第五单元 第 6 课时 设计公平的游戏规则（讲义）2026-2027学年五年级上册数学（苏教版）

本讲义聚焦“设计公平的游戏规则”核心知识点，承接前5课时等可能性判断、可能性大小比较等内容，构建“明确标准→设计规则→验证公平→修改优化→拓展应用”的完整探究路径，作为小学概率知识体系综合应用的学习支架。 资料通过“新知梳理+方法图谱+分层精练”结构，结合摸球、转盘等实例，培养推理意识（双向验证公平性）和应用意识（生活规则设计）。课中辅助教师系统授课，课后易错预警与分层练习帮助学生查漏补缺，提升规则设计与问题解决能力。

第6课时 设计公平的游戏规则 第一部分 课时核心素养与新知建构 1 一、新知脉络全景梳理 1 二、核心解题方法图谱记忆 2 三、课时数学思想与素养提升 2 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 3 考点一：游戏公平的核心标准（基础必考） 3 考点二：基础公平规则设计（核心必考） 4 考点三：不公平规则的修改优化（提升层级） 7 考点四：多方案开放设计（拓展应用） 8 第三部分 高频易错预警与避坑指南 10 易错点 1：混淆 “有输赢” 和 “公平”，误判公平性 10 易错点 2：设计规则时，双方对应结果数不相等，存在公平性漏洞 10 易错点 3：转盘设计中，颜色块的数量相等，但面积不等，规则不公平 10 易错点 4：修改不公平规则时，只调整数量，不验证公平性 11 易错点 5：设计的规则复杂难操作，脱离实际游戏场景 11 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 12 一、基础夯实达标练（6 题） 12 二、能力拓展提升练（4 题） 13 三、思维拓展培优练（2 题） 14 四、数学活动拓展 15 第五部分 习题精准解析与知识点睛 16 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 课时核心素养与新知建构 一、新知脉络全景梳理 本课时是苏教版五年级上册第五单元《可能性》的综合应用收官课，严格对标 2024 版苏教版新教材内容，承接前 5 课时的等可能性判断、可能性大小比较、试验数据推测等核心知识，从 “判断规则是否公平” 进阶到 “自主设计公平的游戏规则”，是小学概率知识体系的综合落地应用课。核心掌握游戏公平的唯一核心标准、常见游戏场景的公平规则设计方法、不公平规则的修改优化、多方案开放设计、公平规则的验证方法五大核心内容。全课时建立 “明确标准→设计规则→验证公平→修改优化→拓展应用” 的完整探究路径，围绕推理意识、应用意识、公平素养、创新意识四条《义务教育数学课程标准（2022 年版）》核心素养主线，帮助学生建立 “用数学方法实现规则公平” 的核心思维，培养公平公正的价值观，为后续初中概率统计、规则设计的学习奠定基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错预警 公平核心标准 游戏公平的唯一依据：双方获胜的可能性完全相等，与单次输赢结果无关 标准辨析法、概念理解法 混淆 “有输赢” 和 “公平”，认为只要有输赢的游戏就是公平的 基础规则设计 摸球、转盘、掷骰子、抽牌等常见游戏的公平规则设计，保证双方对应结果的数量 / 面积 / 概率相等 等量设计法、对应匹配法 设计时双方获胜的可能性不相等，规则存在不公平漏洞 不公平规则修改 对不公平的游戏规则进行调整优化，使其符合公平标准 逆向调整法、等量修正法 修改后仍然可能性不等，或改变了游戏的核心玩法 多方案开放设计 针对同一个游戏场景，设计多种不同的公平规则方案 分类设计法、多方案建构法 方案逻辑重复，或不符合游戏的基本操作逻辑 公平性验证 规则设计完成后，验证双方获胜的可能性是否相等，确保规则合规 验证排查法、反向推导法 设计完规则不验证，存在公平性漏洞无法发现 二、核心解题方法图谱记忆 方法名称 适用题型 操作路径 技巧口诀 等量设计法 基础公平规则设计题 确定游戏总结果数→将结果平均分配给游戏双方→保证双方获胜的可能性完全相等 公平设计很简单，双方机会要均等，数量面积都对等，可能性才相等 规则修改法 不公平规则优化题 找出原规则的不公平点→调整结果的分配方式→使双方获胜的可能性相等 不公平，找差距，调整机会来补齐，双方相等才公平 多方案设计法 开放设计类题型 从不同维度设计规则→保证每个方案都符合公平标准→方案简洁可操作、不重复 一个游戏多方案，思路开阔不设限，只要机会都均等，方案都合规 反向验证法 所有规则设计题 设计完规则后→分别计算双方获胜的可能性→验证是否完全相等 设计完，要验证，双方概率都相等，规则才可行 场景适配法 生活类游戏设计题 结合游戏的生活场景→设计贴合场景的公平规则→兼顾公平性、趣味性和可操作性 生活游戏要贴合场景，公平有趣都兼顾，规则简单好操作 三、课时数学思想与素养提升 1. 公平思想：规则公平的数学内核 核心要义：游戏规则的公平性，核心是双方获胜的机会均等，即可能性完全相等，这是数学严谨性在社会规则中的延伸。通过数学方法设计公平的规则，培养公平公正的价值观，理解 “规则面前人人平等” 的底层逻辑，是本课时最核心的育人价值。 典型范式：抛硬币游戏，正面朝上小明赢，反面朝上小刚赢，因为正反面可能性相等，规则公平；而掷骰子大于 3 小明赢，小于 3 小刚赢，双方可能性不等，规则不公平，数学逻辑直接决定规则的公平性。 2. 模型思想：公平规则的通用设计模型 核心要义：提炼公平游戏规则的通用设计模型：先确定游戏的所有可能结果，再将结果平均分配给游戏双方，保证双方获胜的结果数占总结果数的比例相等，即可能性相等，用统一的模型解决所有公平规则设计问题，实现举一反三，是模型思想在概率应用中的核心体现。 典型范式：无论是摸球、转盘、掷骰子还是抽牌，所有公平规则的设计都遵循这一模型，先算总结果数，再平均分配，无需逐个场景重新推导，设计逻辑通用。 3. 应用思想：概率知识的生活落地 核心要义：将等可能性、概率相关的知识，应用于游戏规则设计、活动流程制定、生活决策等真实场景，体会数学知识在解决实际问题中的实用价值，培养用数学方法解决生活问题的应用意识。 典型范式：设计班级活动的抽奖规则、体育比赛的发球权规则、课间游戏的先后顺序规则，都需要用到公平规则的设计方法，数学知识贯穿生活的方方面面。 4. 推理思想：双向逻辑推理能力 核心要义：从公平标准出发，逆向推导设计出符合要求的规则；也可以从已有的规则出发，正向验证其是否公平，双向逻辑推理，培养严谨的逻辑推理意识。 典型范式：已知要设计公平的摸球规则，逆向推导出需要让两种颜色的球数量相等；已知一个摸球规则，正向推导双方获胜的可能性，判断是否公平，双向推理逻辑闭环。 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 考点一：游戏公平的核心标准（基础必考） 典型例题 1（基础层级）—— 公平标准辨析 题目：判断下面的游戏规则是否公平，并说明理由。 （1）抛一枚硬币，正面朝上小明赢，反面朝上小刚赢。 （2）掷一枚骰子，点数大于 3 小明赢，点数小于 3 小刚赢。 （3）盒子里有 4 个红球、4 个白球，摸到红球小明赢，摸到白球小刚赢。 思路点拨： ① 第一步明确公平的唯一标准：游戏规则是否公平，只看双方获胜的可能性是否完全相等，和游戏有没有输赢、操作是否简单无关； ② 第二步逐个分析判断： · 第（1）题：硬币只有正反两面，正面和反面朝上的可能性相等，都是，所以规则公平； · 第（2）题：骰子点数大于 3 的有 4、5、6，共 3 种；小于 3 的有 1、2，共 2 种，，小明赢的可能性更大，双方可能性不相等，所以规则不公平； · 第（3）题：红球和白球的数量相等，摸到的可能性相等，都是，所以规则公平； ③ 第三步总结规律：只要双方获胜的可能性相等，规则就公平；可能性不相等，规则就不公平，这是判断的唯一依据。 【答案】 （1）公平，因为正面朝上和反面朝上的可能性相等； （2）不公平，因为点数大于 3 的可能性大于小于 3 的可能性，双方机会不均等； （3）公平，因为摸到红球和白球的可能性相等。 【知识点睛】公平标准的核心要点： 1. 唯一标准：判断游戏规则是否公平的唯一依据，是双方获胜的可能性是否完全相等，没有其他判断标准； 2. 常见误区：不要认为 “只要有输赢就是公平的”，有输赢但可能性不等，规则依然不公平；也不要认为 “规则复杂就不公平”，只要可能性相等，再复杂的规则也是公平的； 3. 本质逻辑：公平的本质是 “机会均等”，不是 “结果均等”，单次游戏一定会有输赢，不影响规则的公平性； 4. 验证方法：判断公平性，先算出双方获胜的所有可能结果数，再对比结果数是否相等，相等则公平，不相等则不公平。 考点二：基础公平规则设计（核心必考） 典型例题 2（核心层级）—— 摸球游戏公平规则设计 题目：一个不透明的盒子里有若干个红球和白球，每次摸一个，摸完放回摇匀，请你设计一个公平的摸球游戏规则。 思路点拨： ① 第一步明确设计核心：要让游戏公平，必须让小明和小刚赢的可能性相等，也就是摸到红球和白球的可能性相等； ② 第二步确定数量关系：要让摸到两种球的可能性相等，必须让红球的数量和白球的数量完全相等； ③ 第三步设计具体方案： · 方案一：盒子里放 4 个红球、4 个白球，规则：摸到红球小明赢，摸到白球小刚赢； · 方案二：盒子里放 5 个红球、5 个白球，规则：摸到红球小明赢，摸到白球小刚赢； · 只要两种球数量相等，方案都符合要求； ④ 第四步验证公平性：红球和白球数量相等，摸到的可能性都是，双方赢的可能性相等，规则公平。 【答案】设计方案：盒子里放入数量相等的红球和白球，比如 4 个红球、4 个白球；规则为：每次摸一个球，摸完放回摇匀，摸到红球小明赢，摸到白球小刚赢。 （答案不唯一，只要两种颜色的球数量相等，规则对应即可） 【知识点睛】摸球游戏公平设计的核心要点： 1. 设计核心：保证双方对应颜色的球数量相等，这是摸球游戏公平的唯一核心； 2. 规则规范：规则要明确、无歧义，写清楚摸球的操作要求（摸完放回摇匀）、输赢的判定标准，避免规则模糊； 3. 操作前提：必须保证每次摸球是随机的，摸完放回摇匀，保证每次摸到两种球的可能性不变，这是公平的前提； 4. 易错提醒：不要设计成 “摸到红球小明赢，摸到其他颜色小刚赢”，如果有第三种颜色的球，双方可能性就不相等了，必须只有两种对应结果，且数量相等。 典型例题 3（核心层级）—— 转盘游戏公平规则设计 题目：请你设计一个公平的转盘游戏规则，要求转盘只有红、黄两种颜色，转动转盘，指针停下后判定输赢。 思路点拨： ① 第一步明确设计核心：转盘游戏的公平性，取决于指针停在两个区域的可能性是否相等，也就是两个区域的面积是否相等； ② 第二步确定面积关系：要让红、黄两个区域的可能性相等，必须让两个区域的面积完全相等，也就是把转盘平均分成两份； ③ 第三步设计具体方案： · 把转盘平均分成 2 个相等的扇形，红色和黄色各占一半，规则：指针停在红色区域小明赢，停在黄色区域小刚赢； · 也可以把转盘平均分成 4 个相等的扇形，红、黄、红、黄交替涂色，规则同上，只要两种颜色的总面积相等即可； ④ 第四步验证公平性：两种颜色的区域面积相等，指针停在两个区域的可能性都是，双方赢的可能性相等，规则公平。 【答案】设计方案：将转盘平均分成两个相等的半圆形，一半涂红色，一半涂黄色；规则为：转动转盘，指针停下后，停在红色区域小明赢，停在黄色区域小刚赢。 （答案不唯一，只要两种颜色的总面积相等，规则对应即可） 【知识点睛】转盘游戏公平设计的核心要点： 1. 设计核心：保证双方对应颜色的区域总面积相等，这是转盘游戏公平的唯一核心； 2. 面积对应：区域面积越大，指针停在该区域的可能性越大，只有面积相等，可能性才相等； 3. 规则规范：规则要明确指针的判定方式，比如 “指针停在区域内”，避免边界模糊的情况； 4. 易错提醒：不要认为颜色块的数量相等就公平，比如红色 1 块、黄色 1 块，但一块大一块小，面积不等，规则依然不公平，核心是总面积相等，不是块数相等。 典型例题 4（核心层级）—— 掷骰子游戏公平规则设计 题目：用一枚标准的六面骰子（点数 1-6），设计一个公平的游戏规则。 思路点拨： ① 第一步明确总结果数：骰子有 6 个面，每个面朝上的可能性相等，总共有 6 种等可能的结果； ② 第二步确定分配原则：要让游戏公平，需要把 6 种结果平均分配给双方，每人分配 3 种结果，双方赢的可能性都是； ③ 第三步设计具体方案： · 方案一：规则为 “掷出的点数是奇数，小明赢；掷出的点数是偶数，小刚赢”。奇数有 1、3、5 共 3 种，偶数有 2、4、6 共 3 种，数量相等，公平； · 方案二：规则为 “掷出的点数大于 3，小明赢；掷出的点数小于等于 3，小刚赢”。大于 3 的有 4、5、6 共 3 种，小于等于 3 的有 1、2、3 共 3 种，数量相等，公平； ④ 第四步验证公平性：两种方案中，双方对应的结果数都是 3 种，可能性相等，规则公平。 【答案】设计方案：规则为 “掷一枚骰子，掷出的点数是奇数，小明赢；掷出的点数是偶数，小刚赢”。 （答案不唯一，只要双方对应的结果数相等，总结果数平均分配即可） 【知识点睛】掷骰子游戏公平设计的核心要点： 1. 设计核心：把 6 种等可能的结果平均分配给双方，每人 3 种结果，保证可能性相等； 2. 分类方式：可以按奇偶性、大小、是否为 3 的倍数等方式分类，只要两类结果的数量相等，就符合要求； 3. 规则规范：规则要明确、无歧义，写清楚点数的判定标准，避免模糊表述； 4. 易错提醒：不要设计成 “大于 3 小明赢，小于 3 小刚赢”，因为大于 3 有 3 种，小于 3 只有 2 种，结果数不等，规则不公平，必须平均分配。 考点三：不公平规则的修改优化（提升层级） 典型例题 5（提升层级）—— 不公平规则修改 题目：下面的游戏规则不公平，请你修改规则，使游戏变得公平。 原规则：盒子里有 3 个红球、5 个白球，摸到红球小明赢，摸到白球小刚赢。 思路点拨： ① 第一步找出不公平点：原规则中，红球有 3 个，白球有 5 个，，摸到白球的可能性更大，小刚赢的可能性大，双方机会不均等，所以不公平； ② 第二步确定修改原则：修改后必须让小明和小刚赢的可能性相等，也就是红球和白球的数量相等； ③ 第三步设计修改方案： · 方案一：去掉 2 个白球，剩下 3 个红球、3 个白球，规则不变，双方数量相等，公平； · 方案二：再放入 2 个红球，变成 5 个红球、5 个白球，规则不变，双方数量相等，公平； · 方案三：修改规则，摸到红球小明赢，摸到白球或其他颜色小刚赢，同时调整球的数量，保证双方可能性相等； ④ 第四步验证修改后的规则：修改后两种球数量相等，摸到的可能性相等，规则公平。 【答案】修改方案：去掉盒子里的 2 个白球，剩下 3 个红球、3 个白球，规则保持不变，此时摸到红球和白球的可能性相等，游戏公平。 （答案不唯一，只要修改后双方获胜的可能性相等即可） 【知识点睛】不公平规则修改的核心要点： 1. 修改前提：先准确找出原规则的不公平点，也就是双方可能性不相等的原因，是数量不等、面积不等还是结果数不等； 2. 修改原则：修改的核心是 “补齐差距”，让双方对应的数量 / 面积 / 结果数相等，保证可能性相等； 3. 修改方式：可以调整物体的数量，也可以修改游戏规则的判定方式，只要最终双方可能性相等即可； 4. 易错提醒：修改时不要改变游戏的核心玩法，比如摸球游戏还是摸球，不要改成其他游戏，只调整数量或规则判定，保持游戏的完整性。 考点四：多方案开放设计（拓展应用） 典型例题 6（拓展应用）—— 同一游戏多方案设计 题目：用下面的 4 张扑克牌（红桃 A、红桃 2、红桃 3、红桃 4），设计两种不同的公平游戏规则。 思路点拨： ① 第一步明确总结果数：4 张牌，任意摸 1 张，总共有 4 种等可能的结果； ② 第二步设计第一种方案：按牌面数字的奇偶性分类，奇数和偶数各 2 种，可能性相等； · 方案一规则：任意摸一张牌，摸到奇数牌（A、3）小明赢，摸到偶数牌（2、4）小刚赢。双方各 2 种结果，可能性相等，公平； · ③ 第三步设计第二种方案：按牌面数字的大小分类，小于 3 和大于等于 3 的各 2 种，可能性相等； · 方案二规则：任意摸一张牌，摸到牌面数字小于 3 的（A、2）小明赢，摸到牌面数字大于等于 3 的（3、4）小刚赢。双方各 2 种结果，可能性相等，公平； ④ 第四步验证两个方案：两个方案中，双方对应的结果数都是 2 种，可能性都是，规则都公平。 【答案】方案一：任意摸一张牌，摸到奇数牌小明赢，摸到偶数牌小刚赢； 方案二：任意摸一张牌，摸到牌面数字小于 3 的小明赢，摸到牌面数字大于等于 3 的小刚赢。 （答案不唯一，只要方案符合公平标准，两种方案不重复即可） 【知识点睛】多方案设计的核心要点： 1. 方案不重复：设计的多种方案，分类逻辑不能重复，比如一个按奇偶分，一个按大小分，不能两个方案都是按奇偶分； 2. 符合公平标准：每个方案都必须严格符合 “双方可能性相等” 的公平标准，不能为了多设计方案而违背公平原则； 3. 规则简洁：方案的规则要简单易懂，可操作性强，不要设计过于复杂、难以执行的规则； 4. 逻辑严谨：每个方案都要明确总结果数、双方对应的结果数，确保可能性计算准确，没有漏洞。 第三部分 高频易错预警与避坑指南 易错点 1：混淆 “有输赢” 和 “公平”，误判公平性 错误范式：认为只要游戏有输赢，规则就是公平的，比如 “掷骰子大于 3 小明赢，小于 3 小刚赢”，有输赢就觉得公平。 成因剖析：对公平的核心标准理解不清，误以为 “有输赢” 就是公平，忽略了公平的唯一标准是 “双方获胜的可能性相等”。 避坑方案：牢记公平的唯一标准：双方获胜的可能性完全相等，规则才公平。判断时先计算双方的可能性，相等就公平，不相等就不公平，和有没有输赢无关。可以记口诀：“有输赢，不一定公平；机会均等，才是真公平”。 易错点 2：设计规则时，双方对应结果数不相等，存在公平性漏洞 错误范式：设计掷骰子游戏，规则是 “大于 3 小明赢，小于 3 小刚赢”，大于 3 有 3 种结果，小于 3 只有 2 种，可能性不等，规则不公平。 成因剖析：设计规则时，没有准确计算双方对应的结果数，没有平均分配总结果数，导致可能性不相等。 避坑方案：设计规则时，先算总共有多少种等可能的结果，再平均分配给双方，确保双方的结果数相等。设计完后，一定要反向验证，计算双方的可能性，确认相等后再确定规则。 易错点 3：转盘设计中，颜色块的数量相等，但面积不等，规则不公平 错误范式：设计转盘游戏，红色块 1 个、黄色块 1 个，但是红色块占转盘的，黄色块占，认为块数相等就公平，实际面积不等，规则不公平。 成因剖析：对转盘游戏的公平核心理解不清，误以为颜色块的数量相等就公平，忽略了转盘公平的核心是区域面积相等，不是块数相等。 避坑方案：转盘设计牢记核心：公平看总面积，不看块数。必须保证双方对应颜色的区域总面积相等，块数可以不同，但总面积必须相等。设计完后，计算两个区域的面积占比，确认都是，规则才公平。 易错点 4：修改不公平规则时，只调整数量，不验证公平性 错误范式：原规则是 3 红 5 白，摸到红球小明赢，白球小刚赢，修改成 4 红 5 白，认为数量接近就公平了，实际可能性仍然不等。 成因剖析：修改规则时，没有明确 “让双方可能性相等” 的核心目标，只是盲目调整数量，没有验证修改后的结果。 避坑方案：修改规则的唯一目标是让双方获胜的可能性相等，必须调整到双方对应的数量 / 面积 / 结果数完全相等。修改完后，一定要验证双方的可能性，确认相等后，修改才完成。 易错点 5：设计的规则复杂难操作，脱离实际游戏场景 错误范式：设计摸球游戏，规则是 “摸到红球小明赢，摸到白球小刚赢，摸到红球后再抛硬币决定是否有效”，规则过于复杂，难以操作。 成因剖析：设计规则时，只考虑公平性，忽略了规则的可操作性和简洁性，设计的规则不符合实际游戏的场景。 避坑方案：设计规则时，除了符合公平标准，还要满足简洁明了、可操作性强、贴合游戏场景的要求。规则要让玩家一眼就能看懂，知道怎么判定输赢，不要设计过于复杂、有歧义的规则。 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 一、基础夯实达标练（6 题） 1. 填空： （1）判断游戏规则是否公平的唯一标准是（ ）。 （2）掷一枚骰子，总共有（ ）种等可能的结果，要设计公平的游戏规则，应该给双方各分配（ ）种结果。 （3）转盘游戏的公平性，取决于指针停在两个区域的（ ）是否相等，也就是（ ）是否相等。 （4）摸球游戏中，要让游戏公平，必须让两种颜色的球的（ ）相等。 2. 判断： （1）只要游戏有输赢，规则就是公平的。（ ） （2）抛硬币游戏，正面朝上小明赢，反面朝上小刚赢，规则公平。（ ） （3）掷骰子游戏，点数大于 4 小明赢，点数小于 4 小刚赢，规则公平。（ ） （4）转盘上红色区域占，黄色区域占，规则公平。（ ） 3. 选择： （1）下面的游戏规则，公平的是（ ）。 A. 掷骰子，奇数小明赢，偶数小刚赢 B. 掷骰子，大于 3 小明赢，小于 3 小刚赢 C. 摸球，3 个红球 5 个白球，摸到红球小明赢 （2）一个转盘平均分成 8 份，3 份涂红色，5 份涂黄色，要让游戏公平，应该（ ）。 A. 再涂 2 份红色 B. 去掉 2 份黄色 C. 再涂 2 份黄色 （3）用 1、2、3、4、5、6 六张数字卡片，设计公平的游戏规则，应该（ ）。 A. 摸到奇数小明赢，摸到偶数小刚赢 B. 摸到大于 3 的小明赢，摸到小于 3 的小刚赢 C. 摸到质数小明赢，摸到合数小刚赢 4. 请你为下面的转盘设计一个公平的游戏规则。 （转盘平均分成 4 个相等的扇形，2 个红色，2 个黄色） 5. 盒子里有 2 个红球、4 个白球，下面的规则公平吗？如果不公平，请修改成公平的。 规则：摸到红球小明赢，摸到白球小刚赢。 6. 用抛硬币的方法，设计一个公平的游戏规则。 二、能力拓展提升练（4 题） 7. 选择： （1）用 A、2、3、4、5、6、7、8、9 九张扑克牌，设计公平的游戏规则，下面合理的是（ ）。 A. 摸到奇数小明赢，摸到偶数小刚赢 B. 摸到质数小明赢，摸到合数小刚赢 C. 摸到大于 5 的小明赢，摸到小于 5 的小刚赢 （2）同时抛两枚硬币，设计公平的游戏规则，下面正确的是（ ）。 A. 都是正面小明赢，都是反面小刚赢 B. 一正一反小明赢，两正两反小刚赢 C. 至少有一个正面小明赢，都是反面小刚赢 8. 用 1、2、3、4 四张数字卡片，设计两种不同的公平游戏规则。 9. 下面的游戏规则不公平，请你修改成公平的，写出两种修改方案。 原规则：掷一枚骰子，点数是 1、2、3 小明赢，点数是 4、5 小刚赢。 10. 班级联欢会要设计一个抽奖游戏，有一等奖、二等奖、三等奖、谢谢参与 4 种结果，要让中奖和不中奖的可能性相等，应该怎么设计抽奖规则？ 三、思维拓展培优练（2 题） 11. 甲、乙两人玩摸球游戏，盒子里有红、黄、蓝三种颜色的球，共 6 个。要让甲赢的可能性是乙的 2 倍，应该怎么设计球的数量和游戏规则？ 12. 用一枚骰子，设计一个公平的游戏规则，要求游戏至少有 3 种输赢结果，且规则公平。 四、数学活动拓展 实践活动：课间游戏我设计 活动任务： 1. 选择一个你喜欢的课间游戏（如摸球、转盘、跳房子、卡牌游戏等）； 2. 为这个游戏设计一套公平的规则，确保游戏双方获胜的可能性相等； 3. 和同学一起玩一玩你设计的游戏，验证规则是否公平，有没有需要修改的地方； 4. 再设计一个不公平的规则，和公平的规则对比，说一说公平规则的好处； 5. 和同学分享你的设计思路，交流设计公平规则的心得。 要求：通过真实的游戏设计与实践，巩固公平规则的设计方法，体会公平在游戏中的重要性，培养公平公正的意识和创新实践能力。 第五部分 习题精准解析与知识点睛 一、基础夯实达标练解析 1. 【答案】（1）双方获胜的可能性是否相等 （2）6；3 （3）可能性；区域面积 （4）数量 思路点拨： ① 公平的唯一标准是双方获胜的可能性相等； ② 骰子有 6 种等可能结果，公平设计需要平均分配，各 3 种； ③ 转盘公平的核心是区域面积相等，可能性相等； ④ 摸球游戏公平的核心是两种颜色的球数量相等。 【知识点睛】本题考查公平规则的核心标准、基础设计原理，是本课时最基础的知识点，必须牢固掌握。 2. 【答案】（1）× （2）√ （3）× （4）× 思路点拨： ① 有输赢不代表公平，必须可能性相等，错误； ② 抛硬币正反面可能性相等，规则公平，正确； ③ 大于 3 有 3 种结果，小于 3 有 2 种，可能性不等，不公平，错误； ④ 红色和黄色面积不等，可能性不等，不公平，错误。 【知识点睛】概念辨析题，准确掌握公平的唯一标准，即可快速判断。 3. 【答案】（1）A （2）B （3）A 思路点拨： ① 奇数和偶数各 3 种结果，可能性相等，规则公平，选 A； ② 红色 3 份，黄色 5 份，去掉 2 份黄色，剩下 3 红 3 黄，面积相等，公平，选 B； ③ 奇数和偶数各 3 种，可能性相等，规则公平，选 A。 【知识点睛】基础选择题，考查公平规则的判断与基础修改，是基础必考题。 4. 【答案】 规则：转动转盘，指针停在红色区域，小明赢；停在黄色区域，小刚赢。 思路点拨： 转盘平均分成 4 份，红、黄各 2 份，面积相等，可能性相等，规则公平。 【知识点睛】转盘公平规则设计，核心是保证双方对应区域的面积相等。 5. 【答案】 原规则不公平。 修改方案：去掉 2 个白球，剩下 2 个红球、2 个白球，规则保持不变，此时摸到红球和白球的可能性相等，游戏公平。 （答案不唯一，也可以放入 2 个红球，变成 4 红 4 白） 思路点拨： 原规则红球 2 个，白球 4 个，数量不等，可能性不等，不公平。修改的核心是让两种球的数量相等。 【知识点睛】不公平规则的修改，核心是补齐双方的数量差距，让可能性相等。 6. 【答案】 规则：抛一枚硬币，正面朝上，小明赢；反面朝上，小刚赢。 思路点拨： 硬币正反面可能性相等，规则公平，符合设计要求。 【知识点睛】基础公平规则设计，贴合生活场景，简单可操作。 二、能力拓展提升练解析 7. 【答案】（1）B （2）B 思路点拨： ① 9 张牌中，奇数有 5 张、偶数有 4 张，数量不等，A 不公平；质数有 2、3、5、7 共 4 张，合数有 4、6、8、9 共 4 张，数量相等，B 公平；大于 5 的有 4 张、小于 5 的有 4 张，但存在点数等于 5 的未明确归属，规则不严谨，因此选 B。 ② 同时抛两枚硬币共有 4 种等可能结果，一正一反有 2 种，两正、两反合计 2 种，双方获胜的可能性相等，规则公平，选 B。 8. 【答案】 方案一：任意摸一张牌，摸到奇数牌小明赢，摸到偶数牌小刚赢； 方案二：任意摸一张牌，摸到牌面数字小于 3 的小明赢，摸到牌面数字大于 3 的小刚赢。 （答案不唯一，只要公平即可） 思路点拨： 4 张牌，总结果数 4 种，平均分配，双方各 2 种结果，设计不同的分类逻辑即可。 【知识点睛】多方案开放设计，培养创新思维和严谨的逻辑设计能力。 9. 【答案】 原规则不公平，小明赢的可能性更大。 修改方案一：点数是 1、2、3 小明赢，点数是 4、5、6 小刚赢，双方各对应 3 种结果，可能性相等，游戏公平。 修改方案二：掷出奇数点小明赢，掷出偶数点小刚赢，双方各对应 3 种结果，可能性相等，游戏公平。 （答案不唯一，只要修改后双方获胜的可能性相等即可） 思路点拨： 原规则小明有 3 种结果，小刚有 2 种，可能性不等。修改的核心是让双方的结果数相等，可以调整球的数量，也可以修改规则。 【知识点睛】原规则中小明对应 3 种结果、小刚对应 2 种结果，可能性不等，规则不公平。修改核心是让双方对应的结果数相等，可以补充第 6 点归属小刚，也可以重新分类分配结果。 10. 【答案】设计规则：4 种结果中，让中奖和不中奖各 2 种。具体方案：一等奖、二等奖为中奖，三等奖、谢谢参与为不中奖，各 2 种结果，可能性相等。 思路点拨： 总共有 4 种等可能的结果，要让中奖和不中奖的可能性相等，需要中奖和不中奖的结果数相等。 【知识点睛】设计公平游戏规则的核心是让各方获胜的可能性相等。 三、思维拓展培优练解析 11. 【答案】 设计方案：盒子里放 4 个红球、2 个黄球，共 6 个球。规则：摸到红球甲赢，摸到黄球乙赢。 此时甲赢的可能性是，乙赢的可能性是，甲赢的可能性是乙的 2 倍，符合要求。 （答案不唯一，只要甲对应的球数是乙的 2 倍即可） 思路点拨： 总共有 6 个球，要让甲赢的可能性是乙的 2 倍，那么甲对应的球数应该是乙的 2 倍，总球数 = 甲的球数 + 乙的球数 = 2× 乙的球数 + 乙的球数 = 3× 乙的球数，所以乙的球数 = 2 个，甲的球数 = 4 个。 【知识点睛】倍数关系的规则设计，结合可能性的倍数关系，培养逆向推理能力。 12. 【答案】 设计规则：掷一枚骰子，点数 1、2 为小明赢，点数 3、4 为小刚赢，点数 5、6 为平局，重新掷。 此时小明赢的可能性是，小刚赢的可能性是，双方赢的可能性相等，规则公平，且有 3 种结果：小明赢、小刚赢、平局。 （答案不唯一，只要双方赢的可能性相等，有多种结果即可） 思路点拨： 骰子 6 种结果，要让双方赢的可能性相等，且有平局的情况，需要给双方分配相等的结果数，剩下的结果为平局，重新掷。 【知识点睛】复杂公平规则的设计，培养创新思维和严谨的逻辑能力，深化对公平标准的理解。 四、数学活动拓展解析 活动参考过程： 1. 选择游戏：选择课间常见的摸球游戏、跳房子游戏、卡牌游戏等，确定游戏的基本玩法； 2. 公平规则设计：根据游戏的基本玩法，设计公平的规则，确保双方获胜的可能性相等，绘制规则说明和游戏示意图； 3. 实践验证：和同学一起玩设计的游戏，记录游戏过程，验证规则是否公平，有没有模糊或不合理的地方； 4. 优化修改：根据游戏实践的结果，修改完善规则，让规则更公平、更简洁、更可操作； 5. 对比交流：设计一个不公平的规则，和公平的规则对比，交流公平规则的好处，体会公平在游戏中的重要性； 6. 分享总结：和同学分享自己的设计思路、实践过程和心得体会，总结设计公平规则的核心方法。 【知识点睛】通过完整的游戏设计、实践、优化的全过程，能全面巩固公平规则的设计方法，培养创新实践能力、逻辑思维能力和合作交流能力，体会公平公正的价值观在生活中的重要性，落实综合实践的育人价值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $