2027年高考数学一轮复习检测卷（范围：第一章 集合与常用逻辑用语、不等式～第六章 数列）（天津专用）

**基本信息** 聚焦集合至数列综合复习，融入“津沽棒”高度测量现实情境与等差等比数列统计量比较新考法，考查数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|9/45|复数、集合、向量、函数性质|第5题以建筑测量情境考解三角形，体现数学应用| |填空|6/30|数列求和、集合运算、函数单调性|第15题直角梯形动态向量问题，考查几何直观| |解答|5/75|三角函数、数列、向量、导数|第19题数列通项与求和证明，第20题导数极值与方程根，凸显逻辑推理与综合应用|

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式~第六章 数列（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．i是虚数单位，复数，则（     ） A．3 B． C．5 D． 2．已知全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．在平行四边形中，，，点E满足，则（     ） A． B． C． D． 4．已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．【新考法】天津市滨海新区最高的楼叫天津周大福金融中心，简称“津沽棒”，也有人戏称它为“金箍棒”，如图，为了测量大楼的高度，测量人员选择一条水平基线，使得，，三点在同一直线上，已知在，两点用测角仪测得其顶点的仰角分别是，，米，测角仪的高度米，则“津沽棒”的高度为（   ）    A．米 B．米 C．米 D．米 6．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的个数是（     ） ①若，则； ②若，则为等腰直角三角形； ③若，，，则符合条件的有两个； ④若的面积，则； A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 8．已知函数，，若，，有，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D． 9．【新考法】数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（，），下列说法错误的是（    ） A．数据，，，…，的平均数是； B．数据，，，…，的平均数是； C．若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数： D．若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．等差数列的前项和为，若，，则______． 11．已知，或，若，则实数的取值范围是______. 12．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 13．已知函数，若对于任意的，恒成立，则实数的值为__________. 14．在中，内角所对应的边分别是，若的面积是，则________． 15．在直角梯形中，已知，，，点F是边的中点，点是线段上一个动点．则的取值范围是________． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）在中，分别为三个内角的对边．且 (1)求角的大小； (2)若． （i）求； （ii）求的值． 17．（15分）已知数． (1)求函数的最小正周期，并写出函数的单调递增区间 (2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围 18．（15分）已知向量，，． (1)求的坐标，的值； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值． 19．（15分）已知，数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，证明：； (3)若数列满足，，求数列的前n项和. 20．（16分）已知，是实数，函数，其中是自然对数的底数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时， （ⅰ）若均有极小值点，且，求实数的取值范围； （ii）若方程有两个根，，当取最小值时，求的值． 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章集合与常用逻辑用语、不等式第六章数列（综合 训练) 参考答案 第一部分（选择题共45分) 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D B A 0 D B B 0 心 第二部分（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.m211.(-o0,-4)U(5,+0）12.(1,413.1 g15. 三、解答题：本题共5小题，共5分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(14分) b2、23 bcsin A+c2=a2 (1)因为°3 以b+c2-a2=2 ,所 3 -bcsin A 由余弦定理得 bccos4=2 3 besinA ,所以tanA=V3, 又A∈(0，)，故A= =3(5分) ②①因为3,623 所以a=b+c2-2 becos A-=4+9-2×2×3×)=7,故g=√7：(9分)》 (i)由正弦定理可得sB=bs血42+3 2-V21 a 7 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为a>b,所以A>B, Be0,2),所以 cos B=-sinB27 7, sin 2B-2sin BcosB=2x4 1 77 c0s2B=2c0s2B-1=2×号1=) 所以 7, 所以sin(2B-A)=sin2 BcosA--cos2Bsin4=4W5x是_1xV3_3W5 727214.(14分) 17.(15分) π (1) f(x)=cos 2x+sin2x 6 =cos 2xcos+sin 2xsin+sin 2x 6 6 3 -cos 2x+sin 2x 2 2 sm2+】 所以的是小正周期为子=三， 由2+26x≤2x+若≤号+2xkeZ, 62 得骨rsx名红eZ, 6 所以f()的单调增区间为L +k，+kr (kez) π 3 6 (6分) (2a-c)cos B=bcosC (2)因为 (2sin A-sin C)cos B=sin BcosC 所以由正弦定理得 2sin Acos B-sin C cos B=sin B cosC, 所以2 sin Acos B=sin BcosC+-sin Ccos B=sin(B+C), 2/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所 2 sin 4coB=sin(B+C)=sin(r-A)=-sin A,（10分) 因为in4≠0，所以osB=，, 因为Be0,),所以B- 3 所以0<A<2红 3, 因为)=v5sm2x+ u引-5m4引 因为0<A< 3,所以6 <A+<5 66 .π 所以2 所以 2】 的取值范围为2°，月 (15分) 18.(15分) 6D由题设2a-6=2-(3.)-1-2》=(-74,=+(-2=5,5分》 (2由题设a+5=(-3,+k0,-2)=k-3,1-2),又c/(a+) k-31-2k 所以1=-1，则k-3=2k-1,可得k=-2:(10分) (3由（②及G1位+），则e位+)=k-3+2k-1=0,可得-号(15分) 19.(15分) 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-0=3 【详解】(1)当n≥2时，由(n-1a,-na1=3,得nn-n-),即 -0u=3-3 n n-1n-1 n 此后+日台十数列片导是常数列则会日导早 3 na2=2n-3 nn +3=4+=2,即nn h02-2n-3 所以数列号的通项公式为”“n.(5分) （②)证明：由1)得a,=2n-3,则2=2-日4，数列21是等比数列 --5-.-2 则Sn=2 1-46 又8-64-4-》=34-+4+. s-6w"--642-24+,因t8:-=4<0, 36 4 所以对任意neN,SS:<S(10分 (3)由(1)得%，=2n-3.所以=2m-3.么.=（←2-(2n-引2=-2n-3-2 则 (3-n)2-3,n为偶数 n-2,n为奇数 Tn=(b,+b3+b+…bn)+(b2+b+b。+…+bn) 当n为偶数时， A=b+b+b+…+bn-1B=b2+b4+b+…+bn 设 B=1×2+(-1)×2+(-3)×23+…+(3-nm)×2-3 4B=1×2+(-1)×23+…+(3-n)×2m- 两式相减得3B=2+(-2)-(2+2++2”)-6-川-2 22-24-6-2叫，于是8=g92. 2 1-4 18 又A=么+6+6+…+6.=-1+1+3+…+n-3=m_4扣 41 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因此7，=4+B=n+2凸 4 93 18 当a为数时n之3无=+6a-少加-》+号2设-2 4 18 g”28 4 36,而T=五=-1满足上式， [-4n+2_ 所以工= ,4。93218n为偶数 36,m为奇数(15分) 20.(16分) (1)当a=b=1时， f(x)=e'+x-Ve 0)=1- 2 2, 求导可得'（☒=+1f(0)=2 所线内在o处的方为}-2-0，=2+1-S（4分) (2)(i)f(x)=e+bx- 2,求导可得f'()=ae“+b, 因为<6，分类讨论 当0≤0时，f(水0，f因单调递减，则不可能有极小值点： 当a>0时，令)=0，即ae+h-0,新释如(8 n〔8》+所，>0，单时道 5/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因t/s有极小值色-n8.且(》0 fna》-e9,(）9-8na）9o 设函数80=1-1h1-y 2, g0)=1-n1-<0,求导可得g0=-nr. 2 当(0,1时，g0>0,80单调递增， 当e+）,g0<0,80单调速减， g0=190.s)-0 当1→0时，8)y-6 ;t+0,8(0)→-0， g0图象如下图所示· y=g(t) 1 故a恒成立，解得0<a≤1.(10分) (方程f() 2有两个根，（飞<）， 由可知a>0,否则( 单调递减，不可能有两个根， 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方程了四)有两个根5kk马等价干e+=e有丽个根5,5任<》 设函数F()e+br-V6,F(O)=1-<0 当→0，F(句规，当→，F(切，故可知<0<5， 记ga,上试等价于e+会=6有两个根5，传<0<4。 a b e"+s =ve a e￥ 即 名=V'两式相减可得 ,记 减可c(e-+2-s)=0As=与-写>0 故上式可写成e(e-1)+b△s=0,即 eAs-1 b △ae, B__e"-Ve e4-1_e"-ve 将a代入可得△sse, 是数0片0，表5网4o)-6一小 52,(12分) 设函数”⊙)=(6-)e+1,求导可得()=0>0,6)单调递增。 故“()>w0)=0,即(6)>0，()单调递增. 要求-最小值，即求的最小值，就是求（⊙）的最小值， 安微0=g<0,求5go)- 设两数P(6)=-心+(+，求导可得P)=-心+6 当s<2时，p(s)>0,p()单调递增；当s>2时，p'()<0,p(s)单调递减， P)-受，P(-)=,P用象如下阳所际 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 y-p(s) 故存在e(1,0)使得P(,)=0,即c+E,+1)=0, 所以当（时，k()k0,(单调潘减。 当c(,0)时.()>0，（⊙）单调递增。 故()2k(6）,即=时，0取最小值。 b-e-E-E(+)-6.-E 故as0 (16分) 8/8 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式~第六章 数列（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．i是虚数单位，复数，则（     ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【详解】因为, 所以. 2．已知全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由全集，集合，得，而， 所以. 3．在平行四边形中，，，点E满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 4．已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用是上的偶函数可知，， 由于，又在区间上单调递增， 则, 故. 5．【新考法】天津市滨海新区最高的楼叫天津周大福金融中心，简称“津沽棒”，也有人戏称它为“金箍棒”，如图，为了测量大楼的高度，测量人员选择一条水平基线，使得，，三点在同一直线上，已知在，两点用测角仪测得其顶点的仰角分别是，，米，测角仪的高度米，则“津沽棒”的高度为（   ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】， 所以， 即， 即，所以， 所以. 6．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的个数是（     ） ①若，则； ②若，则为等腰直角三角形； ③若，，，则符合条件的有两个； ④若的面积，则； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，，由及余弦函数在上递减，得，①错误； 对于②，在中，由，得或， 则或，为等腰三角形或直角三角形，②错误； 对于③，由，得，， 因此有两解，即有两个，③正确； 对于④，由，得，则， 而，则，④正确. 7．已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】B 【详解】令， 展开可得，即，其中， 因为，，由基本不等式可得 当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立， 由不等式对于任意的恒成立，可得， 所以正实数的最大值为. 8．已知函数，，若，，有，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，， 即，则 ，， 令，， 当 时，， 单调递增； 当 时，， 单调递减； 作函数 的草图如下， 由图可知，当时，有唯一解， 故，且，即， 设，则，令，解得， 当 时，，函数单调递增， 当 时，，函数单调递减， 故，即的最大值为. 9．【新考法】数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（，），下列说法错误的是（    ） A．数据，，，…，的平均数是； B．数据，，，…，的平均数是； C．若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数： D．若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数. 【答案】B 【详解】选项A，数列为等差数列，项数为，其前项和为 由等差数列性质，，故平均数为 A正确. 选项B，取，数列为项数3的等比数列， 设，，数列的平均数为 B错误. 选项C，由，，等差数列的中位数为， 等比数列的中位数为. 由均值不等式，（），故，C正确. 选项D，易知点在直线上，点在曲线上， 因为，所以如下图所示： 由图可知，当时，， 所以数列的前项和大于数列的前项和， 所以数列的前项的平均数比的前项的平均数大，D正确． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．等差数列的前项和为，若，，则______． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，因为，， 则,解得：， 所以, 故答案为： 11．已知，或，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为集合，或. 若，则， ∴或，即或. ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 12．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【详解】令，则函数可看成由 与复合而成， 因为对数的底数且，所以是单调递减函数， 又因为函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可以得到， 又在区间上，作为的真数要大于0恒成立， 所以，所以， 综上所述实数的取值范围为. 13．已知函数，若对于任意的，恒成立，则实数的值为__________. 【答案】1 【详解】函数的定义域为. 令，则恒成立， 所以是增函数. 又， 所以当时，；当时，. 令， 则，在上单调递减. 若，则恒成立，是增函数； 又， 所以当时，；当时，. 此时当时，；当时，. 因此要使对于任意的，恒成立，须和有相同的零点，即. 若，恒成立. 当时，，所以， 因此存在，使成立， 即存在，使成立，不合题意. 综上所述，. 14．在中，内角所对应的边分别是，若的面积是，则________． 【答案】 【详解】在中，根据余弦定理可得：. 已知的面积. 将上式代入得：. 又由三角形面积公式得，因此. 由于，故，两边同除以整理得：. 即，因为为三角形内角，所以，因此. 15．在直角梯形中，已知，，，点F是边的中点，点是线段上一个动点．则的取值范围是________． 【答案】 【详解】如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有， 设，则， 且， 由， 因，故. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）在中，分别为三个内角的对边．且 (1)求角的大小； (2)若． （i）求； （ii）求的值． 【答案】(1)(2)（i）；（ii） 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得，所以， 又，故. （2）（i）因为，，， 所以，故. （ii）由正弦定理可得， 因为，所以，故，所以， 所以，， 所以. 17．（15分）已知数． (1)求函数的最小正周期，并写出函数的单调递增区间 (2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围 【答案】(1)最小正周期为，增区间为 (2) 【详解】（1） ， 所以的最小正周期为， 由， 得， 所以的单调增区间为， （2）因为， 所以由正弦定理得 , 所以, 所以, 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以， 所以的取值范围为 18．（15分）已知向量，，． (1)求的坐标，的值； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值． 【答案】(1)，；(2)；(3). 【详解】（1）由题设，； （2）由题设，又， 所以，则，可得； （3）由（2）及，则，可得. 19．（15分）已知，数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，证明：； (3)若数列满足，，求数列的前n项和. 【详解】（1）当时，由，得，即， 因此，数列是常数列，则，即， 所以数列的通项公式为. （2）证明：由（1）得，则，数列是等比数列， 则，，， ， ，因此， 所以对任意，. （3）由（1）得，所以，， 则， 当n为偶数时，， 设，， ， ， 两式相减得 ，于是， 又， 因此； 当n为奇数时，， ，而满足上式， 所以. 20．（16分）已知，是实数，函数，其中是自然对数的底数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时， （ⅰ）若均有极小值点，且，求实数的取值范围； （ii）若方程有两个根，，当取最小值时，求的值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）当时，，， 求导可得，， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）（i），求导可得， 因为，分类讨论 当时，，单调递减，则不可能有极小值点； 当时，令，即，解得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此均有极小值点，且， ， 令，设函数， 故对任意的，，求导可得， 当时，，单调递增， 当，，单调递减， ，， 当时，；，， 图象如下图所示， 故恒成立，解得． （ii）方程有两个根， 由（i）可知，否则单调递减，不可能有两个根， 方程有两个根等价于有两个根， 设函数，， 当，；当，，故可知， 记，上式等价于有两个根， 即，两式相减可得，记， 故上式可写成，即， 将代入可得， 设函数，求导可得， 设函数，求导可得，单调递增， 故，即，单调递增， 要求最小值，即求的最小值，就是求的最小值， 设函数，求导可得， 设函数，求导可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， ，，的图象如下图所示 ， 故存在使得，即， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故，即时，取最小值， 故． 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $