第二十一讲 函数模型的应用导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数模型的应用，涵盖一次、二次、指数、对数等常见函数模型及解决实际问题的四步流程。通过回顾函数性质搭建学习支架，引导学生从已有知识过渡到现实问题的模型构建与应用。 资料以七大必考题型为核心，结合池塘植物生长、企业收入增长等真实情境设计问题，强调模型识别、数据处理与实际意义还原。助力学生用数学眼光观察变化规律，用数学思维分析问题本质，提升数学建模与应用能力，适合课堂教学与自主探究。

第二十一讲 函数模型的应用 【学习目标】进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会用已知的函数模型刻画现实问题的变化规律．进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择函数模型刻画现实问题的变化规律． 【学习重点】用函数模型解决实际问题的过程．选择函数模型解决实际问题的过程． 【学习难点】用函数模型分析和解决实际问题．选择函数模型，及分析和解决实际问题． 必掌握知识点： 1.几种常见的函数模型： 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (、为常数，) 反比例函数模型 ，为常数且) 二次函数模型 (、，为常数，) 与指数函数相关模型 (、，为常数，且，) 与对数函数相关模型 (、，为常数，且，) 与幂函数相关模型 (、，为常数，) 2.利用函数模型解决实际问题的步骤： （1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型； （3）解模：求解数学模型，得出结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题． 必考题型全归纳 题型一：常见实际函数模型识别与选择 现实问题先分析变化趋势，挑选合适函数模型： 1.一次函数 ：匀速变化，增长量恒定； 2.二次函数 ：先增后减 / 先减后增，存在最值； 3.指数函数 ：指数增长（增长越来越快）、指数衰减（衰减越来越慢）；如增长率、衰变、药物残留； 4.对数模型 ：增长速度越来越慢； 5. 根式模型：增速放缓，但不同于对数； 做题技巧：看增长快慢： 增量越来越大 ⇒ 指数模型； 增量越来越小 ⇒ 对数、根式模型； 增量固定不变 ⇒ 一次函数。 1．数学兴趣小组在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，每隔一个月（每月月底）测量一次该水生植物的面积，通过近一年的观察发现：该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的．已知二月底测得该水生植物的面积为，三月底测得该水生植物的面积为，该水生植物的面积y（单位：）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择：一个是同学甲提出的（，），另一个是同学乙提出的（，），记一月底测量时间x的值为1． (1)请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式； (2)自几月底起池塘里该水生植物面积是一月底该水生植物面积的10倍以上？（参考数据：，） 2．某科技企业通过加大科技研发投资，提高了企业的技术竞争力，也提高了收入．下列一组数据是该公司从2017年以来每年的收入(单位：亿元)，2017年记为1，后面的年份依次类推． x/年 1 2 3 4 5 6 y/亿元 0.9 1.40 2.56 5.31 11 21.30 (1)给出以下两个函数模型：①；②．试问：用哪个模型更适合模拟该企业的收入? (2)该企业大约在哪一年收入超过100亿元?(参考数据：） 3．近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中合适的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式； (3)预测第几个月会员人数会达到14万. 4．2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95 88 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，） 题型二：指数型函数模型（增长率、衰减问题，高频） 1.指数增长：初始量，每期增长率，经过期：； 2.指数衰减：初始量，每期衰减率，经过期：； 3.解指数不等式：两边同时取对数，转化普通不等式计算；参考数据题目会给出； 4.实际场景：生物繁殖、蓝藻增长、电池衰减、血液药物残留、经济增长。 对应题号： 5．生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：次）与体重（单位：）、外界环境温度（单位：℃）有关，满足（为常数）．已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是105次，则的体重为_____. 6．已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：）与所需时间（单位：）之间的关系为，当要处理的数据量从增加到时，处理的时间增加了，则要处理的数据量为时，所需的处理时间为（    ） A． B． C． D． 7．某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，，，.已知，，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（    ） （参考数据：，，） A．120 B．130 C．140 D．150 8．《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于：．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式，其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（     ）（取：，，） A．12小时后 B．24小时后 C．28小时后 D．30小时后 题型三：对数模型（分贝、声强级） 这类对数模型； 利用对数运算性质 、，做倍数换算。 9．在声学中，人们用分贝（）来描述声音的强弱等级．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则等于_______． 10．声强级（单位：分贝）的计算公式为，其中I为声强，为基准声强．若两声源的声强级分别为，则（   ） A． B．10 C． D． 题型四：二次函数模型（利润、成本最值） 1.利润 = 总收入 − 总成本； 2.二次函数 ，开口向下，顶点处取得最大值； 3.注意实际问题自变量有实际定义域，不一定能取到顶点，要比较端点。 11．某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要增加可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为（万元），其中x是产品售出的数量（单位：百台）． (1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？ 12．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为(件)时的成本函数为(万元)，如果售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润为___________万元． 题型五：基本不等式解决实际最值（造价、成本最低） 公式：，当且仅当取等号。 应用场景：面积固定求最低造价；容积固定求最低成本。 解题步骤： ① 设变量，根据几何条件写出目标函数（总造价、总费用）； ② 保证变量大于 0； ③ 使用基本不等式求最小值； ④ 检验等号条件是否在实际定义域内。 13．党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计，而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米．容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元． (1)写出总造价关于沼气池的长的函数关系式； (2)请问设计沼气池的长为多少时，能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 14．如图，树人中学欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室，且房屋地面面积为18平方米，高度为3米.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的总造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，设房屋的长为x米，总造价为y元，则y与x之间的函数关系式为______. 15．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层､每层2000平方米的楼房.经测算，若将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（元）.平均购地费用为购地总费用除以建筑总面积，平均综合费用为平均建筑费用与平均购地费用之和. (1)建立楼房每平方米的平均综合费用与楼层数的函数关系式； (2)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ (3)若楼房每平方米的平均综合费用不超过2500元，求该楼房可建层数的范围. 16．某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为，深度为.池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设计水池的最低总造价约为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 题型六：几何背景的函数建模（图形周长、面积分段函数） 由几何图形（半圆、长方体、梯形），利用几何关系写出周长、面积的函数； 注意两点： 求出函数后，必须写出实际定义域； 图形切割问题会得到分段函数，分不同区间写解析式。 17．如图1，有一个半径为4的半圆，一个等腰梯形ABCD的下底AB是的直径，上底CD的端点在圆周上，记线段AD的长度为x，梯形ABCD的周长为y． (1)写出y与x的函数关系式，并求出它的定义域； (2)当梯形ABCD中时，如图2所示建立平面直角坐标系，直线与下底AB交于F，记梯形ABCD位于直线l左侧的图形的面积为，求函数的解析式； (3)在（2）的条件下，当时，求BF的长． 题型七：分段函数实际应用 自变量不同范围，对应不同表达式； 应用题场景：销量受最大需求量限制；训练模型两段表达式； 求最值：分别求出每一段上的最值，再整体比较选出最大 / 最小。 18．2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：．已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的． (1)求常数和的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”大模型的标准化训练效率最高？最高效率是多少？ 巩固提升： 1．一个初始为空的水池每小时注入水量是全池的，注满水后停止注水，水池还没有注水部分占全池的比例y随时间x（单位：小时）变化的关系式为______________． 2．某商店迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方法，即顾客在店内花钱满元（可以是现金，也可以是奖励券或二者合计），就送元奖励券；满元，就送元奖励券；满元，就送元奖励券，由此类推当日花钱最多的一位顾客共花出现金元，如果按照酬宾促销方式，他最多能得到优惠（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是（   ） ①这几年人民生活水平逐年得到提高； ②人民生活费收入增长最快的一年是2000年； ③生活价格指数上涨速度最快的一年是2001年； ④虽然2002年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善． A．1项 B．2项 C．3项 D．4项 4．某电脑公司计划在2006年5月1日将500台电脑投放市场，经市场调研发现，该批电脑每隔10天平均日销量减少2台，现准备用38天销售完该批电脑，则预计该公司5月1日至5月10日的平均日销售量是______________台． 5．在某个时期，某湖泊中的蓝藻总量为千克，且该湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过天后，该湖泊中的蓝藻总量不少于千克，则的最小值是（    ）（参考数据：） A．14 B．15 C．16 D．17 6．某地区为推进碳中和目标，计划逐年新增光伏装机容量．已知2025年该地区光伏年发电量为4000万千瓦时，在按发展规划建立的测算模型中，自2026年起，每年发电量较上一年增长，据此测算，该地区光伏年发电量首次超过2亿千瓦时的年份是（     ） （参考数据：） A．2031年 B．2032年 C．2033年 D．2034年 7．一种药在病人血液中的量不低于150mg有疗效，现给某病人静脉注射这种药250mg.若该药在血液中以每小时20%的比例衰减，为保持疗效，再次向病人的血液中注射这种药的最大时间间隔约为（   ）（精确到0.1小时，参考数据，） A．5.6小时 B．4.6小时 C．3.8小时 D．2.2小时 8．年中购物节，某快递公司将一批冷鲜产品用冷藏汽车从甲地运往相距公里处的乙地，司机工资为每小时元，装卸费为元，假设车辆运输过程中燃油消耗取决于速度：当速度为公里/小时（注公里/小时）时，单位距离的燃油消耗为升/公里，燃油价格为每升元．假设汽车匀速行驶，且不计其他成本．运输的总费用＝司机工资+装卸费+燃油成本． (1)当运输的总费用不超过元时，求汽车行驶速度的范围； (2)若要使运输的总费用最小，则汽车应以多少公里/小时的速度行驶？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一讲 函数模型的应用 【学习目标】进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会用已知的函数模型刻画现实问题的变化规律．进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择函数模型刻画现实问题的变化规律． 【学习重点】用函数模型解决实际问题的过程．选择函数模型解决实际问题的过程． 【学习难点】用函数模型分析和解决实际问题．选择函数模型，及分析和解决实际问题． 必掌握知识点： 1.几种常见的函数模型： 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (、为常数，) 反比例函数模型 ，为常数且) 二次函数模型 (、，为常数，) 与指数函数相关模型 (、，为常数，且，) 与对数函数相关模型 (、，为常数，且，) 与幂函数相关模型 (、，为常数，) 2.利用函数模型解决实际问题的步骤： （1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型； （3）解模：求解数学模型，得出结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题． 必考题型全归纳 题型一：常见实际函数模型识别与选择 现实问题先分析变化趋势，挑选合适函数模型： 1.一次函数 ：匀速变化，增长量恒定； 2.二次函数 ：先增后减 / 先减后增，存在最值； 3.指数函数 ：指数增长（增长越来越快）、指数衰减（衰减越来越慢）；如增长率、衰变、药物残留； 4.对数模型 ：增长速度越来越慢； 5. 根式模型：增速放缓，但不同于对数； 做题技巧：看增长快慢： 增量越来越大 ⇒ 指数模型； 增量越来越小 ⇒ 对数、根式模型； 增量固定不变 ⇒ 一次函数。 1．数学兴趣小组在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，每隔一个月（每月月底）测量一次该水生植物的面积，通过近一年的观察发现：该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的．已知二月底测得该水生植物的面积为，三月底测得该水生植物的面积为，该水生植物的面积y（单位：）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择：一个是同学甲提出的（，），另一个是同学乙提出的（，），记一月底测量时间x的值为1． (1)请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式； (2)自几月底起池塘里该水生植物面积是一月底该水生植物面积的10倍以上？（参考数据：，） 【答案】(1)（，）比较合适， (2)6月底 【分析】（1）根据两个函数模型的增长速度即可选择，再利用待定系数法求出函数模型的解析式即可； （2）先求出一月底时水生植物的面积，假设x月底水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，则，再根据指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，所以选择同学甲提出的（，）比较合适， 由题意得，解得，所以； （2）由（1）可知，一月底时水生植物的面积为， 假设x月底水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上， 即，所以，所以， 因为，所以， 所以自6月底起池塘里该水生植物面积是一月底该水生植物面积的10倍以上． 2．某科技企业通过加大科技研发投资，提高了企业的技术竞争力，也提高了收入．下列一组数据是该公司从2017年以来每年的收入(单位：亿元)，2017年记为1，后面的年份依次类推． x/年 1 2 3 4 5 6 y/亿元 0.9 1.40 2.56 5.31 11 21.30 (1)给出以下两个函数模型：①；②．试问：用哪个模型更适合模拟该企业的收入? (2)该企业大约在哪一年收入超过100亿元?(参考数据：） 【答案】(1)用模型②更适合模拟该企业的收入； (2)大约在2025年该企业的收入超过100亿元. 【分析】（1）在同一平面直角坐标系内作出函数与的图象，并在此坐标系内描出表格提供数据的对应点，观察即可； （2）由题设，求解即可得. 【详解】（1）在同一平面直角坐标系内作出函数与的图象， 并在此坐标系内描出表格提供的数据对应的点如图所示． 观察图象知，这些点基本上都落在函数的图象上或附近， 所以用模型②更适合模拟该企业的收入； （2）当时，，因此=≈， 而，则，所以大约在2025年该企业的收入超过100亿元. 3．近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中合适的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式； (3)预测第几个月会员人数会达到14万. 【答案】(1)最符合实际的函数模型是模型①，理由： 由给定数据表知，函数定义域为，会员人数逐月增加，增速随增大而减缓， 对于模型②，当时无意义，不符合题意； 对于模型③，会员人数增速随增大而变快，不符合题意； 对于模型①，会员人数增速随增大而减缓，符合题意， 所以最符合实际的函数模型是模型①. (2)； (3)第16个月. 【分析】（1）由给定数据表确定函数模型的特征，再对给定的3个模型逐一分析判断即可. （2）由（1）选择的模型，将数据组代入求出，即可求得解析式. （3）将（2）中模型函数，由，求出值即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，选择模型①， 将表格中代入，得，解得，则， 所求函数模型的解析式为. （3）当时，，即，解得， 所以预测第16个月会员人数达到14万. 4．2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95 88 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，） 【答案】(1)选择模型② ，解析式为 ； (2)约6.5分钟。 【分析】（1）首先由表格数据确定函数的单调性和递减速度，从而判断模型，再利用待定系数法，列方程组求解； （2）根据（1）的结果，解方程. 【详解】（1）由表格可知，函数单调递减，且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增 函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得：，，， 所以； （2），得， ， 刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间约为分钟. 题型二：指数型函数模型（增长率、衰减问题，高频） 1.指数增长：初始量，每期增长率，经过期：； 2.指数衰减：初始量，每期衰减率，经过期：； 3.解指数不等式：两边同时取对数，转化普通不等式计算；参考数据题目会给出； 4.实际场景：生物繁殖、蓝藻增长、电池衰减、血液药物残留、经济增长。 对应题号： 5．生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：次）与体重（单位：）、外界环境温度（单位：℃）有关，满足（为常数）．已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是105次，则的体重为_____. 【答案】 【分析】设体重为，分别将的数据代入已给的函数关系式，再对两式作商即可求解. 【详解】由题意知在环境温度为时，的体重为、脉搏率为210次， 故. 的脉搏率是105次，设其体重为，则， 则，即，解得（）. 6．已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：）与所需时间（单位：）之间的关系为，当要处理的数据量从增加到时，处理的时间增加了，则要处理的数据量为时，所需的处理时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意：，所以. 