第2章 锐角的正弦、余弦、正切复习题2（课件）2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了锐角三角函数的定义、计算、解直角三角形及应用，通过基础题、综合题、应用题的梯度设计，串联起概念理解、公式运用到实际问题解决的逻辑脉络，帮助学生构建完整的三角函数知识网络。 其亮点在于以“问题情境-数学抽象-模型构建”为主线，如通过火箭发射、楼梯设计等真实情境培养学生的数学眼光，借助三角函数式化简和正弦定理证明发展数学思维，设计从基础计算到综合应用的分层练习。这种设计既巩固知识又提升核心素养，助力教师精准复习教学。

湘教·九年级上册 复习题 2 学而时习之 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12cm，BC=10cm，分别求∠A，∠B的正弦值、余弦值和正切值. 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12cm，BC=10cm， 2. 求下列各式的值： (1) 1－2sin230° (2) sin45°cos30°－cos45°sin30° (1)解：1－2sin230° (2)解：sin45°cos30°－cos45°sin30° 3. 已知tanα=0.5，α是锐角，求sinα，cosα的值. 解：由tanα=0.5，α是锐角， 所以 cosα = 2sinα， 又因为sin2α+cos2α=1， 所以 sin2α+(2sinα) 2 =1， 4. 用计算器求下列锐角的正弦值、余弦值和正切值(精确到0.000 1). (1) 3°15′； (2) 68°6′. 解：(1) sin3°15′≈0.0567， cos3°15′≈0.9984， tan3°15′≈0.0568. (2) sin68°6′≈0.9278， cos68°6′≈0.3730， tan68°6′≈2.4876. 5. 已知锐角的正弦(余弦、正切)值，用计算器求对应的锐角(精确到1°) (1) sinα = 0.328 6； (2) cosα = 0.714 3； (3) tanα = 0.293 6. 解：(1) α ≈ 19°. (2) α ≈ 44°. (3) α ≈ 16°. 6. 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=30° ， c=12cm，求∠B，a，b. 解：∠B=180°－∠A－∠C=180°－30°－90°=60°， 7. 在菱形ABCD中，已知对角线 AC，BD 的长度分别为4.8cm，3.6cm，求菱形的边长以及∠ABC的正弦值. 解：如图，设AC，BD交于点O， 因为四边形ABCD是菱形， AC⊥BD， A B C D O 所以∠ABC=2∠ABO=2×53°=106°， 答：菱形的边长为 3 cm，∠ABC 的正弦值为0.96. 所以 ∠ABO ≈ 53°， A B C D O 所以sin∠ABC = sin106°=0.96， 8. 若太阳能热水器的实物图和横断面示意图 如图所示.已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，AB=150cm，∠BAC=30°，另一根支架DE=76cm，∠CED=60°. (1) 求垂直支架CD的长度； (2) 求OD的长度； A C E B D O A C E B D O 解：(1) 在Rt△CDE中， 答：垂直支架CD的长度为 . A C E B D O (2) 设OD =x cm，则OB=x cm，在Rt△AOC中， 解得 x = ， 答：OD的长度为 . 9. 如图，一枚运载火箭从地面 O 处发射，当火箭 到达点 A 处时，地面R处的雷达站测得AR的距离是 4 km，仰角为 30°.火箭继续直线上升 5s 后到达点B处，此时地面 R 处的雷达站测得B处的仰角为45°.求火箭从 A 到 B 处的平均速度( ，结果精确到1m/s). 解：如图，连接OR，由题意得∠BOR=90°， ∠ARO=30°，∠BRO=45°， 所以 OB=OR. 所以 AB = OB－OA=OR－OA = 3.46－2=1.46(km). 1.46 ÷5 = 0.292 (km/s) ≈ 292 m /s. 答：火箭从 A 到 B 处的平均速度为 293m/s. 学而时习之 10. 如图(1)，虚线为楼梯的倾斜度，虚线与地面所成的夹角为倾角θ，设计者准备将楼梯的倾角由40°减小至36°，这样楼梯所占用地面的长度将由d1增加到d2，如图(2) 所示.已知d1=4m，求楼梯占用地面增加的长度DC (tan40°≈0.84，tan36°≈0.37，结果精确到0.01m). 解：在Rt△ABC中， 所以 AB = d1·tan40°= 4×tan40°≈ 3.36(m)， 在Rt△ABD中， 所以 DC = d2－d1 = 4.60－4 = 0.60 (m). 答：楼梯占用地面增加的长度 DC 为0.60m. 11. 婷婷和小丽两人一前一后在水平地面上放风筝， 结果风筝在空中 E 处纠缠在一起，如图所示.将俩人手持的风筝线轮看做点 M，N，且距地面均为1.6m，若∠EMF= 20°，∠ENF=30°，且 M，N 两点的距离为25m，则点 E 到地面的距离为多少(tan20°≈0.36，tan30°≈ 0.58，结果精确到 0.1m)？ E F N M E F N M 在Rt△END中， 因为 MN = MA－NA=25， 解得EA ≈ 23.9(m)， 答：点E到地面的距离ED约为25.5m. A 解：过点E作EA⊥MF，垂足为A. 在Rt△EMD中， 12. 如图，A，B，C表示修建一座比较险峻的山上 的缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆.已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为124m，400m，1100m，钢缆AB与水平线AA2的夹角为30°.钢缆BC与水平线BB2的夹角为45°，求钢缆AB和BC的总长度( ，结果精确到 1m). 解：由题意得 ∠BAA2=30°，∠CBB2=45°. BD = 400－124 = 276(m)，CB2 = 1 100－400=700(m)， 在Rt△ABD中， 所以 AB = 2BD = 2×276 = 552(m). 所以 AB+BC=552+989.95 ≈ 1542(m). 答：钢缆AB和BC的总长度为 1 542 m. 在Rt△CBB2中， 13. (1) 在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边 分别为a，b，c，如图(a)所示. ① △ABC的面积S与∠A，b，c之间有什么关系？ A B C b c a (a) D 解：过C作CD⊥AB于D. 在Rt△CAD中， 所以 CD = b·sin A. 13. (1) 在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边 分别为a，b，c，如图(a)所示. ② 求证 ： A B C b c a (a) 证明：由①可知 同理 所以 bsin A = asin B， A B C D (b) (2)如图(b)，在锐角△ABC中， 又CD⊥AB，垂足为点D，BD=8.求AB的长度. 解：由(1)②可知 所以 ∠B=60°， 又因为BD = 8，在Rt△BCD中，BC = 2BD=16， 在Rt△ADC中， ， 所以 AB = AD+BD =2 + 8 = 10. $