第二章 一元二次函数方程和不等式单元测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次函数、方程和不等式，通过基础辨析、图像分析及实际应用，落实数学抽象、运算推理与模型意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|4|充分条件判断、不等式表示、二次函数图像分析|结合几何直观考查数学眼光| |多选题|3|二次函数图像与系数关系、对称轴确定|通过多选项辨析发展推理思维| |填空题|3|不等式恒成立、代数式大小比较|强化符号意识与抽象能力| |解答题|3|解不等式、函数综合应用、购物策略经济分析|以实际情境问题体现数学语言表达现实世界|

第二章 一元二次函数、方程和不等式 一、单选题 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 3．二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 4．已知不等式的解集是，则的值是（    ）. A． B． C．或 D． 二、多选题 5．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC＝2OB，则下列结论正确的为（　　）      A． B． C． D． 6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（　　） A．c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．x＝3时函数y＝ax2+bx+c取最小值 D．图像的对称轴是直线x＝3 7．若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 8．已知不等式的解集，若对任意，不等式恒成立．则的取值范围是__________． 9．若，，则、、、中最大的一个是________． 10．已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是______. ①；②；③；④. 四、解答题 11．（1）比较与的大小关系. （2）求下列不等式的解集 ①； ②； ③； 12．已知函数，， (1)若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； (2)当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围； (3)当时，求关于的不等式的解集. 13．两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同； 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同； 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额． (2)请问，采用哪种策略更经济？说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式 一、单选题 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用作差法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】由可得， 由已知且，若，则，所以，，则，矛盾. 若，则，从而，合乎题意. 综上所述，“”是“”的充要条件. 故选：C. 2．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由限速40km/h，可知汽车的速度v小于或等于40km/h，即. 3．二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点位置以及特殊点的函数值，逐一判断各选项的正误. 【详解】由二次函数的图象可知： 图象开口向下，故； 图象与轴交于负半轴，故. 所以，故选项A错误； 图象的对称轴在轴右侧，即. 因为，所以，从而. 所以，故选项B错误； 由上述分析知，所以. 又因为， 所以，所以C正确； 当时，. 由图象可知，当时，. 因为对称轴在轴右侧，抛物线在对称轴左侧单调递增， 所以当时，函数值小于时的函数值， 即，所以，所以D错误. 4．已知不等式的解集是，则的值是（    ）. A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由不等式的解集是，利用根与系数的关系求得，得到不等式，利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，不等式的解集是， 可得，且方程的两个根分别为，， 则，，解得，， 所以，即为，可得， 所以不等式的解集为. 故选D. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法及其应用，其中解答中熟记一元二次不等式与一元二次方程的关系，求得的值，再利用一元二次不等式的解法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 二、多选题 5．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC＝2OB，则下列结论正确的为（　　）      A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用函数图象开口、与轴交点位置以及对称轴方程可判断A；将x＝1代入函数，可判断B；根据OC＝2OB，设得，代入函数可判断C；根据韦达定理可判断D. 【详解】对于A，根据图象，可知a＞0，c＜0，又对称轴x，则b＞0， 则，故A正确； 对于B，当x＝1时，y＝a+b+c，不能说明y的值是否大于0，故B错误； 对于C，设， ∵OC＝2OB，∴，∴，∴， 将点B代入函数，得，故，故C正确； 对于D，当y＝0时，，方程的两个根， 所以，则D正确. 故选：ACD． 6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（　　） A．c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．x＝3时函数y＝ax2+bx+c取最小值 D．图像的对称轴是直线x＝3 【答案】CD 【分析】由的两根分别为，结合韦达定理以及二次函数的性质判断即可. 【详解】因为二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A（1，0），B（5，0），所以的两根分别为. 由图可知，，由韦达定理可知，即，故A错误； 由图可知，该二次函数与轴有两个交点，即，故B错误； 由韦达定理可知，，即该二次函数的对称轴为，即在x＝3时函数y＝ax2+bx+c取最小值，故CD正确； 故选：CD 7．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：由可知，且.A正确； 选项B：因为，所以，，因此，B错误； 选项C：由，可得，，由得，C正确； 选项D：变形不等式， 已知即，且即，因此乘积为负，不等式成立，D正确. 三、填空题 8．已知不等式的解集，若对任意，不等式恒成立．则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集确定系数，则在上恒成立，利用二次函数的性质有x=0时，即可求结果. 【详解】由题设，且，可得， 所以在上恒成立， 而在上递增，故只需有x=0时即可， 所以. 故答案为： 9．若，，则、、、中最大的一个是________． 【答案】 【分析】由基本不等式和作差法比较大小，得到答案. 【详解】，，由基本不等式得；； 又因为，， 所以， 故， 所以最大的一个是 故答案为： 10．已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是______. ①；②；③；④. 【答案】④ 【分析】由重要不等式可得，当时，等号成立，所以①错误；显然若时，②和③均错误；利用基本不等式可知④正确. 【详解】易知因为对于恒成立，当且仅当时，等号成立，所以①错误； 对于②，③，显然时，不等式均不成立，即②和③错误； 对于④，因为，所以，由基本不等式可得，当且仅当a=b成立即④正确； 故答案为：④ 四、解答题 11．（1）比较与的大小关系. （2）求下列不等式的解集 ①； ②； ③； 【答案】（1）； （2）①；②或；③；④或. 【分析】（1）利用作差法进行计算； （2）①先求的解，再结合二次函数写出此不等式的解集；②不等式变号得到，求出的解，再结合二次函数写出此不等式的解集；③转化为，再结合二次函数写出此不等式的解集；【详解】（1）， ， （2）①，， ，此不等式的解集； ②，， 的解为， 的解集为或； ③，，， 的解集为； 12．已知函数，， (1)若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； (2)当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围； (3)当时，求关于的不等式的解集. 【答案】(1)，； (2)； (3)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】（1）先将代入，整理后得到，由题意得到的解集为或，从而得到方程 的两根为或及，将代入得到的值，再将代入，求解此方程得解； （2）先在上乘以，得到，再将去掉括号，利用基本不等式求解即可； （3）先将代入不等式，将其因式分解为，再根据，解出方程的根，按照根的大小分类讨论得到不等式的解集. 【详解】（1），可化为， 移项整理得，不等式的解集为或， 或是方程的两个跟，且. 将代入方程，可得，解得. 把代入方程，得到，因式分解为， 即，故，. （2）由（1）知，，则，，，， 当且仅当时，即时，等号成立， ，恒成立， ，，， ，， 故的取值范围是. （3）不等式，即，因式分解为， ，的两根为，， ①当，即时，不等式，不等式的解集为； ②当，即时，不等式的解集为； ③当，即时，不等式的解集为. 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 13．两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同； 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同； 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额． (2)请问，采用哪种策略更经济？说明理由． 【答案】(1)采用策略①购买的产品总量为，总金额为；策略②购买的产品总量为，总金额为 (2)采用策略②比采用策略①更经济,理由如下： 采用策略①，两次购买物品的数量均为m，则两次的平均价格为； 采用策略②，两次购买的金额均为n，购买物品的数量为， 则两次平均价格为， 因为，，于是， 当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济； 当时，，采用策略②比采用策略①更经济． 【分析】（1）代入数值计算，直观对比两种策略采购数据； （2）通用推导平均价格，作差比较大小判断经济性，再分情况讨论得出结论． 【详解】（1）因为，，，， 采用策略①，两次购买物品的数量均为，且第一次、第二次购买的价格分别为，， 则采用策略①购买的产品总量为，总金额为； 采用策略②，两次购买的金额均为，其中第一次、第二次购买的价格分别为，，则策略②购买的产品总量为，总金额为． （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $