图，已知三角形为等腰直角三角形，米，以为圆心，8米长为半径画弧，以为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积__________．（结果保留） 【答案】平方米 【分析】设与的交点为D，过点D作，垂足为O，连接，先证明，由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据计算即可． 【详解】解：如图，设与的交点为D，过点D作，垂足为O，连接， ∵为直径， ∴，即， ∵三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴米， ∴ 平方米． 答：阴影部分的面积为平方米． 【跟踪专练3】如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】根据题意得，再由含30度角的直角三角形的性质得出．结合图形及题意得出，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵绕顶点A顺时针旋转度后得到， ∴． ∴． 题型9.求圆锥侧面积 【典例】若一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则这个圆锥的侧面积为________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面积等于其侧面展开图的面积，本题中侧面展开图是半径为的半圆，根据圆的面积公式计算半圆面积即可得到圆锥的侧面积． 【详解】解：由题意可知，圆锥侧面积等于其侧面展开半圆的面积，展开半圆的半径， 因此圆锥侧面积为：． 【跟踪专练1】如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆锥的母线和底面图形的直径都是， ，， ． 【跟踪专练2】圆锥的底面圆直径为6，侧面展开扇形圆心角的度数为，则该圆锥的侧面积是______． 【答案】 【分析】根据扇形弧长与圆锥的底面周长的关系求出扇形弧长，根据弧长公式求出圆锥的母线长，根据扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 圆锥的底面圆直径为， 圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， ， 解得， 圆锥的侧面展开图面积． 【跟踪专练3】一个圆锥，根据下列所给条件能计算出它的侧面积的是（     ） ①圆锥侧面展开图的圆心角，圆锥的母线长； ②底面圆的面积，圆锥的母线长； ③圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的半径； ④圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的周长． A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积，只需根据已知条件推导出计算侧面积所需的量，即可判断能否计算侧面积． 【详解】解：设圆锥底面半径为，母线长为，侧面展开图圆心角为，圆锥侧面积，且侧面展开扇形弧长等于底面周长，即， ① 已知和，由扇形面积公式，可直接计算侧面积，①符合要求； ② 已知底面圆面积，由可求出，又已知，代入，可计算侧面积，②符合要求； ③ 已知和，由可求出，代入可计算侧面积，③符合要求； ④ 已知和底面周长，由可求出，再由扇形面积公式可计算侧面积，④符合要求。 因此①②③④都能计算圆锥侧面积． 题型10.求圆锥底面半径 【典例】用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_______． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，据此列方程计算即可． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为， 根据弧长公式可得扇形弧长为， 由扇形弧长等于圆锥底面周长可得， 解得． 【跟踪专练1】若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆锥侧面展开图的性质，利用圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长这一关系列方程求解即可． 【详解】解：设该圆锥的底面圆的半径为， ∵圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长， ∴，化简得，解得， ∴该圆锥的底面圆的半径为， 故选B． 【跟踪专练2】如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图的弧长为该圆锥的底面圆的周长，据此根据圆的周长公式求出的长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：设， ∵圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴该圆锥的底面圆的周长为， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 【跟踪专练3】如图，点，，，都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，经过格点，，，三点在同一直线上，，，三点在同一直线上，若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是圆锥侧面展开图的性质(圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长)、正方形的性质(正方形的对角线平分内角，角度为)、扇形弧长公式(，其中为圆心角度数，为扇形半径)．先求出扇形的弧长，再根据圆锥底面圆周长等于侧面展开图扇形弧长这一关系，求出圆锥底面半径． 【详解】解：连接， ∵由网格可知：扇形的圆心角， ， 扇形弧长， 设圆锥底面半径为， ， 解方程可得． 题型11.求圆锥的高 【典例】已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图的圆心角的度数为，则圆锥的高为________． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的计算，根据题意和题目中的数据，可以先计算出侧面展开图的半径为r，然后根据勾股定理即可求得圆锥的高． 【详解】解：设侧面展开图的半径为r， ， 解得， 设圆锥的高为h， 则， 故答案为：． 【跟踪专练1】一个圆柱形鱼缸，底面积是平方厘米，高是30厘米，里面盛有一些水，把一个底面半径10厘米的圆锥形实心铸件完全浸没在水中，鱼缸的水面上升了2厘米，则这个圆锥的高是（   ）厘米． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程实际应用．根据题意设这个圆锥的高是x厘米，再列出一元一次方程即可得到本题答案． 【详解】解：设这个圆锥的高是x厘米，根据题意得， 解得， 答：这个圆锥的高是6厘米． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，若从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的计算方法进行求解是解决本题的关键．根据圆的周长公式计算出剪去圆周的一个扇形的周长，这个扇形的周长就是圆锥底面圆的周长，根据圆的周长公式计算出圆锥底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高即可． 【详解】解：半径为的圆，剪去圆周的一个扇形的弧长为， 设圆锥的底面半径为r，高为h，则母线， 则有， 解得：， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出，最后用勾股定理即可得出结论. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 故选：B． 题型12.求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例】已知圆锥的底面半径是，母线长是，则它的侧面展开图的圆心角为____________． 【答案】 /90度 【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用该关系列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥的底面周长为： 根据弧长公式，结合扇形弧长等于圆锥底面周长，可得： 解得 ∴它的侧面展开图的圆心角为． 【跟踪专练1】如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是2，则圆锥的母线为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：． 先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【详解】解：圆锥的底面周长， 则：， 解得． 故选：B． 【跟踪专练2】编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ． 【答案】 【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算． 【详解】解：设圆心角为， ∵母线长为36cm，底面圆半径为20cm， ∴， 解得：， ∴该圆锥侧面展开扇形圆心角度数为． 【跟踪专练3】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积公式，根据题意得出圆锥的底面圆周长即为侧面展开图弧长，再根据，求出扇形半径，最后根据，即可求出圆心角度数． 【详解】解：∵该圆锥的底面圆周长为， ∴侧面展开图弧长， ∵侧面积为，， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴这个扇形的圆心角的度数是， 故选：D． 题型13.圆锥的实际问题 【典例】若圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为________． 【答案】48 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的知识，熟练掌握相关公式是解题关键．设该圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面的周长，可得，求解可得答案． 【详解】解：设该圆锥的母线长为， ∵圆锥的侧面展开图为一扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面的周长， ∴，解得， 即该圆锥的母线长为48． 故答案为：48． 【跟踪专练1】一个圆锥的底面直径是，侧面展开图的面积是，则母线长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】圆锥侧面展开图是扇形，，其中弧长等于底面周长．根据给定条件列方程求解即可． 【详解】∵ 底面直径是， ∴ 底面半径 ， ∴底面周长 ，即扇形弧长． 设母线长为 ， 扇形面积 ． ∵， ∴， 解得 ． 故选：D． 【点睛】本题考查圆锥侧面展开图的面积计算，解题关键是掌握扇形面积公式和弧长与底面周长的关系． 【跟踪专练2】工地上有一个圆锥形沙堆，沙堆的底面周长是18.84米，高3米．把它铺在一条长31.4米，宽9米的公路上可以铺厚度________米．（π取3.14） 【答案】0.1 【分析】先根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，再利用圆锥的体积公式计算出沙堆的总体积，沙子变形后体积不变，再根据长方体体积公式求出所铺沙子的厚度． 【详解】解：圆锥底面半径：（米）， 圆锥形沙堆的体积：（立方米）， 铺路后沙子形成长方体，体积不变，设厚度为， 由长方体体积公式得：（米）． 【跟踪专练3】如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了正方形性质，弧长公式，圆锥展开图特点，解题的关键在于理解圆锥侧面弧长等于底面圆的周长．设的长为，进而得到，根据圆锥侧面弧长等于底面圆的周长建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设的长为， 四边形为正方形， 则，， ， ， 扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面， ， 解得， 故选：C． 题型14.圆锥侧面最短路径问题 【典例】如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离． 【详解】 解：圆锥的底面周长是，则， ，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度． 则在圆锥侧面展开图中，，度． 在圆锥侧面展开图中． 故小猫经过的最短距离是．故选：． 【点睛】 本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 【跟踪专练1】已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 【跟踪专练2】如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 【答案】C 【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可． 【详解】解：将圆锥的侧面展开成扇形，连接，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段的长度． 由题意知，， ， 设，根据弧长公式可求， 则最短路程为：在中，． 解答题 1．如图，圆心角为的扇形的半径为10．求这个扇形的面积和周长．（精确到和0.01） 【答案】， 【分析】直接利用扇形面积公式，以及弧长公式计算求解，即可解题． 【详解】解：扇形的面积为：， 扇形的周长为：． 2．如图，扇形的圆心角为，其弧长是． (1)求此弧所在圆的半径长； (2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了弧长公式、求圆锥的高、勾股定理等知识， （1）设此弧所在圆的半径长为，根据弧长公式可得，求解即可； （2）结合（1）可知，设这个扇形制作成的圆锥底面半径为，根据圆的周长公式解得的值，进而可得，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设此弧所在圆的半径长为， 根据题意，可得， 解得； （2）如图，结合（1）可知， 设这个扇形制作成的圆锥底面半径为， 则有，解得，即， ∴． 故答案为：． 3．如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． (1)求扇形的圆心角度数； (2)依据相关数据，求花窗的面积． 【答案】(1)扇形圆心角的度数为 (2)花窗的面积为 【分析】本题考查求圆心角与扇形面积，熟练掌握弧长与扇形面积公式是解题的关键． （1）设的度数为，根据弧长公式列方程求解即可； （2）先根据扇形的面积公式求出、，再由求解即可． 【详解】（1）解：由题知，，点C，D分别为的中点， ∴， 设的度数为， ∵的长度为． ∴，解得， ∴扇形圆心角的度数为； （2）解：∵ ， ∴， ∴花窗的面积为． 4．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． (1)请你在图中画出； (2)在（1）的条件下，求点C旋转到的过程中所经过的路径长（结果保留π）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，勾股定理的应用，掌握旋转的性质并作图，坐标与图形，弧长公式的应用是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据弧长的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：将绕原点顺时针旋转得到，如图即为所求； （2）解：由勾股定理可得：， ∵绕到的过程中所经过的路径长等于以为圆心，半径为，圆心角为的弧长． ∴弧． 5．如图①，是的直径，点C是上的点，连接并延长至点D，使，连接交于点E． (1)求证：点C是劣弧的中点； (2)如图②，连接，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由是⊙O的直径，得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论； （2）连接，由已知条件得到是等边三角形，得到，则，推出，，于是得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连结CB， 是的直径， ， ， ， ， ， 点C是劣弧的中点． （2）解：如图，连结， ， ∴， 是等边三角形， ∴， 是的直径， ∴， ∴， 由（1）知，点C是劣弧的中点． ， ， ∴． ，， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 6．如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）．    (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，扇形的面积公式，圆锥的侧面积，熟练掌握相关公式是解题的关键． （1）设扇形的圆心角的度数为，根据扇形的面积公式列方程求解即可； （2）根据圆锥的侧面积等底面周长的一半乘母线长，列式计算即可． 【详解】（1）解：设扇形的圆心角的度数为， 则， 解得， 答：扇形圆心角的度数为； （2）解：侧面积为，母线长为， ， ， 答：圆锥的底面半径为． 7．如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） 【答案】(1) (2)20.7 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图1， ，则， ∴， 如图2， ，作于D，则， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $