第1章 图形的相似（复习课件）数学新教材湘教版九年级上册

第1章 图形的相似 复习课件 湘教版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 能识别相似图形、多边形、三角形、位似图形及对应比，区分位似与相似。 02 工具掌握 深化理解 理解形状不变、比例本质、相似与全等关系、面积维度、位似几何约束。 思想与应用 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 掌握相似三角形判定与性质、平行线分线段成比例、位似作图，会用相似解决实际问题。 复习体会分类讨论、数形结合、类比、转化思想，运用相似解决实际问题。 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1.灵活运用相似三角形判定性质，综合证明，会构造辅助线。 2.复杂图形识别相似关系，找准对应顶点与对应边。 3.结合比例线段代数解题，列比例式求解线段长度。 1.理解相似图形的定义与性质。 2.掌握相似三角形三种判定定理。 3.应用相似三角形性质解决实际问题。 4 知识图谱 5 考点串讲 ——1：成比例线段 1、对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比， 如（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。 归纳总结 2、线段的比要注意以下几点： ①线段的比是正数；②单位要统一；③线段的比与线段的长度无关 3、性质及应用 ①比例式与等积式： → ad = bc ②比例的性质：更比、合比、等比 ③比例尺：注意运算中单位换算，结果为最简整数比1：n 6 考点串讲 ——2：黄金分割 归纳总结 1、概念：点C把一条线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果满足比例关系： = ,那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫作黄金分割比。每条线段有2个黄金分割点。 2、比例中项：在上述关系中,AC是AB和BC的比例中项，即AC2= AB*BC 3、黄金分割比： = ≈ 0.618 4、几个数据：①中等长度线段长：AC = AB ②最短线段长：BC = AB ③两个黄金分割点之间的距离：CD = - 2)AB 7 考点串讲 ——3：图形的相似 归纳总结 (1) 形状相同的图形 ①表象：大小不等，形状相同. ②实质：各对应角相等、各对应边成比例. (2) 相似多边形：形状不变，大小相同， (3) 相似比：相似多边形对应边的比 8 考点串讲 ——4：相似三角形的判定 归纳总结 1、通过定义 2、平行于三角形一边的直线 3、三边成比例 4、两边成比例且夹角相等 5、两角分别相等 6、两直角三角形的斜边和一条直角边成比例 【注意】 所有的等边三角形都相似． 9 考点串讲 ——5：相似三角形的性质 归纳总结 1、对应角相等、对应边成比例 2、对应高、中线、角平分线的比等于相似比 3、周长比等于相似比 4、面积比等于相似比的平方 10 考点串讲 ——6：相似三角形的应用 归纳总结 (1) 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. (2) 测距(不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. 11 考点串讲 ——7：位似 归纳总结 1、 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似比也称为位似比) 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比； 对应线段平行或者在一条直线上. 3、 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小. 4、平面直角坐标系中的位似 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k； 当位似图形在原点异侧时，对应顶点的坐标的比为－k. 12 题型全解 题型01 比例的性质 D 例 1 已知 ，则 等于（    ） A．5:2 B．5:4 C．4:5 D．2:5 方法总结 方法 1：交叉相乘(去分母) 将比例式转化为等积式 方法 2：合比的性质 则： + 2 = 即： = 13 题型全解 题型02 相似图形、相似多边形 例2 下列说法正确的是（    ） A．所有的矩形都是相似形 B．有一个角等于 100°的两个等腰三角形相似 C．对应角相等的两个多边形相似 D．对应边成比例的两个多边形相似 【解析】 解:A、对应边的比值不一定相等,故此选项错误; B、有一个角等于100°的两个等腰三角形相似,此角度一定是顶角,即可得出两三角形相似,故此选项正确; C、对应边的比值不一定相等,故此选项错误; D、对应角不一定相等,故此选项错误; 所以B选项是正确的. B 14 题型全解 题型02 相似图形、相似多边形 方法总结 方法 1：利用相似图形的判定方法分别判断 形状相同的图形 ①表象：大小不等，形状相同. ②实质：各对应角相等、各对应边成比例. 方法 2：记特例 常见相似的图形有： ①等边三角形、 ②等腰直角三角形、 ③正多边形、 ④圆、 ⑤圆心角相同的扇形 …… 题型全解 题型03 ：平行线分线段成比例 【解析】已知AB//CD//EF, 根据平行线分线段成比例定理, 对各项进行分析即可. B 例 3 如图，已知AB//CD//EF，那么下列结论不正确的是（       ）    A． B． C． D． 题型全解 题型03 平行线分线段成比例 方法总结 方法 2：位置对应 例如： 或 方法 1：线段对应 根据字母对应关系，找到对应线段 AC→BD DF→CE AF→BE 题型全解 题型04 ：利用相似三角形的性质求解 由已知可得∠DPE=∠E=45，AB=BE，设AB=x米,BD=(x-1.5)米，可得 △ABD~△FCD, 则，代入各数据可得答案. 例 4 如图，一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时， 测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得 此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45º，已知小颖的身 高为1.5米，那么路灯A的高度AB为（    ） A．3米 B．4.5米 C．6米 D．8米 B 方法总结 F 题型全解 题型04 ：利用相似三角形的性质求解 答案详解 设两个交点分别为F、P, 根据题意得FC=DP=DE=1.5米,故 ∠DPE=∠E, 在Rt△PDE中, ∠DPE=∠E=45, 又知DP//BA,故∠BAE=∠DPE=∠E,则AB=BE. 设AB=x米,BD=(x-1.5)米.因为FC//AB,即∠DFC=∠DAB,∠FDC=∠ADB, 所以△ABD~△FCD, 则 即： ，移项并合并系数化为1, 解得：x=4.5, 即AB=4.5米， 故选B. 题型全解 题型05 ：根据位似变换求点的坐标 【解析】解：根据题意可知：△DEF 有两种情况： 一种是△DEF位于第一象限，一种是△DEF位于第三象限。由A(2,2)、C(6,4)得中点坐标为P(4,3) ，由相似比为1:2得K=2或者K=-2,则P对应坐标为 (2，)或（- 2，- ） 例 5 如图，三个顶点的坐标分别为A(2,2)，B(4,2)，C(6,4)，以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1:2，则线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为（ ） A．(2,) B．(-2, -) C．(2, )或(-2, -) D．(8, 6)或(-8, -6) C 题型全解 题型05 ：根据位似变换求点的坐标 方法总结 1、根据△ABC的位置可知△DEF有两种情况, 一种是△DEF位于△ABC的同侧（第一象限）, 另一种是△DEF位于△ABC的异侧位于（第三象限）; 2、根据中点坐标公式可求出点P的坐标, 3、根据已知条件可得△DEF与△ABC的相似比为1:2, 扩大：坐标乘以2 缩小：坐标除以2 题型全解 题型06 ：黄金分割 【解析】根据黄金分割点的概念进行计算, 其中较短的线段=原线段的 倍，较长的线段=原线段的 倍.. 例 6 已知线段AB，点C是靠近B点的AB的黄金分割点．点G是靠近点A的黄金分割点，则=________． 1 题型全解 题型03 平行线分线段成比例 方法总结 方法 1：黄金分割常见线段值 其中较短的线段=原线段的 倍 较长的线段=原线段的 倍. 则： BC= AB AG= AB, =1 方法 2：数形结合 通过画图得： 由图可知：AG=BC 则=1 A B C G 题型全解 题型07 ：相似三角形的判定与性质综合 例 7 如图，在△ABC中，BC=120，高AD=60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为___． 【解析】先证四边形EHDN是矩形 ,在正方形EFGH中得DN=EH=EF，根据 即可求解 20 题型全解 题型07 ：相似三角形的判定与性质综合 方法总结 根据相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．可知矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，则 = 针对训练 1．在比例尺为1:20 0000的交通图上,距离为4厘米的两地之间的实际距离约为______千米． 8 6 50° 2、已知五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1相似，且AB=2，BC=3，A1B1=4，∠D=20°，∠E=50°，则B1C1= ，∠E1= 。 3、现已知线段AB=10，点P是线段AB的黄金分割点（PA>PB），如图所示，那么线段PB的长约为(　 ) A.6.18 B.0.382 C.0.618 D.3.82 D 针对训练 4、如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E.若AD=4，DB=2，则AE:EC=(　　) A.0.5 B.2 C. D. 5、如图.若∠CAE=∠BAD，请补充一个条件: 使△ABC∽△ADE. ∠B=∠D（或∠ACB=∠AED，或 ） B 针对训练 6、在△ABO中，已知点A(-6,3),B(-6,-4),以原点O为位似中心画△A1B1O1 ,使它与△ABO位似，且位似比为1:3，则点A的对应点A1的坐标是 （ ） A. (-2,1) B.(-8,4) C.(-8,4)或(8,-4) D.(-2,1)或(2,-1) D 7、已知abc≠0，且 = ,那么K的值是 ( ) A.2 B.-1 C.2或0 D.2或-1 D 针对训练 8、根据下列条件，判定△ABC与△A1B1C1是否相似，并说明理由 （1）∠A=40°，AB=8CM,AC=15CM,∠A1=40°，A1B1=16CM,A1C1=30CM (2) AB=10CM,BC=8CM,AC=16CM ,A1B1=16CM,B1C1=12.8CM,A1C1=25.6CM (1)解：△ABC与△A1B1C1相似，理由如下： 由： = 得 则 △ABC ~ △A1B1C1 (2)解：△ABC与△A1B1C1相似，理由如下： 由： = 则 △ABC ~ △A1B1C1 针对训练 9、如图，装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍．工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分BD=1M,搅拌棍A到底端D处的长度为1.5M,最后测量出桶的高AE为1.2M,圆桶内壁的底面直径为0.9M,已知桶内的液面与桶底面平行，其平面示意图如图2所示．请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积（结果保留π） 针对训练 解：由题意得，BC // DE ,即 , 解得：CE =0.8, 则桶内所装液体的体积=π()2×0.8= 答：桶内所装液体的体积为 针对训练 9、如图，已知D为△ABC的边AC上的一点，E为CB的延长线上的一点，且 求证：AD=EB 证明：如图： 过点D作DG//AB于点G， 则 则 即AD=EB 针对训练 10、小李和小王去公园玩标准的跷跷板（两边长度一样）游戏，两同学越玩越开心，小李对小王说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能将你翘得更高！” (1)请你根据他们的对话，借助图1，计算出跷跷板的支点O与地面的距离OP的长度； (2)你认为小李的话对吗？请你作图分析，并说明理由． 针对训练 （1）解：小李对小王说“真可惜！我只能将你最高翘到1米高”，情形如图1所示，OP是标准跷跷板支架的高度，AC是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，BC是地面． 此跷跷板是标准跷跷板,则 BO=AO 且AC=1米，得OP=0.5米 针对训练 （2）解：小李的话不对． 若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a米（a›0）如图2所示，BD=a米，AE=a米 ∵BO-AO,∴BO+a=OA+a ,即DO=OE ∴ , 同理可得 △DOP ~△DEF, ∴ ,由OP=0.5米，得EF=1米 综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架高度的两倍，所以不可能翘得更高 单元总结/易错复盘 ·分类规则 1. 相似图形：形状相同（对应角相等，对应边成比例）； 2. 相似三角形：按判定定理分类（AA、SAS、SSS）及平行于三角形一边的直线； 3. 位似图形：相似且对应点连线交于一点（位似中心）； 4. 比例尺：图上距离与实际距离的比（无单位）。 ·核心概念 1. 相似比：k（对应边之比）； 2. 黄金分割： = ≈ 0.618 3. 性质： ①周长比 = 相似比 k； ②面积比 = 相似比的平方 k2； ③对应高/中线/角平分线比 = 相似比 k。 ·答题注意事项 1. 对应关系：写相似或比例式时，字母顺序必须对应 2. 面积比陷阱：看到面积比要先开平方求相似比，再算线段或周长； 3. 判定严谨：SAS判定必须是“两边成比例且夹角相等”； 4. 位似分类：平面直角坐标系中，位似图形可能在原点同侧（k）或异侧（-k），注意分类讨论。 36 湘教版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $