3.1.2函数的单调性课件2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性，涵盖定义、判断、证明及应用等核心知识点。通过绘制y=x、y=x²、y=1/x图象，观察y随x变化引出概念，搭建从直观图象到抽象定义的学习支架，衔接函数图象与单调性本质。 其亮点在于以数学眼光观察图象特征，用数学思维严谨证明单调性（如定义法、平均变化率），通过一次函数、二次函数等实例分析及分层练习，培养学生逻辑推理与应用意识。教师可借助清晰结构提升教学效率，学生能在探究中深化对函数性质的理解。

《人教B版2019高中数学必修第一册》 第三章函数 3.1.2函数的单调性 1. 增函数、减函数的定义(函数的单调性) 2.函数的最大(小)值 3.单调区间判断，定义法证明单调性及证明步骤 4. 用函数的平均变化率判断函数的单调性 5. 单调函数的运算性质 6. 函数单调的三种表达方式 知识点 -2.5 -5.0 -7.5 -5.0 -2.5 思考：随着x值的增大，y值的变化情况 结论： (1) y随x的增大而增大(2)随着x的增大，y值先减小再增大 ( 3 ) 在 (-∞, 0), (0,+∞) 内y随x的增大而减小 引例：画出下列函数的图象 (1)y =x (2)y =x² (3) 10.0 新知导入 5.0 2.5 5.0 给定一个函数，人们有时候关心的是，函数值会随着自变量增大而怎样变化，即 我们这节课要讲的内容“函数的单调性” 探究新知 一般地，设函数y=f(x) 的定义域为 D, 且 ICD: (1) 如果对任意 x₁,x₂∈I, 当 x₁<x₂ 时，都有f(x₁)<f(x₂), 则称函数 y=f(x) 在区间1 上是增函数(也称在 I 上单调递增),如图3-1-9(1)所示。 递减)根据 调性的定义邱西 D的关系可知： 有时只观察函数的某个部分的单调性，单 调区间一定是定义域的子集。 两种情况下，都称函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间， 也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)。 (2)如果对任意 x₁,x₂ ∈1, 当 x₁<x₂ 时，都有f(x₁)>f(x₂), 则称函数 y=f(x) 探究新知 (1) (2) 在区间 探究新知 注意： 1.单调区间是定义域的子集，必 须在定义域内讨论。 2.定义中的 x₁,X₂ 具有三个特征： 任意性：不能用特殊值代替； 同区间性：x₁,x₂ ∈I; 有序性：规定 x₁<x₂。 3.多个单调区间之间不能用 “ U” 连接，要用 “和” 或逗号连接。 例：函数 y=x₁ 的单调递减区间是 (-∞,0)和(0,+∞),不能写成 (-∞,0)U(0,+∞)。 练习： 已知定义在(0,+∞)上的单调减函数f(x), 若f ,则a的取值范围是 解：因为是单调减函数，所以 函数值大的自变量反而小 所以 ,解 又因为定义域为(0,+∞),所以 2a-1>0, 解的 所以，则a 的取值范围是 由尝试与发现可知，从函数的图象能方便地看出函数的单调性。但一般情况下，得 到函数的图象并不容易，而且手工作出的图象往往都不精确，因此我们更倾向于从函 数的解析式来证明函数的单调性。这可以利用函数单调性的定义和不等式的证明方法。 如图 3-1-10 所示的函数y=f(), 在[-6,-4]上是增函 数 ，在[-4,-2]上是减函数，在[-2,1]上是增函数，在 [1,3]上是减函数，在[3,6]上是增函数。 尝试与发现 例1 求证：函数f(x)=-2x 在R上是减函数。 证明 任取x₁,x₂∈R且x₁<x₂, 则x₁-x₂ <0, 那么 f(x₁)-f(x₂)=(-2x₁)-(-2x₂)=2(x₂-x₁)>0, 从而f(x₁)>f(x₂)。 因此，函数f(x)=-2 x在R上是减函数。 一般地，设函数f(x) 的定义域为D, 且 x₀ ∈D: 如果对任意x∈D, 都 有f(x)≤f(x₀), 则 称f(x) 的最大值为f(x₀), 而x₀称为f(x) 的最大值点；如果对任意x ∈D, 都有f(x)≥f(x₀), 则称f(x) 的最小值为f(x ₀), 而x₀ 称为f(x) 的最小值点。最大值和最小值统称为最值，最 大值点和最小值点统称为最值点。 不难看出，如果函数有最值而且函数的单调性容易求出，则可利用函数的单调性求出 函数的最值点和最值。 探究新知 例2 判断函数f(x)=3x+5,x∈[-1,6] 的单调性，并求这个函数的最值。 解：任取x₁,x₂ ∈[-1,6]且x₁<x₂,x₁-x₂<0, 那么 f(x₁)-f(x₂)=(3x₁+5)-(3x₂+5)=3(x₁-x₂)<0, 所以函数f(x)=3x+5 在[-1,6]上是增函数。 因此，当-1≤x≤6 时，有 f(-1)≤f(x)≤f(6), 从而这个函数的最小值为f(-1)= 2 , 最大值为发 (6)= 23 , 所以 例2的结论也可由不等式的知识得到：因为-1≤x≤6, 所以 -3≤3x≤18,2≤3x+5≤23, 即f(-1)≤f(x)≤f(6), 其余同上. 探究新知 我们已经知道，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，这一结论当然也成立. 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x₁,y₁),B(X₂,y₂), 当x₁≠X₂ 时，称 y2-y₁ X2-X1 为直线AB的斜率；当x₁=X ₂ 时，称直线AB的斜率不存在. 图3-1-11中，直线AB的斜率大于零，而直线AD的斜率小于零. 图 3-1-11 不难看出，平面直角坐标系中的三个点共线，当且仅当(等价)其中任意两点确 定的直线的斜率都相等或不存在.下面我们用直线的斜率来研究函数的单调性. 直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度. 若记△x=X₂-X₁, 相应的△y=y₂-y₁, 则当△x≠0 时 ，斜率可记为 如图3-1-11所示，直线AB的斜率即为Rt△ACB中BC与AC的比.另外， 函数的平均变化率 连线的斜率的符号与函数单调性之间的关系，并总结出一般规律. 可以看出，函数递增的充要条件是其图象上任意两点的斜率都大于0,函数递减 的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都小于0. 由函数的定义可知，任何一个函数图象上的 两个点，它们所确定的直线的斜率一定存在。 (为什么? ) 如图3-1-12所示，观察函数图象上任意两点 ↑ A Ay B Y₂ △x x₁ x₂ (2) 尝试与发现 0 x₁ 图3-1-12 y₂ y1 △y C y₁ (1) △x ↑y ₂ x 一般地，若I是函数y=f(x) 的定义域的子集，对任意x₁,x₂ ∈I 且x₁ ≠x₂, 记y₁ = f(x₁), y₂=f(x ₂), , 则： (1)y=f(x) 在I上是增函数的充要条件 在I上恒成立； (2)y=f(x) 在I上是减函数的充要条件 在I上恒成立. 一般地，当x₁≠x₂ 时 ， 为函数y=f(x) 在区间[x₁,x₂](x₁<x₂ 时) 或[x₂,x₁](x₁>x₂ 时)上的平均变化率 利用上述结论，我们可以 证明一个函数的单调性. 探究新知 因此y=-2x 在R上是减函数. 例3 求证：函娄 上都是减函数. 证明：设x₁≠X₂, 那么 如果x₁,x₂ ∈(-∞, 0), 则x₁x₂>0, 此日 ,所以函数在 (-∞,0)上是减函数.同理，函数在(0,+∞)上也是减函数. 例如，对于函数y=-2x 来说，对任意x₁,x₂ ∈R 且x₁≠x₂, 有 探究新知 因此，一次函数的单调性取决于k的符号：当k>0 时，一次函数在R上是增函 数；当k<0 时，一次函数在R上是减函数. 例4说明，一次函数y=kx+b(k≠0) 的图象上任意两点确定的直线斜率均为k, 这实际 上也说明了一次函数的图象一定是直线(三点共线).不仅如此，此时 以看出， △y=k△x, 这就意味着在一次函数中，△y与△x成正比，且比例系数为k. 特别地，当自变 量每增大一个单位时，因变量增大k 个单位，而且可以证明，只有一次函数才具有这个性 质.事实上，如果△y=k△x, 设x=0 时函数值为yo, 则y-yo=k(x-0), 即y=kx+yo 因此一定是一次函数.正因为如此， 一次函数也经常被称为线性函数(图象是直线). 例4 判断一次函数y=kx+b(k≠0) 的单调性. 解 ：设x₁ ≠x₂, 那 探究新知 当容器是如图3-1-14(1) 所示的圆台时， 由容器的形状可知，在固定的△t 时间内， 随着t 的增加，△y应该越大，因此函数的 图象是如图3-1-14(2)所示. 例如，如果向给定的容器倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，那么 容器内水面的高度y 是时间t 的函数. 当容器是如图3-1-13(1)所示的圆柱时， 在固定的△t 时间内，△y 应该是常数， 因此函数的图象是如图3-1-13(2)所 示的一条线段. (1) (2) 图 3-1-13 探究新知 (1) (2) 图3-1-14 因此： 当x₁,X₂ ∈(一∞,-1)时，有x₁+X₂< -2, 从而 ,因此 f(x)在(一∞,-1)上是减函数； 当x₁,X₂ ∈[-1,+∞]时，有x₁+X₂>-2, 从而 ,因此 f(x)在[-1,+∞]上是增函数. 由函数的单调性可知，函数没有最大值；而且，当x∈[ 一∞,-1]时，有 f(x)≥f(-1), 当x∈(-1,+0) 时，不等式也成立，因此f(-1)=-1 是函数的最小值. 例5 证明函数f(x) = x²+2x 在[-∞,-1]上是减函数，在[-1,+∞)上是增函数，并 求出这个函数的最值. 证明：设x₁≠X₂, 则 探究新知 用类似的方法可以证明，二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0) 的单调性为： (1)当a>0 时，f(x) 在 上单调递减，在 ,+∞)上单调递增，函数没 有最大值，但有最小 ; (2)当a<0 时，f(x) 在 上单调递增，在 ,+∞)上单调递减，函数没 有最小值，但有最大 当然，这一结论也可以从二次函数的图象是关于 对称的抛物线与开口方 向看出来. 探究新知 2.判断与证明函数单调性的步骤(定义法) 取值： 在给定区间内任取 x₁,x₂, 且 x₁<x₂; 作差：计算 f(x₁)-f(x₂); 变形：因式分解、配方、通分等，判断符号； 定号：确定 f(x ₁)- f(x₂) 的正负； 下结论：根据定义判断单调性。 3. 函数单调增的三种表达方式 定义：当x₁>x₂时，f(x₁)>f(x₂) 恒成立； (x₁-x₂)[f(x₁)-f(x₂)]>0; 图像法(最直观) 定义法(最正统、证明题必用) 平均变化率(最通用、最强) 1. 判断与证明函数单调性常用方法 总结 单调减区间(-∞, 0), (0,+∞) 单调增区间 (-∞,0), (1,+∞) 单调减区间 (-1,0) , (0,1) 1. 写出下列函数的单调区间 巩固练习 A B C D 2.不是增函数的是 ( C ) 巩固练习 解析：随着h的增大，函数的平均变化率△V/△H在减小，所以，相同高度△H下的△V在 减小，所以选择B 3.向高为H, 容量为V₀的水瓶中匀速注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函 数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( B ) 巩固练习 C. D. A. B. 4.下列函数中，在区间(0,1)上单调递减的是( AB) 巩固练习 解析：画图法 A.y=x₂-4x+5 C B 解析：观察函数图象可以知道，在x=3 时取得最大值，即y最大值=3; 时取得最小值，即y最小值 =-2. 函数y=f(x),x∈[-4,7 ]的单调递增区间是 ,[5,6] 函数y=f(x), x ∈[-4,7]的单调递减区间是 ,[3,5],[6,7]. 5.如图函数y=f(x),x∈[-4,7] 的图象，指出函数y=f(x) 的最大值、最小值及单调区间. 巩固练习 6.函数f(x)=x²+ax+2 在(3,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 (-6,+∞) 解析：如图可知，3需要在 的右侧则满足题意要求 所以，需要 解的a≥-6 巩固练习 1.已知函数 则关于实数m的不等式f(2m)>f(m²) 的解集 为(0,2) . 10. 0 解析：有函数图像可知，函数在整个定义域内是 增函数，由f(2m)>f(m²) 得2m>m², 解得0<m<2. 提升练习 ·10.0- -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 7.5· 5.0 25 0.0 -2.5 -5.0 -7.5 10.0 2.已知函 是定义在(0,十∞)的减函数，则实数a 的取 值范围是 解析：函数在(0,+∞)上是减函数，所以， 两段函数和整个定义域内都需要是减函数，即 处要满足递减性) 提升练习 成立，则实数a的值可以是( CD A.-1 B.0 C.1 D.2 解析：由题意知实f(x₁)-f(x₂) 和x₁-x₂ 符号相反，所以f(x) 为减函数， 数a满足 解得0 <a≤2, 故实数a的取值范围为(0,2),因此可取1和2. 3.已知函数 满足对任意的实数x₁≠X₂, 都 提升练习 4.已知函数 ,用单调性定义证明函数f(x) 在区间(√3,+∞)上是增函数； 证明：任取 √3 < x₁<x₂, 则 , ∴f(x₁)<f(x₂), ∵√3<??1<X₂,∴X₁-X₂<0,X₁X₂2-3>0,x₁X₂>0, ∴ 函数f(x) 在区间( √3,+∞)上是增函数. 提升练习 。 $