第六章 数列（综合训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦数列核心概念与综合应用，通过基础运算、递推探究及跨模块证明，系统覆盖等差等比性质、求和方法及新考法，培养推理能力与模型观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与运算|选择1-3,6-7,填空10-11,13|等差等比基本量计算、前n项和公式应用|从定义出发，通过通项与求和公式推导，建立量间关系| |递推与新定义|选择4,9,填空12,14|斐波那契数列、周期数列、新数列构造|以递推关系为核心，连接函数思想与创新情境| |综合应用与证明|选择5,填空15,解答16-20|命题判断、不等式恒成立、错位相减求和|整合数列与函数、不等式，体现数学语言表达与逻辑推理|

第六章 数列（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．9 B．18 C．21 D．27 【答案】C 【详解】由题意，成等比数列，则， 故可得. 2．已知是等差数列，是等比数列，且，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】解：由题可知，则， ， ，解得， ． 3．已知数列为等比数列，，且对于任意正整数m，都有，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数列为等比数列，，且， 可得，所以，所以， 所以， 又，则. 4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，这列数的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和.后人把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】“斐波那契数列”的前10项依次为：， 所以. 故选：B 5．【新考法】已知为等差数列的前n项和，d为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最小值时的n为6；④满足成立的最小n值为13.其中正确命题有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】对于①：因为，所以，， 所以，故①正确； 对于②：因为，所以， 所以，故②正确； 对于③：因为，所以为单调递增数列， 所以等差数列中前6项均小于0，则使得取得最小值时的n为6，故③正确； 对于④：因为，且为单调递增数列，且， 所以，且满足成立的最小n值为13. 故④正确. 故选：D 6．已知数列是等比数列，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等比数列公比为，首项为， 若，则，不合题意； 则， 则. 7．设为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ，∴ ，可得的首项为. 又∵ 是公差为的等差数列， ∴ ，即 ①. 当时， ②. ①-②得，， 移项整理得，即. ∴ 当时，. 当时，满足上式，故. 对各选项逐一判断： 对于A选项，，故A错误. 对于B选项，由等差数列前项和公式得，而，显然，故B错误. 对于C选项，，故C正确. 对于D选项，∵ ， ∴ ，故D错误. 8．设是数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， ，得， 所以 . 9．已知数列满足，则该数列的前2026项的乘积等于（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，， ，， 所以数列是周期为4的周期数列，且一个周期内的乘积：， 而， 所以. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知数列的前项和为，满足，若存在，使得成立，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【详解】由于数列的前项和满足， 当时，，解得； 当时，有和，两式相减得， 由于，代入后化简得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列，即， 根据题意，存在，使得成立，即存在，使得成立，即， 令，则有， 由于， 因为当时，，当时，，当时，， 所以当时，；当时，；当时，， 因此数列的最大值为，所以， 则实数的取值范围是. 11．已知等差数列的前项和为，若，，则__________，设数列的前项和为，则_________________________. 【答案】 【详解】因为数列为等差数列，，前项和, 所以，故，解得公差， 所以， 由，得，​ 所以， 所以. 故答案为：；. 12．【新考法】下列有关数列的说法正确的是______（填写序号） ①数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 ②数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 ③已知数列1，，，2，，…，则第8个数是 ④数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】②③ 【分析】根据数列的定义判断①；根据数列的通项公式求第11 项，判断②；根据数列的概念，判断③；将所给数列的项代入通项公式逐项检验可判断④. 【详解】数列，与数列的顺序不同，所以不是同一个数列，所以①错误； 数列的通项公式为，则，所以110是该数列的第11项，所以②正确； 已知数列，则按此规律排列，该数列的通项公式为，所以第8个数是，所以③正确； 对于数列，第三项均不满足，所以④错误. 故答案为：②③. 13．已知首项为1的正项等比数列满足，则的通项公式为__________；设，若为数列的前项和，则__________. 【答案】 【详解】设等比数列的公比为， 因为且， 所以， 解得 ，所以 ， 由，则， 所以， 所以， 所以， 故答案为：；. 14．已知数列的通项公式，在其相邻两项和之间插入个3，得到新数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为__________． 【答案】29 【详解】由题意得数列的结构为：在和之间插入个3， 即数列由，个3，，个3，等依次构成， 当时， ， 当时， ， 所以使成立的的最小值为. 故答案为： 15．已知数列是递增的等差数列，且是函数的两个零点.设数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】因为数列是递增的等差数列，且是函数的两个零点， 所以，则，． 因此，公差，首项，得． 因为，得，， 所以． 因为， 所以，由，易知单调递增． 因此，，由恒成立，得． 故答案为：． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知数列的前项和为，且．在数列中，． (1)求的通项公式； (2)证明：是等比数列． (3)求数列的通项公式． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）由题意知，当时， 因为， 所以的通项公式为 （2）证明： 由，可得， 即，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）知是以为首项，为公比的等比数列，故， 所以. 17．（15分）记为数列的前n项和，且满足，． (1)求； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)(2)(3)，故，故． 【详解】（1）由可知数列是首项为1，公差为1的等差数列， 故，即． （2）当时，， 又因为满足上式，故； （3），故，故． 18．（15分）已知为等差数列，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和为； (3)若的前项和为，求证：. 【答案】(1)，(2) (3)证明：因为的前项和， 则，， 又， 所以. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，可得， 又因为，解得， 所以， 设等比数列的公比为， 因为，可得， 解得，所以. （2）因为， 所以， 则， 两式作差得：， 则，整理. （3）证明：因为的前项和， 则，， 又， 所以. 19．（15分）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）由题意可知数列，得 ， 则； （2）（i）设等比数列的公比为， 由题意可知，， 解得或（不符合题意舍去）， 所以， 此时数列， 因为， 所以集合中元素最多为个，即， 对于数列，此时， 若存在，则，其中， 故， 若，不妨设，则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾，故， 故由得到彼此互异， 所以； （ii）， ， 则 . 20．（16分）已知，数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，证明：； (3)若数列满足，，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2)证明：由（1）得，则，数列是等比数列， 则，，， ， ，因此， 所以对任意，. (3). 【分析】（1）变形给定等式，构造常数列求出通项公式. （2）利用等比数列前n项和公式，结合差值比较法推理证明. （3）按为偶数、奇数分类，利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）当时，由，得，即， 因此，数列是常数列，则，即， 所以数列的通项公式为. （2）略 （3）由（1）得，所以，， 则， 当n为偶数时，， 设，， ， ， 两式相减得 ，于是， 又， 因此； 当n为奇数时，， ，而满足上式， 所以. 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 数列（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．9 B．18 C．21 D．27 2．已知是等差数列，是等比数列，且，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．已知数列为等比数列，，且对于任意正整数m，都有，若，则（   ） A． B． C． D． 4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，这列数的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和.后人把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．【新考法】已知为等差数列的前n项和，d为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最小值时的n为6；④满足成立的最小n值为13.其中正确命题有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知数列是等比数列，若，则（    ） A． B． C． D． 7．设为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 8．设是数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C． D． 9．已知数列满足，则该数列的前2026项的乘积等于（    ） A．2024 B．2025 C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知数列的前项和为，满足，若存在，使得成立，则实数的取值范围是____________． 11．已知等差数列的前项和为，若，，则__________，设数列的前项和为，则_________________________. 12．【新考法】下列有关数列的说法正确的是______（填写序号） ①数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 ②数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 ③已知数列1，，，2，，…，则第8个数是 ④数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 13．已知首项为1的正项等比数列满足，则的通项公式为__________；设，若为数列的前项和，则__________. 14．已知数列的通项公式，在其相邻两项和之间插入个3，得到新数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为__________． 15．已知数列是递增的等差数列，且是函数的两个零点.设数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒成立，则的取值范围为__________. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知数列的前项和为，且．在数列中，． (1)求的通项公式； (2)证明：是等比数列． (3)求数列的通项公式． 17．（15分）记为数列的前n项和，且满足，． (1)求； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，证明：． 18．（15分）已知为等差数列，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和为； (3)若的前项和为，求证：. 19．（15分）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 20．（16分）已知，数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，证明：； (3)若数列满足，，求数列的前n项和. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第六章 数列（综合训川练） 参考答案 第一部分（选择题共45分) 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 题号 1 2 3 4 5 6 个 8 9 答案 C C D B D D C B C 第二部分（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 1 2026 2026 10 81 11.n 202712.②③13.2- 2027 14. 2915. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(14分) =”7”,当22时4，=S-5””-a-+a-n 山由题念知5-+刀 2 2 因为S=a1= 21. 所以a的通项公式为4=”5分) (2)证明： 由2次+1=a≥2).么=0，可得26，+)=6+1 b,+11 即b+12,且+1=1， 所以也，+是以1为首项，2为公比的等比数列(10分) 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)由2)知{也+1是以1为首项，)为公比的等比数列，故，+1=1×2 所 -1.(14分) 17.(15分) （由S-5-1可知数列人是首项为1，公差为1的等差数列， 故，=1+n-1=m,即5，=.5分) (2)当n≥2时，a,=Sn-Sn=2n-1, 41=1 an =2n-1 又因为满足上式，故 ；(9分) 1 111 .a2m-12m+D22m-12n+1,极 (3) 18.(15分) (山)设等差数列a,的公差为4， 因为4=5(a,-a）,可得4+41=d 又因为41， 解得41 所以a,=a+(n-1)d=n 设等比数，的公比为94>0) 因为=46-），可得4=4bg-b9)】 2/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得9=2，所6=4g=2 ·(5分) (2)因为9，=a,b=nx2 所以5，=1x20+2×2+3x2+…+-1)x2*2+nx2 则25，=1x2+2x2+3x22+…+(a-1)x2+n×2” 两式作差得： -5=1+2+22+23+…+21-n×2” 则5，-1-2 =2mx2,整理S=a-12+1(10分) (3)证明：因为a,}的前n项和 .=no +ax(a-Dxd-n(u+1) 2 Γ2， 则77=4aa+10a+20u+3),7=4a+l旷a+2, 又7-=a+a+2[aa+3)-(a+0a+2刃=a+a+2)k0, I2<T.15分) 所以 19.(15分) (1)由题意可知数列4：山，2,35，得 2-1=3-2=1,3-1=5-3=2,5-2=3,5-1=4 则7=23号，（4分) (②（山设等比数列a的公比为9>0） 由慰意可知4=4,6a,+84=20→6g+8=2g 解得9=4或9=-1（不符合题意舍去）， 3/6 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以=49=4 A:4,42,43,…,4" 此时数列 因为1≤i<j≤n, 所以保7中元提多C-个即P). 2 对于数列4：4华，华，4，此时，4=4-4】 若存在0-0，=040，则4-4=4-4，其中1>，h>, 故4(4-小=4(4s6-) 若4，不妨设>店，则4(44-)=46-1，面>>5， 故4-为偶数，4-1为奇数。矛盾，故==五， 故由1：44,4,4 得到，-4彼此互异， 所以P(T)=-) 2:(11分) n4g0到 少a-rg-ra 测2j-)3售+)+(r号+号 -6+y5分 20.(16分) 4/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 山当n≥2时，由a-a,-a4=3,得7)：即会台言 3-0=3 n n-1 n-1 n' 因此后是-合品，数列片+员是套数则后于 3 .3 n=2n-3 nn 0n+2=1+=2,即nn, 为0=2n-3 所以数列号的通项公式为”“n.(5分) ②证明：由1)得4，-2n-3,则2=2-84，数列2是等比数列， --5-.-2 则S。=2 1-46 又8=64-4-》=34-+4+. s-6w"--642-24+,因t8:-=4<0, 36 4 所以对任意neN,SS:<S(10分 c3)由(1得8，=2m-3,所以41=2m-3.么=（←产2n-动-2-2n-3》-2 则 (3-n)2-3,n为偶数 n-2,n为奇数 Tn=(b,+b3+b+…bn)+(b2+b+b。+…+bn) 当n为偶数时， A=b+b+b+…+bn-1B=b2+b4+b+…+bn 设 B=1×2+(-1)×2+(-3)×23+…+(3-nm)×2-3 4B=1×2+(-1)×23+…+(3-n)×2- 两式相减得3B=2+(-2)-(2+2++2”)-6-川-2 日22-24-6-2，于是8=设号92 2 1-4 18 又1=么+6+6++6=-1+1+3++n-3=n-4物 41 5/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因此7=4+B=n+2 4 931 18 当m为商数时2g黑=+6a-护：加-少+号2格-2 4 18 +g”28 4 -36,而T=b=-1满足上式， 2-4+2- ,4。(932-18为偶数 36n为奇数·(16分) 616