14.3 角的平分线（第1课时）课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦角的平分线，涵盖尺规作图、性质及应用。课堂导入从度量法、折叠法过渡到硬质材料无法折叠的现实问题，引导用尺规作图，以全等三角形为支架衔接前后知识。 其亮点是“动手操作—猜想—验证”探究过程，如几何画板动态演示性质，结合中考题（如2025内蒙古题）培养推理能力与应用意识，总结梳理知识逻辑，帮助学生发展几何直观，教师可高效开展教学。

14.3 角的平分线 (第1课时) 第十四章 全等三角形 人教版八年级上册 1.7.2013 ‹#› 学习目标 学会用尺规作一个角的平分线；亲手探索并证明角平分线的重要性质；能够运用角平分线的性质解决简单的几何问题。 一 经历“动手操作—大胆猜想—严谨验证”的几何探究过程，感受数学思维魅力；在解决问题中，体会转化与建模的数学思想方法。 二 三 在探究角平分线的过程中，提升逻辑推理能力和有条理地思考与表达的能力；在运用性质解决问题时，培养数学应用意识与核心素养。 1.7.2013 这节课我们有三个主要目标。首先，我们要学会一项新技能——用尺规画出角的平分线。其次，我们将像小科学家一样，通过动手操作去发现角平分线的一个重要性质，并且证明它的正确性。最后，我们要把学到的知识应用到实际问题中去。希望通过这节课，大家不仅能学会知识，更能体会到数学探究的乐趣，提升自己的逻辑思维能力。 ‹#› 1 故事引入 目录 3 例题精讲 5 归纳总结 4 巩固练习 6 中考链接 7 课堂小结 8 布置作业 2 动手探究 1.7.2013 ‹#› 情境引入 思考问题：如何平分一个角？如果现在让你画出一个角的平分线，你会想到用什么方法来完成呢？ 度量法 这是最直观的方法：首先使用量角器测量出已知角的具体度数，将度数除以2得到半角的度数；接着从角的顶点出发，在角的内部找到对应半角度数的位置点；最后连接顶点与该点，所得到的射线即为这个角的平分线。 1.7.2013 在上课之前，老师想问大家一个问题。如果给你一个角，让你画出它的平分线，你会用什么方法呢？我相信很多同学会想到用量角器。没错，用量角器量出角的度数，再除以2，就能准确地画出平分线。这种方法我们称之为“度量法”。这是一种非常直接有效的方法。 ‹#› 情境引入 思考：如何平分一个角？我们知道可以用量角器度量来平分，那如果没有量角器，还有别的巧妙方法吗？ —— 折叠法 —— 如果这个角是画在纸上的，我们可以利用纸张可折叠的特性：将纸对折，让角的两条边完全重合在一起。此时，纸张上形成的折痕，就是这个角的角平分线。这种方法无需借助任何测量工具，简单直观且精准。 1.7.2013 除了用量角器，还有没有别的方法呢？当然有！如果这个角是画在一张纸上的，我们可以利用纸的特性——对折。把角的两条边对齐折叠起来，形成的折痕，就是这个角的平分线。我们把这种方法叫做“折叠法”。这个方法是不是也很巧妙？ ‹#› 情境引入 新的挑战来了！如果这个角不是画在纸上，而是刻在一块坚硬的木板或者钢板上，我们还能用简单的对折方法得到角平分线吗？显然不能，那该怎么办呢？我们需要一种更强大、更精确的几何方法！ 现实困境与解决思路： 在纸张上我们可以通过轴对称（对折）的方式直观地找到角平分线，但面对木板、金属板这类无法折叠的硬质材料时，这种方法就失效了。这就要求我们探索一种不依赖“折叠”，仅通过基础作图工具就能实现的精准方案——这便是古老而经典的“尺规作图”，它将帮助我们突破材料的限制，完成精准的几何构造。 1.7.2013 现在，挑战升级！如果这个角不是在纸上，而是刻在一块坚硬的木板或者钢板上，我们还能对折吗？当然不能。那我们该如何精确地画出它的平分线呢？这就需要我们学习一种古老而强大的几何作图方法——尺规作图。接下来，就让我们一起学习如何用没有刻度的直尺和圆规，来创造奇迹！ ‹#› 结论：当OM=ON时，PM=PN。理由如下： 在△OPM和△OPN中， ∵ OM = ON (已知) ∠POM = ∠PON (角平分线定义) OP = OP (公共边) ∴ △OPM≌△OPN(SAS) ∴PM=PN(全等三角形对应边相等) 合作探究 探究1：寻找作图的灵感如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点。我们在OA和OB上取OM=ON，连接PM和PN。观察图形，你能发现PM与PN之间有什么数量关系吗？ 思考：利用全等三角形的判定，如何证明PM与PN相等？关键条件是什么？ 1.7.2013 在学习新方法之前，我们先来探究一个问题。看这个图，OC是角平分线，P是上面一点。如果我们在角的两边取相等的线段OM和ON，然后连接PM和PN，大家猜一猜，PM和PN的长度有什么关系？没错，它们是相等的。我们可以通过证明△OPM和△OPN全等（SAS）来得出这个结论。这个发现将是我们找到尺规作图方法的关键！ ‹#› 结论：点P在∠AOB的平分线上。 理由如下： 连接OP。在△OPM和△OPN中， OM = ON（已知），PM = PN（已知），OP = OP（公共边）， ∴ △OPM ≌ △OPN (SSS)。 ∴ ∠POM = ∠PON（全等三角形对应角相等），即点P在∠AOB的平分线上。 合作探究 探究1（反过来想）：如果我们反过来，先知道OM=ON，并且PM=PN，那么点P的位置有什么特点呢？ 1.7.2013 现在我们把问题反过来想一下。如果我们先在角的两边取了两个点M和N，使得OM=ON，然后在角的内部找到了一个点P，使得PM=PN。那么，这个点P会在哪里呢？通过刚才类似的证明，我们发现△OPM和△OPN也是全等的（SSS），所以∠POM=∠PON。这说明，点P正好就在∠AOB的平分线上！这个结论给了我们一个重要的提示。 ‹#› 合作探究 思考：结合探究结论，如何作出一个角的平分线？ 01 找点：在角的两边OA和OB上，取两点M、N，使它们到顶点O的距离相等，即 OM = ON。 02 定点：在角的内部找一点P，使点P到M、N两点的距离相等，即 PM = PN。 03 连线：连接顶点O与点P，作射线OP，这条射线OP就是∠AOB的角平分线。 OM=ON PM=PN 1.7.2013 刚才的探究给了我们一个完美的作图方案！要画出角平分线，我们只需要三步：第一步，在角的两边找到两个到顶点距离相等的点M和N；第二步，在角的内部找到一个到M和N距离相等的点P。最后，连接O和P，这条射线就是我们要找的角平分线！这个方法听起来是不是很清晰？接下来，我们就用尺规来实现它。 ‹#› 作法：已知∠AOB，按以下步骤操作： 1. 画弧：以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2. 再画弧：分别以点M、N为圆心，大于1/2 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C。 3. 作射线：作射线OC，射线OC即为∠AOB的角平分线。 合作探究 思考：第二步半径为何大于1/2MN？为确保两弧相交，若过小则无法交于点C。 角平分线作图 1.7.2013 现在，见证奇迹的时刻到了！请大家拿出尺规，跟我一起操作。第一步，把圆规尖放在顶点O，画一个弧，与角的两边交于M和N。第二步，分别以M和N为圆心，用一个足够大的半径（大于MN长度的一半）在角内部画弧，让它们相交于点C。最后，用直尺连接O和C。看！射线OC就是∠AOB的平分线！大家思考一下，为什么第二步的半径要足够大呢？对啦，是为了保证两条弧线能顺利相交！ ‹#› 合作探究 用尺规作角平分线 这是数学中最精确、最经典的作法。仅用圆规和直尺，严格遵循几何公理，就能画出任意角的平分线，是几何作图的基础核心方法。 用角尺平分角 生活中木工、钳工常用的实用技巧。利用角尺的直角或特定角度刻度，可快速定位角的中线，无需复杂作图，效率高且贴合手工操作需求。 用角平分仪平分角 专为角平分设计的精密工具。结构巧妙，能直接卡合于角的两边，快速显示平分线位置，广泛应用于工程测绘、机械加工等专业场景。 1.7.2013 除了我们刚刚学会的尺规作图，在生活和工作中，人们还发明了各种工具来平分角。比如，木匠师傅常用的角尺，还有专门的角平分仪。这些工具都是基于我们今天所学的几何原理设计的。数学知识是不是非常有用？它就在我们身边！ ‹#› 实验发现： P₁D₁ = P₁E₁，P₂D₂ = P₂E₂，P₃D₃ = P₃E₃ …… 大胆猜想： 角的平分线上的任意一点，到角的两边的距离存在着相等的数量关系。 合作探究 探究2：角平分线的“超能力” 我们已经学会了用尺规画角平分线，那它到底隐藏着什么特别的数学性质呢？请大家在角平分线OC上任意选取P₁、P₂、P₃等若干个点，分别过这些点向角的两边OA和OB作垂线，测量每组垂线段的长度，观察并比较这些数据，你能发现其中的规律吗？ 结论：角的平分线上的点到角两边的距离相等。 1.7.2013 学会了画角平分线，我们来探索一下它的“超能力”。请大家在自己画的角平分线上任意取几个点，然后从这些点向角的两边作垂线。现在，请量一量每组垂线段的长度。你发现了什么惊人的规律？是不是每一组垂线段的长度都相等？这就是角平分线的一个非常重要的性质：角平分线上的任意一点，到角两边的距离都相等！ ‹#› 合作探究 核心性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等 工具验证猜想 利用几何画板动态演示，拖动角平分线上的点P，实时观测点P到角两边的垂线段PD与PE的长度数值，可直观发现二者始终保持相等关系。 原理可视化分析： 在角平分线的几何模型中，无论点P在平分线上的哪个位置移动，其到角的两边的垂直距离始终是全等三角形的对应边。这一动态验证过程，不仅直观证实了“距离相等”的猜想，更让抽象的几何性质通过数字和图形的结合变得清晰可感，为后续的严格证明奠定了直观认知基础。 1.7.2013 我们刚才通过动手测量，猜想出了角平分线的性质。现在，我们可以借助信息技术来验证一下。大家看屏幕，当点P在角平分线上移动时，它到两边的距离PD和PE的长度数值始终是一样的。这直观地证明了我们的猜想是正确的。 ‹#› 已知 求证 合作探究 角的平分线上的点到角两边的距离相等. OC是∠AOB的平分线，点P在OC上。 PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。 角的平分线上的点 到角两边的距离 相等 PD=PE 1.7.2013 当然，数学的魅力在于严谨的证明。我们不能只靠测量，必须用逻辑来说话。现在，我们就来证明这个性质。首先，明确已知条件：OC是角平分线，P在OC上，PD和PE分别是P到两边的距离。我们要证明的就是PD=PE。 ‹#› 已知 求证 合作探究 OC是∠AOB的平分线，点P在OC上 PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为D、E PD = PE 证明思路：要证PD=PE，核心思路是证明包含这两条线段的△OPD和△OPE全等。 关键条件分析：① 直角：∵ PD⊥OA, PE⊥OB ∴ ∠PDO=∠PEO=90°；② 等角：∵ OC平分∠AOB ∴ ∠POD=∠POE；③ 公共边：OP=OP。 结论：△OPD和△OPE满足“角角边”（AAS）全等判定条件，故两三角形全等，即得PD=PE。 1.7.2013 证明的思路是什么呢？要证明两条线段相等，最常用的方法就是证明包含它们的两个三角形全等。在这里，PD和PE分别在△OPD和△OPE中。我们来看看这两个三角形是否全等。首先，它们都是直角三角形。其次，它们有一个锐角相等（因为OC是角平分线）。最后，它们还有一条公共边OP。所以，根据“角角边”（AAS）定理，这两个三角形一定是全等的！ ‹#› 归纳总结 角的平分线 作一个角的平分线 角的平分线的性质 图示 尺规作图：以角顶点为圆心画弧交两边，再分别以交点为圆心画弧交于一点，连线即为角平分线 角平分线上的点到角的两边的距离相等 作图关键 利用圆规截取等长线段，构造全等三角形的三边条件，确保作图的准确性。 性质核心 点在平分线上 ⇒ 点到两边距离相等。需过点作两边垂线，距离是垂线段的长度，非点到顶点距离。 依据 SSS（证△OMC ≌ △ONC，三边对应相等） 依据与符号 依据：AAS（证△OPD ≌ △OPE，角角边相等） 符号：∵OP平分∠AOB, PD⊥OA, PE⊥OB ∴PD=PE 尺规作图法 性质应用 ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE. 依据：SSS 全等判定 1.7.2013 这一页我们对“角的平分线”进行系统归纳。首先是角平分线的尺规作图，其核心依据是“SSS”全等判定定理，通过构造两个三边相等的三角形（△OMC和△ONC）来确保所画射线是角的平分线。其次是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，这一性质的证明依据是“AAS”全等判定（△OPD和△OPE）。最后要重点掌握性质的符号语言表达，这是解决几何证明题和计算题的关键工具，要注意必须强调“点在平分线上”和“到两边的垂线段”这两个条件。 ‹#› 感受中考 1. (2025·内蒙古)如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，连接EF，以点E为圆心画弧，再分别以M，N为圆心画弧，两弧交于点H，画射线EH交CD于点G。若∠AEF=80°，则∠EGF的度数为（ ） A. 100° B. 80° C. 50° D. 40° 【参考答案】D 直接锁定正确选项，利用尺规作图的性质与平行线的内错角关系可快速得解。 【思路解析】 由尺规作图痕迹可知EH平分∠AEF，故∠HEF=40°；又因AB∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠EGF=∠HEF=40°。 D 1.7.2013 理论学完了，我们来看看它在中考中是如何应用的。这道题看起来复杂，但关键信息就藏在作图步骤里。题目描述的正是用尺规作角平分线的过程，所以EH平分了∠AEF。∠AEF是80度，那么∠HEF就是40度。又因为AB平行于CD，根据内错角相等，∠EGF就等于∠HEF，也就是40度。所以答案是D。你看，掌握了基本作图，解题就变得很简单。 ‹#› 感受中考 2. (2024·天津)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，以点A为圆心画弧，再分别以E，F为圆心画弧，两弧交于点P，画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为（ ） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 【解析】由作图痕迹可知，AP平分∠BAC。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，故∠BAC=180°−90°−40°=50°，因此∠BAD=½∠BAC=25°。在△ABD中，∠ADC是外角，根据外角性质，∠ADC=∠B+∠BAD=40°+25°=65°。 【答案】B 解题关键：识别角平分线的作图痕迹，灵活运用三角形内角和定理与外角性质进行角度推导。 1.7.2013 再来看一道题。同样，作图痕迹告诉我们AP是∠BAC的平分线。在直角三角形ABC中，我们可以算出∠BAC是50度。那么被平分后，∠BAD就是25度。最后，在△ABD中，∠ADC是一个外角，它等于不相邻的两个内角之和，也就是∠B + ∠BAD，等于40°+25°=65°。所以答案是B。 ‹#› 感受中考 3. (2024·绵阳)如图，在△ABC中，AB=5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【核心思路】 利用角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，作DF⊥AB于F，可得DE=DF；再结合△ABD的面积公式求出DF的长度，即为DE的长。 【详细解析】 过D作DF⊥AB于F。∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF。由S△ABD=1/2×AB×DF=5，AB=5，得1/2×5×DF=5，解得DF=2，故DE=2。 答案：B 1.7.2013 这道题直接考察了角平分线的性质。看到角平分线AD，我们就要想到“距离相等”。题目给了DE⊥AC，我们马上就要想到从D向另一边AB作垂线DF。根据性质，DE=DF。接下来，利用△ABD的面积公式，面积等于底AB乘以高DF再除以2，等于5。代入AB=5，可以解出DF=2。所以DE也等于2。答案是B。 ‹#› 感受中考 4. (2025·陕西)如图，已知∠AOB=50°，点C在边OA上。请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP=25°，且CP∥OB。（要求：保留作图痕迹，不写作法，不证明） 【作法思路 01：作角平分线】 由于25°是50°的一半，首先使用尺规作∠AOB的角平分线OP，此时自然满足∠AOP=∠POB=25°，确定角度的关键条件。 【作法思路 02：作平行线定交点】 以点C为基准，利用尺规作图法作OB的平行线（如作同位角相等或内错角相等），该平行线与角平分线OP的交点，即为所求作的点P。 总结：本题综合考查角平分线与平行线的尺规作图，核心是将“25°”转化为“平分50°角”，再结合平行线判定确定最终点P的位置。 1.7.2013 这是一道作图题。要求作一个25°的角，并且满足CP平行于OB。25°正好是50°的一半，所以我们首先想到的就是作∠AOB的平分线OP。这样就满足了∠AOP=25°。然后，我们只需要过点C作一条平行于OB的直线，这条直线与OP的交点就是我们要找的点P。问题就解决了。 ‹#› 感受中考 5.(2023 ·河南)如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD=AB。 (1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线(保留作图痕迹，不写作法)。 (2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE。求证：DE=BE。 【作图思路】 以点A为圆心，任意长为半径画弧，交AB、AC于两点；分别以这两点为圆心，大于其一半长为半径画弧，两弧交于一点，过A与该点作射线即为∠A的平分线。 【证明核心】 由AE平分∠BAC得∠BAE=∠DAE，结合AD=AB，AE为公共边，利用“SAS”证△ABE≌△ADE，从而根据全等三角形的对应边相等得DE=BE。 1.7.2013 ‹#› 证明：∵ AE平分∠BAC（已知） ∴ ∠BAE = ∠DAE（角平分线的定义） 在△BAE和△DAE中： AB = AD（已知），∠BAE = ∠DAE（已证），AE = AE（公共边） ∴ △BAE ≌ △DAE（SAS） ∴ DE = BE（全等三角形的对应边相等） 感受中考 5.如图，已知点D在AC上，AB = AD，AE平分∠BAC，且AE与BC交于点E，连接DE。 任务：请结合已知条件，完成“DE = BE”的证明过程推导，掌握全等三角形判定的实际应用。 1.7.2013 我们来分析一下证明过程。要证明DE=BE，我们可以尝试证明△BAE和△DAE全等。我们有哪些条件呢？首先，AE是角平分线，所以∠BAE=∠DAE。其次，题目告诉我们AB=AD。最后，AE是两个三角形的公共边。所以，根据SAS定理，△BAE和△DAE全等。既然全等，那么对应边DE和BE自然就相等了。证明完毕！ ‹#› 角的平分线 小结梳理 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线。 画法 利用尺规作图绘制，核心原理依据SSS（边边边）全等三角形判定定理推导得出。 性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等，该结论可通过AAS（角角边）全等证明。 判定猜想：到一个角的两边距离相等的点，是否一定在这个角的平分线上？这是性质定理的逆命题，是我们后续需要验证的核心结论。 核心逻辑：角平分线是连接“角相等”与“距离相等”的桥梁，尺规作图与性质证明均依托全等三角形的判定，体现了数形结合的思想。 1.7.2013 课程接近尾声，我们来梳理一下今天的知识结构。我们学习了角平分线的定义、画法和性质。画法的依据是SSS全等，性质的依据是AAS全等。大家思考一下，性质的逆命题是否成立呢？也就是“到一个角的两边距离相等的点，是否一定在这个角的平分线上？”这个问题，我们将在下节课揭晓答案！ ‹#› 布置作业 必做题：习题14.3第1，4，5题 1 探究性作业：习题14.3第6，7题 2 1.7.2013 今天的课后作业分为两部分。必做题请大家务必完成，这是对今天所学知识的巩固。探究性作业稍微有些难度，希望学有余力的同学能够挑战一下自己，深入思考。 ‹#› 谢谢观看！ 人教版八年级上册 1.7.2013 今天的课程到此结束。感谢同学们的积极参与和认真思考。希望大家课后多加练习，熟练掌握今天所学的知识。我们下节课再见！ ‹#› $