精品解析：2026年山东省枣庄市薛城区第二十中学中考数学考前模拟试题

九年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分． 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数轴，实数的估值，对各选项的无理数进行估值，即可解答． 【详解】解：∵，，，， ∴点P表示的数可能是． 故选：B 2. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）和轴对称图形（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形）定义即可求出答案. 【详解】解：A．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B．图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； C．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D．图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意. 故选：B. 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，解题的关键在于熟练掌握相关定义. 3. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为： ． 故选：C． 4. 2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 【详解】解：． 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，二次根式的性质，幂的乘方，负整数幂．根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算正确，故此选项符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 6. 某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意，原计划每天生产个零件，实际每天生产个零件．总零件数为300个，原计划天数减去实际天数等于提前的2天． 【详解】解：设原计划每天生产个零件，则实际每天生产个零件． ∵原计划天数为，实际天数为，且提前2天完成任务， ∴． 故选：A． 7. 四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法求概率， 先列出表格，可得所有可能出现的结果，即可得出符合条件的结果，再根据概率公式计算即可. 【详解】解：列表如下： 第一次 第二次 火药 印刷术 造纸术 指南针 火药 （印刷术，火药） （造纸术，火药） （指南针，火药） 印刷术 （火药，印刷术） （造纸术，印刷术） （指南针，印刷术） 造纸术 （火药，造纸术） （印刷术，造纸术） （指南针，造纸术） 指南针 （火药，指南针） （印刷术，指南针） （造纸术，指南针） 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有6种，所以这两张卡片中有“指南针”的概率是. 故选：A. 8. 如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】通过垂直弦这一条件想到垂径定理得到，再利用勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解： 连接， ∵，且， ∴， 设圆的半径为R， ∵， 则在中，有即， 解得，即， 故选项D符合题意． 9. 如图，反比例函数的图象与一次函数图象交于点，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题以及一次函数图象与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：把点，代入得： ， 解得：，（舍去）， ∴点，， 观察函数图象发现：当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方， 则不等式的解集为：或． 故选：B． 10. 在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看做如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为，则的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据题意，设抛物线的解析式为，将点代入求出函数解析式，令，即可求解． 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得：， 由图可知， ， ， ， 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，满分15分，请将答案填在答题卡的相应位置． 11. 已知因式分解为，其中，，均为整数，则的值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】先通过变形将式子转化为含有相同公因式的形式，提取公因式后整理化简，再与给定的因式分解形式对比确定a、b、c的取值，最后代入代数式计算的值． 【详解】解： ， 对比，可得，，， 则． 12. 关于的方程有实数根，则的取值范围：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，二次根式有意义的条件，解一元一次方程，当时，原方程是一元一次方程，解方程可得方程有实数根；当时，原方程是一元二次方程，利用根的判别式求出k的取值范围，再根据二次根式有意义的条件进一步确定k的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：当时，原方程为，解得，有实数根； 当时，原方程为一元二次方程， 则， 解得， 又∵，即， ∴， ∴且． 综上，的取值范围为， 故答案为：． 13. 将点P先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点．若点P的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律：横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减，结合点的坐标进行计算即可． 【详解】解：因为点的坐标为， 根据题意，得点的坐标是即． 14. 如图，在四边形中，，点分别为上的动点，连接，当的周长最小时，的度数为________． 【答案】126 【解析】 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，由线段垂直平分线的性质得到，，从而得出，即当、、、四点共线时，周长最小，再根据三角形内角和定理以及外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 当、、、四点共线时，最小，即周长最小，如图， ， ， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，最短路径问题等知识，得出当、、、四点共线时，周长最小是解题关键． 15. 如图，已知，，,…，是x轴正半轴上的点，且，分别过点，，,…，作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，…，，作于点，作于点，…，依次连接，，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为．则＝ ______________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求出各点坐标，进而得到相关线段长度，再利用三角形面积公式求出每个三角形的面积，最后通过裂项相消法求出面积之和． 【详解】解：， ∴点，，,…，的坐标分别为， ，，…，， 又∵点，，，…，，在反比例函数的图象上， ∴点，，，…，，的坐标分别为， ，，…，，， ， ，，，…，， ， 即， 整理得：． 【点睛】通过各点坐标求出相关线段长度是解题的关键． 三、解答题：本大题共8小题，满分75分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据零指数幂、特殊角三角函数值、绝对值、负整数指数幂的运算法则分别计算每一项，再合并得到最终结果； （2）先通分，再将除法转化为乘法，对平方差多项式分解因式后约分，即可得到化简结果． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： 原式   ． 17. 已知平行四边形． （1）如图所示，请你用无刻度的直尺和圆规在 边上找一个点 F，使得点F到直线和直线的距离相等；（请保留作图痕迹，不写作法） （2）连接BF，若，且，请你求出平行四边形的面积． 【答案】（1） 方法一：点F即为所求： 方法二：点F即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、平行四边形的性质． （1）方法一：结合角平分线的性质，作的平分线，交于点F，则点F即为所求；方法二：以点 D为圆心，为半径作弧，交于点F，点F即为所求； （2）由平行四边形的性质可得且，由勾股定理得，由（1）可推出平分，则，可得，则，可得，进而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 在平行四边形中， 且， ∵， ∴， ∵， 由勾股定理，得 ， ∵ 点F到直线和的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 某小超市销售甲、乙两种品牌的水杯，这两种水杯的进价和售价如下表所示： 甲 乙 进价（元/个） 40 25 售价（元/个） 43 30 （1）该超市计划用1550元资金，购进两种水杯若干个，全部销售后可获利润210元．超市购进甲、乙两种水杯各多少个？ （2）这批两种水杯售罄后，该超市决定再次购买两种水杯，减少甲种水杯的购进数量，增加乙种水杯的购进数量．已知乙种水杯增加的数量是甲种水杯减少数量的2倍，而且用于再次购进这两种水杯的资金不超过1600元，该超市怎样进货，使第二批销售获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）超市购进甲种水杯个，乙种水杯个； （2）当超市购进甲种水杯15个，乙种水杯40个时，全部销售后获利最大．最大毛利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用及一次函数的性质的运用，解答本题时灵活运用一次函数的性质求解是关键． （1）设超市购进甲种水杯个，乙种水杯个，根据两种杯子的购买金额为1550元和全部销售后可获利润210元，建立方程组求出其解即可； （2）设甲种水杯减少，则乙种水杯增加个，表示出购买的总资金，由总资金部超过1600元建立不等式就可以求出的取值范围，再设销售后的总利润为元，表示出总利润与的关系式，由一次函数的性质就可以求出最大利润． 【小问1详解】 解：设超市购进甲种水杯个，乙种水杯个，由题意，得 ， 解得：， 答：超市购进甲种水杯个，乙种水杯个； 【小问2详解】 解：设甲种水杯减少，则乙种水杯增加个，由题意，得 ， 解得：． 设全部销售后获得的毛利润为万元，由题意，得 ， 随的增大而增大， 当时，． 答：当超市购进甲种水杯15个，乙种水杯40个时，全部销售后获利最大．最大毛利润为元． 19. 青少年的健康素质是全民族健康素质的基础，某校为了解学生参加体育锻炼的情况，从七、八、九年级学生中各随机抽取了该年级学生人数的，调查了他们平均每周参加体育锻炼的时长，并对这些数据进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． ．七、八年级学生平均每周参加体育锻炼时长数据的折线图如下： ．九年级学生平均每周参加体育锻炼的时长：，，，，，，，； ．七、八、九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 七年级 ， 八年级 九年级 根据所给信息，回答下列问题： （1）上述表格中： _______， _______， _______； （2）设七，八年级学生参加体育锻炼时长的方差分别是，，则_______（填“”或“”）； （3）请估计全校九年级所有学生中，参加体育锻炼的时长不少于小时的人数． 【答案】（1），， （2） （3）名 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可； （2）根据折线统计图得到各数据的波动大小即可解答； （3）先求得全校九年级的学生总人数，再利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：八年级学生平均每周参加体育锻炼时长的数据为：，，，，，，，，，； 中位数，众数， 九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的平均数， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由图可知，七年级学生平均每周参加体育锻炼时长的数据波动较大，八年级学生平均每周参加体育锻炼时长的数据波动较小， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：全校九年级的学生总人数为（人）， （人）， 答：估计全校九年级所有学生中，共有名学生参加体育锻炼的时长不少于小时． 【点睛】本题考查拆统计图，统计图表的综合，涉及平均数、中位数及众数，方差，样本估计总体等知识，读懂图表是解题的关键． 20. 如图，为的直径，C、D为上两点，且位于的两侧，连接、并延长交于点F，过点C作于点E，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先连接半径，利用圆周角定理得出，结合已知推出，进而得到，再由传递得到，最后根据是的半径，依据切线判定定理即可证明是的切线； （2）先连接、，由得，再由得，由同弧所对圆周角相等得，从而推出，得到，再由利用等腰三角形三线合一得出，接着由是直径得，通过同角的余角相等推出，然后在中利用和求出，再在中利用求出，进而得到，最后通过即可计算得出的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接，则， ∵， ∴， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ∴在Rt中，， ， ， ∴在Rt中，， ， ， ． 21. 2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”β为．（参考数据：取，取） （1）如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”α为，时，求眼睛A与屏幕的距离； （2）如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，根据求解即可； （2）延长交于点M，则，，求解，在中，根据求出，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 故眼睛A与屏幕的距离约为． 【小问2详解】 解：延长交于点M，则，， ， ， 在中，，， ， ． 故桌面到地面的距离约为． 22. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． （1）当时，比较和的大小，并说明理由； （2）记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】（1），理由如下： 当时，抛物线为， ∵，是抛物线上的点， ∴，， ∴； （2）或或 【解析】 【分析】（1）代入计算即可求解； （2）分和两种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：抛物线对称轴为， ∵过抛物线上的点作直线轴，， ∴直线与抛物线的另一个交点为点P关于的对称点， 若，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ①若，则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意， ②若，则， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意； ③若，则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小 当时，y随x的增大而增大， 设点关于的对称点为， 则， ∴， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意； 若，则当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 设点关于的对称点为， ∵， ∴， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意， 综上，a的取值范围是或或． 23. 我们把对角互补且存在一组对边相等的四边形称为对等补四边形，此时该四边形的另一组对边平行． 例如图1所示，若，，则称四边形为对等补四边形，且有． （1）以下图形属于对等补四边形的有__________（填序号） ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 （2）如图2，四边形为对等补四边形（），小明发现当时，四边形恰好为矩形，请你帮他证明这一结论； （3）如图3，四边形为对等补四边形，，，对角线平分角，求线段AC的长度 （4）在问题（3）的条件下，平面内存在点E使得四边形为对等补四边形，线段与线段交于点Q，请直接写出线段的长． 【答案】（1）②④ （2）见解析 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据对等补四边形的定义进行求解即可； （2）根据有三个角为直角的四边形是矩形进行证明即可； （3）延长至点E，使，连接，根据等腰三角形的性质和判定求出，证明，得出，过点A作于点H，根据等腰三角形的性质得出，先根据勾股定理求出， 再求出； （4）分两种情况当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：①平行四边形的对角相等，但不一定互补，所以平行四边形不是对等补四边形； ②矩形符合对等补四边形的定义，是对等补四边形； ③菱形的对角相等，但不一定互补，所以菱形不是对等补四边形； ④正方形符合对等补四边形的定义，是对等补四边形； 综上，是对等补四边形的是②④； 【小问2详解】 证明：∵四边形是对等补四边形，且， ∴，且， ∵， ∴， 又， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问3详解】 解：延长至点E，使，连接， ∵四边形是对等补四边形，且， ∴，． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 过点A作于点H， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 【小问4详解】 解：①当时，如图所示： 根据解析（3）可得：，， ∴此时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∴； ②当时，连接，过点A作于点H，过点B作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据解析（3）可知：，， ∴， ∵， ∴A、B、E、C四点共圆， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴A、B、C、D四点共圆， 即A、B、C、D四点在的外接圆上， ∵A、B、E、C四点共圆，即A、B、E、C四点在的外接圆上， ∴A、B、E、C、D五个点都在的外接圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分． 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A. B. C. D. 7. 四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 9. 如图，反比例函数的图象与一次函数图象交于点，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看做如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为，则的范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，满分15分，请将答案填在答题卡的相应位置． 11. 已知因式分解为，其中，，均为整数，则的值为______． 12. 关于的方程有实数根，则的取值范围：________． 13. 将点P先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点．若点P的坐标为，则点的坐标是______． 14. 如图，在四边形中，，点分别为上的动点，连接，当的周长最小时，的度数为________． 15. 如图，已知，，,…，是x轴正半轴上的点，且，分别过点，，,…，作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，…，，作于点，作于点，…，依次连接，，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为．则＝ ______________________ ． 三、解答题：本大题共8小题，满分75分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 已知平行四边形． （1）如图所示，请你用无刻度的直尺和圆规在 边上找一个点 F，使得点F到直线和直线的距离相等；（请保留作图痕迹，不写作法） （2）连接BF，若，且，请你求出平行四边形的面积． 18. 某小超市销售甲、乙两种品牌的水杯，这两种水杯的进价和售价如下表所示： 甲 乙 进价（元/个） 40 25 售价（元/个） 43 30 （1）该超市计划用1550元资金，购进两种水杯若干个，全部销售后可获利润210元．超市购进甲、乙两种水杯各多少个？ （2）这批两种水杯售罄后，该超市决定再次购买两种水杯，减少甲种水杯的购进数量，增加乙种水杯的购进数量．已知乙种水杯增加的数量是甲种水杯减少数量的2倍，而且用于再次购进这两种水杯的资金不超过1600元，该超市怎样进货，使第二批销售获得的利润最大？并求出最大利润． 19. 青少年的健康素质是全民族健康素质的基础，某校为了解学生参加体育锻炼的情况，从七、八、九年级学生中各随机抽取了该年级学生人数的，调查了他们平均每周参加体育锻炼的时长，并对这些数据进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． ．七、八年级学生平均每周参加体育锻炼时长数据的折线图如下： ．九年级学生平均每周参加体育锻炼的时长：，，，，，，，； ．七、八、九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 七年级 ， 八年级 九年级 根据所给信息，回答下列问题： （1）上述表格中： _______， _______， _______； （2）设七，八年级学生参加体育锻炼时长的方差分别是，，则_______（填“”或“”）； （3）请估计全校九年级所有学生中，参加体育锻炼的时长不少于小时的人数． 20. 如图，为的直径，C、D为上两点，且位于的两侧，连接、并延长交于点F，过点C作于点E，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”β为．（参考数据：取，取） （1）如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”α为，时，求眼睛A与屏幕的距离； （2）如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 22. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． （1）当时，比较和的大小，并说明理由； （2）记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 23. 我们把对角互补且存在一组对边相等的四边形称为对等补四边形，此时该四边形的另一组对边平行． 例如图1所示，若，，则称四边形为对等补四边形，且有． （1）以下图形属于对等补四边形的有__________（填序号） ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 （2）如图2，四边形为对等补四边形（），小明发现当时，四边形恰好为矩形，请你帮他证明这一结论； （3）如图3，四边形为对等补四边形，，，对角线平分角，求线段AC的长度 （4）在问题（3）的条件下，平面内存在点E使得四边形为对等补四边形，线段与线段交于点Q，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $