1.3勾股定理的应用 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学八年级上册第一章“勾股定理的应用”同步练，以8个知识点为框架，构建“基础应用—情境转化—综合建模”三阶分层训练，强化模型意识与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点直接应用（测量/航行/网格计算）|选择/填空题（如知识点01-04），直接运用勾股定理求解，巩固运算能力| |中档|情境转化与方法迁移（构造直角三角形/折叠问题）|解答题（如知识点05-07），需作辅助线或展开立体图形，培养几何直观| |综合|多知识点融合与思想渗透（方程思想/动态问题）|探究题（如知识点08），结合折叠与动点列方程，发展推理能力与应用意识|

2026-2027学年度北师大数学)八年级上册课时同步训川练 第一章勾股定理 3勾股定理的应用 课时目标 能将测量、航行、梯子滑动等实际问题转化为直角三角形模型，熟练运用勾股定理求 解无法直接测量的线段长度。 2. 能在平面图形、网格、立体图形中识别或构造直角三角形，掌握网格线段计算、斜边 上高求解、立体表面最短路径等常见题型的解法。 3. 能结合折叠、动点等问题情境，利用勾股定理列方程求解未知量，体会建模思想和转 化思想在几何解题中的应用。 课时目录 知识点01：勾股定理在实际测量中的应用 知识点02：勾股定理在航行与方位问题中的应用 知识点03：勾股定理在梯子滑动问题中的应用 知识点04：网格中线段长度的计算与垂直判断 知识点05：无直角三角形时构造直角三角形 1/17 知识点06：折叠与翻折问题中的勾股定理 知识点07：立体图形表面最短路径问题 知识点O8:勾股定理与方程思想的综合 知识点01：勾股定理在实际测量中的应用 对于无法直接测量的线段（如河宽、旗杆高度、池塘宽度等），可通过构造直角三角形， 将待测线段作为直角边或斜边，测量另外两条边的长度后利用勾股定理计算。 例如测量河宽：在河岸一侧选取点A,正对岸选点B,沿河岸走定长距离到点C,使∠B 90,测量AC和BC的长度，则B=4C-BC 1.(25-26八年级下·河北邢台·期末)某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸 A,B两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意 图，根据图中数据可得A,B两点间的距离为() 30m 11m 20m B 18m 4 A.9m B.12m c.15m D.20m 2.(25-26八年级下·河南商丘·期中)我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨 日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩.设长方形田 的宽为x步，则可列方程为() A.30+x=50-x B.302+(50-x)}=x2 C.302+x2=(50-x) D.x2+(50-x)2=302 3.(25-26八年级下·陕西西安·期中)如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），A、B两 点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得A、B间的距离，小明采用如下方法测量：在地面 上取一点C,使点C能直接到达点A和点B,在AB的延长线上取一点D,使得BD=12米.经测量 2/17 AC=34米，CD=16米，CB=20米，请你计算点A、B之间的距离. 4.(25-26八年级下·广西贺州期中)校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘 两端A,B之间的距离，他们的操作过程如下：①沿AB延长线的方向，在池塘边的空地上选点C,使 BC=6米：②在AC的一侧选点D,恰好使BD=8米，CD=10米；③测得AD=17米.请根据他们的 操作过程，回答以下问题： (I)求∠ABD的度数： (2)求出A,B两点间的距离. 知识点02：勾股定理在航行与方位问题中的应里 航行问题中通常规定“上北下南左西右东”，将出发点为原点，东西方向为横轴、南北方 向为纵轴构造直角三角形。 例如：轮船从港口O出发，向东航行30m后向北航行40km到达P点，则OP= V302+402 =50km,即轮船距港口50km。 解题关键是确定两次航行的方向互相垂直，形成直角三角形。 5.(25-26八年级下·甘肃金昌·期中)如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里时的速度沿北 偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，1.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B 两岛相距30海里，则乙船的航速是() 3/17 北 》东 A A.8海里/时 B.12海里/时 C.16海里/时 D.20海里/时 6.(25-26八年级下·内蒙古呼和浩特期中)两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速 30海里，两个小时后两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东46°，则乙船的航向（) A,南偏西44° B.北偏西44° C.南偏东44°或北偏西44° D.南偏西44°或西偏北44° 7.(25-26八年级下·河南安阳期末)某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船 同时离开港口，“远航”号以每小时18 n mile的速度沿北偏西30°方向航行，“海天”号以每小时 24n mile 的速度沿北偏东60°方向航行，它们离开港口半小时后分别位下R,P处，此时两檀轮船相距 60° nmile NA 8.(2026浙江杭州二模)绍兴舰在中俄舰艇编队开展联合演习中从点A处出发，以20海里/小时的速度 沿北偏东40°方向航行2小时到点B处，接着从点B处出发，以相同的速度沿南偏东50°方向航行1.5 小时到点C处，则AC= 海里 B 北 知识点03：勾股定理在梯子滑动问题中的应用 4/17 梯子靠墙静止时，墙、地面、梯子构成直角三角形，梯子长度为斜边且不变。当梯子底端 远离墙面滑动时，底端距墙距离增大，顶端下滑，可通过勾股定理分别计算滑动前后顶端 的高度，再求差值得到下滑距离。易错点：顶端下滑距离不等于底端滑动距离，需分别计 算验证。 例如：长5m的梯子靠墙，底端距墙3m,当底端滑到距墙4m时，顶端下滑距离为 V52-32-V52-42=4-3=1。 9.(25-26八年级下·广西玉林期末)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子 底端到左墙脚的距离为0.7m,梯子顶端到地面的距离AC为2.4m,若保持梯子底端位置不动，将梯 子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离AD为1.5m,则小巷的宽为（) A 2.4m 5m D 0.7m A.2m B.2.4m c.2.7m D.2.8m 10.(25-26八年级下·天津西青期末)如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的 顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m.如果将梯子底端沿 OB 0.8m AO 向外移动 ，那么梯子顶端沿墙下滑() B 0 5/17 A.0.8m B.0.7m c.0.5m D.0.4m 11.(25-26八年级下·山东德州期末)消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消 防车高5米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯 伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米。 B 楼 A消防车 地面 F 图1 图2 (1)求B处与地面的距离： (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救 出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 12.(25-26八年级下·安徽六安期末)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节 某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为16米： ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为34米： ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米. B D E 777777777777 (1)求风筝的垂直高度CE: (2)如果小明想要风筝沿CD方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 知识点04：网格中线段长度的计算与垂直判断 6/17 在正方形网格中，格点间的线段长度可通过数直角边格子数，利用勾股定理计算。例如： 横向占3格、纵向占4格的线段长为5。判断两条线段是否垂直：连接两条线段的端点形成 三角形，若三边满足ad+b=2,则两条线段垂直。 13.(25-26八年级下广西钦州期末)如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A,B均在格 点上，则线段AB的长度为() A.4 B.5 C.6 D.10 14.(2026陕西西安模拟预测)如图，△ABC顶点A,B,C在边长为1的正方形网格格点上，若 CD⊥AB于点D,则CD的长为()· 3 12 A.5 B.5 C.5 D.6 15.(25-26八年级下·北京海淀·期末)如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交 点，则∠ACB-∠DCE= E B D 16.(25-26八年级下·河北唐山期末)如图，△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上， CD⊥AB于点D,则CD的长为 7/17 B 知识点05：无直鱼三鱼形时构造直鱼三鱼形 当题目未直接给出直角三角形时，可通过作辅助线构造： 过三角形的一个顶点作对边的高，将三角形分为两个直角三角形： 连接四边形的对角线，将四边形分为两个三角形： 过平面内一点作坐标轴的平行线，形成以坐标轴为直角边的直角三角形。 构造后利用勾股定理计算未知线段长度。 17.(25-26八年级下海南省直辖县级单位期末)如图，台风“海葵”中心沿东西方向AB由A向B移动， 己知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km,BC=400km,又 AB=500 km 260km 经测量，距离台风中心 及以内的地区会受到影响. B (1)求∠ACB的度数： (②)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由 18.(25-26八年级下·河南信阳·期末)如图，东湖景区内有一块四边形空地ABCD,景区管理人员想在这 块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经测量∠ABC=90°，AB=20m,BC=15m,CD=7m, AD=24m D B (I)请你计算出这块空地的面积： 8/17 (2)观赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花多少元. 19.(25-26八年级下·福建福州期末)为落实闽都文化育人与劳动教育要求，某中学将校内如图所示的四 边形ABCD闲置地块打造为茉莉花种植劳动实践基地.学校数学实践小组对地块边界进行实地勘测， 测得∠A=90°，AB=8m,AD=6m,BC=24m,CD=26m, (I)为便于日常管护，计划在B,D两点间修建一条笔直步道，这条步道最短需要多少米？ (②)为满足茉莉植株根系生长需求，基地全园统一铺设0.4厚的腐殖种植土.请计算该基地总共需要 多少立方米的种植土（边界厚度与步道宽度均忽略不计）· 20.(25-26八年级下·甘肃平凉·期末)某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿 化费用的预算任务交给了“求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究， 利用课余时间完成了实践调查报告 研究课题 空地绿化的合理预算 研究目的 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题 测量工具 测角仪、卷尺 研究方式 走访调研、实地勘察测量 相关数据及说明： 测量示意图： D ①在四边形ABCD中，∠ABC=90° 13m ②多次测量并求取平均值后的相关 研究方案及测 A 12m 长度如图所示： 量数据 3m ③测量示意图中lcm代表实际距离 B 4m C 101m; ④每平方米的绿化费用为60元. 计算结果 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用。 知识点06：折叠与翻折问题中的勾股定理 图形折叠前后，重合部分的对应边相等、对应角相等。解题步骤： 9/17 标出折叠前后的重合边： 设未知线段长为x: 在折叠形成的直角三角形中，利用勾股定理列出关于x的一元一次方程求解。 21.(25-26八年级下·云南昭通期末)把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D点重合， 折痕为EF.若AB=15,BC=25,则AE的长度是() F B D A.6 B.8 C.10 D.12 22.(25-26八年级下北京期末)如图，在△ABC中，∠A=25°，∠C=20°，AC=5.将△ABC分别沿 DE,FG折叠，使点A,C都与点B重合，若AD=1,则DF= G D A.-- E B 23.(25-26七年级下·重庆期末)如图，将长方形ABCD沿着BE折叠，点C恰好落在AD边上点F处， DF 2 若AB=8,BC=5,则BF= A B 24.(25-26八年级下·湖北十堰期末)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=10,BC=6,点D为斜边 AC上一点，连接BD,将△BCD沿BD翻折，使C落在点E处，点F为直角边AB上一点，连接DF, 将△ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，则∠BEF=_°；AF的长为一 10117 知识点07：立体图形表面最短路径问题 立体图形表面两点间的最短路径，可通过将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线 段最短”转化为平面线段长度，再用勾股定理计算。要求掌握的模型： 圆柱侧面沿母线展开为长方形，最短路径为长方形的对角线，长为底面圆周长的一半，宽 为圆柱的高： 正方体/长方体表面两点间最短路径，需比较不同展开方式下的对角线长度，取最小值。 注意：展开时需保证两点在同一平面内。 25.(25-26八年级下·广东广州期末)如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高AB为4，BC是上底的直径， 一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到C，则爬行的最短距离是 24 26.(2526八年级下云南昭通期末)如图，一个圆柱的高是5cm,底面圆的直径是元cm.在圆柱下底 面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最 短路程是 cm B 27.(25-26八年级下新疆吐鲁番期末)如图，在一张矩形纸板ABCD上放着一根长方体木块.已知 AD=8dm,AB=l2dm,该木块的长与AD平行，横截面是边长为ldm的正方形，一只蚂蚁从点A爬 过木块到达点C需要爬行的最短路程是 dm 11/17 28.(25-26八年级下广东期末)综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的兀取3） 测量路径 调节圆柱高 的细线 度的橡皮筋 圆柱底面 底面圆直径为6cn 高为10cm的圆柱 直径 图1 图2 图3 素材1如图1，圆柱形纸盒的高AC为12厘米，底面直径BC为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有 一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物. 素材2如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细 线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的， (1)中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 x>y 4 10 9.85 x>y 9.49 6 (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是12+6=18厘米」 将圆柱沿着AC将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”）， 此时最短路程是 厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线 (用“一”或“二”填 空) (2)填空：表格中a的值是 一；表格中b表示的大小关系是 3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为”，圆柱的高为h.在r不变的情况下，当圆柱半径为 r与圆柱的高度存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 知识点8：勾股定理与方程思想的综合 当几何图形中线段长度未知且满足直角三角形条件时，可设所求线段长为x,利用勾股定 12/17 理建立一元一次方程求解。 常见应用场景：折叠问题、梯子滑动问题、构造直角三角形求高问题等。解题核心是找到 隐含的等量关系（如折叠前后边相等、梯子长度不变、斜边与直角边关系等），列出方程 后求解，并检验结果的合理性（线段长度为正）。 29.(25-26八年级下重庆巴南期末)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,沿DE折叠，使 点A与点B重合，则DE的长为() D E B 11 15 A.3 B.4 D.4 30.(25-26八年级下·云南曲靖期末)如图，已知在长方形ABCD中，AB=3,BC=5,若把长方形 ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，则CF= G ---D B 31.(25-26八年级下·湖北孝感期末)我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题.原文是： 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.译为：如图， 有一个水池，水面是一个边长为0尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把 这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多 少？ 32.(25-26八年级下·贵州黔南期末)剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支 13117 流在此汇合，自古得名“九溪归一”.如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A,沿河步道设有 两个观景打卡点B,C.已知BA=BC,为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D(B,C,D 三点在同一直线上)，并修建一条观光小路AD,测得AC=1.5km,DC=0.9km,AD=1.2km ---B--D-------C- (I)判断△ACD的形状，并说明理由； (2)求原路线AB的长. 课时训练 一、选择题 1.(25-26七年级下四川绵阳期末)如图，村庄C在新修的村道B端北偏西35°方向100米处，同时在新 修的村道A端南偏西55°方向240米处，村道AB长为260米.现需在村道AB上修建一个公交车停靠站 D,要求村庄C距公交车停靠站D的距离最近，则最近的距离是() 1200 1300 A.88米 B.90米 C.13米 D.12米 2.(24-25八年级下安徽滁州期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，以点C为圆 心，CD的长为半径画弧，与线段BD相交于另一点E,连接CE.若BC=6,AC=8,则CE的长为 () 14117 A.3 B.4 c.5 D.6 3.(2026浙江温州二模)如图，点A,B,C,D,M,P,Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）. 若将点M分别与点A,B,C,D连接，则下列选项正确的是() M B A.AM⊥PQB.BM⊥PQ C.CM⊥PQ D.DM⊥PQ 4.(25-26七年级下·陕西西安·期末)中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号己经深入人心.如图所示， 在底面周长为l.5m,高为6m的柱子上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的 D点，则雕刻在柱子上的巨龙长至少为() D A.4.5米 B.7.5米 C.12.5米 D.15米 二、填空题 5.(25-26八年级下广西南宁·期中)如图，在长方形ABCD中，BC=8,CD=6,点E在边AD上，将 △ABE沿着BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上点F处，则△BDE的面积是 E D 15117 6.(25-26八年级下·河南新乡·期中)2026年3月20日下午，在完成既定任务后，中越海军舰艇编队举行 分航仪式，标志着第40次北部湾联合巡逻暨首次海上联合训练顺利结束.如图，在演习过程中一艘船 以5海里时的速度从港口0出发，向西北方向航行，另一艘船以12海里时的速度同时从港口0出发， 向西南方向航行，离开港口1小时后，两船相距 海里. 北 西 东 南 7.(25-26八年级下陕西西安期中)如图，在Rt△ABC中，AB=6，BC=9,∠B=90°，将△ABC沿 MN所在直线折叠（点M、N分别在ACBC上），使点C与AB的中点D重合，则线段BN的长为 D 8.(2026吉林长春一模)如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸 片折叠，使点B落在边BC上的点D处：再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E, 则AE的长是 B 三、解答题 9.(25-26八年级下·云南期中)如图，AB是一架长2.5米的梯子，斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子 底端点B离墙的距离BE的长为0.7米. 16117 D B TTTTTTTTTTfTTTTTTTTT (I)此时梯子顶端点A离地面的距离AE是多少米？ (2)若梯子顶端从点A下滑至点C的距离AC是0.4米，那么梯子底端将向左滑动的距离BD是多少米？ 10.(25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中)某小区的两个喷泉A,B的位置如图所示，两个喷泉间的距离 AB的长为25m.现要为喷泉铺设供水管道AM,BM,供水点M在小路AC上，供水点M到AB的 距离MN的长为12m,BM的长为l5m B 1111111 M (I)求供水点M到喷泉A的距离： (2)请求出喷泉B到小路AC的最短距离 17117 2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 3 勾股定理的应用 ▌课时目标 1. 能将测量、航行、梯子滑动等实际问题转化为直角三角形模型，熟练运用勾股定理求解无法直接测量的线段长度。 2. 能在平面图形、网格、立体图形中识别或构造直角三角形，掌握网格线段计算、斜边上高求解、立体表面最短路径等常见题型的解法。 3. 能结合折叠、动点等问题情境，利用勾股定理列方程求解未知量，体会建模思想和转化思想在几何解题中的应用。 ▌课时目录 知识点01：勾股定理在实际测量中的应用 知识点02：勾股定理在航行与方位问题中的应用 知识点03：勾股定理在梯子滑动问题中的应用 知识点04：网格中线段长度的计算与垂直判断 知识点05：无直角三角形时构造直角三角形 知识点06：折叠与翻折问题中的勾股定理 知识点07：立体图形表面最短路径问题 知识点08：勾股定理与方程思想的综合 ▌知识点01：勾股定理在实际测量中的应用 对于无法直接测量的线段（如河宽、旗杆高度、池塘宽度等），可通过构造直角三角形，将待测线段作为直角边或斜边，测量另外两条边的长度后利用勾股定理计算。 例如测量河宽：在河岸一侧选取点A，正对岸选点B，沿河岸走定长距离到点C，使∠B＝90°，测量AC和BC的长度，则。 1．（25-26八年级下·河北邢台·期末）某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸，两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意图，根据图中数据可得，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，延长、交于点，则为直角三角形，根据勾股定理即可求得，两点间的距离． 【详解】解：如图，延长、交于点， 则为直角三角形， 根据图中数据可得，，， 由勾股定理可得，． 2．（25-26八年级下·河南商丘·期中）我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据勾股定理列方程，先根据题意表示出长方形对角线的长度，再利用直角三角形勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设长方形田的宽为步，宽与对角线的和为步， 则对角线长为步， ∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为步， ∴根据勾股定理可得 ，C选项符合题意． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】18米 【分析】可证明，则，据此利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵米，米，米， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵米， ∴米， ∴米， 答：点、之间的距离为18米． 4．（25-26八年级下·广西贺州·期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 【答案】(1) (2)15米 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ； （2）解：米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． ▌知识点02：勾股定理在航行与方位问题中的应用 航行问题中通常规定“上北下南左西右东”，将出发点为原点，东西方向为横轴、南北方向为纵轴构造直角三角形。 例如：轮船从港口O出发，向东航行30km后向北航行40km到达P点，则OP＝ ＝50km，即轮船距港口50km。 解题关键是确定两次航行的方向互相垂直，形成直角三角形。 5．（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距海里，则乙船的航速是（   ） A．海里/时 B．海里/时 C．海里/时 D．海里/时 【答案】B 【分析】由题意可知，，海里，海里，利用勾股定理计算出，进而求出乙船的航速． 【详解】解：由题意可知，，（海里），海里， 在中，（海里）， ∴乙船的航速为（海里/时）． 6．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向（     ） A．南偏西 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．南偏西或西偏北 【答案】C 【分析】先计算两船航行2小时后的路程，利用勾股定理逆定理判断两船航行方向互相垂直，再结合甲船的方位角分情况得到乙船的航向即可． 【详解】解：由题意得，两船航行2小时后，甲船行驶路程为海里，乙船行驶路程为海里， ∵， ∴ 由勾股定理逆定理可得，甲乙两船的航行方向夹角为， 已知甲船航向为北偏东，计算得，分两种情况： 乙船航行方向为北偏西或乙船航行方向为南偏东； 因此乙船的航向为南偏东或北偏西． 7．（25-26八年级下·河南安阳·期末）某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 【答案】 【分析】先由速度与时间算出、的长度，再根据方位角推出，最后用勾股定理求出两船距离． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， 在中，， 即此时两艘轮船相距． 8．（2026·浙江杭州·二模）绍兴舰在中俄舰艇编队开展联合演习中从点A处出发，以20海里/小时的速度沿北偏东方向航行2小时到点B处，接着从点B处出发，以相同的速度沿南偏东方向航行1.5小时到点C处，则________海里． 【答案】50 【分析】先求出，再求出两直角边长，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ∵与平行， ∴， ∴， ∴， ∵绍兴舰从点A处出发，以20海里/小时的速度航行2小时到点B处，接着从点B处出发，以相同的速度航行1.5小时到点C处， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）． ▌知识点03：勾股定理在梯子滑动问题中的应用 梯子靠墙静止时，墙、地面、梯子构成直角三角形，梯子长度为斜边且不变。当梯子底端远离墙面滑动时，底端距墙距离增大，顶端下滑，可通过勾股定理分别计算滑动前后顶端的高度，再求差值得到下滑距离。易错点：顶端下滑距离不等于底端滑动距离，需分别计算验证。 例如：长5m的梯子靠墙，底端距墙3m，当底端滑到距墙4m时，顶端下滑距离为。 9．（25-26八年级下·广西玉林·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】勾股定理求出梯子的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据线段的和差关系即可得出结果. 【详解】解：由题意和勾股定理，得， ， ∴，即小巷的宽为. 10．（25-26八年级下·天津西青·期末）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】梯子顶端沿墙下滑的距离为．利用勾股定理求出，．即可得到答案． 【详解】解：在中，根据勾股定理得， 在中，根据勾股定理得， 所以，． 因此，当梯子底端向外移动时，梯子顶端下滑． 11．（25-26八年级下·山东德州·期末）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离； (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)处与地面的距离是米 (2)消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据求出处与地面的距离； （2）利用勾股定理求出的长度，根据求出结果． 【详解】（1）解：在中， 米，米，米， （米），                （米）， 答：处与地面的距离是米；                                （2）解：由题意得米， 米，（米）， （米），        （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 12．（25-26八年级下·安徽六安·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为16米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为31.7米 (2)他应该往回收线14米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，，    米（负值舍去）， （米）， 答：风筝的高度为31.7米． （2）解：由题意得，米， 米， （米），    （米）， 他应该往回收线米． ▌知识点04：网格中线段长度的计算与垂直判断 在正方形网格中，格点间的线段长度可通过数直角边格子数，利用勾股定理计算。例如：横向占3格、纵向占4格的线段长为5。判断两条线段是否垂直：连接两条线段的端点形成三角形，若三边满足，则两条线段垂直。 13．（25-26八年级下·广西钦州·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A，B均在格点上，则线段的长度为（     ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【详解】解：由图，可得 ． 14．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，顶点 ，， 在边长为1的正方形网格格点上，若于点 ，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求得的长，然后运用等面积法求解即可． 【详解】解：由网格图可知， ，点到所在直线的距离为3，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得： ． 15．（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交点，则______°． 【答案】 【分析】连接、，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，再证明，得到，由即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 由勾股定理得：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 16．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理，得，边上的高为4，利用三角形面积相同，计算即可； 【详解】解：根据题意，得，边上的高为4， ， 故， 故； ▌知识点05：无直角三角形时构造直角三角形 当题目未直接给出直角三角形时，可通过作辅助线构造： 1. 过三角形的一个顶点作对边的高，将三角形分为两个直角三角形； 2. 连接四边形的对角线，将四边形分为两个三角形； 3. 过平面内一点作坐标轴的平行线，形成以坐标轴为直角边的直角三角形。 构造后利用勾股定理计算未知线段长度。 17．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，台风“海葵”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)求的度数； (2)请判断海港是否会受此次台风的影响，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：海港受台风影响，理由如下： 过点作于点， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ∴海港会受台风影响． 【分析】（1）证明，得到是直角三角形，即可得到； （2）过点作于点，利用，求出，再根据，得到海港会受台风影响． 【详解】（1）解：在中，，，， ，，， ， 是直角三角形， ； （2）略 18．（25-26八年级下·河南信阳·期末）如图，东湖景区内有一块四边形空地，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经测量，，，，． (1)请你计算出这块空地的面积； (2)观赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花多少元． 【答案】(1)234平方米 (2)7020元 【分析】（1）连接，首先利用勾股定理求出，然后利用勾股定理的逆定理得到，然后利用求解； （2）用（1）中求出的面积乘以单价即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，由勾股定理得：（米）． 在中，， ． （平方米）． （2）解：购买草坪需要的总价为（元） 答：购买草坪需要花7020元． 19．（25-26八年级下·福建福州·期末）为落实闽都文化育人与劳动教育要求，某中学将校内如图所示的四边形闲置地块打造为茉莉花种植劳动实践基地．学校数学实践小组对地块边界进行实地勘测，测得，，，，． (1)为便于日常管护，计划在B，D两点间修建一条笔直步道，这条步道最短需要多少米？ (2)为满足茉莉植株根系生长需求，基地全园统一铺设厚的腐殖种植土．请计算该基地总共需要多少立方米的种植土（边界厚度与步道宽度均忽略不计）． 【答案】(1)这条步道最短需要米 (2)该基地总共需要57.6立方米的种植土 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可； （2）先由勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后根据求出面积，然后求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，，，， ∴， 答：这条步道最短需要米； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：该基地总共需要57.6立方米的种植土． 20．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿化费用的预算任务交给了“求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究，利用课余时间完成了实践调查报告． 研究课题 空地绿化的合理预算 研究目的 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题 测量工具 测角仪、卷尺 研究方式 走访调研、实地勘察测量 研究方案及测量数据 测量示意图： 相关数据及说明： ①在四边形中，； ②多次测量并求取平均值后的相关长度如图所示； ③测量示意图中1cm代表实际距离10m； ④每平方米的绿化费用为60元． 计算结果 …… 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用． 【答案】元 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，且，利用两个直角三角形面积的和求出四边形的面积，再用面积乘以每平方米的绿化费用即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴是直角三角形，且， ∵图中代表实际距离， ∴，，，， ∴四边形的面积为：， ∴（元）． ∴绿化这块空地所需的费用为元． ▌知识点06：折叠与翻折问题中的勾股定理 图形折叠前后，重合部分的对应边相等、对应角相等。解题步骤： 1. 标出折叠前后的重合边； 2. 设未知线段长为x； 3. 在折叠形成的直角三角形中，利用勾股定理列出关于x的一元一次方程求解。 21．（25-26八年级下·云南昭通·期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，，则的长度是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】由折叠可知，，，设，则，在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：四边形为长方形，，， ，， 根据折叠的性质可得，，，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 22．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在中，，，．将分别沿，折叠，使点A，C都与点B重合，若，则________． 【答案】 【分析】根据折叠计算可得，设，则，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：， ， 由折叠得，，，，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得， ． 23．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，将长方形沿着折叠，点C恰好落在边上点F处，若，，则_______． 【答案】10 【分析】根据折叠的性质可得，由长方形的性质可得，从而得到，结合已知比例关系用表示出，最后在中利用勾股定理建立方程求解即可 ． 【详解】解：由折叠的性质得，， ∵四边形是长方形 ， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ， 在中，由勾股定理得， ∴，解得：（已舍去负值）． 24．（25-26八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则_____；的长为_____． 【答案】 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可知，根据折叠的性质可知；根据折叠的性质可知，，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠可知，， ； 在中，，，， ， 由折叠可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：； ▌知识点07：立体图形表面最短路径问题 立体图形表面两点间的最短路径，可通过将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”转化为平面线段长度，再用勾股定理计算。要求掌握的模型： 1. 圆柱侧面沿母线展开为长方形，最短路径为长方形的对角线，长为底面圆周长的一半，宽为圆柱的高； 2. 正方体/长方体表面两点间最短路径，需比较不同展开方式下的对角线长度，取最小值。 注意：展开时需保证两点在同一平面内。 25．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为4，是上底的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到，则爬行的最短距离是________． 【答案】5 【分析】根据圆柱的性质、两点之间线段最短以及勾股定理解题． 【详解】解：如图，圆柱体的侧面展开图如下，蚂蚁从点出发，沿着线段爬行时，距离最短； 由题意知，，为圆柱体底面周长的一半，即， ∴， 即爬行的最短距离是． 26．（25-26八年级下·云南昭通·期末）如图，一个圆柱的高是，底面圆的直径是．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是______． 【答案】 【分析】如图把圆柱体展开，连接，根据题意可得，进而可由两点之间，线段最短可知的长． 【详解】解：把圆柱体展开，连接，如图所示，    ∵圆柱的高等于，底面上圆的周长等于， ∴， ∴， ∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是． 27．（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在一张矩形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要爬行的最短路程是________． 【答案】 【分析】将木块展开，然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理解答． 【详解】由题意可知，将木块展开，相当于是加上个正方形的边长， 展开后的矩形的长为，宽为． 最短路程为：． 28．（25-26八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】(1)画出蚂蚁爬行的最短路径,如图 15；二； (2)， (3) 【分析】（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （2）利用圆柱形木块的高为，底面半径为6，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （3）构造方程即可得到结论． 【详解】（1）解：展开后，半圆长为， 此时最短路程是厘米， ∵ 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二， （2）解：， ∵， ∴表格中b表示的大小关系是； （3）解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． ▌知识点8：勾股定理与方程思想的综合 当几何图形中线段长度未知且满足直角三角形条件时，可设所求线段长为x，利用勾股定理建立一元一次方程求解。 常见应用场景：折叠问题、梯子滑动问题、构造直角三角形求高问题等。解题核心是找到隐含的等量关系（如折叠前后边相等、梯子长度不变、斜边与直角边关系等），列出方程后求解，并检验结果的合理性（线段长度为正）。 29．（25-26八年级下·重庆巴南·期末）如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理可知，根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵沿折叠，使点与点重合， ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴． 30．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）如图，已知在长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则_______． 【答案】 【分析】利用折叠的性质，设，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：，即． 31．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多少？ 【答案】这根芦苇的长度为尺，水深为尺． 【分析】设水深为尺，则芦苇的长度为尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇的长度为尺， ∵水面是一个边长为尺的正方形，芦苇在水池正中央， ∴尺， 在中，, ∴， 解得：， ∴（尺）． 答：这根芦苇的长度为尺，水深为尺． 32．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支流在此汇合，自古得名“九溪归一”．如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A，沿河步道设有两个观景打卡点B，C．已知，为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条观光小路，测得，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 【答案】(1)解：为直角三角形，理由如下：            ，，， ，， ，             为直角三角形． (2)原路线的长为 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）设，则，再利用勾股定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：设，则， 由（1）知为直角三角形， ， 为直角三角形， ， 即， 解得， ， 原路线的长为． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）如图，村庄C在新修的村道B端北偏西方向100米处，同时在新修的村道A端南偏西方向240米处，村道长为260米．现需在村道上修建一个公交车停靠站D，要求村庄C距公交车停靠站D的距离最近，则最近的距离是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，过点C作于点N，则的长为点C到的最近距离，根据的面积求出即可． 【详解】解：由题意得米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，． ∴（平方米）． 过点C作于点N，则的长为点C到的最近距离． ∵， ∴， ∴米， ∴最近的距离是米． 2．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）如图，在中，，是边的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由作图可得，，进行解答，即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是边的中点， ∴； ∵以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接 ∴． 3．（2026·浙江温州·二模）如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将线段进行平移，平移以后利用勾股定理求出三角形的各个边，利用勾股定理的逆定理进行判断求解． 【详解】解：如图所示， A、由方格纸知：可平移到与重合，此时：，， ∴与不垂直，不符合题意； B、可平移至与重合，此时与不垂直，不符合题意； C、可平移至与重合，此时： ， ， ∴，符合题意； D、可平移至与重合， ∴，与题意不符． 4．（25-26七年级下·陕西西安·期末）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心．如图所示，在底面周长为，高为的柱子上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在柱子上的巨龙长至少为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，柱身高为米，底面周长为米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕圈到达柱顶正上方的点， ∴，，，，，， ∴， ∴（米）， ∴雕刻在柱子上的巨龙长至少为米． 二、填空题 5．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在长方形中，，，点在边上，将沿着折叠，使点恰好落在对角线上点处，则的面积是 __________ ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，勾股定理求出，由折叠可得，，，推出，设，则，在中，由勾股定理列方程求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，，， ，，， 由折叠可得，，，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ， ， 故答案为：． 6．（25-26八年级下·河南新乡·期中）2026年3月20日下午，在完成既定任务后，中越海军舰艇编队举行分航仪式，标志着第40次北部湾联合巡逻暨首次海上联合训练顺利结束．如图，在演习过程中一艘船以5海里/时的速度从港口出发，向西北方向航行，另一艘船以12海里/时的速度同时从港口出发，向西南方向航行，离开港口1小时后，两船相距_______海里． 【答案】 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了海里和海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：由题意得，西北方向与西南方向的夹角为， ∴如图，两艘船的航行路线构成直角三角形，港口为直角顶点，即， 由题意得，，， ∴． 7．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 【答案】4 【分析】设，则由折叠可得，，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵，点D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴线段的长为． 8．（2026·吉林长春·一模）如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是__________． 【答案】/ 【分析】根据折叠的性质证明，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 三、解答题 9．（25-26八年级下·云南·期中）如图，是一架长米的梯子，斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子底端点离墙的距离的长为米． (1)此时梯子顶端点离地面的距离是多少米？ (2)若梯子顶端从点下滑至点的距离是米，那么梯子底端将向左滑动的距离是多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）使用勾股定理直接计算即可； （2）先求出的长，再使用勾股定理求出，最后求出即可． 【详解】（1）解：在中，（米）； （2）解：（米）， ∵滑动不会改变梯子的长度， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）． 答：梯子底端将向左滑动的距离是米． 10．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M 到喷泉A的距离； (2)请求出喷泉B到小路的最短距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用勾股定理求出，在中利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理证明，则，再根据点到直线的距离即可解答． 【详解】（1）解：∵的长是点到的距离， ∴， ∴， 在中，， ∴； ∵的长为， ∴， 在中，， ∴， 答：供水点到喷泉的距离为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴喷泉到小路的最短距离为的长，即， 答：喷泉到小路的最短距离为． / 学科网（北京）股份有限公司 $