第2章《一元二次方程》章节复习题 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 《一元二次方程》章节复习卷，覆盖概念、解法、根的判别式与系数关系、实际应用，通过基础题与创新题梯度设计，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|5|二次项系数、根的判别式、倍根方程|基础概念辨析，创新“倍根方程”考查数学抽象| |填空题|5|一元二次方程定义、增长率问题、直角三角形边长|结合新能源汽车销量等时代情境，体现模型意识| |解答题|7|方程解法、利润问题、几何动点、高关联方程|分层设计，含纠错辨析（小明小强解法）、实际应用（薯片利润）、创新“高关联方程”，培养推理能力与应用意识|

第2章《一元二次方程》章节复习题 一、单选题 1．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 2．关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 3．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 4．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 5．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 7．近年来，国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，国内新能源汽车销量连续增长．某品牌新能源汽车2025年7月份销售量为25万台，9月份销售量为36万台，若该品牌新能源汽车8、9月份销售量的月平均增长率相同，设月平均增长率为，则根据题意可列方程为__________． 8．已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 9．已知，是关于的一元二次方程两个实根，且满足，则的值为_______． 10．已知直角三角形的两条边长分别是方程的两个根，则此三角形的斜边长是___________． 三、解答题 11．解方程： (1)； (2)． 12．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 13.小明与小强两位同学解方程的过程如下： 小明： 解：两边同除以， 得， 则． 小强： 解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． (1)你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”，若错误请在横线上打“×”； 小明________，小强________； (2)写出你的解答过程． 14.某超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低1元，每天销量会增加4袋． (1)若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ (2)该超市每天能否通过降低价格实现250元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 15.如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动． (1)经过几秒钟，点、之间的距离为？ (2)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 16.小高家有一块空地，空地上有一面长为的围墙，小高打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为的门，门不消耗木栏，设长为． (1)如图①，当时， ①____________（用含的代数式表示）； ②若围成的养蜂场面积为，求的长； (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到？并说明理由． 17.已知关于的一元二次方程（）与（）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则这两个方程是互为“高关联方程”．例如，方程与是互为“高关联方程”． (1)若关于的一元二次方程与是互为“高关联方程”，求的值及相同的根． (2)若关于的一元二次方程①与②是互为“高关联方程”，且，求，的值． 参考答案 一、单选题 1．C 原方程为， 将方程移项整理为一般形式得或， 整理后可得，二次项系数和一次项系数为或． 2．B 解：∵ 是一元二次方程 的根， ∴ 将 代入原方程得：， 解得 ， ∴ 原方程为 ， ， 解得方程的两个根为 ，. ∴ 方程的另一个根为 ． 3．A 解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为0，即， 解得； ∵原方程有实数根 ∴， 展开化简得， 解得， 综上，的取值范围是且． 4．A 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴由根与系数的关系得， 又∵， ∴，整理得：，解得：或， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， ， 当时，，此时方程无实数根，舍去； 当时，，符合题意， ∴的值为． 5．B 解：设方程的两个根分别为和，且．根据一元二次方程根与系数的关系可得： 由①得：，即． 将代入②得： 化简得：． 两边同乘（）得：． 二、填空题 6． 解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 7． 解：设月平均增长率为x，则8月销售量为万台，9月销售量为万台． 根据题意，9月销售量为36万台， ∴． 故答案为：． 8． 解：∵一元二次方程的两根为，，其中，， ， ∴，， ∴． 9．5 解：由一元二次方程根与系数的关系，得，， 由根的判别式，可知， 解得或， ∴， 解得或， ∵， ∴不符合题意， ∴ ． 10．或 解：∵， ∴和， ∴①方程的两根6和8为直角边；②较大根8为斜边，较小根6为直角边； 当长是8的边是直角边时，则斜边； 长是8的边也可是斜边． 故斜边长是或． 三、解答题 11．（1）解：移项，得， 两边同加上4，得， ， ， ，； （2）解：移项，得， 因式分解，得， ， ， ，． 12．（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得，， ∴的取值范围为； （2）解：∵，是原方程的两个实数根，， ∵k为正整数， ∴， ∴方程为， ∴． 13.（1）解：小明：没有考虑的情况，所以解法不正确； 小强：提取公因式时出现了错误，所以解法不正确． (2)解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 14.（1）解：设每袋薯片应降价元，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 又∵让利给消费者， ， 答：每袋薯片应降价5元； (2)不能实现每天250元的利润，理由如下： 设每袋薯片应降价元，根据题意得： ， 整理得：， ， ∴方程无实数解， ∴不能实现250元的利润． 15.（1）解：如图．过A作于E，过点P作于F， ∵，， ∴， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， 由题意，，，， 在中，，， 由得， ∴，（不合题意舍去）． 答：经过秒钟，点、之间的距离为； （2）解：假设存在t值，使得恰好平分，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴两个解都不符合题意， 故不存在某个时刻，使得恰好平分． 16.（1）①解：设的长度为， 四边形是矩形， ， 根据题意得，； ②解：围成的养蜂场面积为， 根据题意得，， 整理得，， 解得，，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 答：若围成的养蜂场面积为，则的长为米． (2)解：当时，养蜂场的面积不能达到， 理由如下： 设时，养蜂场的面积达到， 则， 解得，， ∴，即， ， 方程无实数解， 当时，养蜂场的面积不能达到． 17.（1）解： 因式分解：， 得． 方程1：， 方程2：， 由： 把代入 因式分解：， 根为． 两个方程只有唯一公共根，满足“有且只有一个相同根”． ，相同根为 （2）解：方程①：， 方程②：， ，即， 只有一个公共根，设公共根为 两式相减： 把代入： 将代入： 化简得 已知，故， 得． 则． 检验： 方程①：，根 方程②：，根 只有唯一公共根，符合题意． 学科网（北京）股份有限公司 $