所以. 当时，（）. 7．某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，，，.已知，，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（    ） （参考数据：，，） A．120 B．130 C．140 D．150 【答案】D 【分析】本题主要考查指数型函数模型的应用，以及利用对数运算求解方程，先根据已知初始值确定模型中的参数，再利用衰减规律建立方程，通过取对数将指数方程转化为线性方程，代入参考数据计算得出结果. 【详解】由，得，解得， 由，得，解得，所以， 当循环为次时电池健康度为60，可得， 所以，两边取对数得，所以， 所以，解得， 电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加 8．《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于：．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式，其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（     ）（取：，，） A．12小时后 B．24小时后 C．28小时后 D．30小时后 【答案】B 【分析】先判断时酒精含量均高于合法阈值，再对的情况列不等式，通过对数运算求解时间范围即可. 【详解】将、代入函数： 当时，， 该函数在上单调递增，因此，不符合合法驾驶要求； 当时，， 令，化简得： ，两边取自然对数， 所以 ， 代入，， 得： ， 即，因此最少需在24小时后合法驾驶. 题型三：对数模型（分贝、声强级） 这类对数模型； 利用对数运算性质 、，做倍数换算。 9．在声学中，人们用分贝（）来描述声音的强弱等级．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则等于_______． 【答案】/1000 【分析】根据题意及对数运算即可求解． 【详解】由题可得，且， 所以． 10．声强级（单位：分贝）的计算公式为，其中I为声强，为基准声强．若两声源的声强级分别为，则（   ） A． B．10 C． D． 【答案】B 【详解】由题设，可得，故，则. 题型四：二次函数模型（利润、成本最值） 1.利润 = 总收入 − 总成本； 2.二次函数 ，开口向下，顶点处取得最大值； 3.注意实际问题自变量有实际定义域，不一定能取到顶点，要比较端点。 11．某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要增加可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为（万元），其中x是产品售出的数量（单位：百台）． (1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？ 【答案】(1) (2)475台 (3)产品年产量在11台到4800台时，工厂不亏本 【详解】（1）当时，产品能售出x百台；当时，只能售出5百台，故利润函数为 （2）当时，， 当时，（万元）； 当时，为减函数，所以； ∴生产475台时利润最大． （3）由或得． 因为 ∴产品年产量在11台到4800台时，工厂不亏本． 12．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为(件)时的成本函数为(万元)，如果售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润为___________万元． 【答案】30 【详解】设该企业所能获取的最大利润为万元，则， 即，故当或时，取最大值30， 即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为30万元． 题型五：基本不等式解决实际最值（造价、成本最低） 公式：，当且仅当取等号。 应用场景：面积固定求最低造价；容积固定求最低成本。 解题步骤： ① 设变量，根据几何条件写出目标函数（总造价、总费用）； ② 保证变量大于 0； ③ 使用基本不等式求最小值； ④ 检验等号条件是否在实际定义域内。 13．党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计，而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米．容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元． (1)写出总造价关于沼气池的长的函数关系式； (2)请问设计沼气池的长为多少时，能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 【答案】(1) (2)长为4时，最低总造价是9240元 【分析】（1）依题意建立起关于的函数关系式； （2）利用基本不等式可得答案. 【详解】（1），由题意得：沼气池的宽为， 总造价：， . （2）因为， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以当沼气池的底面是边长为4的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元. 14．如图，树人中学欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室，且房屋地面面积为18平方米，高度为3米.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的总造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，设房屋的长为x米，总造价为y元，则y与x之间的函数关系式为______. 【答案】 【分析】设房屋的长为，则宽为，则总造价整理即可. 【详解】设房屋的长为，则宽为，则总造价， . 故答案为： 15．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层､每层2000平方米的楼房.经测算，若将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（元）.平均购地费用为购地总费用除以建筑总面积，平均综合费用为平均建筑费用与平均购地费用之和. (1)建立楼房每平方米的平均综合费用与楼层数的函数关系式； (2)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ (3)若楼房每平方米的平均综合费用不超过2500元，求该楼房可建层数的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)由题可得楼房每平方米的平均综合费用为平均建筑费用与平均购地费用之和，结合条件即可求解； (2)利用基本不等式即可求解； (3)由题可得：，利用一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）设楼房每平方米的平均综合费用为， 所以， 则 （2）因为， 所以， 当且仅当，即时取到“”， 此时，平均综合费用的最小值为． 当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元 （3）楼房每平方米的平均综合费用不超过2500元，则， 即， 解得：, 因为 解得： 则该楼房可建层数的范围 16．某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为，深度为.池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设计水池的最低总造价约为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】设无盖贮水池的底面长为，宽为，列出总造价关于的关系式，利用基本不等式即可求解. 【详解】设无盖贮水池的底面长为，宽为， 又其深度为，容积为，所以，化简得， 令池底面积为，则，解得， 又池底每平方米的造价为元，则池底总造价为元， 池壁由四个侧面组成，面积为， 又池壁每平方米的造价为元，则池壁总造价为元， 综上所述，水池的总造价为元， 令，又， 所以， 根据基本不等式，可得， 当且仅当，即时，取得最小值. 故选：C 题型六：几何背景的函数建模（图形周长、面积分段函数） 由几何图形（半圆、长方体、梯形），利用几何关系写出周长、面积的函数； 注意两点： 求出函数后，必须写出实际定义域； 图形切割问题会得到分段函数，分不同区间写解析式。 17．如图1，有一个半径为4的半圆，一个等腰梯形ABCD的下底AB是的直径，上底CD的端点在圆周上，记线段AD的长度为x，梯形ABCD的周长为y． (1)写出y与x的函数关系式，并求出它的定义域； (2)当梯形ABCD中时，如图2所示建立平面直角坐标系，直线与下底AB交于F，记梯形ABCD位于直线l左侧的图形的面积为，求函数的解析式； (3)在（2）的条件下，当时，求BF的长． 【答案】(1)，； (2) (3)5 【分析】（1）利用几何图形，列出几何关系，得到周长的表示式； （2）根据几何图形，分，，三种情况，列出直线左侧图形的面积的表达式，即可求解； （3）根据（2）的结果，列方程，即可求解. 【详解】（1）如图，过点作于，圆心为，连结，设，， 由，得， 整理得，所以， 所以， 因为，，即，解得：， 所以与的函数关系式为，； （2）如图，时，为等边三角形， 当时，， 当时，， 当时， 所以； （3）当时，，不成立， 当时，，得，成立， 此时. 题型七：分段函数实际应用 自变量不同范围，对应不同表达式； 应用题场景：销量受最大需求量限制；训练模型两段表达式； 求最值：分别求出每一段上的最值，再整体比较选出最大 / 最小。 18．2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：．已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的． (1)求常数和的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”大模型的标准化训练效率最高？最高效率是多少？ 【答案】(1)， (2)（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高，最高为4 【分析】（1）由，建立方程解得，由函数图象连续建立方程解得； （2）由（1）知函数，分别用基本不等式和二次函数的性质求出分段函数的最大值，然后取得函数在定义域上的最大值，即可得到结论. 【详解】（1）因为， 又，所以， 所以当时， 又因为在处函数图象是连续不断的， 所以，解得； （2）由（1）可得， 当时，， 此时， 因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立， 此时，此时的最大值为； 当时，， 此时 ， 综上，当时，“天穹”大模型的标准化训练效率最高，最高为. 巩固提升： 1．一个初始为空的水池每小时注入水量是全池的，注满水后停止注水，水池还没有注水部分占全池的比例y随时间x（单位：小时）变化的关系式为______________． 【答案】， 【详解】设满池为1，则有水的部分为，于是，即，． 2．某商店迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方法，即顾客在店内花钱满元（可以是现金，也可以是奖励券或二者合计），就送元奖励券；满元，就送元奖励券；满元，就送元奖励券，由此类推当日花钱最多的一位顾客共花出现金元，如果按照酬宾促销方式，他最多能得到优惠（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】利用奖励规则，先拆分元，现金得券，依次循环消费逐步计算出每次奖励券，再对奖励券求和即可. 【详解】这位顾客花的元可得奖励券（元），只有这位顾客继续把奖励券全部消费掉，他才能得到最多优惠，但当他把（元）奖励券消费掉可得到（元）奖励券，元奖励券又可得到（元）奖励券，元再加上先前的中的元共消费元应得奖励券（元），元奖励券消费时又得元奖励券，所以他总共会得到（元）优惠． 3．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是（   ） ①这几年人民生活水平逐年得到提高； ②人民生活费收入增长最快的一年是2000年； ③生活价格指数上涨速度最快的一年是2001年； ④虽然2002年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善． A．1项 B．2项 C．3项 D．4项 【答案】C 【详解】由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确； “生活费收入指数”年最陡，故②正确； “生活价格指数”在年是上升的，且上升最多，故上涨速度最快的一年是年，故③不正确； 由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确． 所以正确的有项. 4．某电脑公司计划在2006年5月1日将500台电脑投放市场，经市场调研发现，该批电脑每隔10天平均日销量减少2台，现准备用38天销售完该批电脑，则预计该公司5月1日至5月10日的平均日销售量是______________台． 【答案】16 【详解】设第一个10天每天销售a台，则第二个10天每天销售台， 第三个10天每天销售台，第四个10天每天销售台， 由题意得，，解得， 故预计该公司5月1日至5月10日的平均日销量是16台 5．在某个时期，某湖泊中的蓝藻总量为千克，且该湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过天后，该湖泊中的蓝藻总量不少于千克，则的最小值是（    ）（参考数据：） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】由题意列出不等式，两边取对数解不等式，求出答案. 【详解】由题意得，即，两边取对数得 ，故， 故的最小值为15. 故选：B 6．某地区为推进碳中和目标，计划逐年新增光伏装机容量．已知2025年该地区光伏年发电量为4000万千瓦时，在按发展规划建立的测算模型中，自2026年起，每年发电量较上一年增长，据此测算，该地区光伏年发电量首次超过2亿千瓦时的年份是（     ） （参考数据：） A．2031年 B．2032年 C．2033年 D．2034年 【答案】C 【分析】构建等比数列模型，取对数解不等式，向上取整推算年份. 【详解】设从2025年起，第年的光伏发电量为（单位：万千瓦时）， 已知（2025年），年增长率为25%，即公比， 则第年的发电量公式为：  ，则， 所以， 因为是整数，所以，从2025年开始算，第8年是：2025 + 8 = 2033年. 7．一种药在病人血液中的量不低于150mg有疗效，现给某病人静脉注射这种药250mg.若该药在血液中以每小时20%的比例衰减，为保持疗效，再次向病人的血液中注射这种药的最大时间间隔约为（   ）（精确到0.1小时，参考数据，） A．5.6小时 B．4.6小时 C．3.8小时 D．2.2小时 【答案】D 【详解】设应该间隔小时再次向病人血液中补充这种药，由题意知，所以，两边取以10为底的对数，得， 所以， 因需保证药物量不低于150mg，故对结果向下取近似值，得2.2小时. 8．年中购物节，某快递公司将一批冷鲜产品用冷藏汽车从甲地运往相距公里处的乙地，司机工资为每小时元，装卸费为元，假设车辆运输过程中燃油消耗取决于速度：当速度为公里/小时（注公里/小时）时，单位距离的燃油消耗为升/公里，燃油价格为每升元．假设汽车匀速行驶，且不计其他成本．运输的总费用＝司机工资+装卸费+燃油成本． (1)当运输的总费用不超过元时，求汽车行驶速度的范围； (2)若要使运输的总费用最小，则汽车应以多少公里/小时的速度行驶？ 【答案】(1)； (2)公里/小时. 【分析】（1）通过建立总费用函数并求解不等式即可； （2）利用基本不等式计算即可得出． 【详解】（1）已知司机工资为每小时元，行驶时间为小时，所以司机工资为元， 装卸费为元， 燃油成本为单位距离燃油消耗×距离×燃油价格，即元， 则运输总费用， 化简可得，（）， 由，可得， 移项得到，即， 两边同时乘以得到， 移项化为标准二次函数形式， 两边同时除以得， 因式分解得，则有或， 第一种情况，即，无解， 第二种情况，即，结合，可得； （2）由（1）得，汽车运输的总费用与汽车行驶速度的关系为（）， 则根据基本不等式，可得， 则， 当且仅当时，等号成立， 解方程，，解得（公里/小时）， 因为，符合条件． 所以要使运输的总费用最小，则汽车应以公里/小时的速度行驶. 1 学科网（北京）股份有限公司 $