第1章 图形的相似【章末复习】-课件-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件系统梳理了图形的相似单元知识，涵盖比例线段、平行线分线段成比例、相似三角形判定与性质、位似变换等核心内容，通过知识图谱和核心知识点归纳，将零散概念串联成逻辑网络，帮助学生建立完整知识体系。 其亮点在于融合数学眼光与思维，通过“基础巩固-综合应用-中考拓展”分层设计，如利用相似测树高培养模型意识，结合几何证明题提升推理能力，助力学生夯实基础并灵活应用，也为教师提供精准复习路径。

湘教版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月8日 小结与评价 第1章 图形的相似 湘教版九年级数学第1章 图形的相似 章节综合练习题 第一章知识体系总览：本章主要学习比例线段、平行线分线段成比例、相似图形、相似三角形的判定与性质、相似图形的实际应用、平面直角坐标系中的位似变换，是初中几何重难点，也是中考核心考点。 一、核心知识点归纳 1. 比例与成比例线段：若$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$，则$$ad=bc$$；四条线段对应比值相等即为成比例线段；若$$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$$，则b为a、c的比例中项。 2. 平行线分线段成比例：一组平行线截两直线，对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截三角形，所得线段对应成比例，且构成的小三角形与原三角形相似。 3. 相似三角形四大判定：①平行判定（预备定理）；②AA两角对应相等；③SAS两边成比例且夹角相等；④SSS三边对应成比例。 4. 相似三角形核心性质：对应角相等、对应边成比例；对应高、中线、角平分线的比、周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 5. 相似应用：利用相似三角形测量不可直接测量的物体高度、河宽、距离等。 6. 位似图形：特殊的相似图形，对应顶点连线交于位似中心、对应边平行；原点位似坐标规律：$$(x,y)\to(kx,ky)$$或$$(-kx,-ky)$$，正负决定位似方位。 二、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 已知$$3a=5b$$，则$$\frac{a}{b}=$$________。 2. 相似比为2:3的两个三角形，周长比为________，面积比为________。 3. 两个等边三角形一定________（填“相似”或“不相似”）。 4. 点A(4,-2)以原点为位似中心，位似比为$$\frac{1}{2}$$的对应点坐标为________。 5. DE∥BC，△ADE∽△ABC，AD:AB=1:3，则AE:EC=________。 三、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列图形一定相似的是（ ） A.两个矩形 B.两个菱形 C.两个等腰直角三角形 D.两个梯形 2. 已知两相似三角形面积比为9:16，则相似比为（ ） A.9:16 B.3:4 C.16:9 D.4:3 3. 不能判定两个三角形相似的是（ ） A.两角对应相等 B.两边成比例且对角相等 C.三边对应成比例 D.两边成比例且夹角相等 4. 位似图形与相似图形的关系正确的是（ ） A.相似一定位似 B.位似一定相似 C.毫无关系 D.以上都不对 5. 同一时刻，物高与影长（ ） A.成正比 B.成反比 C.无比例关系 D.无法确定 四、解答计算题（共60分） 1.（12分）已知四条线段a=2cm，b=4cm，c=3cm，d=6cm，判断这四条线段是否成比例。 2.（12分）在△ABC中，DE∥BC，AD=4cm，DB=8cm，BC=15cm，求DE的长。 3.（12分）两相似三角形相似比为3:5，小三角形面积为18cm²，求大三角形面积。 4.（12分）已知△ABC顶点A(2,4)、B(6,2)、C(4,8)，以原点为位似中心，位似比为$$\frac{1}{2}$$，求位似后三角形顶点坐标。 5.（12分）利用相似测树高：1.6m的小明影长2m，同一时刻大树影长15m，求大树高度。 五、参考答案与解析 （一）填空题答案 1. $$\frac{5}{3}$$ 2. 2:3、4:9 3. 相似 4. (2,-1)或(-2,1) 5. 1:2 （二）选择题答案 1.C 2.B 3.B 4.B 5.A （三）解答题解析 1. 解：排序得2、3、4、6，$$\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$，四条线段成比例。 2. 