第1章 反比例函数 单元测试卷2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 苏科版九年级上册《反比例函数》单元基础卷，以真实情境与分层设计为特色，覆盖概念、性质及跨学科应用，适配单元复习，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题24分|反比例函数图象上点的坐标、k值求解等基础概念|如第2题由图象过点求k值，考查概念理解| |填空题|10题30分|性质（增减性）与几何意义（矩形面积）|如第11题判断k的取值范围，第12题利用几何意义求面积| |解答题|10题96分|基础应用、跨学科综合及创新探究|如第27题结合杆秤杠杆原理，第28题双曲面反射镜检测，突出模型意识与推理能力|

第1章《反比例函数》基础卷-2026-2027学年苏科版数学九年级上册单元测试卷 一、选择题(共8题；共24分) 1．下列各点在函数的图象上的是(　　) A．(0，-1) B．(1，0) C．(-2，-1) D．(1，2) 2．反比例函数图象过（-1，-2），则k的值为（　　） A．3 B．1 C．2 D．-3 3．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知反比例函数的图象与线段BC有公共点，其中点B在y轴上，BC//x轴，点A是x轴上一点，连结AB、AC，若△ABC的面积为3，则k的值可能为（　　） A．8 B．7 C．6.5 D．5 5．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线y1=kx（k<0）与双曲线交于A、B两点，AC⊥x轴于点C，连结BC交y轴于点D，则△BOD的面积为（　　） A． B． C．2 D．3 7．汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（　　） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 8．如图，已知矩形的顶点，，，若反比例函数的图象将矩形边界上的整点（含矩形顶点）恰好分成了整点数相等的两部分，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题(共10题；共30分) 9．若反比例函数 的图象分布在二、四象限，请写出一个符合条件的k的值　 　． 10．点在反比例函数的图象上，则时，的值为　 　． 11．反比例函数的图象上每一支曲线，函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是　 　。 12．如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为　 　． 13．某品牌新能源汽车搭载了一块容量为 100kW·h(千瓦时)的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率 P(单位：KW)与充满电所需的时间 t(单位：h)满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的 1.5 倍，则充满电所需的时间将缩短　 　h(用含 t 的代数式表示). 14．在生态学中，某种濒危鸟类的有效栖息地面积S（平方千米)与其种群密度a（只/平方千米)近似满足反比例关系.研究发现，当有效栖息地为20平方千米时，密度为25只/平方千米.若该区域内的鸟类总数保持稳定（无迁入迁出)，当因森林砍伐导致有效栖息地缩减至5平方千米时，种群密度a=　 　只/平方千米. 15．如图，正方形的顶点都在正方形网格的格点处，已知点，若反比例函数的图象与正方形有公共点（包括边界），则的整数值有　 　个． 16．如图1，在盛有某种液体的烧杯上方有一弹簧测力计，该测力计下方悬挂着一个质地均匀的圆柱体金属块，一开始金属块的下底面恰与烧杯口齐平.随着金属块匀速下降，弹簧测力计的示数(单位：N)与金属块下降的高度x(单位：cm)之间的关系如图2所示.已知当该金属块刚好被液体完全浸没时，金属块下底面距烧杯底部的高度恰好是烧杯高度的一半(烧杯底部厚度不计)，则该烧杯的高度　 　 (知识小贴士：①金属块所受浮力与其排开液体的体积成正比；②当金属块在液面上方时， ；③当金属块浸入液体后，．) 17．如图，在平面直角坐标系中，点、分别在反比例函数、的图象上，连接轴，点、在轴上，且，连接、，则的面积为　 　． 18．如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高　 　． 三、解答题(共10题；共96分) 19．已知y与x成反比例，且当时，． （1）求函数的关系式； （2）当时，y的值是多少？ 20．已知反比例函数，且当时，． （1）求a的值； （2）在图中画出该函数图象． 21．去学校食堂就餐，经常会在一个买菜窗口前等待. 经调查发现，同学的舒适度指数y与等待时间x（分钟)之间存在如下的关系： 求： （1）若等待时间x=5分钟时，求舒适度y的值； （2）舒适度指数不低于10时，同学才会感到舒适. 函数 的图象如图（x>0)，请根据图象说明，作为食堂的管理员，让每个在窗口买菜的同学最多等待多少时间? 22．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．验光师测得几组关于近视眼镜的度数与镜片焦距的对应数据如下表： 镜片焦距x（米） 近视眼镜的度数（度） （1）根据表格数据，求与的函数关系式； （2）小红原来佩戴度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变为米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 23．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点A的坐标为（﹣2，1），点B的坐标为（，m）． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）根据图象写出当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围． 24．如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． （1）求v与t的函数表达式； （2）已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围． 25．某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． （1）把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； （2）实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； （3）如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 26．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为6，轴，垂足为点，点为双曲线上点右侧的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图，过点作于点，若，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点是射线上一点，若的面积为3，求点的坐标． 27．综合与实践 素材：图1是杆秤构造示意图，秤纽A在秤纽B的左侧． 图2是杆秤称重示意图，当秤杆水平平衡时，根据杠杆平衡条件可得，其中x为秤砣质量，y为秤纽与秤砣之间的水平距离，m为秤盘和物体的总质量，n为秤纽与秤盘之间的水平距离． 根据以上素材解决如下问题： （1）当，时，求y（单位：）关于x（单位：）的函数解析式； （2）当m为定值时，学习小组选取不同质量的秤砣称重．提起秤纽A，根据选用的x的大小，得到对应的y值，记录这些有序数对，绘制y关于x的函数图象；提起秤纽B，重复上述操作．如图3，将两个函数图象绘制在同一平面直角坐标系中，则____（填序号）是提起秤纽B时得到的图象； （3）甲、乙小组分别提起秤纽A，B，选取同一个磨损了的秤砣对同一物体称重． 当时，哪个小组得到的y值误差更大？ 甲组的误差计算如下： 记为秤纽A与秤盘之间的水平距离，为秤砣磨损后的质量，与为磨损前后秤纽与秤砣的水平距离，依题意可得： ，，所以甲组的误差为； 请计算乙组的误差，并比较两组误差大小，得出结论． 28．下面是某校九年级数学兴趣小组关于双曲面反射镜变形检测系统的设计研究过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 双曲面反射镜变形检测系统的设计 问题提出 某精密光学设备使用一块双曲面反射镜（如右图所示），其理论设计形状为反比例函数曲线型．在实际使用中，反射镜可能因应力，温度或材料老化而发生微小变形，影响光学性能．如何设计一套双曲面反射镜变形检测系统，用来快速检测出反射镜是否发生形变？ 查阅资料 兴趣小组通过查阅资料，发现了反比例函数如下的性质．如图1，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，连接与反比例函数的图象相交于点与，则恒有成立．（任务三完成此性质的证明） 检测系统设计 如图1，利用上述性质作为判断双曲面镜是否变形的依据，兴趣小组设计了一个检测系统，其工作原理如下： 第一步：将反射镜安装在平面直角坐标系中，使其理论中心与坐标原点重合； 第二步：在轴和轴上安装可移动激光测距仪和．激光测距仪可分别沿轴正半轴和轴正半轴上移动，激光从发出，经反射镜上点反射原路返回点；同时，激光从发出，经反射镜上点反射原路返回点．系统通过测量往返时间计算距离和，在移动过程中保持点四点共线（点，点不重合），进行多组测量并采集数据比对． 　 学习任务 任务一 （1）兴趣小组利用以上检测系统对一块双曲面反射镜进行检测，共选取了5个不同的激光位置，测得的与长度如右表所示．若允许测量误差为，请根据表中数据判断该反射镜是否存在明显变形？请直接写出结果． （） （） 4.031 4.030 5.099 5.100 6.083 6.082 7.071 7.073 8.062 8.061 任务二 （2）现检测一块理论设计形状为反比例函数的双曲面反射镜（如图2）．在调节仪器过程中，先固定激光测距仪，再适当地移动调节激光测距仪的位置．其中点的坐标为，点的坐标为．为保证检测系统能够测量出和的距离，则取值范围为 ▲ ． 任务三 （3）请继续完成以下证明过程，或者你也可以选择其它方法完成证明．性质的证明．如图3，过点分别向轴和轴作垂线段和，过点分别向轴和轴作垂线段和，连接．由反比例函数的几何意义，得： ▲ （用含的代数式填空）， ▲ （选“＜”，“=”或“＞”填空）， …… 任务四 （4）请你从操作性、有效性等方面对以上检测系统进行评估，列举至少两点该系统的优点或不足，并简要说明理由． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】（答案不唯一） 10．【答案】4 11．【答案】k＜3 12．【答案】3 13．【答案】 14．【答案】100 15．【答案】9 16．【答案】24 17．【答案】6 18．【答案】3 19．【答案】（1）解：设反比例函数解析式为：（k≠0）， 将，代入，得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为， ∴当时，， 答：当时，y的值是8. 20．【答案】（1）解：把，代入得，， 解得； （2）解：由（1）知反比例函数的解析式为， ∴当时，， 描点，连线，则该函数图象如图所示． 21．【答案】（1）解：由题意可得： 当x=5时，舒适度 （2）解：舒适度指数不低于10时，由图象y≥10时， 0<x≤10 所以作为食堂的管理员，让每个在窗口买菜的同学最多等待10分钟. 22．【答案】（1）解：设与的函数关系式为 当时，，代入： 与的函数关系式为； （2）解：由（1）得与的函数关系式为 当时，（度） （度） 小红的近视眼镜度数降低了度． 23．【答案】解：（1）把A（﹣2，1）代入y＝得 k＝﹣2×1＝﹣2， ∴反比例函数解析式为y＝﹣， 把B（，m）代入y＝﹣得m＝﹣4， ∴B（，﹣4）， 把A（﹣2，1）、B（，﹣4）分别代入y＝ax+b得 ，解得， 所以一次函数解析式为y＝﹣2x﹣3； （2）当x＝0时，y＝﹣2x﹣3＝﹣3，则D（0，﹣3）， ∴OD=3， ， ∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝×3×2+×3×＝ ； （3）由图象可知，一次函数的值小于反比例函数的值时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，此时﹣2＜x＜0或x＞， ∴x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞． 24．【答案】（1）解：由题意可设， 将代入得，， ； 答：与的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， 小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围为． 25．【答案】（1）解：由题可知，设（），当时，，代入得， ∴k＝60000， ∴ （2）解：已知且，∵， ∴随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴ （3）解：由已知得，∴， ∴． 答：容器原来的底面积为75 26．【答案】（1）解：当时，， 解得：， 点的坐标为． 将代入得，解得， 反比例函数表达式为； （2）解： 设，则， ， 将代入得： ， 解得：（舍），， ； （3）解：法一：如图所示，过点作轴交的延长线于点， 设的表达式为， 代入、得 ，解得：， 的表达式为； 设点坐标，则点坐标， ， 的面积为3， ， ， 解得：； 将代入得：， 所以点坐标为：； 由中点坐标公式可得另外一个点坐标为； 法二：如图所示，过点作的平行线，过点作轴的平行线，两直线交于点， 与同底等高， 的面积为3， ， ， ， ， ， 设的表达式为， 代入、得， 解得， 的表达式为， 设表达式为， 将代入得：， 表达式为， 联立得，解得， ∴点坐标为：； 由中点坐标公式可得另外一个点坐标为． 27．【答案】（1）解：由题意，代入，得， 所以y关于x的函数解析式为 （2）① （3）解：记为秤纽B与秤盘之间的水平距离，与为磨损前后平衡时秤纽B与秤砣的水平距离. 依题意可得：，， 所以乙组的误差为； ∵，由反比例函数在第一象限的增减性， 可得， ∴. ∵， ∴， ∴， 即乙组的误差更大 28．【答案】解：（1）反射镜没有发生明显变形； （2）； （3），； （4）解：优点： ①检测方法简单，只需测量两个距离并比较． ②可通过调节激光发射器，的位置进行多次重复检测，提高可靠性． ③无需知道反射镜的具体参数，因为对任意该性质均成立． ④非接触式测量，避免对反射镜表面造成损伤． 缺点：如果变形后的曲面仍然满足反比例函数（仅值改变），则无法检测；该方法只能判断是否偏离反比例函数形状，不能确定变形的具体形式和程度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $