第一章 空间向量与立体几何（单元分层自测·培优冲刺卷）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 高二年级数学空间向量与立体几何单元培优冲刺卷，整合各地期末及一模真题，覆盖空间向量运算、线面关系等核心知识，适配单元复习，提升空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/32分|空间直角坐标系、向量模长、异面直线所成角|结合正方体、正三棱柱模型，基础与中档题结合| |多选题|3题/15分|空间基底性质、正八面体线线关系|考查概念辨析与空间想象，选项层次分明| |填空题|3题/15分|对称点坐标、动点距离最值、内切球线面角|注重空间转化与计算，体现创新性| |解答题|5题/58分|线面平行证明、线面角、二面角、翻折问题|综合正方体、四棱锥模型，分层设问，强化逻辑推理与数学表达|

2026-2027学年高二年级数学单元自测 第一章 空间向量与立体几何·培优冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二下·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则点到平面的距离为． 2．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】 ，故选项A正确． 3．（25-26高二下·广西桂林·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入空间向量模的公式即可求出答案. 【详解】,. 4．（2026·北京石景山·一模）如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量法可解. 【详解】 不妨以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 对于A，则， ， 则，所以不垂直，故A错误； 对于B，则， ，则，所以不垂直；故B错误； 对于C，则， ，则，所以垂直，故C正确； 对于D，则， ，则，所以不垂直，故D错误. 5．（2026·重庆·一模）正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以A为原点，在平面中，过A作的垂线为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值． 【详解】在正三棱柱中， 以A为原点，在平面中，过A作的垂线为x轴， 为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，   ，不妨取 则， ， 设异面直线与所成角为， 则， ∴异面直线与所成角的余弦值为． 故选：D． 6．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在梯形中，， 所以， 所以. 7．（25-26高二下·福建龙岩·期末）在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设点坐标，利用可得点Q坐标，从而可以计算的值. 【详解】如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. . 又因为，，， 所以 设，则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 因为点在平面上，所以， 即，解得. 所以. 8．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知三棱台中，平面平面，，底面满足且，点在棱上运动，则点到平面的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，根据底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，得到且．再利用面面垂直和棱台的相似关系建立空间直角坐标系，设在上的位置参数为，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式把问题转化为二次函数最值问题． 【详解】 取的中点，连接，因为，所以， 又因为，，所以，从而， 且是等腰直角三角形，故， 设为的中点．因为为三棱台，所以， 又因为，所以四边形为等腰梯形，故， 因为平面平面，且交线为，所以平面， 在等腰梯形中，， 由，得， 所以； 以为原点，， ，所在直线分别为 ， ，轴，建立空间直角坐标系， 则，， 由于三棱台的上、下底面相似，且， 所以，故， 因为点在棱上运动，故可设， 其中，则， 所以， 设平面 的法向量为， ， 令，则， 所以平面的法向量， 又，故点到平面的距离为， 即， 化简得， 因为，且， 所以当时，取得最小值，此时取得最大值，且. 二、多选题 9．（2026·湖南长沙·一模）已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．向量、、一定共面 C．向量在基底下的坐标是 D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 【答案】ACD 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，因为是空间的一个基底，若， 假设、、不全为零，不妨设，则， 所以、、共面，矛盾，故，同理可得，，即，A对； 对于B，假设、、共面， 则存在、，使得， 即， 根据A可知，该方程组无解，假设不成立， 故向量、、不共面，B错； 对于C，向量在基底下的坐标是，C对； 对于D，由B可知，向量、、一定不共面， 则可作为空间向量的一组基底， 故空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组， 使得，D对. 10．（25-26高二下·河南平顶山·期末）在正八面体中（正八面体是由个全等的正三角形围成的多面体），四边形为正方形，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先根据题意建立空间直角坐标系，再设，到平面的距离为，从而找出所需点的坐标，从而得到所需向量的坐标，进而根据空间向量平行，及垂直的判定逐一判断即可． 【详解】以正八面体的中心为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，    设，到平面的距离为， 则， 则，，，，，， 又E，F，G，H分别为，，，的中点， 则，，，， 对于A，由，，则，故A正确； 对于B，由，，则，故B正确； 对于C，结合选项A、B，由，则，故C正确； 对于D，由，，，得与不垂直，故D错误． 11．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则（    ）    A．直线平面 B．点到平面的距离是 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．平面平面 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】在正三棱柱中，，，为的中点,所以, 以为原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    求得, 选项A:,, 设平面的法向量,则,,列方程可得, 代入向量得,令,则,所以, 计算,所以直线不垂直平面,选项A错误； 选项B:因为,所以点到平面的距离,选项B正确； 选项C:因为, 所以异面直线和所成角的余弦值,选项C正确； 选项D:,,设平面的法向量, 则,,列方程可得,代入向量得, 可知,令,则,所, 由前面可知平面的法向量，计算, 所以平面不垂直平面，选项D错误. 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 【答案】 【详解】因为空间点关于坐标平面对称时，坐标取反，坐标不变， 所以关于坐标平面的对称点为， 因为空间点关于轴对称时，坐标不变，坐标都取反， 所以关于轴的对称点为， 所以． 13．（25-26高二下·甘肃兰州·期末）棱长为1的正方体中，点为上的动点，为底面的中心，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，先求，再求，最后利用二次函数即可求解. 【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 由棱长为，所以， 所以， 设， 所以， 所以， 所以当时，的最小值为. 14．（25-26高二下·福建厦门·期末）空间直角坐标系中，，，，为三棱锥的内切球的球心，与平面所成角的正弦值为_______. 【答案】/ 【分析】推导出与重合，求出平面的法向量，从而求出与平面所成角的正弦值. 【详解】如图，，故， 易知三棱锥的四个顶点也是长方体的顶点. 四面体中，， 设为的中点，则， 所以三棱锥，，，是4个全等的三棱锥， 由此可知到平面，平面，平面，平面的距离相等， 故与重合. 设平面的法向量， 由，得 ， 令，则，故平面的法向量. 又，所以与平面所成角的正弦值为. 四、解答题 15．（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 【答案】(1) 连接，由正方体可知，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ． (2)1； 【分析】（1）根据正方体的性质，利用线面平行证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量的坐标，求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式结合点到平面的距离公式求解． 【详解】（1）略 （2） 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 设的长为a，则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可得； 设直线与平面所成角为， 则，解得， ， 故的长度为1； ，点到平面的距离． 16．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) 证明：连接交于点，连接， 因为为菱形，则为的中点， 又因为为的中点，在三角形中，， 且平面，平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）连接交于点，根据题意可得，结合线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，结合面面夹角余弦公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）建立如图所示坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面法向量， 则，令，则 设平面法向量， 则，令，则 设平面与平面夹角， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)连接并延长，交圆于点，连接， 则，， 所以四边形为矩形，所以， 因为，所以， 故平面与平面的交线为所在直线，即所在直线为直线， 因为为直径，所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面，即平面. (2)存在，1 【分析】（1）由三角形中位线性质得，结合圆的直径特征构造矩形，以此确定两平面的交线；利用直径所对圆周角为直角得到线线垂直，再结合面面垂直的性质定理，证明平面. （2）建立空间直角坐标系，设出直线上点的坐标，求出平面的法向量；根据线面角的向量计算公式列方程，解出参数后得到的长度，验证点是否存在. 【详解】（1）略 （2）在上取点，连接，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直，的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，， 所以，，，， ，， 则， 设平面的法向量为， 则 解得，令，则， 故，又， 故， 解得，故，即直线上存在点， 使得直线与平面所成的角的正弦值为，且. 18．（25-26高二下·安徽宿州·期末）如图，已知正方体，其中点为线段上靠近的三等分点，点为直线，的交点． (1)若，求，，的值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出对应向量坐标，根据向量相等构造方程组求解系数； （2）求出平面法向量，利用线面角的向量计算公式完成求解. 【详解】（1）不妨设正方体棱长为3. 如图所示，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 是、交点，故， 是靠近的三等分点，则， 向量，，，， 因为， 则， 即，解得. 则. （2），，，设平面法向量， 则， 令，得， 设线面角为，满足， 因为， ，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19．（25-26高二下·福建莆田·期末）如图，在梯形中，，，，，，，分别为边，上的动点，且．沿将梯形翻折，使平面平面，且． (1)求的长； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)若四面体的四个顶点都在球上，求三角形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作于点,连接,证明平面，得到，再使用等面积法，计算出，最后求出的长； （2）以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再计算出平面与平面所成角的余弦值； （3）若四面体的四个顶点都在球上，由于为直角三角形，故球心在经过斜边中点与平面垂直的直线上，设球心,利用求出球心的坐标，再求出点到直线的距离，最后求得三角形的面积. 【详解】（1）作于点,连接， 因为平面平面，平面平面，平面, 所以，平面，平面， 所以，，又，，平面, 所以，平面，平面， 所以，， 由，得 即, 翻折前在梯形中，由得，沿将梯形翻折后，, 在平面四边形中，，那么, 又所以四边形是平行四边形， 所以，, 设，则，， 即，解得, 所以，. （2）在原直角梯形中，作于点，那么 四边形为矩形，, ,所以为等腰直角三角形，， 由于,所以，， 所以，沿将梯形翻折后，为等腰直角三角形, , 以为原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，那么 ,, , 设平面法向量为，平面法向量为，那么 ， 取，则为平面一个法向量， , 取，则为平面一个法向量， , 所以，平面与平面所成角的余弦值为. （3）若四面体的四个顶点都在球上， 由于为直角三角形，故球心在经过斜边中点与平面垂直的直线上，设球心，则由可得 ，解得， 所以，， 点到直线的距离为 , 所以，. 学科网（北京）股份有限公司21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第一章空间向量与立体几何·培优冲刺卷（参考答案） 一、 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B c e D & 8 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 ACD ABC BC 三、填空题（共3小题，共15分） 12 2W14 6 13.6 品n 四、解答题（共5小题，共77分） 15.(13分) 【详解】(1)连接4C,由正方体可知 AAIICC AA=CC ·四边形 为平行四边形，1C4G AAC :AC￠平面 A5.4GC平面CA6,4C/平面C45,4分) 平面 :4CC平面4BCD,平面BCDn平面G45=r .ACEF.(6分) 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D-z, 设4E的长为a,则4(20,0,420,2.C0,22).B22,2).B2,a.0 4B=(0,2,0)AC1=(（-2,2,0)AE=(0,a,-2) 设平面C4E的一个法向量为i=(x,y,z), n.AC=-2x+2y=0 则n4E=心-22=0，故可相i-1:(8分) 设直线48与平面G4 所成角为， sin0-cos()= 4B列·2 2 则 4B同 22+,解得。0公 4 a=1 、正=(0,10)，故A的长度为1： d=I 4B元24 3.13分) V2+4 16.(15分) 【详解】证明：连接BD交AC于F点，连接EF, 2/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为ABCD为菱形，则F为BD的中点， 又因为E为PD的中点，在三角形BPD中，EFPB,(4分) 且EFC平面ACE,PBC平面ACE, 所以PB/I平面ACE.(6分) (2)建立如图所示坐标系， 则P(2,0o）.D〔0,2,0），C0,1,B0,-l5).A0,0.0) 可得Pc=(213),BC=0,20),而-(O,1l3)】 设平面P8C法向量m=(,,2) mPC=-2x+y+3z=0 则m.BC=2y=0 设平面PCD法向量' i=(x2,y2,z2) [iPC=-2x+2+V5z2=0 设平面PBC与平面PCD夹角B, 则s0=kes成对原月_ 5 -S m同212ī7，(14分) 23 5 所以平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为7·(15分) 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(15分) 【详解】()连接C0并延长，交圆O于点S,连接AS,SB,SF, 则AB=SC,OA=OB=OC=OS 所以四边形ASBC为矩形，所以BCAS, 因为EFIBC,所以EFIAS,(3分) 故平面AEF与平面ABC的交线为AS所在直线，即AS所在直线为直线I, 因为CS为直径，所以AC⊥AS,(5分) 因为平面PAC⊥平面ABC,交线为AC,ASC平面ABC, 所以AS⊥平面PAC,即I⊥平面PAC.(7分) (2)在AS上取点Q,连接PQ,以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，垂直CA, CB的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 因为PA=PC=AC=2,BC=4, A(2,00),B(0,4,0), 传29 Q(2,m0）,(9分) -(3-( 设平面AEF的法向量为 =(x,y,z) z=0, 2 02(yz)=-3 2 则 -(含2}=*2 2 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得=0，令=1，则2=5 故i=05),又P-(m5).(12分) 故cos PO,月= PO.n 1-3引-5 Pg方21+m2+35, 解得m=±1，故AF1,即直线l上存在点， v5 使得直线PP与平面AEF所成的角的正弦值为5，且|A犯上1. B (15分) 18.(17分) 【详解】(1)不妨设正方体棱长为3. 如图所示，以P为原点，D1,DC,DD 七，y2 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系， D C方 D0,0,0)D(0,0,3)A(3,0,3)C(0,3,3)B(3,3,3)B3,3,0) 则 5/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0见4、9安点，侣} E是品靠近品的三等分点，则 B E(3,3,2) 3分) 向量D4=80,0,DG=0,3,0,DD=00,-3), 因为E0=DA+0G+DD 则23，=x60.0+0,3.0+z00,3)=6x3y,3阿）5分y 3x=-3 x2 1 3 即3y=2,解得=-2 -3z=1 1 2=-3 则o:D4-号DC-号DD.(8分) （2)46,00),M狐=03,3)MD=(-3,03),设平面MBD法向量i=(a6,c, ∫i.AB=3b+3c=0b=-c 则nAD=-3a+3c=0a=c, 令c=1,得i=4,山，)，(12分) 设线面角为0，满足i血0cos(B0,1EO E, 因为0=含11， 网-n-要，T- 6/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以i面B气 1 266 22.5 V6633, 2 V66 即直线E0与平面AB,D,所成角的正弦值为33. (17分) 19.(17分) 【详解】(1)作CG⊥EF于点G,连接AG,BG, 因为平面CDEF⊥平面ABFE,平面CDEF∩平面ABFE=EF,CGC平面CDEF, 所以，CG⊥平面ABFE,BEc平面ABFE, 所以，CG⊥BE,又AC⊥BE,CG∩AC=C,CG,ACc平面ACG, 所以，BE⊥平面ACG,AGC平面ACG, 所以，BE⊥AG,(3分) 由EFHAB,ABIICD得EFIICD即EGIICD, 翻折前在梯形ABCD中，由AD⊥AB得，沿EF将梯形ABCD翻折后，EF⊥DE,CD⊥DE,EF⊥AE, 在平面四边形CGED中，CG⊥EG,DE⊥EG,那么CGDE, 又CD/EF,所以四边形CGED是平行四边形，(3分) 所以，EG=DC=1, 设E=x,则4G=VAE+EG=VR+1,BE=VAE2+AB2=√F+16 S#5-（EG+A)AE_4G-BB 2 2 即1+4x=Vx2+12+16 解得x=2 所以，DE=AD-AE=1.(5分) (2)在原直角梯形ABCD中，作CM⊥AB于点M,那么 719 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四边形DCMA为矩形，CM=DA=3,DC=AM=1 MB=AB-AM=3,所以△CMB为等腰直角三角形，∠B=平， 4, 由于CDEF,所以，∠CFE=∠B=交. Γ4 所以，沿EF将梯形ABCD翻折后，△CGF为等腰直角三角形， CG=GF=1,(7分) 以E为原点，EA,ED,EF分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，那么 E(0,0,0),B(2,4,0),C0,1,1)F(0,2,0) BC=(-2-3,1),CE=(0,-1,-1),CF=(0,1-1) 设平面BCE法向量为”=，2刊，平面BCF法向量为%=(：，为，2），那么 mBC=0∫-2x-3y+a=0∫x=2a zCE=0-y-3=0 → y=-名， 取2-，则西=2-D为平面BCE-个法向量。 乃·BC=0∫-2x2-3y2+232=0∫x2=-z2 2CF=0-2=0 y2=2, 取，则%=（-1》为平面BCF一个法向量，(9分) cos m,n -2-1+12 √4+1+1×V1+1+13, 2 所以，平面BCE与平面BCF所成角的余弦值为3·(11分) 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若四面体ABCE的四个顶点都在球O上， 由于△ABE为直角三角形，故球心O在经过斜边BE中点(，2,0)与平面ABE垂直的直线上，设球心 01,2,z） ,0C=0E可得 ，则由 V1+(2-1)2+(z-102=V1+22+z2 ,解得2=-1，(13分) 所以，01,2，-)， 点O1,2,-)到直线EF的距离为 EO.EF d= =√2 EF 所以.及mF2x2=5 G A B (17分) 9/9………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第一章 空间向量与立体几何·培优冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二下·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 3．（25-26高二下·广西桂林·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京石景山·一模）如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆·一模）正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·福建龙岩·期末）在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知三棱台中，平面平面，，底面满足且，点在棱上运动，则点到平面的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·湖南长沙·一模）已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．向量、、一定共面 C．向量在基底下的坐标是 D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 10．（25-26高二下·河南平顶山·期末）在正八面体中（正八面体是由个全等的正三角形围成的多面体），四边形为正方形，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则（    ）    A．直线平面 B．点到平面的距离是 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．平面平面 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 13．（25-26高二下·甘肃兰州·期末）棱长为1的正方体中，点为上的动点，为底面的中心，则的最小值为__________． 14．（25-26高二下·福建厦门·期末）空间直角坐标系中，，，，为三棱锥的内切球的球心，与平面所成角的正弦值为_______. 四、解答题 15．（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 16．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（25-26高二下·安徽宿州·期末）如图，已知正方体，其中点为线段上靠近的三等分点，点为直线，的交点． (1)若，求，，的值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 19．（25-26高二下·福建莆田·期末）如图，在梯形中，，，，，，，分别为边，上的动点，且．沿将梯形翻折，使平面平面，且． (1)求的长； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)若四面体的四个顶点都在球上，求三角形的面积 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第一章 空间向量与立体几何·培优冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二下·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 3．（25-26高二下·广西桂林·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京石景山·一模）如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆·一模）正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·福建龙岩·期末）在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知三棱台中，平面平面，，底面满足且，点在棱上运动，则点到平面的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·湖南长沙·一模）已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．向量、、一定共面 C．向量在基底下的坐标是 D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 10．（25-26高二下·河南平顶山·期末）在正八面体中（正八面体是由个全等的正三角形围成的多面体），四边形为正方形，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则（    ）    A．直线平面 B．点到平面的距离是 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．平面平面 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 13．（25-26高二下·甘肃兰州·期末）棱长为1的正方体中，点为上的动点，为底面的中心，则的最小值为__________． 14．（25-26高二下·福建厦门·期末）空间直角坐标系中，，，，为三棱锥的内切球的球心，与平面所成角的正弦值为_______. 四、解答题 15．（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 16．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（25-26高二下·安徽宿州·期末）如图，已知正方体，其中点为线段上靠近的三等分点，点为直线，的交点． (1)若，求，，的值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 19．（25-26高二下·福建莆田·期末）如图，在梯形中，，，，，，，分别为边，上的动点，且．沿将梯形翻折，使平面平面，且． (1)求的长； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)若四面体的四个顶点都在球上，求三角形的面积 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $