1.3 勾股定理的应用 同步练习-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本同步练习聚焦勾股定理应用，通过基础情境、动态变化到规律探究的三层设计，实现从单一计算到综合建模的知识巩固，培养几何直观与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一直角三角形计算|如无人机爬升（选择1），直接应用勾股定理求斜边，强化概念理解| |中档|含方程思想的情境应用|如梯子滑动问题（选择7），通过设未知数列方程，发展运算能力与推理意识| |提高|动态变化与规律探究|如笔记本张角调整（选择10）、面积关系证明（解答5），培养空间观念与模型意识|

1.3 勾股定理的应用 一．选择题 1．小齐在平地上操控无人机，从点A处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点B处，如图所示，则点A与点B之间的距离是（　　） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 2．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（　　）尺． A．26 B．24 C．15 D．17 3．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（　　） A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里 4．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（　　） A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（　　） A．12m B．13m C．16m D．17m 6．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．17m B．18m C．25m D．26m 7．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　） A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8 8．如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为（　　） A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm 9．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 10．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（　　） A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm 二．填空题 1．如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度．位于地面上点A处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点B，仪器显示AB＝23.1；再将激光射向楼顶端的点C，仪器显示AC＝31.9m，则楼高BC＝　 　 m． 2．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　 　 米． 3．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为 　 　 米． 4．如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm，高为4cm，则吸管露出在杯外面的最短长度为　 　 cm． 5．如图，Rt△ABC的两直角边分别为1，2，以Rt△ABC的斜边AC为一直角边，另一直角边为1画第二个△ACD；在以△ACD的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第三个△ADE；…，依此类推，第n个直角三角形的斜边长是　 　 ． 三．解答题 1．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h） 2．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ 3．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 4．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 5．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC＝90°）． 请解答： （1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是　 　 ． （2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是　 　 ，请说明理由． （3）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠BCD＝90°，BC＝2AD，分别以AB、CD、AD为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系式为　 　 ，请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．【解答】解：如图，连接AB， 由题意得：∠ACB＝90°，AC＝3米，BC＝4米， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：（米）， 故选：A． 2．【解答】解：如图，由题意知，CD＝2尺，BC＝8尺， 设AD＝BA＝x尺， 则AC＝（x﹣2）尺， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB2＝AC2+BC2， 即x2＝82+（x﹣2）2， 解得x＝17， ∴AD＝17尺， 故选：D． 3．【解答】解：由题意可得：∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°， 故AB＝2AP＝60（海里）， 则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP30（海里） 故选：D． 4．【解答】解：如图，设大树高为AB＝10m， 小树高为CD＝4m， 过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形， 连接AC， ∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m， 在Rt△AEC中，AC10（m）， 故小鸟至少飞行10m． 故选：B． 5．【解答】解：设旗杆高度为xm，过点C作CB⊥AD于B， 则AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m， 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2， 解得：x＝17， 即旗杆的高度为17米． 故选：D． 6．【解答】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度12， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是12+5＝17（米）． 故选：A． 7．【解答】解：∵AB＝2.5米，AC＝0.7米， ∴BC2.4（米）， ∵梯子的顶部下滑0.4米， ∴BE＝0.4米， ∴EC＝BC﹣0.4＝2（米）， ∴DC1.5（米）． ∴梯子的底部向外滑出AD＝1.5﹣0.7＝0.8（米）． 故选：D． 8．【解答】解：∵侧面对角线BC2＝32+42＝52， ∴CB＝5（cm）， ∵AC＝12cm， ∴AB13（cm）， ∴空木箱能放的最大长度为13cm， 故选：C． 9．【解答】解：如图，∠ACB＝∠BDE＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.4m，DE＝2m． 在Rt△ABC中，AB2.5（m）． ∵AB＝BE， ∴BE＝2.5（m）， ∴BD1.5（m）， ∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米． 故选：C． 10．【解答】解：依题意，AC＝24，BC＝7cm， 在Rt△ABC中，cm， ∵AB＝AD＝25，DE＝20， 在Rt△ADE中，cm， 故选：A． 二．填空题 1．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝31.9m，AB＝23.1m， 由勾股定理得：BC22（m）， 故答案为：22． 2．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD1.5（米） 故答案为：1.5． 3．【解答】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G， ∵∠AOC＝∠AOF+∠COG＝90°， ∠AOF+∠OAF＝90°， ∴∠COG＝∠OAF， 在△AOF与△OCG中， ， ∴△AOF≌△OCG（AAS）， ∴OG＝AF＝BD＝4米， 设AO＝x米， 在Rt△AFO中，AF2+OF2＝AO2，即42+（x﹣1）2＝x2， 解得x＝8.5． 则CE＝GB＝OB﹣OG＝8.5﹣4＝4.5（米）． 故答案为：4.5． 4．【解答】解：设在杯里部分长为xcm， 则有：x2＝32+42， 解得：x＝5， 所以露在外面最短的长度为7﹣5＝2（cm）， 故吸管露出杯口外的最短长度是2cm， 故答案为：2． 5．【解答】解：第1个直角三角形的斜边长是； 第2个直角三角形的斜边长是； …依次可得第n个直角三角形的斜边长的被开方数比第（n﹣1）个直角三角形的斜边长的被开方数大1； 故第n个直角三角形的斜边长是． 故答案为：． 三．解答题 1．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m； 根据勾股定理可得： （m） ∴小汽车的速度为v20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）； ∵72（km/h）＞70（km/h）； ∴这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 2．【解答】解：连接BD， 在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52， 在△CBD中，CD2＝132BC2＝122， 而122+52＝132， 即BC2+BD2＝CD2， ∴∠DBC＝90°， S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC， 36． 所以需费用36×200＝7200（元）． 3．【解答】解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C， 在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，则AC＝160km， 因为160＜200，所以A城要受台风影响； （2）设BF上点D，G，使AD＝AG＝200千米， ∴△ADG是等腰三角形， ∵AC⊥BF， ∴AC是DG的垂直平分线， ∴CD＝GC， 在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米， 由勾股定理得，CD120千米， 则DG＝2DC＝240千米， 遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）． 4．【解答】解：在Rt△ABC中： ∵∠CAB＝90°，BC＝13米，AC＝5米， ∴AB12（米）， ∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置， ∴CD＝13﹣0.5×10＝8（米）， ∴AD（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝12（米）， 答：船向岸边移动了（12）米． 5．【解答】解：设直角三角形ABC的三边AB、CA、BC的长分别为a、b、c，则c2＝a2+b2 （1）S1+S2＝S3，证明如下： ∵S3，S1，S2 ∴S1+S2S3； （2）S1+S2＝S3．证明如下： ∵S3，S1，S2 ∴S1+S2S3； （3）过D点作DE∥AB，交BC于E，设梯形的边AB、DC、AD的长 分别为a、b、c，可证EC＝AD＝c，DE＝AB＝a， ∠EDC＝180°﹣（∠DEC+∠BCD）＝180°﹣（∠ABC+∠BCD）＝90°， 则c2＝a2+b2 ∵S1＝a2、S2＝b2、S3＝c2，表示，则S1+S2＝S3． 故答案为：S1+S2＝S3；S1+S2＝S3；S1+S2＝S3． 学科网（北京）股份有限公司 $