解：AD:AB=4:12=1:3，△ADE∽△ABC，$$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$$，解得DE=5cm。 3. 解：面积比为9:25，设大面积为x，$$\frac{18}{x}=\frac{9}{25}$$，x=50cm²。 4. 解：坐标同乘$$\frac{1}{2}$$，得A'(1,2)、B'(3,1)、C'(2,4)（反向坐标也正确）。 5. 解：设树高x m，$$\frac{1.6}{2}=\frac{x}{15}$$，解得x=12m，大树高12米。 知识图谱 图形与几何 图形的性质 图形的变化 图形与坐标 图形的平移 图形的轴对称 图形的旋转 图形的相似 图形的投影 线段的比 相似多边形 相似三角形 图形的位似 比例的基本性质 成比例的线段 平行线分线段成比例 判定定理 性质定理 位似图形 图形的放大或缩小 应用 比例的基本性质： 如果ad=bc，其中a，b，c，d为非零实数，那么 成立. 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段. 成比例的线段 例如，已知四条线段a，b，c，d，若 ，则a，b，c，d是比例线段. 类似地，如果 ，那么称线段AB，BC，AC与线段A′B′ ，B′C′ ，A′C′对应成比例. 若 成立，此时称线段 AB 被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比. 黄金分割比的数值为 ，(约等于0.618). A B C 黄金分割点 平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成正比例. 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例. 1. 已知 求下列算式的值： 解： 针对练习 【P54 复习题1 第1题】 2. 已知 AB=0.5m， BC=25cm， A'B'=20cm， B'C'=10cm，线段AB，BC，A'B'，B'C'是否成比例？ 解：因为AB=0.5m=50cm 所以 线段AB，BC，A'B'，B'C'是成比例. 两条线段的长度比与所采用的长度单位无关，但是求比时两条线段的长度单位要一致. 3. 已知 a，b，c，d是成比例线段. (1) 若 a = 2，b = 5 ，c = 6 ，求 d； (2) 若 a = 1.5，c = 3 ，d = 4.5 ，求 b； (3) 若 a = 5，b = 8 ，d = 44 ，求 c； 【P54 复习题1 第2题】 4. 如图 l1∥l2∥l3，直线AC分别与l1，l2，l3相交于点 A，B，C，直线 DF 分别与l1，l2，l3相较于D，E，F.已知 DE=6，求 DF 的长. C A D B E F l1 l2 l3 又因为 DE=6， 所以 EF=4. 所以 DF=DE+EF=6+4=10. 解：因为 l1∥l2∥l3， 【P54 复习题1 第3题】 记作 四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1 读作 四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1 相似多边形 类似地，对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形的对应边的比也叫作相似比. △ABC与△A′B′C′相似 记作 △ABC∽△A′B′C′ 读作 △ABC相似于△A′B′C′ A B C A' B' C' 相似三角形 数学上，把三个角对应相等且三条边对应成比例的两个三角形称为相似三角形. 相似三角形的判定定理 文字语言 两角分别相等的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似 数学语言 图示 因为∠A=∠A'，∠B=∠B'， 所以△ABC∽△ A'B'C'. ∠A=∠A' 所以 △ABC∽△A'B'C′. 所以 △ABC∽△A'B'C′. 相似三角形对应线段的性质 图示 推理 结论 相似比 对应高的比 对应中线的比 △ABC∽△ A'B'C'. AD，A'D'分别是△ABC， △A'B'C'的高 AE，A'E'分别是△ABC， △A'B'C'的中线 由两角分别相等得出△ABD∽△ A'B'D'，则 由两边成比例其夹角相等得出△ABE∽△ A'B'E'，则 相似比为k 对应高的比等于相似比 对应中线的比等于相似比 相似三角形对应线段的性质 图示 推理 结论 对应角平分线的比 对应高的比 AF，A'F'分别是△ABC， △A'B'C'的角平分线 由两角分别相等得出△ABF∽△ A'B'F'，则 对应角平分线的比等于相似比 周长的比等于相似比 相似三角形面积的性质 内容 相似三角形面积的比等于相似比的平方 图示 推导过程 若△ABC∽△ A'B'C'，相似比是k，AD，A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的高， 考点1 比例的性质与成比例线段 1. 若，且 ，则下列等式成立的是( ) D A. B. C. D. 2. 已知线段,,,成比例，且，，则线段 的长为______. 返回 中考考法 17 考点2 平行线分线段成比例 （第3题） 3. [邵东振华中学期末] 如图，在 中，是的边 的中点， ，的延长线交于点 ， 则 的值为__. 返回 中考考法 18 （第4题） 4. 如图，在矩形中， ，点 ，分别在，边上，且 与 关于直线对称.点在边上， 分别与，交于，两点.若 ， ，则 __. 返回 中考考法 19 【点拨】如图，连接.因为四边形 是 矩形，所以， ， .因为，所以设 ， .因为与关于直线 对 称，所以，， ，所以 ， 中考考法 20 所以 .因为 ，所以 ，所以四 边形是菱形，所以 ，所以 ，所以 . 返回 中考考法 考点3 相似图形的基本概念及性质 5. 下列命题错误的是( ) D A. 两个全等的三角形一定相似 B. 相似的两个三角形不一定全等 C. 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 D. 已知，，，则 与 的相似比是 返回 中考考法 22 6. [郴州模拟] 如图，在矩形中，， ,截 去矩形，若剩下的矩形与矩形 相似，则 ____. 4.5 返回 中考考法 23 考点4 相似三角形的判定与性质 （第7题） 7. 如图，已知， ， 是三个全等的等腰三角形，底边 ，， 在同一直线上，且 ，，连接 ，分别交 ，，于点，， .有下列结 C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 论：；；； 平分 .其中正确的有( ) 中考考法 24 （第7题） 【点拨】因为，， 是三个全等的等腰三角形，所以 ， ，所以 ， 所以.又因为 ，所 以.所以 . 故①正确;由题意得 ，所 中考考法 25 以，所以 .因为 ，所以 ，故②正确; 易知，所以 ， 所以.因为 ，所以 ，所以 ，故③正确;因 为 ，所以 （第7题） 中考考法 .因为， ，所以 ， 所以 ，所以 ，故④错误.故选C. （第7题） 返回 中考考法 （第8题） 8. 如图，在 中， ， ， ，，分别在边 ， 上（不与端点重合），且 . A A. B. C. D. 设，四边形的面积为，则关于 的函数图象为 ( ) 中考考法 28 （第8题） 【点拨】过点作于点 .因为 ，， ，所以 .因为 是边 上的高，所以 ， 所以 .所以 ，所以 中考考法 29 .因为是 边上的高.所以 ， 所以.又因为, ，所 以， . 所以 . 易得 ， （第8题） 中考考法 ，所以 ，所以 ，所以 . （第8题） 中考考法 所以. 因为，所以当时，随 的增大而减 小，关于 的函数图象为不含两端点的线 段，且当时，；当 时， .故选A. （第8题） 返回 中考考法 9. 如图，四边形 是边长为5的正方 形，点是上一动点，以为斜边在 边的右侧作等腰直角三角形 ， ，连接，，则 的最 小值为__. 中考考法 33 【点拨】如图，作于点，交 于 点，连接并延长交于点 ，则 .因为四边形 是 边长为5的正方形，所以 ， ，所以， .因为等腰直角三 角形中， ，所以 ，所以 .因为 ， 中考考法 34 ，所 以，所以 ，所以 .又因为 ，所以 ，所以 ，所以 ， 所以 ， 中考考法 所以，所以 .因 为，所以，所以 的最小 值为 . 返回 中考考法 10. [华师一附中自主招生] 如图，四边形 中， , ,,,于点 . 中考考法 37 （1）求 的值； 中考考法 38 【解】如图①,作,交 的延长线 于,则易知四边形 为矩形.所以 .因为,所以 .已 知于,所以 . 因为,所以 ,所以 ,所以 ,所以 . 中考考法 39 （2）如图①，若,交于点,求 的值； 中考考法 40 如图②,延长,交于.因为 , 所以 ,所以 ,所以 , .由勾股定理知 ,所 以.延长,交于 ,易得 ,所以 .在 中考考法 41 中， ,所以易得 ,所以 .因为 ,所以,所以 ,所以 .因为 ,所以 ,所以 . 中考考法 （3）如图②，若,过点作,交 的延长线于 点,求 的值. 中考考法 43 如图③,延长,交于点 ,同（2）易得 ,,所以 . 因为,所以 . 返回 中考考法 44 考点5 相似三角形的应用 11. 如图 ①，“矩”在古代指两条 边成直角的曲尺，它的 两边长分别为， .中国 最古老的天文学和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述 了“矩”的功能：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧 中考考法 45 矩以知远，环矩以为圆， 合矩以为方.”其中 “偃矩 以望高”的意思就是把 “矩”仰立放可测物体的 高度.如图②，从 “矩” 的一端 望向树顶端 的点 ，使视线通过 “矩” 中考考法 的另一端 ，测得 ， . 若“矩”的边 ，边 ，求树 高 .#1 中考考法 【解】 .由题易 知 ， ， ，所以 .所以，即 ，所以 .所以 . 答：树高为 . 返回 中考考法 48 12. [长沙开福区模拟] 如图，在某小区内拐 角处的一段道路上，有一儿童在 处玩耍， 一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的 处 驶来，，与 相交 于点，已知， ， ，，则当汽车从处前行的距离 为 多少米时，才能发现 处的儿童？ 中考考法 49 【解】在中， ， ，所以 . 因为 ， ，所以 中考考法 50 .所以，即 . 所以. 在 中， ， ，所以 .所以 .所 以当汽车从处前行的距离为 时， 才能发现 处的儿童. 返回 中考考法 考点6 位似 13. 如图，已知与 是以点 为位似中心的位似图形， 位似比为 ，下列说法错误的是 ( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 52 14. 如图所示的网格中，每个 小方格都是边长为1的小正方 形，点的坐标为 . （1）把绕点 按顺时针 方向旋转 后得到 , 请画出这个三角形并求出 在旋转过程中扫过的面积； 中考考法 53 【解】如图所示，即为所求. 在旋转过程中扫 过的面积为 . 中考考法 54 （2）以点 为位似中心放大 ，得到 ，使放 大前后的面积之比为 ，请 画出，并写出点 的坐标. 如图即为所求.点的坐标为 . 返回 中考考法 55 思想1 方程思想 （第15题） 15. 如图，在中， ，按以 下步骤作图：①以点 为圆心，适当的长为 半径画弧，交于点，交于点 ，连 接；②以点为圆心， 的长为半径画 弧，交于点；③以点为圆心， 的 长为半径画弧，在 内与前一条弧相 交于点；④连接并延长交于点．若点恰好为 的 中点，则 的长为_____. 中考考法 56 （第15题） 【点拨】根据作图过程可知 .又 因为，所以 ，所 以.因为点恰好为 的中点，所以 .因为，所以 ， 所以 （负值已舍去）. 返回 中考考法 57 思想2 数形结合思想 （第16题） 16. 如图，四边形 的每个顶点都 在边长为1的正方形网格的格点上，延长 与过点的水平格线交于点 ，则线段 的长为___. 中考考法 58 （第16题） 【点拨】过点作于点 ，则 .易得四边形 是正方形，所以 .所以 .所以 . 因为 ，所以 .所以 .所以 中考考法 59 .由题图易知， ， .所以.所以 .所 以 . （第16题） 返回 中考考法 思想3 转化思想 17. 如图，已知平行四边形 的面积为24，以点 为位似中心，作平 行四边形 的位似图形平行四边形 ，位似图形与原图形的相似比为 4 ，连接，，则 的面积为___. 中考考法 61 【点拨】延长交于点 .因为四边 形是平行四边形，四边形 是平行四边形，所以 ， ，.所以 .所以 四边形是平行四边形.所以 .因 为位似图形与原图形的相似比为，所以 所以 中考考法 62 所以 . 所以 . 返回 中考考法 思想4 分类讨论思想 18. [山西中考] 综合与探 究 【问题情境】如图①，在 纸片中， ，点 在边上， .沿过 点的直线折叠该纸片，使的对应线段与 平行，且 折痕与边交于点，得到 ，然后展平. 中考考法 64 【猜想证明】 中考考法 65 （1）判断四边形 的形状，并说明理由. 中考考法 66 【解】四边形 是菱形.理由 如下： 由折叠的性质可得 ， ， . 因为，所以 ， 所以，所以 ， 所以，所以四边形 是菱形. 中考考法 67 【拓展延伸】 （2）如图②，继续沿过点的直线折叠该纸片，使点 的对 应点落在射线上，且折痕与边交于点 ，然后展平. 连接交边于点 . 中考考法 68 ①若，判断与 的位置关系，并说明理由； 中考考法 69 .理由如下： 由（1）知 ，所以 . 由折叠的性质,得 . 因为，所以 ， 所以，所以 . 因为 ， 所以 ，所以 . 中考考法 70 ②若 ，，，当是以 为腰 的等腰三角形时，请直接写出 的长. 的长为5或 . 中考考法 71 【点拨】因为 ， ， ，所以 .当 是以为腰, 为底 的等腰三角形时，如图①，延 长交于点，设与的交点为，则 . 中考考法 72 因为 ， ， 所以 ，所 以 .由折叠的性 质，得 ， 因为 ，所以 . 中考考法 因为 ，所以 ，所以 ，所以.因为 ， , ,所 以 ，所 中考考法 以， 设 ， , ,所以 .因为 ,所以 ，即 ，所以 ，所 中考考法 以 ，所以 .因 为 ，所以 ，所以 .因为 中考考法 ，所以 ，所以 ，即 ， 解得,经检验， 是该 分式方程的解，且符合题意， 所以；当 是以为腰, 为底的等腰三 中考考法 角形时，如图②,延长交 于点,设与的交点为 ， 则 . 中考考法 同理得， ， ,.设， , ,所以.因为 ，所 以，即，所以 ，所以 中考考法 79 ，所以 .因为是以为腰, 为底 的等腰三角形， ，所以 ，所以 ，所以 . 因为，所以，所以 ，即 ，解得，经检验， 是该分式方程 的解，且符合题意，所以 . 综上，的长为5或 . 返回 中考考法 $