第25章 一元二次方程 全章综合训练2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以中考真题为载体，系统覆盖一元二次方程全章核心知识，构建从概念理解到实际应用的完整逻辑链，强化运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次方程的解|1题|已知根求参数|概念应用基础| |一元二次方程的解法|2题|直接求根、解方程（公式法/因式分解）|解法技能训练| |根的判别式|3题|根的情况判断、参数取值范围|方程根的性质探究| |根与系数的关系|3题|坐标象限判断、代数式求值、证明|根的数量关系深化| |一元二次方程的应用|2题|几何面积、经济问题（增长率/方案）|实际问题模型构建| |全章综合小测|16题|易错辨析、跨知识结合（几何/代数）、数学文化|全章知识综合应用与迁移|

第25章 一元二次方程 第25章 一元二次方程 全章综合训练 考点1 一元二次方程的解 1.【2025青海中考】若 是一元二次方程 的一个根,则 的值为___. 考点2 一元二次方程的解法 2.【2025贵州中考】一元二次方程 的根是___. 3.【2025黑龙江中考】解方程: 考点3 一元二次方程根的判别式 4.【2025安徽中考】下列方程中,有两个不相等的实数根的是( ) A. B. C. D. 5.【2025内江中考】若关于 的一元二次方程 有实数根, 则实数 的取值范围是( ) A. B. C. 且 D. 且 6.若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根,则实数 的值为( ) A.−4 B.−1 C.1 D.4 考点4 一元二次方程根与系数的关系 7.【2025河北中考】若一元二次方程 的两根之和与两根之积分别为 , ,则点 在平面直角坐标系中位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.【2025泸州中考】若一元二次方程 的两根为 , ,则 的值为___. 9.【2025南充中考】设 , 是关于 的方程 的两根. (1)当 时,求 及 的值. (2)求证: 考点5 一元二次方程的应用 10.【2025福建中考】为加强劳动教育,增加学生实践机会,某校拟用总长为5米的篱笆,在两边都足够长的直角围墙的一角,围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地。设矩形的一边长为 米,根据题意可列方程( ) A. B. C. D. 11.【2025泸州中考】某超市购进甲、乙两种商品,2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元,随着生产成本的降低,甲种商品每件的进价年平均下降25元, 乙种商品2024年每件的进价为80元. (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率; (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品. 第25章 一元二次方程 全章综合小测 一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分) 1.【2026广州期中】一元二次方程 的解是( ) A. B. C. D. 2.【2025白云质检】若关于 的一元二次方程 的一个根是 ,则 的值为( ) A.2 B.−2 C.2或−2 D. 3.【2025阜阳期末】数学课上,4个同学以接龙的方式解一个一元二次方程,每人负责完成一个步骤，其中有一位同学所负责的步骤是错误的,则这位同学是( ) A.小张 B.小王 C.小李 D.小赵 4.【2026德州质检】有理数 , , 对应的点在数轴上的位置如图所示,则关于 的方程 的根的情况,下列说法正确的是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 5.已知命题“关于 的一元二次方程 必有实数解”是假命题,则在下列选项中, 的值可以是( ) A.4 B.3 C.2 D.5 6.已知直角三角形的两条边长分别是方程 的两个根,则此三角形的第三条边长是( ) A.4或5 B.3 C. D.3或 7.若关于 的一元二次方程 ( ， 为常数，且 )有两个不相等的整数根,则这样的 有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 8.如图,在矩形 中, , ,点 , 分别是边 , 上的动点,点 , 同时出发,点 从点 出发以2cm/s 的速度向点 移动,点 从点 出发以1cm/s的速度向点 移动, 则当点 与点 的距离是13cm时, , 两点运动了( ) A. 或7 B. 或7 C. D.7 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分) 9.若 、 为实数,且 ,则 的平方根是____. 10. 若一元二次方程 有整数根,则 的值可以是_______.(填一个可能的值) 11.李伟同学在解关于 的一元二次方程 时,误将看作 ,结果解得 , ,则原方程的解为___________. 12.已知关于 的一元二次方程 的两实数根 , 满足 ,则 的值为 ____. 13.阅读下面的材料： 一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中。到了中世纪,阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法。 以 为例,花拉子米的几何解法步骤如下: ①如图(1),在边长为 的正方形的两个相邻边上作相邻两边长分别为 和5的矩形,再补上一个边长为5的正方形,最终把图形补成一个大正方形; ②一方面大正方形的面积为，另一方面大正方形的面积又等于图中各部分面积之和,因为 ,可得方程 ,则方程的正数解是 。 根据上述材料,解答下列问题. 图（1） 图（2） (1)补全花拉子米的解法步骤②; (2)根据花拉子米的解法,在图(2)的两个构图①②中,能够得到方程 的正数解的正确构图是____(填序号). 三、解答题(本大题共3小题,共48分) 14.解方程: (1) (公式法) (2) (配方法) (3) 15. 传统文化,对联是中华传统文化的瑰宝。对联装裱后,如图(1)所示,上、下空白处分别称为天头和地头,左、右空白处统称为边。一般情况下,天头长与地头长的比是6: 4,左、右边的宽相等,均为天头长与地头长的和的 。 (1)若对联装裱后的左边的宽为2cm,则天头长为____cm,地头长为___cm. (2)如图(2),某人要装裱一副对联,对联的长为100cm,宽为28cm。若要求装裱后的面积为 ,求装裱后对联的左边的宽. 图（1） 图（2） 16.已知关于 的一元二次方程 (1)求证:无论 为何值,方程总有两个实数根. (2)若 的一条边 的长为5,另两边 、 的长是一元二次方程的两个实数根. ①当 为何值时, 是以 为斜边的直角三角形? ②当 为何值时, 是等腰三角形?并求出 的周长. 解析卷部分 全章综合训练 考点1 一元二次方程的解 1.【2025青海中考】若 是一元二次方程 的一个根,则 的值为___. 答案：3 解析：若 是一元二次方程 的一个根,则 , 解得 .故答案为3. 考点2 一元二次方程的解法 2.【2025贵州中考】一元二次方程 的根是___. 答案：， 解析： , , 则 , ,故答案为 , 。 3.【2025黑龙江中考】解方程: 解：整理得 ，因式分解得 ，所以 或 ，解得 ，。 考点3 一元二次方程根的判别式 4.【2025安徽中考】下列方程中,有两个不相等的实数根的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：A选项，，故方程没有实数根；B选项，，故方程有两个相等的实数根；C选项，，故方程没有实数根；D选项，，故方程有两个不相等的实数根。故选D。 5.【2025内江中考】若关于 的一元二次方程 有实数根, 则实数 的取值范围是( ) A. B. C. 且 D. 且 答案：C 解析： 关于的一元二次方程 有实数根， ， 解得且， 实数的取值范围是且 .故选C. 6.【2025北京中考】若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根,则实数 的值为( ) A.−4 B.−1 C.1 D.4 答案：C 解析：∵ 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根, 且 ，且 ，解得 。故选C。 考点4 一元二次方程根与系数的关系 7.【2025河北中考】若一元二次方程 的两根之和与两根之积分别为 , ,则点 在平面直角坐标系中位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：C 解析：方程 ，整理得 ， ∴ 两根之和 ，两根之积 ， ∴ 点 在平面直角坐标系中位于第三象限。故选C。 8.【2025泸州中考】若一元二次方程 的两根为 , ,则 的值为___. 答案：10 解析：将 代入原方程得 ，即 ； ∵ 一元二次方程 的两根为 , ，， 。 9.【2025南充中考】设 , 是关于 的方程 的两根. (1)当 时,求 及 的值. (2)求证: 解：(1)把 代入方程 ，得 ，即 ，； 原方程化为 ，即 ，因式分解得 ，解得 ，， ，。 证明：(2)方程 整理为 ， ，∴ 无论 为何值，原方程都有两个不相等的实数根； 由根与系数的关系得 ，， ， ∵ ，，即 。 考点5 一元二次方程的应用 10.【2025福建中考】为加强劳动教育,增加学生实践机会,某校拟用总长为5米的篱笆,在两边都足够长的直角围墙的一角,围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地。设矩形的一边长为 米,根据题意可列方程( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：已知矩形的一边长为 米，则另一边长为 米。根据矩形的面积为6平方米，可列方程为 。故选C。 11.【2025泸州中考】某超市购进甲、乙两种商品,2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元,随着生产成本的降低,甲种商品每件的进价年平均下降25元, 乙种商品2024年每件的进价为80元. (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率; (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品. 解：(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为 。 根据题意得 ， 两边同时除以125得 ， 开方得 ， 解得 ，（不符合题意，舍去）。 答:乙种商品每件进价的年平均下降率为20%。 (2)设购进 件甲种商品，则购进 件乙种商品。 2024年甲商品每件进价为 元， 根据题意得 ， 去括号得 ， 移项合并得 ， 系数化为1得 ， ∴ 的最小值为40。 答:最少购进40件甲种商品。 全章综合小测 一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分) 1.【2026广州期中】一元二次方程 的解是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：原方程可因式分解为 ，则 或 ，即 或 ，故选B。 2.【2025白云质检】若关于 的一元二次方程 的一个根是 ,则 的值为( ) A.2 B.−2 C.2或−2 D. 答案：A 解析：∵ 关于 的一元二次方程 的一个根是 ， ∴ 将 代入得 且二次项系数 ， 解得 ，故选 A。 3.【2025阜阳期末】数学课上,4个同学以接龙的方式解一个一元二次方程,每人负责完成一个步骤，其中有一位同学所负责的步骤是错误的,则这位同学是( ) A.小张 B.小王 C.小李 D.小赵 答案：D 解析：原方程为 ，移项得 ， 配方得 ，即 ， 开方得 或 ，解得 ，， ∴ 所负责步骤错误的是小赵，故选D。 4.【2026德州质检】有理数 , , 对应的点在数轴上的位置如图所示,则关于 的方程 的根的情况,下列说法正确的是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 答案：B 解析：由 ，可得 。 观察数轴可知 ，，则 ，， ∴ ，又 ，故 ， ∴ 该方程有两个不相等的实数根。故选B。 5.已知命题“关于 的一元二次方程 必有实数解”是假命题,则在下列选项中, 的值可以是( ) A.4 B.3 C.2 D.5 答案：C 解析：∵ “关于 的一元二次方程 必有实数解”是假命题， ∴ 方程无实数根，即 ，，即 ， 选项中只有 符合，故选C。 6.已知直角三角形的两条边长分别是方程 的两个根,则此三角形的第三条边长是( ) A.4或5 B.3 C. D.3或 答案：D 解析：解方程 ，因式分解得 ，解得 或5。 分两种情况: ①当4和5均为直角边长时，第三条边（斜边）的长为 ； ②当4为直角边长，5为斜边长时，第三条边（直角边）的长为 。 综上，此三角形的第三条边长为3或 ，故选D。 7.若关于 的一元二次方程 ( ， 为常数，且 )有两个不相等的整数根,则这样的 有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 答案：D 解析：方程 整理得 ， 则 。 ∵ 一元二次方程有两个不相等的整数根，，即 ， ∵ ，两边除以 得 ，即 ， 又 ，。 设方程的两个整数根为 和 ，由根与系数的关系得 ， 。 令 ，则 ，且 ， 为整数，， ∵ ，两边除以 得 ， 的取值为。 ∵ 整数 ， 满足 ，， ∴ 当 时，，方程的解为0，−2，满足条件； 当 时，，方程的解为1，−3，满足条件； 其余 的值均无法满足整数解的条件。 符合条件的 的值为−8，−5，对应 （）有无数个，故选D。 8.如图,在矩形 中, , ,点 , 分别是边 , 上的动点,点 , 同时出发,点 从点 出发以2cm/s 的速度向点 移动,点 从点 出发以1cm/s的速度向点 移动,则当点 与点 的距离是13cm时, , 两点运动了( ) A. 或7 B. 或7 C. D.7 答案：A 解析： 过点 作 于 ，则 。 设 后，。 ∵ 四边形 是矩形，∴ ，，， ∴ 四边形 是矩形，。 ∵ 点 速度为2cm/s，点 速度为1cm/s，，。 当点 在点 的上方时，； 当点 在点 的下方时，。 在 中，由勾股定理得 ，， 即 ，开方得 ， 解得 ，，均符合题意， ∴ 经过 或7后，， 两点之间的距离是13cm。故选A。 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分) 9.若 、 为实数,且 ,则 的平方根是____. 答案： 解析：设 （），则原方程化为 ，即 ， 因式分解得 ，解得 或 （舍去）。 ，其平方根为 。故答案为。 10.若一元二次方程 有整数根,则 的值可以是_______.(填一个可能的值) 答案：−1（答案不唯一） 解析：，移项得 ，则 。 ∵ 方程 有整数根， 为完全平方数， 的值可以是−1，故答案为−1（答案不唯一）。 11.李伟同学在解关于 的一元二次方程 时,误将看作 ,结果解得 , ,则原方程的解为___________. 答案：， 解析：由题意得 的解为 ，， 由根与系数的关系得 ， 所以原方程为 ，分解因式得 ， 解得 ，。故答案为 ，。 12.已知关于 的一元二次方程 的两实数根 , 满足 ,则 的值为 ____. 答案：−1 解析：∵ 方程 的两实数根为 , ， ∴ ，。 ∵ ，， 展开得 ， 整理得 ，因式分解得 ，解得 ，。 又 ，解得 ， 故 不符合条件，舍去，，故答案为−1。 13.阅读下面的材料： 一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中。到了中世纪,阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法。 以 为例,花拉子米的几何解法步骤如下: ①如图(1),在边长为 的正方形的两个相邻边上作相邻两边长分别为 和5的矩形,再补上一个边长为5的正方形,最终把图形补成一个大正方形; ②一方面大正方形的面积为，另一方面大正方形的面积又等于图中各部分面积之和,因为 ,可得方程 ,则方程的正数解是 。 根据上述材料,解答下列问题. 图（1） 图（2） (1)补全花拉子米的解法步骤②; (2)根据花拉子米的解法,在图(2)的两个构图①②中,能够得到方程 的正数解的正确构图是____(填序号). 答案：(1)5；5；25；3 (2)① 解析：(1)一方面大正方形的面积为 ，另一方面大正方形的面积又等于图中各部分面积之和，因为 ，可得方程 ，即 ，开方得 ，取正数解 。故答案为5，5，25，3。 (2)由题意可得，能够得到方程 的正数解的正确构图是①。故答案为①。 三、解答题(本大题共3小题,共48分) 14.解方程: (1) (公式法) (2) (配方法) (3) 解：(1)原方程化为一般形式，得 ，，，， ， ， ，。 (2)整理得 ，配方得 ，即 ， ，，。 (3)整理得 ， 因式分解得 ， 或 ，解得 ，。 15.传统文化,对联是中华传统文化的瑰宝。对联装裱后,如图(1)所示,上、下空白处分别称为天头和地头,左、右空白处统称为边。一般情况下,天头长与地头长的比是6: 4,左、右边的宽相等,均为天头长与地头长的和的 。 (1)若对联装裱后的左边的宽为2cm,则天头长为____cm,地头长为___cm. (2)如图(2),某人要装裱一副对联,对联的长为100cm,宽为28cm。若要求装裱后的面积为 ,求装裱后对联的左边的宽. 图（1） 图（2） 答案：(1)12；8 解：(1)∵ 对联装裱后的左边的宽为2cm，为天头长与地头长的和的 ， ∴ 天头长与地头长的和为 ， ∵ 天头长与地头长的比是6: 4， ∴ 天头长为 ，地头长为 。故答案为12，8。 (2)设天头长为 ，则地头长为 ，∴ 左、右边的宽为 ， ∴ 装裱后的长为 ，宽为 。 由题意得 ， 解得 ，（不符合题意，舍去），∴ 装裱后对联的左边的宽是4cm。 16.已知关于 的一元二次方程 (1)求证:无论 为何值,方程总有两个实数根. (2)若 的一条边 的长为5,另两边 、 的长是一元二次方程的两个实数根. ①当 为何值时, 是以 为斜边的直角三角形? ②当 为何值时, 是等腰三角形?并求出 的周长. 证明：(1)∵ ， ， ∵ ，∴ 无论 为何值，方程总有两个实数根。 解：(2)①由根与系数的关系得，，。 ∵ 是以 为斜边的直角三角形，，∴ ， 又 ， ，解得 或 。 当 时，，不符合题意，舍去，。 ②分两种情况讨论： 若为腰，则方程有一个根为5，将 代入方程，得 ，， 方程为 ，解得或5， 等腰三角形的三边长分别为5，5，3， 周长为 . 若为底边，则方程有两个相等的实数根，，， 方程为，解得， 等腰三角形 的三边长分别为3,3,5， 周长为.综上,当或7时， 是等腰三角形，此时 的周长为11或13. 学科网（北京）股份有限公司 $