3.1.2　第二课时　函数的最值、平均变化率 2026-2027学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的最值与平均变化率，通过沙漠气候气温曲线情境导入，结合具体问题衔接函数概念，引导学生从实例抽象出最值定义及平均变化率公式，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实（如气温曲线），通过典型例题（如正方形膨胀、路灯身影）培养数学思维（逻辑推理、运算能力），用通性通法和跟踪训练强化数学语言表达。学生能提升直观理解与应用能力，教师可获得系统教学资源与方法指导。

第二课时　 函数的最值、平均变化率 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠 气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线. 目录 数学·必修第一册（B版） 【问题】　（1）在区间[6，17]对应的曲线上任取不同两点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， ＝ 一定大于零吗？ （2）如果在区间[12，24]对应的曲线上任取不同两点 C （ x3， y3）， D （ x4， y4）， ＝ 一定大于零吗？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（B版） 知识点一　函数的最值 1. 函数的最大值和最小值 一般地，设函数 f （ x ）的定义域为 D ，且 x0∈ D ： （1）如果对任意 x ∈ D ，都有 ，则称 f （ x ） 的最大值为 f （ x0）（记作 f （ x ）max＝ f （ x0）），而 x0称为 f （ x ）的 ⁠； f （ x ）≤ f （ x0）　 最大值点　 目录 数学·必修第一册（B版） （2）如果对任意 x ∈ D ，都有 ，则称 f （ x ） 的最小值为 f （ x0）（记作 f （ x ）min＝ f （ x0）），而 x0称为 f （ x ）的 ⁠. f （ x ）≥ f （ x0）　 最小值点　 目录 数学·必修第一册（B版） 提醒　对函数最值的几点说明：①最值首先是一个函数值， 即存在一个自变量 x0，使得 f （ x0）等于最值；②对于定义域 内的任意元素 x ，都有 f （ x ）≤ f （ x0）（或 f （ x ）≥ f （ x0）），“任意”两个字不可省略；③函数 f （ x ）在其定 义域（某个区间）内不一定有最大（小）值，如果有，最大 （小）值只能有一个.但最大（小）值点 x0可能不止一个.这里 的最大（小）值点不是点而是实数；④函数 f （ x ）在其定义 域（某个区间）内的最大值的几何意义是其图象上最高点的 纵坐标；最小值的几何意义是其图象上最低点的纵坐标. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 最值和最值点 值和 值统称为最值，最大值点和最小值点统称 为 点. 最大　 最小　 最值　 目录 数学·必修第一册（B版） 【想一想】 如果函数 f （ x ）对于定义域内的任意 x 都满足 f （ x ）≤ M ，那么 M 一定是函数 f （ x ）的最大值吗？ 提示：不一定.如函数 f （ x ）＝－ x2≤1恒成立，但是1不是函数的 最大值. 目录 数学·必修第一册（B版） 知识点二　函数的平均变化率 1. 直线的斜率 （1）定义：给定平面直角坐标系中的任意两点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），当 x1≠ x2时，称 为直线 AB 的斜率（若 记Δ x ＝ x2－ x1，相应的Δ y ＝ y2－ y1，当Δ x ≠0时，斜率记为 ）；当 x1＝ x2时，称直线 AB 的斜率 ⁠. （2）作用：直线 AB 的斜率反映了直线相对于 的倾斜程度. 　 不存在　 x 轴　 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 平均变化率与函数的单调性 若区间 I 是函数 y ＝ f （ x ）的定义域的子集，对任意 x1， x2∈ I 且 x1≠ x2，记 y1＝ f （ x1）， y2＝ f （ x2）， ＝ ，则： （1） y ＝ f （ x ）在区间 I 上是增函数的充要条件是 ＞ ⁠ 在区间 I 上恒成立； 　 0　 目录 数学·必修第一册（B版） （2） y ＝ f （ x ）在区间 I 上是减函数的充要条件是 ＜ ⁠ 在区间 I 上恒成立. 当 x1≠ x2时，称 ＝ 为函数 y ＝ f （ x ）在区间 [ x1， x2]（ x1＜ x2时）或[ x2， x1]（ x1＞ x2时）上的平均变化 率.通常称Δ x 为自变量的改变量，Δ y 为因变量的改变量. 　 0　 目录 数学·必修第一册（B版） 提醒　对函数平均变化率的几点说明：①函数 f （ x ）应在 x1， x2处有定义；② x2在 x1附近，Δ x ＝ x2－ x1≠0，但Δ x 可正 可负；③注意变量的对应，若Δ x ＝ x2－ x1，则Δ y ＝ f （ x2） － f （ x1），而不是Δ y ＝ f （ x1）－ f （ x2）；④平均变化率可 正可负，也可为零.但是，若函数在某区间上的平均变化率为 0，不能说明该函数在此区间上的函数值都相等.比如， f （ x ）＝ x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但 f （ x ）＝ x2在[－2，2]上的图象先下降后上升，值域是[0，4]；⑤平均 变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均 变化率的“视觉化”. 目录 数学·必修第一册（B版） 利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是 “粗糙不精确的”.只有当Δ x ＝ x2－ x1无限变小时，这种量化才由“粗 糙”逼近“精确”. 目录 数学·必修第一册（B版） 【想一想】 1. 函数的平均变化率是固定不变的吗？ 提示：不一定.当 x1取定值后，Δ x 取不同的数值时，函数的平均变 化率不一定相同；当Δ x 取定值后， x1取不同的数值时，函数的平均 变化率也不一定相同.比如， f （ x ）＝ x2在区间[0，2]和[2，4]上都 有Δ x ＝2，但Δ y 分别为4－0＝4和16－4＝12. 事实上，根据下面将要学习的平均变化率的几何意义可知，曲线上 任意不同两点间连线的斜率一般不相等，即一般情况下函数的平均 变化率是不相同的. 2. 如果 ＝0在 I 上恒成立，那么函数 f （ x ）有什么特点？ 提示：函数 f （ x ）是常数函数. 目录 数学·必修第一册（B版） 1. 已知 f （ x ）＝3 x2＋5，则自变量 x 从0.1到0.2的平均变化率为 （　　） A. 0.3 B. 0.9 C. 0.6 D. 1.2 解析：　Δ y ＝ f （0.2）－ f （0.1）＝0.12＋5－0.03－5＝0.09，可 得平均变化率 ＝ ＝0.9. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 函数 y ＝ f （ x ）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小 值、最大值分别是 ， ⁠. 3. 已知过点 P （－2， m ）和 Q （ m ，4）的直线的斜率等于1，求 m 的值. 解：由题意得 ＝1，解得 m ＝1. －1　 2　 目录 数学·必修第一册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 平均变化率 角度1　直线的斜率公式及应用 【例1】　（1）已知直线 l 过点 M （ m ＋1， m －1）， N （2 m ，1）. 当 m 为何值时，直线 l 的斜率是1？ 解：因为直线 l 的斜率是1， 所以 ＝1，即 ＝1， 解得 m ＝ . 目录 数学·必修第一册（B版） （2）已知三点 A （ a ，2）， B （3，7）， C （－2，－9 a ）在同一条 直线上，求实数 a 的值. 解：∵ A ， B ， C 三点共线，且3≠－2， ∴ BC ， AB 的斜率都存在，且 kAB ＝ kBC . 又∵ kAB ＝ ＝ ， kBC ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， 解得 a ＝2或 a ＝ . 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 （1）运用公式的前提条件是“ x1≠ x2”，即直线不与 x 轴垂直，因为 当直线与 x 轴垂直时，斜率是不存在的； （2）斜率公式与两点 P1， P2的先后顺序无关，也就是说公式中的 x1 与 x2， y1与 y2可以同时交换位置. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 1. 已知经过两点（5， m ）和（2，8）的直线的斜率大于1，则 m 的取 值范围是（　　） A. （2，8） B. （8，＋∞） C. （11，＋∞） D. （－∞，11） 解析：　由题意得 ＞1，解得 m ＞11.故选C. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 若 A （3，1）， B （－2， k ）， C （8，1）三点能构成三角形，则 实数 k 的取值范围为 　　 　　. （－∞，1）∪（1，＋∞） 解析：因为 A ， B ， C 三点能构成三角形，所以 A ， B ， C 三点不共 线，所以 kAB ≠ kAC . 即 ≠ ，因此 k －1≠0，解得 k ≠1. 故实数 k 的取值范围为（－∞，1）∪（1，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（B版） 角度2　平均变化率的计算 【例2】　一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温 度为 t ℃时，边长变为10（1＋ at ）cm， a 为常数.试求铁板面积对温度 的平均膨胀率. 解：设温度的增量为Δ t ，则铁板面积 S 的增量为： Δ S ＝102[1＋ a （ t ＋Δ t ）]2－102（1＋ at ）2＝200（ a ＋ a2 t ）Δ t ＋ 100 a2（Δ t ）2，所以平均膨胀率 ＝200（ a ＋ a2 t ）＋100 a2Δ t . 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 　　求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清 自变量的增量Δ x 与函数值的增量Δ y ，求平均变化率的主要步骤是： 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从 路灯在地面上的射影点 C 处沿直线匀速离开路灯. （1）求身影的长度 y 与人距路灯的射影点 C 的距离 x 之间的关系式； 解：如图所示，由题意知人从 C 点运动到 B 点的距离为 x m， AB 为身影长度， AB 的长度 为 y m，由于 CD ∥ BE ，则 ＝ ＝ ，所以 y ＝0.25 x . 目录 数学·必修第一册（B版） （2）求人离开路灯10 s内身影长度 y 关于时间 t 的平均变化率. 解：84 m/min＝1.4 m/s，则 y 关于 t 的函数关系式为 y ＝ 0.25×1.4 t ＝0.35 t ，所以10 s内平均变化率 ＝ ＝0.35 （m/s）， 即此人离开路灯10 s内身影长度 y 关于时间 t 的平均变化率为0.35 m/s. 目录 数学·必修第一册（B版） 题型二 利用平均变化率证明函数的单调性 【例3】　若函数 y ＝ f （ x ）是其定义域的子集 I 上的增函数且 f （ x ） ＞0，求证： g （ x ）＝ 在 I 上为减函数. 目录 数学·必修第一册（B版） 证明：任取 x1， x2∈ I 且 x2＞ x1， 则Δ x ＝ x2－ x1＞0，Δ y ＝ f （ x2）－ f （ x1）， ∵函数 y ＝ f （ x ）是其定义域的子集 I 上的增函数， ∴Δ y ＞0， ＞0， ∴Δ g ＝ g （ x2）－ g （ x1）＝ － ＝ . 又∵ f （ x ）＞0，∴ f （ x1） f （ x2）＞0且 f （ x1）－ f （ x2）＜0， ∴Δ g ＜0，∴ ＜0，故 g （ x ）＝ 在 I 上为减函数. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 1. y ＝ f （ x ）在 I 上是增函数的充要条件是 ＞0在 I 上恒成立. 2. y ＝ f （ x ）在 I 上是减函数的充要条件是 ＜0在 I 上恒成立. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 已知函数 f （ x ）＝1－ ， x ∈[3，5]，判断函数 f （ x ）的单调性， 并证明. 解：由于 y ＝ x ＋2在[3，5]上是增函数，且恒大于零，因此， f （ x ） ＝1－ 在[3，5]上为增函数. 证明过程如下： 任取 x1， x2∈[3，5]且 x1＜ x2， 即Δ x ＝ x2－ x1＞0， 目录 数学·必修第一册（B版） 则Δ y ＝ f （ x2）－ f （ x1）＝1－ － ＝ － ＝ . ∵（ x1＋2）（ x2＋2）＞0， ∴Δ y ＞0，∴ ＞0， 故函数 f （ x ）在[3，5]上是增函数. 目录 数学·必修第一册（B版） 题型三 求函数的最值 角度1　图象法求函数的最值 【例4】　已知函数 f （ x ）＝求函数 f （ x ）的 最大值和最小值. 目录 数学·必修第一册（B版） 解：作出 f （ x ）的图象如图.由图象可知，当 x ＝2 时， f （ x ）取最大值为2； 当 x ＝ 时， f （ x ）取最小值为－ . 所以 f （ x ）的最大值为2，最小值为－ . 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 用图象法求最值的3个步骤 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 函数 y ＝｜ x ＋1｜－｜2－ x ｜的最大值是（　　） A. 3 B. －3 C. 5 D. －2 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：A　由题意可知 y ＝｜ x ＋1｜－｜2－ x ｜＝ 画出函数图象即可得最大值为3.故选A. 目录 数学·必修第一册（B版） 角度2　利用单调性求函数的最值 【例5】　已知函数 f （ x ）＝ x ＋ . （1）证明： f （ x ）在（1，＋∞）内是增函数； 目录 数学·必修第一册（B版） 解：证明：任取 x1， x2∈（1，＋∞），且 x1≠ x2， 则 ＝ ＝ ＝1－ . 由 x1， x2∈（1，＋∞）知 x1 x2＞1， ＜1，1－ ＞0， ∴ ＞0，故 f （ x ）在（1，＋∞）内是增函数. 目录 数学·必修第一册（B版） （2）求 f （ x ）在[2，4]上的最值. 解：由（1）可知 f （ x ）在[2，4]上是增函数， ∴当 x ∈[2，4]时， f （2）≤ f （ x ）≤ f （4）. 又 f （2）＝2＋ ＝ ， f （4）＝4＋ ＝ ， ∴ f （ x ）在[2，4]上的最大值为 . 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 函数的最值与单调性的关系 （1）如果函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ]上是增函数，在区间[ b ， c ）上是减函数，则函数 y ＝ f （ x ）， x ∈（ a ， c ）在 x ＝ b 处 有最大值 f （ b ）； （2）如果函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ]上是减函数，在区间[ b ， c ）上是增函数，则函数 y ＝ f （ x ）， x ∈（ a ， c ）在 x ＝ b 处 有最小值 f （ b ）； （3）如果函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上是增（减）函数，则 在区间[ a ， b ]的左、右端点处分别取得最小（大）值、最 大（小）值. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 1. 设定义在R上的函数 f （ x ）＝ x ｜ x ｜，则 f （ x ）（　　） A. 只有最大值 B. 只有最小值 C. 既有最大值，又有最小值 D. 既无最大值，又无最小值 解析：　 f （ x ）＝ x ｜ x ｜＝作出 f （ x ）的图象如图所示，可知 f （ x ）既无最大值又无 最小值.故选D. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 已知函数 f （ x ）是定义在区间[－1，3]上的减函数，且函数 f （ x ）的图象经过点 P （－1，2）， Q （3，－4），则该函数的值 域是 ⁠. 解析：∵ f （ x ）的图象经过点 P （－1，2）， Q （3，－4）， ∴ f （－1）＝2， f （3）＝－4. 又∵ f （ x ）在定义域[－1，3]上为减函数，∴该函数的值域是[－ 4，2]. [－4，2]　 目录 数学·必修第一册（B版） 1. 直线 l 经过原点和点（－1，1），则 l 的斜率为（　　） A. 0 B. 1 C. －1 D. 不存在 解析：　因为直线 l 经过原点和点（－1，1），所以 l 的斜率是 ＝－1.故选C. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 函数 f （ x ）在[－2，＋∞）上的图象如图所示，则此函数的最大 值、最小值分别为（　　） A. 3，0 B. 3，1 C. 3，无最小值 D. 3，－2 解析：　观察题中图象可知，图象的最高点坐标是（0，3），从 而其最大值是3；图象无最低点，即该函数不存在最小值.故选C. 目录 数学·必修第一册（B版） 3. 若函数 f （ x ）＝ x2－2 x ， x ∈[－1，4]，则 f （ x ）的值域为（　　） A. [－1，3] B. [－1，16] C. [－1，8] D. [3，8] 解析：　∵ f （ x ）＝（ x －1）2－1，∴函数 y ＝ f （ x ）在区间[－ 1，1）上单调递减，在区间（1，4]上单调递增，∴ f （ x ）min＝ f （1）＝－1，∵ f （－1）＝3， f （4）＝8，∴ f （ x ）max＝ f （4） ＝8.因此，函数 y ＝ f （ x ）在区间[－1，4]上的值域为[－1，8].故 选C. 目录 数学·必修第一册（B版） 4. （多选）下列关于函数 y ＝ ax ＋1， x ∈[0，2]的说法正确的是 （　　） A. 当 a ＜0时，此函数的最大值为1，最小值为2 a ＋1 B. 当 a ＜0时，此函数的最大值为2 a ＋1，最小值为1 C. 当 a ＞0时，此函数的最大值为1，最小值为2 a ＋1 D. 当 a ＞0时，此函数的最大值为2 a ＋1，最小值为1 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　当 a ＜0时，函数 y ＝ ax ＋1在区间[0，2]上单调递减， 当 x ＝0时，函数取得最大值为1；当 x ＝2时，函数取得最小值为2 a ＋1.当 a ＞0时，函数 y ＝ ax ＋1在区间[0，2]上单调递增，当 x ＝0 时，函数取得最小值为1，当 x ＝2时，函数取得最大值为2 a ＋1.故 选A、D. 目录 数学·必修第一册（B版） 5. 汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的变化规律如图所示，在时间段 [ t0， t1]，[ t1， t2]，[ t2， t3]内的平均速度分别是 ， ， ，则 三者由小到大的关系为 ⁠. ＜ ＜ 　 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：∵ ＝ ＝ kOA ， ＝ ＝ kAB ， ＝ ＝ kBC ，由题图得 kOA ＜ kAB ＜ kBC ，∴ ＜ ＜ . 目录 数学·必修第一册（B版） 谢 谢 观 看！ $