专题01 集合与常用逻辑用语（题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统梳理了集合与常用逻辑用语专题，涵盖14个核心题型，包括元素与集合关系判断、集合运算、充分必要条件、量词命题否定等，构建了从基础概念到综合应用的知识网络。 清单采用题型脑图构建考法体系，解题技能通关模块提炼方法模型，如求集合元素个数的三步法、根据集合关系求参数的数轴分析法，培养学生数学思维与逻辑推理素养。特设考频题型标注和易错点提示，如有限集子集个数公式、容斥原理应用实例，帮助学生自主高效复习，教师可据此优化教学策略，提升备考针对性。

专题01 集合与常用逻辑用语 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 判断元素与集合的关系问题 找到元素与集合关系的两个方法： 1、若集合中元素使直接给出的，直接判断元素在已知集合中是否出现即可； 2、若集合中元素没有直接给出，判断元素是否满足集合中元素所具有的特征即可； 注意：要先明确集合中的元素满足哪些条件． 1．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北武汉·三模）设集合，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·宁夏·一模）已知集合，集合，则下列各选项中属于的元素是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型02 求集合中元素的个数问题 求集合中元素个数的三步法模型 （1）确定集合的类型，是数集，点集还是其他类型的集合； （2）看集合中元素满足什么限制条件； （3）根据条还能确定集合中的元素个数或利用数形结合思想求解． 5．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 6．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）设集合，则中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（25-26高三上·河北·期中）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025高三上·河南安阳·专题练习）已知等差数列的公差不为0，设为其前项和，若，则集合中元素的个数为（    ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2013 题型03 根据元素与集合的关系求参数 根据元素与集合的关系求参数问题的2个破题点 1、根据元素与集合的关系列出参数满足的方程或不等式求解； 2、注意校验集合中的元素是否满足互异性． 9．（25-26高三上·四川内江·阶段检测）已知集合，则______ 10．（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知集合，，则__________． 11．（25-26高三上·山东泰安·阶段检测）已知集合，且，则实数的值为（    ） A． B．0 C．3 D．或3 12．（25-26高三上·山西太原·阶段检测）已知非空集合满足：当时，有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型04 判断集合间的关系问题 判断集合间关系的三个方法 1、列举法：先根据题中限定条件把集合中元素列举出来，然后比较集合中元素的异同，从而判断集合之间的关系； 2、结构法：先对集合化简变形，然后从集合中元素的结构上找差异，再进行判断； 3、先用数轴或Venn图表示集合，然后通过数形结合判断集合之间的关系． 13．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2025高三上·河南南阳·专题练习）已知集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 15．（2026·广东梅州·一模）已知全集，，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 16．（2026·四川遂宁·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 题型05 有限集合的子集个数问题 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 17．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，则的非空子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．64 D．63 18．（2026·山东聊城·模拟预测）设全集，集合，则的真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 19．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 20．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知集合，则集合A的子集个数是（    ） A．8 B．16 C．32 D．无数个 题型06 根据集合间的关系求参数 利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围． 常采用数形结合的思想，借助数轴解答． 21．（2026·江西宜春·模拟预测）若集合，，且，则的值为（    ） A．4 B．2或4 C．或4 D．或4 22．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 23．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知集合，，，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（2026·福建三明·二模）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型07 集合的交、并、补运算 集合运算的常用方法 1、若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解； 2、若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况． 25．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 26．（2026·重庆·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 27．（2026·河北邢台·三模）已知集合， 则（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 题型08 根据集合运算结果求参数 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 1、与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； 2、若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解． 29．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）已知集合，．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高三下·广东广州·阶段检测）已知集合，集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型09 集合容斥原理的应用 关于集合中的计数问题，常借助Venn图或用公式，（表示有限集合中元素的个数）求解． 33．（2026·广东中山·一模）某班有45名学生，其中20人喜欢篮球，25人喜欢乒乓球，10人对这两项运动都不喜欢.则同时喜欢篮球和乒乓球的人数为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 34．（25-26高三上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（    ） A．10 B．8 C．9 D．14 35．（25-26高三上·广西钦州·阶段检测）学校举办运动会，高一（7）班共有30名同学参加游泳、田径和球类比赛，其中有13人参加游泳比赛，有12人参加田径比赛，有16人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和球类比赛的有4人，则同时参加这三项比赛的人数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 36．（25-26高三上·新疆·阶段检测）学校举办运动会时，某班共有名同学参加田径或球类比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，则同时参加田径和球类比赛的有__________人. 题型10 集合中的新定义问题 解决集合新定义问题的关键：紧扣新定义，分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义混淆． 37．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（    ） A．0 B．2 C．3 D．5 38．（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 39．（2026·广东东莞·模拟预测）已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 40．（2026·安徽合肥·一模）设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”. 题型11 充分条件与必要条件的判断 充分、必要条件的三种判断方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． （2）集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． （3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断 “x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件． 41．（2026·重庆·模拟预测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 42．（2026·山东枣庄·一模）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 43．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 44．（2026·安徽滁州·三模）已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型12 根据充分条件与必要条件求参数 根据充分、必要条件求参数的思路方法 根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，然后通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围． 45．（2026·重庆·模拟预测）已知：，：，若是的既不充分又不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 46．（25-26高三上·福建·阶段检测）已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．3 47．（23-24高三上·河南南阳·期中）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________． 48．（25-26高三上·山东济宁·期中）（多选）若关于的不等式的解集为，不等式的解集为.若是的必要不充分条件，则的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 题型13 含一个量词命题的否定 对全称(存在)量词命题进行否定的方法 全称(存在)量词命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称量词命题和存在量词命题时： （1）改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； （2）否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可． 【注意】对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定． 49．（25-26高三上·江苏徐州·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 50．（2026·湖南长沙·三模）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 51．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知命题：“”，则为（    ） A． B． C． D． 52．（2026·云南·模拟预测）已知命题：，，则命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型14 根据命题的真假求参数 利用含量词的命题的真假求参数范围的技巧 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围． 53．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 54．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）命题“，均成立”为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 55．（24-25高三上·山东菏泽·阶段检测）若“”是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 56．（2026·江苏扬州·模拟预测）若“”是假命题，则的取值范围为______． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 判断元素与集合的关系问题 找到元素与集合关系的两个方法： 1、若集合中元素使直接给出的，直接判断元素在已知集合中是否出现即可； 2、若集合中元素没有直接给出，判断元素是否满足集合中元素所具有的特征即可； 注意：要先明确集合中的元素满足哪些条件． 1．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合，可得集合表示小于的无理数， 对于A，由，所以，所以A错误； 对于B，由且，所以，所以B正确； 对于C，由且，所以，所以C不正确； 对于D，由，所以，所以D不正确. 2．（2026·湖北武汉·三模）设集合，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ 全集，， ∴. A选项：∵ ，∴ ，该选项正确. B选项：∵ ，∴ ，即的表述错误，该选项错误. C选项：∵ ，∴ ，该选项错误. D选项：∵ ，∴ ，该选项错误. 综上，本题选A. 3．（2026·宁夏·一模）已知集合，集合，则下列各选项中属于的元素是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得：，则， 所以， 则，，，. 4．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，，，. 题型02 求集合中元素的个数问题 求集合中元素个数的三步法模型 （1）确定集合的类型，是数集，点集还是其他类型的集合； （2）看集合中元素满足什么限制条件； （3）根据条还能确定集合中的元素个数或利用数形结合思想求解． 5．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【解析】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 6．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）设集合，则中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】， 或，解得或， ，故中共有4个元素．故选：C． 7．（25-26高三上·河北·期中）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】若，， 则可能为， 所以的元素个数为3.故选：C. 8．（2025高三上·河南安阳·专题练习）已知等差数列的公差不为0，设为其前项和，若，则集合中元素的个数为（    ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2013 【答案】D 【解析】由，可得，且，所以， 根据二次函数的对称性：， 所以集合中元素的个数为，故选：D． 题型03 根据元素与集合的关系求参数 根据元素与集合的关系求参数问题的2个破题点 1、根据元素与集合的关系列出参数满足的方程或不等式求解； 2、注意校验集合中的元素是否满足互异性． 9．（25-26高三上·四川内江·阶段检测）已知集合，则______ 【答案】 【解析】由集合，得，则. 10．（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知集合，，则__________． 【答案】 【解析】因为，所以或，即或， 由集合的互异性知且且，即且，所以． 11．（25-26高三上·山东泰安·阶段检测）已知集合，且，则实数的值为（    ） A． B．0 C．3 D．或3 【答案】C 【解析】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或， 当时，集合，满足题意； 当时，集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． 综上所述，．故选：C． 12．（25-26高三上·山西太原·阶段检测）已知非空集合满足：当时，有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，由得，符合题意； 当时，，不符合题意， 故实数的取值范围为故选：C. 题型04 判断集合间的关系问题 判断集合间关系的三个方法 1、列举法：先根据题中限定条件把集合中元素列举出来，然后比较集合中元素的异同，从而判断集合之间的关系； 2、结构法：先对集合化简变形，然后从集合中元素的结构上找差异，再进行判断； 3、先用数轴或Venn图表示集合，然后通过数形结合判断集合之间的关系． 13．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得，，则，， ，所以A，C，D错误，B正确． 14．（2025高三上·河南南阳·专题练习）已知集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， 则，，故B正确；A、C错误； ，故D错误；故选：B 15．（2026·广东梅州·一模）已知全集，，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，，所以，故A正确； 对于任意，则，又，所以，所以，故B正确； 若，则，又，则，则， 与矛盾，所以，同理，，故，故C正确； 若时，可得不成立，故D错误. 16．（2026·四川遂宁·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合，代表所有奇数构成的集合，所有奇数都可以写成的形式. 对集合中任意元素，变形得，因为，所以， 因此符合中元素的形式，即任意都有，可得，A正确； 取奇数，（时），但若，得， 因此，说明，， 取奇数，（时）且（时，），即和有公共元素，交集不为空， 因此B、C、D错误. 题型05 有限集合的子集个数问题 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 17．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，则的非空子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．64 D．63 【答案】D 【解析】因为集合的元素有个， 所以集合的非空子集的个数为. 18．（2026·山东聊城·模拟预测）设全集，集合，则的真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【解析】因为，所以的真子集的个数为． 19．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以的真子集个数为个 20．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知集合，则集合A的子集个数是（    ） A．8 B．16 C．32 D．无数个 【答案】B 【解析】由题意，在中， ，解得， ∴， ∴集合A的子集个数是. 题型06 根据集合间的关系求参数 利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围． 常采用数形结合的思想，借助数轴解答． 21．（2026·江西宜春·模拟预测）若集合，，且，则的值为（    ） A．4 B．2或4 C．或4 D．或4 【答案】C 【解析】当时，满足； 当时，因为，所以， 此时，满足． 22．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 23．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知集合，，，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式求得集合，根据列不等式求得的取值范围. 【解析】由，得，解得，所以. 由于，， 所以，解得， 所以的取值范围是. 24．（2026·福建三明·二模）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式求得集合，由，可得，求解即可. 【解析】由，得，解得， 所以，又， 由，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 题型07 集合的交、并、补运算 集合运算的常用方法 1、若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解； 2、若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况． 25．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得，所以， 由，解得，所以， 故． 26．（2026·重庆·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【解析】，则. ，所以， 所以. 27．（2026·河北邢台·三模）已知集合， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先明确自然数集包含，由集合的定义，设，其中，变形得，， 已知集合，将非负整数依次代入计算： 当时，，属于集合； 当时，，属于集合； 当时，，属于集合； 当时，，超出集合的元素范围，不满足要求， 因此，故B正确. 28．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， ， ． 题型08 根据集合运算结果求参数 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 1、与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； 2、若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解． 29．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，所以， 则，因为，所以，则， 因为，所以，如图： 所以. 30．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，得， 由于集合或}，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为，故D正确. 31．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）已知集合，．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ①当时，， 此时，满足条件． ②当时，对所有成立，所以， 要使，需要（否则会是一个不在中的点），即． 综上，的取值范围是． 32．（24-25高三下·广东广州·阶段检测）已知集合，集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合，所以， 由于，所以.故选：A. 题型09 集合容斥原理的应用 关于集合中的计数问题，常借助Venn图或用公式，（表示有限集合中元素的个数）求解． 33．（2026·广东中山·一模）某班有45名学生，其中20人喜欢篮球，25人喜欢乒乓球，10人对这两项运动都不喜欢.则同时喜欢篮球和乒乓球的人数为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【解析】设喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数为， 则只喜欢篮球的有，只喜欢乒乓球的有， 所以，解得， 所以同时喜欢篮球和乒乓球的人数为10，故选：B. 34．（25-26高三上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（    ） A．10 B．8 C．9 D．14 【答案】A 【解析】该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为．故选：A 35．（25-26高三上·广西钦州·阶段检测）学校举办运动会，高一（7）班共有30名同学参加游泳、田径和球类比赛，其中有13人参加游泳比赛，有12人参加田径比赛，有16人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和球类比赛的有4人，则同时参加这三项比赛的人数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】设高一（7）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、， 设同时参加这三项比赛的人数为人，由题意作出如下韦恩图， 由题意可得，解得. 因此，同时参加这三项比赛的人数为1人.故选：B 36．（25-26高三上·新疆·阶段检测）学校举办运动会时，某班共有名同学参加田径或球类比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，则同时参加田径和球类比赛的有__________人. 【答案】 【解析】设同时参加田径和球类比赛的人数为， 用集合表示参加田径比赛的同学，集合表示参加球类比赛的同学，如下图所示： 由题意可得，解得， 故同时参加田径和球类比赛的同学人数为. 故答案为：. 题型10 集合中的新定义问题 解决集合新定义问题的关键：紧扣新定义，分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义混淆． 37．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（    ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【解析】由题意得：，所以. 38．（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，集合，集合，， 所以，，， 选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）； 选项B：因为，所以一定成立； 选项C：当时，集合，集合，，C错误； 选项D：当，时，集合，集合，，D错误. 39．（2026·广东东莞·模拟预测）已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 【答案】 【解析】，，，，， ，，，，， ，，，，，，，，，， ， ，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， ，共个元素. 40．（2026·安徽合肥·一模）设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”. 【答案】 【解析】解方程，解得，结合， 因此：，集合共9个元素. （1）2个元素的“集合”：设为， 当时，可取5，6，7，8，9，共5个； 当时，可取6，7，8，9，共4个； 当时，可取7，8，9，共3个； 当时，可取8，9，共2个； 当时，可取9，共1个；当时，无满足条件的. 则2个元素的“集合”总数：. （2）3个元素的“集合”：要选出3个元素，需满足任意两个元素至少相差4. 最小的3个满足条件的元素为1，5，9，则3个元素的“TB集合”仅1个：1，5，9. （3）若尝试选出4个元素，最小的4个满足条件的数为1，5，9，13，而13超出集合A的范围， 因此不存在4个及以上元素的“TB集合”. 综上，“集合”总数个元素的数量个元素的数量：. 题型11 充分条件与必要条件的判断 充分、必要条件的三种判断方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． （2）集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． （3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断 “x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件． 41．（2026·重庆·模拟预测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，故，则， 若，解得或， 故是的充分不必要条件. 42．（2026·山东枣庄·一模）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的判定方法进行判断. 【解析】充分性：因为，但，所以“”不是“”的充分条件； 必要性：因为，，所以 “”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B 43．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由迷宫图形可知， 若小球Ω从口滚动进入， 根据通道走向，小球最终只能从口滚动出来， 所以“小球Ω从口滚动进入”能推出“小球Ω从口滚动出来”，充分性成立； 若小球Ω从口滚动出来，小球可能是从口滚动进入，也可能是从口滚动进入（由图可知从口进入最终也会从口出来）， 所以“小球Ω从口滚动出来”不能推出“小球Ω从口滚动进入”，必要性不成立． 综上所述，“小球Ω从口滚动进入”是“小球Ω从口滚动出来”的充分不必要条件． 44．（2026·安徽滁州·三模）已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为，所以， 又， 所以， 所以，即或或. 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故甲能推出乙. 因为，所以， 又， 所以 其中， 若，则，即， 与题设矛盾，所以， 故或或， 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故乙能推出甲. 综上，甲是乙的充要条件. 题型12 根据充分条件与必要条件求参数 根据充分、必要条件求参数的思路方法 根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，然后通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围． 45．（2026·重庆·模拟预测）已知：，：，若是的既不充分又不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解，得， 因为是的既不充分又不必要条件，所以和互不包含， 所以，所以的取值范围是. 46．（25-26高三上·福建·阶段检测）已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【解析】由，即，解得， 所以， 则， 又，“”是“”的充分不必要条件， 所以真包含于， 所以，结合选项可知D正确.故选：D 47．（23-24高三上·河南南阳·期中）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】由，则， 由，则，即， 因为是的必要不充分条件，所以，， 则是的真子集， 则，等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 48．（25-26高三上·山东济宁·期中）（多选）若关于的不等式的解集为，不等式的解集为.若是的必要不充分条件，则的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ACD 【解析】由或， 即； 由，即. 因为是的必要不充分条件，所以⫋， 所以或， 所以或.故选：ACD 题型13 含一个量词命题的否定 对全称(存在)量词命题进行否定的方法 全称(存在)量词命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称量词命题和存在量词命题时： （1）改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； （2）否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可． 【注意】对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定． 49．（25-26高三上·江苏徐州·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】命题“，”的否定是“，”． 50．（2026·湖南长沙·三模）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】全称量词命题的否定为将量词更改，命题否定， 因此命题“，”的否定为命题“，”. 51．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知命题：“”，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】全称量词的否定为改变量词，否定结论， 所以若命题为， 则命题的否定为. 52．（2026·云南·模拟预测）已知命题：，，则命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】存在量词命题“，”的否定是全称量词命题“，”， 所以命题的否定为，． 题型14 根据命题的真假求参数 利用含量词的命题的真假求参数范围的技巧 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围． 53．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为命题为真命题， 所以不等式的解集为， 若，则不等式可化为，满足题意； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：，解得， 综上所述，实数的取值范围是.故选：D. 54．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）命题“，均成立”为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】由已知在上恒成立， 当时，不等式为，恒成立； 当时，，解得； 综上所述，故选：B. 55．（24-25高三上·山东菏泽·阶段检测）若“”是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是假命题，那么它的否定是真命题， 当时，恒成立； 当时，对任意，恒成立，则开口向上且判别式，即，解得， 综上所述，的取值范围为.故选：. 56．（2026·江苏扬州·模拟预测）若“”是假命题，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由于“”是假命题，则有对任意恒成立， 由于时，，因此， 又因为当时，，且在内可无限趋近，为满足恒成立， 故的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $