25.2.3 因式分解法 同步练习 2026—2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练聚焦“因式分解法解一元二次方程”，以★★☆（基础）、★★★（提升）分层，覆盖从基本方法到综合应用的巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |★★☆（基础）|直接因式分解、提公因式、平方差与完全平方公式|以选择题为主，考查概念辨析（如第1-12题判断方程根），夯实运算基础| |★★★（提升）|十字相乘法、含参数问题、证明与规律探究|含解答与证明题（如第23题证明根为a,b），培养推理能力与模型意识|

第二十五章 一元二次方程 25.2 降次——解一元二次方程 25.2.3 因式分解法 1. 方程 x(x-3) = 0 的根为（ ） A. x = 3 B. x₁ = 0，x₂ = 3 C. x₁ = 0，x₂ = -3 D. x = 0 2. 用因式分解法解方程 x² - 4 = 0，下列分解正确的是（ ） A. (x-2)² = 0 B. (x+2)(x-2) = 0 C. x(x-4) = 0 D. (x-2)(x+4) = 0 3. 方程 (x-1)(x+2) = 0 的根为（ ） A. x₁ = 1，x₂ = 2 B. x₁ = -1，x₂ = 2 C. x₁ = 1，x₂ = -2 D. x₁ = -1，x₂ = -2 4. 用因式分解法解方程 x² + 5x = 0，应提取的公因式是（ ） A. x B. x² C. 5x D. x+5 5. 方程 2x(x-1) = 3(x-1) 移项后因式分解，可得（ ） A. (x-1)(2x-3) = 0 B. (x-1)(2x+3) = 0 C. (x+1)(2x-3) = 0 D. x(2x-3) = 0 6. 用因式分解法解方程 x² - 9 = 0，得到的根为（ ） A. x₁ = x₂ = 3 B. x₁ = 3，x₂ = -3 C. x₁ = x₂ = -3 D. x₁ = 9，x₂ = -9 7. 用因式分解法解方程 x² - 5x + 6 = 0，分解结果应为（ ） A. (x-2)(x-3) = 0 B. (x+2)(x+3) = 0 C. (x-1)(x-6) = 0 D. (x-2)(x+3) = 0 8. 方程 x² - 6x + 9 = 0 用因式分解法可化为（ ） A. (x-3)² = 0 B. (x+3)² = 0 C. (x-3)(x+3) = 0 D. x(x-6) = 0 9. 用因式分解法解方程 3x² - 6x = 0，得到的根为（ ） A. x₁ = 0，x₂ = 2 B. x₁ = 0，x₂ = -2 C. x₁ = 0，x₂ = 6 D. x₁ = 3，x₂ = -3 10. 方程 (2x-1)(x+3) = 0 的根为（ ） A. x₁ = ，x₂ = 3 B. x₁ = - ，x₂ = 3 C. x₁ = ，x₂ = -3 D. x₁ = - ，x₂ = -3 11. 用因式分解法解方程 4x² - 1 = 0，分解正确的是（ ） A. (2x-1)² = 0 B. (2x+1)(2x-1) = 0 C. (4x+1)(x-1) = 0 D. (2x-1)(2x-1) = 0 12. 观察下列方程： ① x² - x = 0 ② x² - 2x = 0 ③ x² - 3x = 0 ④ x² - 4x = 0 这些方程的共同特征是（ ） A. 常数项均为0 B. 一次项系数均为负数 C. 均可提取公因式x D. 以上都对 13. 阅读材料： 因式分解法是将一元二次方程化为“两个一次因式乘积等于0”的形式，依据“若ab=0，则a=0或b=0”。 (1) 用因式分解法解方程：x² - 7x + 12 = 0。 (2) 用因式分解法解方程：3x² - 12 = 0。 14. 定义：若一个一元二次方程可化为 (x-a)(x-b) = 0 的形式，且 a、b 为整数， 则称此方程为“整数因式分解方程”。 (1) 判断方程 x² - 5x + 6 = 0 是否为"整数因式分解方程"。 (2) 若方程 x² - mx + 12 = 0 是"整数因式分解方程"，写出 m 的所有可能取值。 (3) 求证：任何"整数因式分解方程"的两根均为整数。 难度：★★☆ 15. 用因式分解法解方程 x² + 3x - 4 = 0，得到的根为（ ） A. x₁ = 1，x₂ = -4 B. x₁ = -1，x₂ = 4 C. x₁ = 1，x₂ = 4 D. x₁ = -1，x₂ = -4 16. 方程 x(x+2) = 3(x+2) 用因式分解法可化为（ ） A. (x+2)(x-3) = 0 B. (x+2)(x+3) = 0 C. (x-2)(x-3) = 0 D. (x+2)² = 0 17. 用因式分解法解方程 x² - 10x + 25 = 0，得到的根为（ ） A. x₁ = 5，x₂ = -5 B. x₁ = x₂ = 5 C. x₁ = x₂ = -5 D. x₁ = 1，x₂ = 25 18. 方程 2x² = 8x 移项后因式分解，可得（ ） A. 2x(x-4) = 0 B. 2x(x+4) = 0 C. x(2x-8) = 0 D. 2x(x-8) = 0 19. 用因式分解法解方程 x² - 2x - 8 = 0，分解结果应为______。 20. 方程 5x(x-1) = 2(1-x) 移项提取公因式后，可化为______ = 0。 21. 用因式分解法解方程 9x² - 4 = 0，得到的根为 x₁ = ______，x₂ = ______。 22. 若关于 x 的方程 x² - 2x + m = 0 可因式分解为 (x-1)² = 0，则 m 的值为______。 23. 用因式分解法证明：方程 x² - (a+b)x + ab = 0 的两根为 x₁ = a，x₂ = b。 24. 观察下列因式分解过程： x² + 3x + 2 = (x+1)(x+2) x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3) x² + 7x + 12 = (x+3)(x+4) x² + 9x + 20 = (x+4)(x+5) ...... 根据规律，第 n 个等式为______。 难度：★★★ 25. 用因式分解法解下列方程： (1) x² - 3x - 10 = 0 (2) 2x² - 5x - 3 = 0 (3) 3x² + 7x - 6 = 0 26. 已知关于 x 的方程 x² - 5x + k = 0 可因式分解为 (x-2)(x-m) = 0。 (1) 求 m 和 k 的值。 (2) 若方程 x² - (p+1)x + p = 0 也可因式分解，求其根。 (3) 一般地，方程 x² - (a+b)x + ab = 0 的根是什么？ 27. 用因式分解法解下列方程，并说明每一步的依据： (1) (x-3)² = 2(x-3) (2) x² - 6x + 9 = (5-x)² (3) (2x+1)² = (x-2)² 28. 阅读材料： 十字相乘法是因式分解法解一元二次方程的常用技巧。对于 x² + (p+q)x + pq 型的方程，可分解为 (x+p)(x+q) = 0。更一般地，对于 ax² + bx + c = 0（a≠1），需要寻找合适的十字相乘分解。 (1) 用十字相乘法解方程：2x² - 7x + 3 = 0。 (2) 用十字相乘法解方程：3x² + 10x + 8 = 0。 (3) 若方程 ax² + bx + c = 0 可分解为 (mx+p)(nx+q) = 0，用 a，b，c，m，n，p，q 表示根与系数的关系。 参考答案 1. B 2. B 3. C 4. A 5. A 6. B 7. A 解析：分解为(x-2)(x-3)=0，根2和3 8. A 解析：(x-3)²=0，重根x=3 9. A 解析：3x(x-2)=0，根0和2 10. C 解析：x= 或x=-3 11. B 解析：(2x+1)(2x-1)=0 12. D 解析：均可提取x，常数项为0，一次项系数负 13. (1) (x-3)(x-4)=0，x=3或4 (2) 3(x-2)(x+2)=0，x=±2 14. (1) 是，(x-2)(x-3)=0 (2) m=±13，±8，±7 (3) 由(x-a)(x-b)=0直接得整数根 15. A 16. A 17. B 18. A 19. (x-4)(x+2)=0 20. (x-1)(5x+2) 21. ， - 22. 1 23. x2−(a+b)x+ab=(x−a)(x−b) (x−a)(x−b)=x2−bx−ax+ab=x2−(a+b)x+ab  ∵(x−a)(x−b)=0 ∴x−a=0，x1=ax−a=0，x1=a x−b=0，x2=bx−b=0，x2=b ∴ 方程的两根为 x1=a，x2=b。 24. x²+(2n+1)x+n(n+1)=(x+n)(x+n+1) 25. (1) (x-5)(x+2)=0，x=5或-2 (2) (2x+1)(x-3)=0，x=- 或3 (3) (3x-2)(x+3)=0，x= 或-3 26. (1) m=3，k=6 (2) (x-1)(x-p)=0，根1和p (3) 根为a和b 27. (1) (x−3)2−2(x−3)=0（移项，等式性质） (x−3)[(x−3)−2]=0（提公因式 (x−3)(x−3)，因式分解） (x-3)(x-5)=0 （化简括号内） x1=3，x2=5 (2) (x−3)2=(5−x)2（左边化为完全平方 (a−b)2） (x−3)2−(5−x)2=0（移项） [(x−3)+(5−x)][(x−3)−(5−x)]=0（平方差公式 ） (2x−8)=0 （化简） 4(x−4)=0（提公因式 4） x=4 (3) (2x+1)2−(x−2)2=0（移项） [(2x+1)+(x−2)][(2x+1)−(x−2)]=0（平方差公式） (3x−1)(x+3)=0（化简括号内） 3x−1=0 或 x+3=0 x= 或-3 28. (1) (2x-1)(x-3)=0 (2) (3x+4)(x+2)=0 (3) 根之和=-( )，根之积= 学科网（北京）股份有限公司 $