高中数学单元测试——第一章空间向量与立体几何（较难版01）

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何单元，通过基础辨析、综合应用及探究性问题，分层考查空间观念、推理能力与模型观念，适配单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间直角坐标系对称、基底判定、方向向量|基础概念辨析，考查空间观念| |多选题|3/18|向量共面、线面角、平行六面体向量运算|综合性质判断，发展推理能力| |填空题|3/15|向量模、二面角正切值|关键计算能力，强化模型观念| |解答题|5/77|异面直线所成角、存在性探究、空间距离|分层递进，融合探究与应用|

高中数学单元测试 —— 第一章 空间向量与立体几何（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点与点关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．平面对称 D．平面对称 【答案】D 【分析】根据空间两点关于坐标平面对称的特点，若两点关于平面对称，则它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数。观察已知两点坐标可得，它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数，故两点关于平面对称。 【详解】点与点关于平面对称， 故选：D． 2．（本题5分）在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量加减法的法则即可得解. 【详解】. 故选：C. 3．（本题5分）若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据基底的定义，结合空间向量的共面条件，可得答案. 【详解】因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作为基底． 故选：D. 4．（本题5分）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线的坐标表示可得出答案． 【详解】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 5．（本题5分）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积运算求得正确答案. 【详解】依题意可知, . 故选：B 6．（本题5分）已知是平面外任意一点，点在面内，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理得推论，得到，即可求解. 【详解】因为与三点共面，且， 根据空间向量的共面定理得推论，可得，解得. 故选：C． 7．（本题5分）设点，，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解. 【详解】设，则，且， 因为，可得，解得，即点. 故选：B. 8．（本题5分）我们给出定义：在空间直角坐标系中，若平面经过点，向量，为平面的一个法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为.已知平面的方程为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得平面的一个法向量为，再由点到平面距离向量法求解即可. 【详解】平面的方程可以化为， 则平面的一个法向量为， 且平面经过点，又， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ） A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面 【答案】ABC 【分析】根据单位向量，相等向量，相反向量及共面向量的概念即得. 【详解】由题可知单位向量有共8个，故A正确； 与相等的向量有共3个，故B正确； 向量的相反向量有共4个，故C正确； 因为，向量有一个公共点，而点都在平面内，点在平面外，所以向量不共面，故D错误. 故选：ABC. 10．（本题6分）设，分别是直线，的方向向量，，分别是平面，的一个法向量，则（    ） A．若，则 B．若，，且，则与的夹角为 C．若，则直线与平面所成的角为 D．若，且，则 【答案】AC 【分析】利用直线方向向量与平面法向量的位置关系，逐一分析各选项即可得解. 【详解】，分别是直线，的方向向量，，分别是平面，的一个法向量， 对于A，易知若，则，故A正确； 对于B，由，可知，直线，， 显然当与平行时，直线可以满足，故B错误； 对于C，当时，直线与平面所成的角为，故C正确； 对于D，若， 则直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为， 又，则直线所成角可以为，即直线与不平行，故D错误. 故选：AC. 11．（本题6分）如图，平行六面体的所有棱长均为1，且，，，记，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】根据题意由空间向量的加减运算即可得A正确；计算利用向量数量积即可判断B；由向量数量积计算可得，判断C；空间向量数量积公式结合向量夹角公式计算即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，A正确； 对于B，因为，，， 所以，，， ，B正确； 对于C，又，， 所以 ，所以与不垂直，C错误； 对于D，易知， ， 设直线与所成角为，则， 所以直线与所成角的余弦值为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）已知，则______． 【答案】 【分析】根据结合数量积与模长的公式求解即可. 【详解】由， 有． 故答案为： 13．（本题5分）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于______（，不重合）. 【答案】0 【分析】根据给定条件，可得，，由此可以求出，再由求得答案. 【详解】两个单位向量，与向量的夹角都等于， 则，又，， ，而，， 由，得，若，则，此时，点重合，不符合题意， 因此，，，所以. 故答案为：0 14．（本题5分）在四棱锥中，底面是正方形，底面，若二面角的大小为，则的值为______． 【答案】1 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量坐标，再利用面面角的向量求法列式计算即得. 【详解】四棱锥的底面是正方形，底面， 建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，， 设平面和平面的法向量分别为， 则，令，得； ，令，得， 依题意，解得，所以. 故答案为：1 四、解答题 15．（本题13分）如图所示，已知直三棱柱中，D为的中点，，    (1)用表示； (2)求． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算，结合空间向量基本定理求解即可； （2）根据数量积的定义和数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）， . （2）由题意可知，，， ， 所以． 所以 =. 16．（本题15分）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点. (1)求平面； (2)求直线BE与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）建空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行； （2）利用空间向量求线面角的正弦值即可. 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 依题意，得， 则，设平面的法向量， ，所以，取，得 因为， 所以．所以． 又面． 所以面． （2）正方体中，平面 故是平面的法向量， 因为， 所以， 所以直线和平面所成的角的正弦值为． 17．（本题15分）如图，已知正方形是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点在底面圆周上，，点是的中点. (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离向量求法即可求解； （2）求出两个平面的法向量，利用面面角的向量求法即可求解. 【详解】（1）因为线段是底面圆的直径，所以，所以， 以点为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 所以，设点到直线的距离为， 则，故点到直线的距离为； （2）由（1）可知，， 设为平面的一个法向量， 则由，可取， 设为平面的一个法向量， 则由，可取， 设平面与平面所成角为，则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 18．（本题17分）如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点. (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）以为原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成的角的余弦值； （2）计算出平面的一个法向量的坐标，假设存在点，设，其中，求出的坐标，利用空间向量法可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值，即可得解. 【详解】（1）解：，，，得， 由题意，因为，所以，， 又侧面，以为原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，，，，， ，， 设异面直线与所成的角为，则， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. （2）解：由（1）得，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 假设存在点，设，其中， ， 由已知可得， 得，即，解得或， 因此，在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，且或. 19．（本题17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【分析】（1）应用面面垂直的性质定理得出线面垂直进而得出线线垂直； （2）应用空间向量法求点到平面距离； （3）设，再应用空间向量法计算二面角余弦值求参. 【详解】（1）证明：在中，因为， 所以， 所以，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以. （2）由（1）可得，又，所以两两垂直， 以所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量，因为， 所以即 令，则，所以， 所以点到平面的距离. （3）假设存在，设，则， 所以， 设平面的一个法向量因为， 所以即， 令，则， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则 解得或（舍）， 所以存在点，使得满足要求，此时，即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章 空间向量与立体几何（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点与点关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．平面对称 D．平面对称 2．（本题5分）在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（本题5分）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 6．（本题5分）已知是平面外任意一点，点在面内，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）设点，，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）我们给出定义：在空间直角坐标系中，若平面经过点，向量，为平面的一个法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为.已知平面的方程为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ） A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面 10．（本题6分）设，分别是直线，的方向向量，，分别是平面，的一个法向量，则（    ） A．若，则 B．若，，且，则与的夹角为 C．若，则直线与平面所成的角为 D．若，且，则 11．（本题6分）如图，平行六面体的所有棱长均为1，且，，，记，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．直线与所成角的余弦值为 三、填空题 12．（本题5分）已知，则______． 13．（本题5分）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于______（，不重合）. 14．（本题5分）在四棱锥中，底面是正方形，底面，若二面角的大小为，则的值为______． 四、解答题 15．（本题13分）如图所示，已知直三棱柱中，D为的中点，，    (1)用表示； (2)求． 16．（本题15分）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点. (1)求平面； (2)求直线BE与平面所成角的正弦值. 17．（本题15分）如图，已知正方形是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点在底面圆周上，，点是的中点. (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（本题17分）如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点. (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．（本题17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $