25.2.1　第1课时直接开平方法同步练2026-2027学年数学人教版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础方程求解到综合应用，强化运算能力与推理意识，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|直接开平方法的两种基本形式（x²=p、(mx+n)²=p）及易错点（漏解）|以选择、填空、基础解方程为主，融入中考真题，强化概念理解与基本运算| |能力提升|综合应用（含参数、几何情境）、新定义运算及创新解法（平均数法）|通过过程辨析、几何应用、新定义题型，提升推理意识与问题解决能力|

25.2降次——解一元二次方程 25.2.1　配方法 第1课时　直接开平方法 解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程 1.(2026徐州睢宁县月考)一元二次方程x2-36=0的根是 (　　) A.x=36 B.x=6 C.x=-6 D.x=±6 2.若9×□2=1,则□的值为 (　　) A.3 B.3或-3 C.或- D. 3.(2025贵州中考)一元二次方程x2-1=0的根是　　　　.  4.用直接开平方法解下列方程: (1)x2-169=0. (2)3x2=75. 解形如(mx+n)2=p(m≠0,p≥0)的一元二次方程 5.一元二次方程(x+1)2=16用直接开平方法可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+1=4,则另一个一元一次方程是 (　　) A.x-1=-4 B.x-1=4 C.x+1=-4 D.x+1=4 6.若关于x的一元二次方程(x-m)2-1=m有实数根,则m的值可以是 (　　) A.-1　　　　B.-2 　　　　C.-3　　　　D.-4 7.方程(x-1)2=16的根是 (　　) A.x1=5,x2=2 B.x1=3,x2=-5 C.x1=5,x2=-3 D.x1=4,x2=-4 8.方程(2x+1)2=49的根是　　　　　　.  9.用直接开平方法解下列方程: (1)(x+3)2-121=0. (2)3(2x-6)2=18. 解一元二次方程开平方时漏解 10.在如图所示的计算程序中,输入的x的值为　　　　.  1.在下列解方程的过程中,正确的是 (　　) A.解方程x2=-2,得x=± B.解方程(x-2)2=4,得x-2=2,则x=4 C.解方程4(x-1)2=9,得4(x-1)=±3,则x1=,x2= D.解方程(2x+3)2=25,得2x+3=±5,则x1=1,x2=-4 2.关于x的一元二次方程ax2=1(a>0)的两个根是m+1与2m-7,则这两个根分别是　　　　.  3.若(x2+y2-1)2=4,则x2+y2的值为　　　　.  4.已知三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是一元二次方程(x-5)2-4=0的一个根,则三角形的周长为　　　　.  5.用直接开平方法解下列方程: (1)9(1-x)2-49=0. (2)y2+10y+25=3. (3)(x+3)2=4(x-2)2. 6.(新定义)定义新运算:对于任意实数m,n都有m☆n=m2n+n.例如:(-3)☆5=(-3)2×5+5=50.根据以上定义解决问题: (1)若x☆4=40,求x的值. (2)若(x-5)☆1=17,求x的值. 7.(运算能力)在解关于x的一元二次方程x(x+8)=4时,发现有这样一种解法: 解:将原方程变形,得 [(x+4)-4][(x+4)+4]=4. ∴(x+4)2-42=4. ∴(x+4)2=20. 直接开平方并整理,得x1=-4+2,x2=-4-2. 我们称这种解法为“平均数法”. (1)下面是小明用“平均数法”解方程(x+2)(x+8)=40时写的解题过程: 解:将原方程变形,得 [(x+a)-b][(x+a)+b]=40. ∴(x+a)2-b2=40. ∴(x+a)2=40+b2. 直接开平方并整理,得x1=c,x2=d. 上述解题过程中的a,b,c,d(c>d)所表示的数分别是　　　　,　　　　,　　　　,　　　　.  (2)请用“平均数法”解方程:(x-2)(x+6)=4. 【详解答案】 基础达标 1.D　2.C　3.x=±1 4.解:(1)移项,得x2=169. ∴x=±13, 即x1=13,x2=-13. (2)二次项系数化为1,得x2=25. ∴x=±5,即x1=5,x2=-5. 5.C　6.A　7.C　8.x1=3,x2=-4 9.解:(1)∵(x+3)2-121=0, ∴(x+3)2=121, 即x+3=±11, ∴x1=8,x2=-14. (2)∵3(2x-6)2=18, ∴(2x-6)2=6,即2x-6=±, ∴x1=,x2=. 10.5或-7 能力提升 1.D　解析:A.在方程x2=-2中,-2<0,则方程无实数根,故错误.B.解方程(x-2)2=4,得x-2=±2,∴x1=4,x2=0,故错误.C.解方程4(x-1)2=9,得x-1=±,∴x1=,x2=-,故错误.D.解方程(2x+3)2=25,得2x+3=±5,∴x1=1,x2=-4,故正确.故选D. 2.3,-3　解析:∵关于x的一元二次方程ax2=1的两个根是m+1与2m-7,∴m+1+(2m-7)=0,解得m=2,∴m+1=3,2m-7=-3. 3.3　解析:两边开平方,得x2+y2-1=±2,∴x2+y2=3或x2+y2=-1.∵x2+y2≥0,∴x2+y2=3. 4.16　解析:∵(x-5)2-4=0,∴(x-5)2=4,∴x-5=±2,解得x1=3,x2=7, 当第三边的长为3时,3+3=6,不符合题意; 当第三边的长为7时,3+6=9>7,符合题意,此时周长为3+6+7=16. 5.解:(1)原方程变形,得(1-x)2=. 两边开平方,得1-x=±. 解得x1=,x2=-. (2)原方程变形,得(y+5)2=3. 两边开平方,得y+5=±. 解得y1=-5+,y2=-5-. (3)两边开平方,得x+3=±2(x-2). ∴x+3=2(x-2)或x+3=-2(x-2). ∴x+3=2x-4或x+3=-2x+4. 解得x1=7,x2=. 6.解:(1)因为x☆4=40, 所以4x2+4=40, 4x2=36, x2=9, 所以x=±3. (2)因为(x-5)☆1=17, 所以(x-5)2+1=17, (x-5)2=16, 则x-5=±4, 所以x=1或x=9. 7.解:(1)5　3　2　-12 (2)将原方程变形,得 [(x+2)-4][(x+2)+4]=4. ∴(x+2)2-42=4. ∴(x+2)2=20. 直接开平方并整理,得x1=-2+2,x2=-2-2. 学科网（北京）股份有限公司 $