第一章 空间向量与立体几何（单元分层自测·基础通关卷）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高二年级数学“空间向量与立体几何”单元复习卷，精选多地期中期末真题改编，知识覆盖全面，题型梯度合理，注重空间观念与运算推理能力考查，适配单元基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|空间向量坐标运算、线线角余弦值等|基础巩固，如正方体中点线面位置关系题，培养几何直观| |多选题|3题/15分|向量模长、线面垂直、异面直线成角等|能力提升，如正三棱锥表面动点范围题，考查推理意识| |填空题|3题/15分|坐标求解、外接球体积、最值问题等|创新应用，如正方体表面动点距离最小值题，发展空间观念| |解答题|5题/50分|面面垂直证明、夹角计算、存在性探究等|综合应用，如直三棱柱线面角存在性题，强化模型观念与运算能力|

2026-2027学年高二年级数学单元自测 第一章 空间向量与立体几何·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）设，向量，且，则（    ） A．5 B．1 C．-1 D．-5 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏常州·期中）在四面体中，设，，，点M为AB的中点，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·甘肃白银·期末）在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·福建莆田·期末）在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 7．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论不正确的（   ） A．当时，点一定在线段上 B．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C．当点在棱上运动时，的最小值为 D．线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 二、多选题 9．（25-26高二下·甘肃武威·期末）在正方体 中，设棱长为，则下列结论正确的有（    ） A．向量的模长为2 B．向量的坐标为 C．直线与平面垂直 D．异面直线与所成角为 10．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则下列结论正确的有（    ） A． B．异面直线与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角正弦值为 11．（25-26高一下·山东·期末）已知正三棱锥的底面边长和高均为，为三棱锥表面上的动点，则（     ） A． B．三棱锥的内切球半径为 C．的取值范围为 D．若平面，则使直线与所成角为的点有个 三、填空题 12．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知点，，M在y轴上，且，则点M的坐标为____________． 13．（25-26高二下·贵州遵义·期中）在三棱锥中，为正三角形，，且，，则三棱锥外接球的体积为__________． 14．（2026高三·全国·专题练习）在正方体中，，点E，F在线段上，且，点是正方体表面上一动点，点P，Q是正方体表面上两动点，且，则的最小值为_________． 四、解答题 15．（2026·重庆·三模）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 16．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 17．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在正方体中，取． (1)用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 18．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，直三棱柱中，，为棱的中点，，，为棱上一点． (1)求证：平面平面； (2)是否存在点，使得直线与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 19．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，．    (1) 求平面与平面夹角的正弦值； (2)若空间中存在一点Q，满足，且直线平面，求的长 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第一章 空间向量与立体几何·基础通关（参考答案） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D A A D A B C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 CD BCD ABC 三、 3、 填空题（共3小题，共15分） 12． 13． 14． 4、 解答题（共5小题，共77分） 15．（13分） 【详解】（1）在矩形中，分别为的中点，连接，则， 在与中，易得，，因为，所以，（2分） 因为平面，平面，所以平面，（4分） 同理，，因为平面，平面，所以平面， 又因平面，故平面平面.（6分） （2）以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点 和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因，， 则，即令，则，（8分） 设平面的法向量为， 则，即令，则，（10分） 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）， 所以，（2分） 则，（5分） 解得．（7分） （2）因为，，所以， 又，，（12分） 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）.（7分） （2）．（15分） 18．（17分） 【详解】（(1)由直三棱柱得四边形为矩形，由题意，， 因此，．由勾股定理的逆定理得，（4分） 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面．（8分） （2）由直三棱柱得，因为， ，，平面， 所以平面．因为平面， 所以，又由直三棱柱得，，（10分） 以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴和轴， 建立空间直角坐标系，如图， 由题意，，，，，． 设（），可得． 因此，，． 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，所以，（13分） 因此直线与平面夹角的正弦值为， 解得，即为中点，所以， 因此，存在点满足题意，此时．（17分） 19．（17分） 【详解】（1）因为，所以，因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面．（3分） 又平面，所以，因为，所以，， 以点A为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 因为，，，， 所以，，，，，，   ，， 设平面的一个法向量为，则即 令，得，（7分） 同理易知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为．（9分） （2）设，由题可知， 即，，， 即，所以．（12分） 因为平面，所以是平面的一个法向量，所以， 即，（15分） 解得，，故，．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第一章 空间向量与立体几何·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）设，向量，且，则（    ） A．5 B．1 C．-1 D．-5 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏常州·期中）在四面体中，设，，，点M为AB的中点，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·甘肃白银·期末）在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·福建莆田·期末）在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 7．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论不正确的（   ） A．当时，点一定在线段上 B．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C．当点在棱上运动时，的最小值为 D．线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 二、多选题 9．（25-26高二下·甘肃武威·期末）在正方体 中，设棱长为，则下列结论正确的有（    ） A．向量的模长为2 B．向量的坐标为 C．直线与平面垂直 D．异面直线与所成角为 10．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则下列结论正确的有（    ） A． B．异面直线与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角正弦值为 11．（25-26高一下·山东·期末）已知正三棱锥的底面边长和高均为，为三棱锥表面上的动点，则（     ） A． B．三棱锥的内切球半径为 C．的取值范围为 D．若平面，则使直线与所成角为的点有个 三、填空题 12．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知点，，M在y轴上，且，则点M的坐标为____________． 13．（25-26高二下·贵州遵义·期中）在三棱锥中，为正三角形，，且，，则三棱锥外接球的体积为__________． 14．（2026高三·全国·专题练习）在正方体中，，点E，F在线段上，且，点是正方体表面上一动点，点P，Q是正方体表面上两动点，且，则的最小值为_________． 四、解答题 15．（2026·重庆·三模）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 16．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 17．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在正方体中，取． (1)用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 18．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，直三棱柱中，，为棱的中点，，，为棱上一点． (1)求证：平面平面； (2)是否存在点，使得直线与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 19．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，．    (1) 求平面与平面夹角的正弦值； (2)若空间中存在一点Q，满足，且直线平面，求的长 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第一章 空间向量与立体几何·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）设，向量，且，则（    ） A．5 B．1 C．-1 D．-5 【答案】A 【详解】因为，所以，解得 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立坐标系，写出向量坐标，利用向量夹角公式求解即可. 【详解】设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则, 设和所成角为，，即和所成角的余弦值为. 3．（25-26高二下·江苏常州·期中）在四面体中，设，，，点M为AB的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，又点M为AB的中点，所以. 所以 . 4．（25-26高二下·甘肃白银·期末）在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 所以. 5．（25-26高二下·福建莆田·期末）在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 是的中点，故， 故． 6．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 【答案】A 【详解】由，得， 所以或. 7．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据z轴上点的特点，结合空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为， 因为点M到点与到点的距离相等， 所以， 两边同时平方，解得，所以点M的坐标为. 8．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论不正确的（   ） A．当时，点一定在线段上 B．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C．当点在棱上运动时，的最小值为 D．线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 【答案】C 【分析】根据线面垂直判定A，应用空间向量法计算角及外接球球心，结合表面积公式计算判断B，D，应用展开图及勾股定理计算判断C. 【详解】对于A，若， 又因为平面，平面， 所以，又平面，可得平面， 所以，又因为是正方形，所以，所以点一定在线段上，故A正确； ， 对于C，如图，旋转平面，使之与平面共面， 连接交于，此时最短为，大小为，故C错误， 对于B，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 当为的中点时，则，，， 设三棱锥的外接球的球心为，则， 即，解得， ∴三棱锥的外接球半径， ∴三棱锥的外接球表面积为，则B正确； 设线段上存在点，设， 则可得，又，，， 则， 设异面直线与所成角为，若正切值为，则， 即，化简得， 解得，故线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为，故D正确. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二下·甘肃武威·期末）在正方体 中，设棱长为，则下列结论正确的有（    ） A．向量的模长为2 B．向量的坐标为 C．直线与平面垂直 D．异面直线与所成角为 【答案】CD 【详解】对于A，因为正方体的棱长为，则，所以A错误， 对于B，因为题设没有给定确定的空间直角坐标系，建系不一样，的坐标不同， 建立如图所示的空间直角坐标系，易知，所以，故B错误， 对于C，由正方体的性质知平面，所以C正确， 对于D，由正方体的性质知平面，又平面，则， 所以异面直线与所成角为，故D正确. 10．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则下列结论正确的有（    ） A． B．异面直线与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角正弦值为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量的数量积运算判断A；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断B；根据三棱锥的体积公式即可判断C；根据线面夹角的坐标公式即可判断D． 【详解】如图以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 对于A，， 所以，所以不成立，故A错误； 对于B，，， 所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，取平面的一个法向量为， 所以直线与平面所成角正弦值为，故D正确． 11．（25-26高一下·山东·期末）已知正三棱锥的底面边长和高均为，为三棱锥表面上的动点，则（     ） A． B．三棱锥的内切球半径为 C．的取值范围为 D．若平面，则使直线与所成角为的点有个 【答案】ABC 【详解】设正三棱锥顶点在底面的投影为底面中心，作于点， 底面边长为，，则，. 对于A，，A正确； 对于B，因，则三棱锥的侧面积为， 则表面积，设三棱锥的内切球半径为， 因三棱锥的体积为， 则由可得，B正确； 对于C，易知点为的中点，且， 所以 当重合时，． 下面求的最大值． 三棱锥表面上的任意点均在某个三角形面内，而三角形内一点到定点的距离不超过该三角形三个顶点到的距离中的最大值． 四个顶点到的距离分别为 所以，且最小值在重合时取得，最大值在重合时取得． 又当沿三棱锥表面上的折线连续移动时，的长度可以取遍内的所有数， 因此，从而，故C正确． 对于D，若平面且在三棱锥表面上，则位于三角形内或其边界上． 以为原点，建立空间直角坐标系，使轴平行于，轴沿方向． 则，设，， 由于三角形在轴方向上的投影长度为6，且投影关于原点对称，所以 设直线与所成角为，则 因此，不存在使直线与所成角为的点，更不是3个，故D错误．    三、填空题 12．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知点，，M在y轴上，且，则点M的坐标为____________． 【答案】 【详解】设，由知，点M到A、B两点距离相等. 由两点之间距离公式可得：， 解之得，所以点M的坐标为. 13．（25-26高二下·贵州遵义·期中）在三棱锥中，为正三角形，，且，，则三棱锥外接球的体积为__________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式求出外接球半径，代入体积公式求解即可. 【详解】因为为等边三角形，所以， 又， 所以与是全等三角形，故， 又，所以， 以点为原点，以，为轴，轴，以平面内过点且垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，. 设三棱锥外接球的球心为，半径为， 则，解得. 所以三棱锥外接球的体积为. 14．（2026高三·全国·专题练习）在正方体中，，点E，F在线段上，且，点是正方体表面上一动点，点P，Q是正方体表面上两动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，由已知可得点在球心为半径为2的球面上，由向量的知识可知，求出的最小值解答即可. 【详解】如图， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，由， 则， 即， 也即， 由此可知点都是在球心为，半径为2的球面上， 由于，故是球的直径，为中点， ， 故要求的最小值，只需要求出的最小值， 而在正方体的表面上，设点在平面内的射影为， 则当在处时， 此时，即的最小值为. 四、解答题 15．（2026·重庆·三模）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据面面平行的判定定理来证明 （2）先建立空间直角坐标系，再分别求出平面和平面的法向量，最后计算夹角的余弦值. 【详解】（1）在矩形中，分别为的中点，连接，则， 在与中，易得，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，，因为平面，平面，所以平面， 又因平面，故平面平面. （2）以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点 和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因，， 则，即令，则， 设平面的法向量为， 则，即令，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 16．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用空间向量的加减运算及数乘运算得，再利用空间向量的模计算即可； （2）利用空间向量的数量积和夹角公式计算得结论． 【详解】（1）， 所以， 则， 解得． （2）因为，，所以， 又，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为． 17．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在正方体中，取． (1)用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）． 18．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，直三棱柱中，，为棱的中点，，，为棱上一点． (1)求证：平面平面； (2)是否存在点，使得直线与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)由直三棱柱得四边形为矩形，由题意，， 因此，．由勾股定理的逆定理得， 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． (2)存在， 【分析】（1）根据条件，利用线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，结合条件，由线面角的向量法，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由直三棱柱得，因为， ，，平面， 所以平面．因为平面， 所以，又由直三棱柱得，， 以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴和轴， 建立空间直角坐标系，如图， 由题意，，，，，． 设（），可得． 因此，，． 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，所以， 因此直线与平面夹角的正弦值为， 解得，即为中点，所以， 因此，存在点满足题意，此时． 19．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，．    (1)求平面与平面夹角的正弦值； (2)若空间中存在一点Q，满足，且直线平面，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （2）利用空间向量的坐标运算求出，再利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】（1）因为，所以，因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面． 又平面，所以，因为，所以，， 以点A为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 因为，，，， 所以，，，，，，   ，， 设平面的一个法向量为，则即 令，得， 同理易知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为． （2）设，由题可知， 即，，， 即，所以． 因为平面，所以是平面的一个法向量，所以， 即， 解得，，故，． 学科网（北京）股份有限公司16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $