3.4函数的应用（一）导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数的应用，涵盖一次函数、二次函数、幂函数及分段函数模型，通过实际问题导入，衔接已学函数知识，以审题、建模、求模、还原四步流程为支架，引导学生从理论过渡到实际应用。 资料特色在于结合经济生活情境设计典例，分层训练（基础、能力）适配不同学情，方法总结强调模型构建与运算技巧，助力学生培养数学建模素养和数学运算能力，提升用数学语言表达现实问题的意识。

3.4函数的应用（一） 【学习目标】 ①初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用； ②能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题； ③通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养； ④借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养. 【学习重点】 ①能区分一次、二次、幂函数、分段函数四类模型，遵循审题 — 建模 — 求模 — 还原四步流程建立实际问题的函数解析式； ②能结合定义域利用函数单调性、基本不等式求解利润优化类最值问题. 【学习难点】 ①从复杂经济、生活情境中提炼变量关系并精准限定实际定义域； ②分段函数分段求最值后对比全局最优，含根式函数换元转化、分式函数配凑基本不等式时验证取等条件易出现疏漏. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.几类不同的函数模型 （1）一次函数模型：（为常数，）； （2）反比例函数模型：（为常数，）； （3）二次函数模型：（为常数，）； （4）幂函数模型：（为常数，）； （5）对勾函数模型：（为常数，且）； （6）分段函数模型：. 2.解答函数应用题的基本步骤（四步八字）： （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，储备选择模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义. 二、典例精析 题型1一（二）次函数模型的应用 1．为了迎接中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开，某商场决定将一批进价为40元/件的商品降价出售，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系. 40 50 55 60 60 30 15 0 (1)根据表中提供的数据描出实数对的对应点，确定与的一个函数关系式； (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），根据上述关系，写出关于的函数解析式，并求日销售利润的最大值. 思路分析： （1）通过观察表格数据判断为一次函数，利用待定系数法求得的解析式，再代入其余两点进行检验，同时求定义域； （2）利用（1）中结论，得到的解析式，结合定义域，利用配方法求得的最大值. 规范解答：（1）观察表格中的变化情况，猜测为一次函数， 故设为常数，，代入点， 则，解得：， 则，把点代入函数解析式，检验成立； 因为，所以，解得，又进价为元，所以， 所以. （2）结合（1）中结论可得单价利润：元，日销售量：， 所以日销售利润：， 整理得：，因为， 所以当时，取得最大值300， 综上：；当销售单价为50元时，所获日销售利润最大值为300元. 方法总结 （1）由表格求函数：先描点观察图像类型，选用恰当的函数模型；求出解析式后，必须用表格其它数据检验，再根据实际意义写出定义域； （2）销售利润模型：总利润=(售价-进价)×销售量，是应用题核心公式； （3）闭区间上二次函数求最值：看对称轴是否落在定义域内；开口向下，对称轴处取最大值；若对称轴不在区间，则在区间端点取最值； （4）实际应用题要点：定义域不能丢，要结合商品售价、销量非负得到取值范围. 题型2幂函数模型的应用 例2．党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 思路分析：(1) A 产品利润与投资金额成正比，设，利用图①上点(2,1)求出比例系数；B 产品是幂函数模型，代入图②两点(4,4),(9,6)，解方程组求出\，写出函数； （2）设投入 B 产品x万元，则投入 A 产品((10-x)万元，得到总利润L(x)。观察解析式含有，采用换元法，令\转化为二次函数，在闭区间上求最大值，最后回代得到资金分配方案. 规范解答： （1）因为与成正比，所以设，由图知，解得， 故； 又，，所以，， 所以，解得，由，得，故． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则，因为 所以当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 方法总结 （1）函数模型识别：正比例函数；幂函数模型，给两组点联立方程求解参数； （2）双投资分配问题：总资金固定，设一个变量，另一个用总资金减去该变量，构建总利润函数； （3）换元法处理根号：形如，令转化二次函数，注意换元后新变量的取值范围. 题型3分段函数模型的应用 例3．在环保科技展览会上，某公司推出了一种新型环保材料供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种材料年固定研发成本为50万元，每生产一吨需另投入90元.设该公司一年内生产该材料万吨且全部售完，总销售收入为（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大?并求出最大利润. 思路分析： （1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式，因是分段函数，故利润也要写成分段函数形式； （2）分别求出分段函数每一段的最大值，比较得到全局最大利润及对应产量． 规范解答（1）固定成本50万元，可变成本万元，故总成本， ， 当时，； 当时， 综上可得. （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， ，，， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为1600万元. 方法总结 （1）成本利润模型：利润=销售收入-(固定成本+可变成本)；注意单位统一，本题产量单位万吨，成本单位万元； （2）分段函数应用题：收入是分段，则利润一定分段；每一段单独求最值，最后对比各段最大值得到整体最大值； （3）二次函数区间最值：判断对称轴是否在定义域内；对称轴在区间外，则利用单调性求端点最值； （4）分式型函数求最值：形如配凑成，使用基本不等式求最值时，务必验证取等条件在定义域内，否则根据对勾函数的单调性求最值； （5）答题规范：分段函数应用题，求出每段最值后，必须做大小比较，再给出最终实际问题答案。 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 答案：C 解析：由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得， 故函数解析式为，所以当时，． 故选：C. 2．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 答案：D 解析：根据题意，设，由题意可得，解得，故， 当时，，解得， 故选：D. 3．某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2020年的增长到2023年的.设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为.则（   ） A． B． C． D． 答案：C 解析：根据题意列方程：. 故选：C 4．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为(件)时的成本函数为(万元)，如果售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润为___________万元． 答案：30 解析：设该企业所能获取的最大利润为万元，则， 即，故当或时，取最大值30， 即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为30万元． 5．某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 答案：公里小时 解析：若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，且能在离障碍物不少于米处停车， 则， 解得， 即该汽车的最大速度为公里小时. 6．某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用） 答案： 解析：设楼房每平方米的平均综合费用为元，依题意得：，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值（元） 故答案为： 7．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 解析：（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. （2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 8．美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 解析：（1）不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：， 从而，故； 芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式， 由图像可知，的图像过点，即，解得， 故所求函数关系式为. （2）由题意可知，，， 由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值. 即投入千万时，利润最大，最大值为千万. 【能力提升】（多数必做） 9．遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 答案：A 解析：令，则． ∵，，， ∴的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在． 故选：A. 10．现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 答案： 解析：若有窗墙体的长为米，则左右宽度为， 则A的报价为（元）， B给出的总价为元. 由 . 因为，所以函数在上单调递增， 且当时，， 故， 由，所以实数的取值范围是. 故答案为： 11．某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为__________万元. 答案：1000 解析：由题意得，销售收入为万元， 当产量不足50万件时，利润； 当产量不小于50万件时，利润. 所以利润 因为当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则； 当时，，当且仅当时取等号. 又，故当时，所获利润最大，最大值为1000万元. 12．某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）. (1)求的表达式； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？ 解析：（1）甲产品的投入为（单位：万元），则乙产品的投入为（单位：万元）， 则乙产品的利润 当时，， 所以， 当时，， 所以， 综上所述，. （2）当时，令，则，， 则， 当时，函数有最大值， 即当时，函数有最大值. 当时， ， 当且仅当，即 因为. 所以当甲投入万元，乙投入 万元时，才能使总利润最大，最大利润是 万元. 【拓展拔高】（学有余力选做） 略 四、课时小结 本节课学习函数在实际经济问题中的应用，常见函数模型包含一次函数、二次函数、幂函数、分段函数。 （1）核心公式：总利润=销售收入-总成本，总成本由固定成本与可变成本两部分组成；销售问题中还有总利润=(售价-进价)×销售量； （2）给定表格、图像信息，通过待定系数法求解函数解析式，必须结合实际背景确定定义域； （3）常见处理手段： ①二次函数：利用对称轴，结合定义域求闭区间最值； ②带根号的函数：换元法转化为二次函数； ③分式型函数：配凑变形，使用基本不等式求最值，检验取等条件； ④分段函数：分段分别求最值，再比较各段最值得到整体最大值。 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4函数的应用（一） 【学习目标】 ①初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用； ②能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题； ③通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养； ④借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养. 【学习重点】 ①能区分一次、二次、幂函数、分段函数四类模型，遵循审题 — 建模 — 求模 — 还原四步流程建立实际问题的函数解析式； ②能结合定义域利用函数单调性、基本不等式求解利润优化类最值问题. 【学习难点】 ①从复杂经济、生活情境中提炼变量关系并精准限定实际定义域； ②分段函数分段求最值后对比全局最优，含根式函数换元转化、分式函数配凑基本不等式时验证取等条件易出现疏漏. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.几类不同的函数模型 （1）一次函数模型：（为常数，）； （2）反比例函数模型：（为常数，）； （3）二次函数模型：（为常数，）； （4）幂函数模型：（为常数，）； （5）对勾函数模型：（为常数，且）； （6）分段函数模型：. 2.解答函数应用题的基本步骤（四步八字）： （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，储备选择模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义. 二、典例精析 题型1一（二）次函数模型的应用 1．为了迎接中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开，某商场决定将一批进价为40元/件的商品降价出售，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系. 40 50 55 60 60 30 15 0 (1)根据表中提供的数据描出实数对的对应点，确定与的一个函数关系式； (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），根据上述关系，写出关于的函数解析式，并求日销售利润的最大值. 方法总结 （1）由表格求函数：先描点观察图像类型，选用恰当的函数模型；求出解析式后，必须用表格其它数据检验，再根据实际意义写出定义域； （2）销售利润模型：总利润=(售价-进价)×销售量，是应用题核心公式； （3）闭区间上二次函数求最值：看对称轴是否落在定义域内；开口向下，对称轴处取最大值；若对称轴不在区间，则在区间端点取最值； （4）实际应用题要点：定义域不能丢，要结合商品售价、销量非负得到取值范围. 题型2幂函数模型的应用 例2．党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 方法总结 （1）函数模型识别：正比例函数；幂函数模型，给两组点联立方程求解参数； （2）双投资分配问题：总资金固定，设一个变量，另一个用总资金减去该变量，构建总利润函数； （3）换元法处理根号：形如，令转化二次函数，注意换元后新变量的取值范围. 题型3分段函数模型的应用 例3．在环保科技展览会上，某公司推出了一种新型环保材料供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种材料年固定研发成本为50万元，每生产一吨需另投入90元.设该公司一年内生产该材料万吨且全部售完，总销售收入为（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大?并求出最大利润. 方法总结 （1）成本利润模型：利润=销售收入-(固定成本+可变成本)；注意单位统一，本题产量单位万吨，成本单位万元； （2）分段函数应用题：收入是分段，则利润一定分段；每一段单独求最值，最后对比各段最大值得到整体最大值； （3）二次函数区间最值：判断对称轴是否在定义域内；对称轴在区间外，则利用单调性求端点最值； （4）分式型函数求最值：形如配凑成，使用基本不等式求最值时，务必验证取等条件在定义域内，否则根据对勾函数的单调性求最值； （5）答题规范：分段函数应用题，求出每段最值后，必须做大小比较，再给出最终实际问题答案。 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 2．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2020年的增长到2023年的.设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为.则（   ） A． B． C． D． 4．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为(件)时的成本函数为(万元)，如果售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润为___________万元． 5．某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 6．某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用） 7．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 8．美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 【能力提升】（多数必做） 9．遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 10．现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 11．某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为__________万元. 12．某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）. (1)求的表达式； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？ 【拓展拔高】（学有余力选做） 略 四、课时小结 本节课学习函数在实际经济问题中的应用，常见函数模型包含一次函数、二次函数、幂函数、分段函数。 （1）核心公式：总利润=销售收入-总成本，总成本由固定成本与可变成本两部分组成；销售问题中还有总利润=(售价-进价)×销售量； （2）给定表格、图像信息，通过待定系数法求解函数解析式，必须结合实际背景确定定义域； （3）常见处理手段： ①二次函数：利用对称轴，结合定义域求闭区间最值； ②带根号的函数：换元法转化为二次函数； ③分式型函数：配凑变形，使用基本不等式求最值，检验取等条件； ④分段函数：分段分别求最值，再比较各段最值得到整体最大值。 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $