精品解析：2025年山东省威海市威海火炬高技术产业开发区中考三模数学试题

初四5月数学模拟试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功左图是一块雕刻印章的材料，从左面看到的平面图形为（ ） A. B. C. D. 5. 随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 样本容量是 B. 平均数是 C. 中位数是 D. 的权数是 6. 下列命题正确的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 面积之比为的两个相似三角形的周长之比也是 D. 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 7. 定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（ ） A. B. C. D. 8. 直线与直线之间的距离是（　　） A. 2 B. 6 C. D. 9. 如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果） 11. 因式分解x3－9x=__________． 12. 计算：=_________． 13. 如图，扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，C为OB边上一点，将△AOC沿AC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上的点D，则阴影部分面积为___________ 14. 如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于______． 15. 如图，直角坐标系中，，，，…，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，8，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为________． 16. 如图①，在菱形中，，点E是的中点，点P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度之和为y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点H的坐标为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组：，并把解集表示在数轴上 18. “一字一世界，一书一天堂.”读书能丰富人的精神世界，启智润心，要让读书成为一种习惯，成为一种有品质的生活方式.为了解成年人的阅读情况，某社区进行了家庭成年人阅读情况调查，社区工作人员随机抽取了40户家庭进行问卷调查，将调查结果分为A、之内、B、、C、、D、以上四个等级，下面是部分统计结果. 阅读时间在1.0~2.0h范围内的数据如下： 1.3，1.5，1.2，1.7，1.3，1.1，1.5，1.4，1.3，1.8， 1.7，1.2，1.3，1.0，1.3，1.4，1.5，1.6，1.2，1.9 等级 阅读时间/h 频数 A 16 B a C b D 4 合计 40 请结合以上信息解答下列问题： （1）______，______； （2）B组数据的众数是______，中位数是______； （3）统计图中C组对应扇形的圆心角为______度； （4）该社区宣传工作人员有2男1女，要从中随机选2人参加阅读宣传活动，请用画树状图法或列表法求恰好选中“1男1女”的概率. 19. 在《测量物体的高度》的综合实践课上，王老师先带领同学们制作简易测角仪，随后再用所制作的测角仪测量物体的高度． （1）小明同学提出如下方法制作测角仪（图1），以较大量角器为主要器材进行设计，在经过中心点处安置一根可绕点旋转的空心直管，眼睛可通过空心管的端瞄准目标物进行测量，此时的方向即为视线的方向，原理是_____________．（请从下列选项中选择正确选项的序号填入：①两点之间线段最短；②两点确定一条直线；③两条直线相交有且只有一个交点．） （2）在量角器的中心点处悬挂重锤，由物理知识可知只要重锤悬挂线与线重合，则即为水平线．此时读出角的度数，就是所测目标的仰角．原理是______________．（请从下列选项中选择正确选项的序号填入：①对顶角相等；②直角三角形的两个锐角互余；③两直线平行，内错角相等．）通过这个方式可得到测量目标的仰角或俯角，为测量物体的高度进行准备． （3）如图，某高楼顶部有一信号发射塔（图2），小明在矩形建筑物的，两点处测得该塔顶端仰角分别为，，矩形建筑物高度m．计算该信号塔顶端到地面的高度．（参考数据：，，，，，）． 20. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 21. 如图，以矩形的对称中心O为原点建立平面直角坐标系，各边与x轴、y轴交于点E，N，F，M，，反比例函数的图像与矩形的边分别交于点P，Q，且，直线经过P，Q两点． （1）请分别求出直线l和反比例函数的表达式； （2）连接． ①求证：； ②线段与反比例函数图像是否有公共点，如有，请求出公共点的坐标；若没有，请说明理由． 22. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，E为CD延长线上一点，过E点作⊙O的切线，切点为G，连接AG交CD于F点． （1）求证：EF＝EG； （2）若FG2＝FD•FE，试判断AC与GE的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若sinE＝，AH＝3，求⊙O半径的长． 23. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长． 24. 已知二次函数，其中． （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过，两个定点，其中，求的值； （3）若，当时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四5月数学模拟试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数，算术平方根与立方根，根据无理数就是无限不循环小数，即可求解． 【详解】解：，，都是有理数， 是无理数， 故选：D． 2. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 根据原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所确定n即可解答． 【详解】解：， 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法逐一判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法是解决此题的关键． 4. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功左图是一块雕刻印章的材料，从左面看到的平面图形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查从不同角度观察图形．画出从左边看到的图形即可求解． 【详解】解：从左面看到的平面图形为 故选：A 5. 随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 样本容量是 B. 平均数是 C. 中位数是 D. 的权数是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差的计算公式，平均数，中位数，样本容量，权数，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据可得出样本容量，平均数，中位数，权数的信息，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A. 样本容量是，正确，故该选项不符合题意； B. 平均数是，正确，故该选项不符合题意； C. 数据从小到大排列，第五和第六个数是，， 中位数是， 故该选项错误，符合题意； D. 的权数是，正确，故该选项不符合题意； 故选：C ． 6. 下列命题正确的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 面积之比为的两个相似三角形的周长之比也是 D. 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质、垂径定理的推论、相似三角形的性质、中点四边形等知识，根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项错误，不符合题意； B．平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误，不符合题意； C．面积之比为的两个相似三角形的周长之比是，故选项错误，不符合题意； D．顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，故选项正确，符合题意； 故选：D． 7. 定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质．如图，连接交于点O．证明，推出，再证明当时符合题意即可． 【详解】解：如图，连接交于点O． 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证， 故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 8. 直线与直线之间的距离是（　　） A. 2 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，先作图，算出，，,在，结合勾股定理算出，再运用等面积法进行列式计算，即可作答． 【详解】如图，设两直线分别交y轴于点A，B，直线交x轴于点C，连接，过点B作垂线， ∵， ∴直线与是互相平行， 设直线与的距离为d， 当时，则，解得， ∴ 即， 当时，则，解得， ∴ 即， 当时，则，解得， ∴ 即， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理可得， ， 即 ． 故选：D 9. 如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查翻折变换性质和矩形性质，三角形面积公式，勾股定理．根据题意连接，根据三角形面积公式求出，得到，根据直角三角形判定得到，再根据勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接交于点， ， ∵，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点B落在矩形内点F处， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查的圆周角所对的弦是直径、切线的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作的外接圆，圆心为点，由于点，得，所以是的直径，由，点是上的定点，于点，得，为定值，而，，可证明，得，，求得，因为当与相切时，最大，此时，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作的外接圆，圆心为点， 于点， ， 是的直径， 是的中点， ，点是上的定点，于点， ，为定值， 点、分别是、上的动点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点在上运动， 当与相切时，最大， ， ， ， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果） 11. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 12. 计算：=_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，根据零指数幂，特殊角的三角形值，二次根式的性质化简，再进行加减运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 如图，扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，C为OB边上一点，将△AOC沿AC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上的点D，则阴影部分面积为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和折叠的性质，可以得到OA=AD，∠OAC=∠DAC，然后根据OA=OD，即可得到∠OAC和∠DAC的度数，再根据扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，可以得到OC的长，结合图形，可知阴影部分的面积就是扇形AOB的面积减△AOC和△ADC的面积． 【详解】 解：连接OD， ∵△AOC沿AC边折叠得到△ADC， ∴OA=AD，∠OAC=∠DAC， 又∵OA=OD， ∴OA=AD=OD， ∴△OAD是等边三角形， ∴∠OAC=∠DAC=30°， ∵扇形AOB的圆心角是直角，半径为 ， ∴OC=2， ∴阴影部分的面积是：= 故答案为． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积的计算公式，利用数形结合的思想解答． 14. 如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于______． 【答案】6 【解析】 【分析】先求出点的坐标，再根据平移，用表示出，的坐标，然后根据双曲线恰好同时经过点，时，列出方程求解． 【详解】解：设平移了个单位， ∵将线段绕点顺时针旋转至线段，点，点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点， ∵将沿轴正方向平移至， ∴，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当双曲线恰好同时经过点，时，， 解得：，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平移的性质求解，反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，根据旋转的性质求解，解题的关键是根据反比例函数图象上的横纵坐标的积为求解． 15. 如图，直角坐标系中，，，，…，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，8，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察图形可以看出；；每个为一组，由于余，在正半轴，纵坐标为，再根据横坐标变化找到规律即可解答． 【详解】观察图形可以看出；每个为一组， ， 在正半轴，纵坐标为， 的横坐标分别为， 则的横坐标为, 的横坐标为， 的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查是点的坐标规律，找到每4个点一循环点的坐标变化规律是解题的关键． 16. 如图①，在菱形中，，点E是的中点，点P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度之和为y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点H的坐标为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据可得图象上最低点即为求出当最小时的的值，利用对称性求解即可． 【详解】解：图象上最低点表示的意义为最小， ∵菱形， ∴关于对称， ∴连接交于，此时最小，最小值为长度， ∵即点P与点C重合时，， ∴， ∵点是的中点， ∴． 连接． ∵菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∵点E是的中点， ∴，，， ∴，即． ∵， ∴，即， ∴图象上最低点H的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形得性质、动点问题的函数图象、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解直角三角形，正确作出辅助线是解题关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组：，并把解集表示在数轴上 【答案】（1）； （2）， 其解集在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集： （1）先通分计算括号内，除法变乘法，约分后再进行加法运算，最后代值计算即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：（1）， ． ； 当时，原式； （2）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集为， 数轴略． 18. “一字一世界，一书一天堂.”读书能丰富人的精神世界，启智润心，要让读书成为一种习惯，成为一种有品质的生活方式.为了解成年人的阅读情况，某社区进行了家庭成年人阅读情况调查，社区工作人员随机抽取了40户家庭进行问卷调查，将调查结果分为A、之内、B、、C、、D、以上四个等级，下面是部分统计结果. 阅读时间在1.0~2.0h范围内的数据如下： 1.3，1.5，1.2，1.7，1.3，1.1，1.5，1.4，1.3，1.8， 1.7，1.2，1.3，1.0，1.3，1.4，1.5，1.6，1.2，1.9 等级 阅读时间/h 频数 A 16 B a C b D 4 合计 40 请结合以上信息解答下列问题： （1）______，______； （2）B组数据的众数是______，中位数是______； （3）统计图中C组对应扇形的圆心角为______度； （4）该社区宣传工作人员有2男1女，要从中随机选2人参加阅读宣传活动，请用画树状图法或列表法求恰好选中“1男1女”的概率. 【答案】（1）12 ， 8 （2）1.3 ， 1.3 （3）72 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布表，扇形统计图以及求概率： （1）在阅读时间在1.0~2.0h范围内的数据中可以得出的频数a，的频数b； （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）先计算C组所占百分比，再乘以即可得到圆心角的度数； （4）运用列表得出所有等可能的结果数和选中“1男1女”的结果数，再根据概率公式求解即可 【小问1详解】 解：阅读时间在范围内的数据中有1.3，1.2，1.3，1.1，1.4，1.3，1.2，1.3，1.0，1.3，1.4，1.2，共12个， 故； 内的数据为1.5，1.7，1.5，1.8，1.7，1.5，1.6，1.9，共8个， 故； 故答案为：12；8 【小问2详解】 解：在中的数据按大小顺序排列为：1.0，1.1，1.2，1.2，1.2，1.3，1.3，1.3，1.3，1.3，1.4，1.4， 其中，1.3出现次数最多，故众数是1.3； 按大小顺序排列，最中间两个数据是1.3，1.3， 所以，中位数是 故答案为：1.3，1.3 【小问3详解】 解：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：列表如下： 男 男 女 男 （男，男） （女，男） 男 （男，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） 由上表可知，所有等可能的结果共有6种，其中恰好抽到1男1女的结果有4种， 所以恰好选中“1男1女”的概率是. 19. 在《测量物体的高度》的综合实践课上，王老师先带领同学们制作简易测角仪，随后再用所制作的测角仪测量物体的高度． （1）小明同学提出如下方法制作测角仪（图1），以较大量角器为主要器材进行设计，在经过中心点处安置一根可绕点旋转的空心直管，眼睛可通过空心管的端瞄准目标物进行测量，此时的方向即为视线的方向，原理是_____________．（请从下列选项中选择正确选项的序号填入：①两点之间线段最短；②两点确定一条直线；③两条直线相交有且只有一个交点．） （2）在量角器的中心点处悬挂重锤，由物理知识可知只要重锤悬挂线与线重合，则即为水平线．此时读出角的度数，就是所测目标的仰角．原理是______________．（请从下列选项中选择正确选项的序号填入：①对顶角相等；②直角三角形的两个锐角互余；③两直线平行，内错角相等．）通过这个方式可得到测量目标的仰角或俯角，为测量物体的高度进行准备． （3）如图，某高楼顶部有一信号发射塔（图2），小明在矩形建筑物的，两点处测得该塔顶端仰角分别为，，矩形建筑物高度m．计算该信号塔顶端到地面的高度．（参考数据：，，，，，）． 【答案】（1）② （2）① （3）该信号塔顶端到地面的高度约为84米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及对顶角相等，直线的性质等知识点，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据直线的性质求解； （2）根据仰角的定义和对顶角的性质即可求解； （3）过点作于点，由题意可知，则米，设米，解得到，解，得到，解得，再由即可求解． 【小问1详解】 解：眼睛可通过空心管的端瞄准目标物进行测量，此时的方向即为视线的方向，原理是：两点确定一条直线， 故答案为：②； 【小问2详解】 解：∵，即， 而为仰角， ∴读出角的度数，就是所测目标的仰角， 故答案为：①； 【小问3详解】 解：过点作于点， 由题意可知，米，设米， 在中，， 在中，， 即， 解得： 经检验，是原分式方程的解 （米） （米） 答：该信号塔顶端到地面的高度约为84米． 20. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 （2）购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元．根据题意得： 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 此时； 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 【小问2详解】 解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． ∵， 解得：， 设共花费w元，则 ， ∵ ∴w随m的减小而减小 ∴当时，w最小，最小值为11200， 此时， 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 21. 如图，以矩形的对称中心O为原点建立平面直角坐标系，各边与x轴、y轴交于点E，N，F，M，，反比例函数的图像与矩形的边分别交于点P，Q，且，直线经过P，Q两点． （1）请分别求出直线l和反比例函数的表达式； （2）连接． ①求证：； ②线段与反比例函数图像是否有公共点，如有，请求出公共点的坐标；若没有，请说明理由． 【答案】（1）直线l的解析式为；反比例函数解析式为 （2）①证明：如图所示，连接， 由（1）可得， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②线段与反比例函数图像有公共点，且公共点的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，一次函数与反比例函数综合，解直角三角形等等，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，再求出得到，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出直线l解析式即可； （2）①只需要证明即可证明；②求出直线解析式，联立直线解析式和反比例函数解析式，求出交点坐标，看交点是否在线段是即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵原点O是矩形的对称中心， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把，代入到中得：， ∴， ∴直线l的解析式为； 【小问2详解】 解：①略 ②设直线解析式为， 由（1）可得 ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得， ∵， ∴线段与反比例函数图像有公共点，且公共点的坐标为． 22. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，E为CD延长线上一点，过E点作⊙O的切线，切点为G，连接AG交CD于F点． （1）求证：EF＝EG； （2）若FG2＝FD•FE，试判断AC与GE的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若sinE＝，AH＝3，求⊙O半径的长． 【答案】（1） 证明：如图1，连接OG， ∵EG为切线， ∴∠FGE+∠OGA＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠AFH+∠OAG＝90°， ∵OA＝OG， ∴∠OGA＝∠OAG， ∴∠FGE＝∠AFH， ∵∠AFH＝∠GFE ∴∠FGE＝∠GFE， ∴EF＝EG； （2） 解：ACGE，理由为： 如图2，连接GD， ∵FG2＝FD•FE，即 ， ∴， ∵∠FGE＝∠GFE， ∴△GFD∽△EGF， ∴∠E＝∠AGD， ∵∠C＝∠AGD， ∴∠E＝∠C， ∴ACGE； （3） 【解析】 【分析】（1）连接OG，根据切线性质以及CD⊥AB，可以推出∠FGE＝∠AFH＝∠GFE，根据等角对等边得到EF＝EG； （2）ACGE，理由为：连接GD，根据∠FGE＝∠GFE和FG2＝FD•FE，可以推出△GFD∽△EGF，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C＝∠AGD，可以推知∠E＝∠C，从而得到ACGE； （3）连接OC，根据勾股定理和垂径定理可以求解圆的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，连接OC， ∵ACGE， ∴∠E＝∠ACH ∴sin∠E＝sin∠ACH＝＝， ∵AH＝3， ∴AC＝5， ∴CH＝＝4， 设⊙O半径为r， 在Rt△OCH中，OC＝r，OH＝r﹣3，CH＝4， 由勾股定理可得：OH2+CH2＝OC2， 解得r＝， ∴⊙O半径的长为． 【点睛】本题主要考查了切线性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线判定，以及等腰三角形判定，熟练掌握定理以及性质是解决问题的关键． 23. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长． 【答案】（1） 证明：∵， （2）18； （3）． 【解析】 【分析】（1）可证得 ， 从而 ， 进一步得出结论； （2）可证得 ，从而得出 ，进而得出 ，从而 ， 设 ，则 ， 从而得出 ， 从而求得 的值，进一步得出结果； （3） 延长 ，交于点 ， 可得出 ， 从而 ， 进而表示出 ，可证得 ， 从而 ，进而求得 的值，进一步得出结果； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形 是平行四边形， 设，则 （舍）， 设 ， 则 ， （舍去）， 【小问3详解】 解：如图， 延长 ，交于点 ， 设则 ∵四边形 是菱形， 即 在 中， ∵ 为 的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∴ (舍去)， ∴， 即菱形 的边长为 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的性质，直角三角形和等腰三角形的性质， 相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形 24. 已知二次函数，其中． （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过，两个定点，其中，求的值； （3）若，当时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值． 【答案】（1）直线 （2）4 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，注意进行分类讨论． （1）根据二次函数性质进行解答即可； （2）令a分别等于，得出，，联立两个式子得出，根据，的值与a无关，得出，求出x的值即可； （3）分四种情况进行讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别求出结果即可． 【小问1详解】 解：二次函数图象的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：令a分别等于，得： ，， 联立两式子得：， 化简得：， ∵，的值与a无关， ∴， 解得：，， ∴． 【小问3详解】 解：当时，原式：，对称轴为直线， ①当时，，， 根据题意得：， 即， 解得； ②当时，，， 根据题意得：， 即， 解得：； ③当时，，； 根据题意得：， 即， 解得：（舍去），（舍去）， ④当时，，； 根据题意得：， 即， 解得：（舍去），（舍去）， 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $