第五单元 可能性（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学五年级上册(新教材)

**基本信息** 以概率启蒙为核心，构建从基础概念到奥数进阶的系统化方法体系，逻辑链条清晰，适配小升初逻辑推理与概率应用能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|定义+分类|定性判断法|从确定/随机事件定义出发，建立可能性认知基础| |基础应用|4类基础题型|数量/面积比较法|结合场景应用可能性大小规律，培养数学眼光| |奥数进阶|6类进阶题型|最不利原则/有序枚举法|通过抽屉原理、概率计算等训练数学思维| |解题方法|6大核心方法|公式定量法/假设推理法|从定性到定量，形成完整问题解决路径|

第五单元 可能性（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 单元主题定义与本质 本单元是小学概率知识的启蒙模块，核心研究随机事件发生的确定性与不确定性，以及事件发生可能性的大小规律。 核心本质：对随机现象的定性描述与初步量化判断，建立 “随机事件的单次结果不可提前预知，但发生的可能性存在大小规律” 的认知，是初中系统学习概率统计的前置启蒙基础。 核心分类：事件按发生的确定性分为确定事件和 不确定事件（随机事件）两大类。 2. 核心概念界定 确定事件：在固定条件下，结果可以完全预知，包含两类： 必然事件：一定发生的事件，发生的可能性为 100%； 不可能事件：一定不会发生的事件，发生的可能性为 0。 不确定事件（随机事件）：在固定条件下，结果无法提前精准预判，可能发生也可能不发生，发生的可能性在 0 到 100% 之间。 标准描述词汇：用 “一定”“不可能” 描述确定事件；用 “可能”“经常”“偶尔” 描述随机事件发生的频率与可能性大小。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：属于 “统计与概率” 领域的概率启蒙单元，承接低年级的简单可能性认知，侧重培养随机意识与数据分析观念，为后续概率计算、统计推断知识筑牢认知基础。 奥数价值：以可能性为载体，延伸出最不利原则、抽屉原理、概率枚举、公平性设计、逻辑推理等经典题型，训练有序枚举、逆向极值思维、方案设计与逻辑推理能力，是小升初逻辑推理与应用模块的高频考点。 二、核心性质与基础规律 1. 可能性大小的核心影响因素 事件发生的可能性大小，与对应对象的数量多少、区域面积大小直接正相关： 摸球、抽签类场景：总数固定时，某类物品的数量越多，被随机抽到的可能性越大；数量越少，可能性越小。 转盘、抛投类场景：总面积固定时，某类区域的面积越大，指针落在该区域、投中该区域的可能性越大；面积越小，可能性越小。 反向规律：可能性越大，对应对象的数量 / 面积通常越多；可能性越小，对应数量 / 面积通常越少，可用于反向推理数量关系。 2. 等可能性与游戏公平性 等可能性：如果每个结果出现的机会完全均等，称这些结果具有等可能性，例如抛硬币的正反面、标准骰子的六个点数。 游戏公平性判断标准：游戏双方获胜的可能性大小相等，则游戏规则公平；可能性不相等，则游戏规则不公平。 注意：公平的游戏依然会有单次输赢，只是长期重复进行时，双方获胜的总次数大致均等，单次结果仍具有随机性。 3. 可能性的取值范围 不可能事件：可能性为 0，必然不发生； 随机事件：可能性在 0\1（对应 0%\100%）之间，数值越大，事件越容易发生； 必然事件：可能性为 1（对应 100%），必然发生。 高频认知误区：可能性大不等于 “一定会发生”，可能性小不等于 “一定不发生”，单次随机事件的结果不受可能性大小的绝对约束。 三、基础应用题型与标准解法 1. 事件类型判断题 题型特征：给出生活场景或数学场景中的事件，判断属于 “一定”“可能”“不可能” 中的哪一类。 解题策略：结合客观科学常识、数学定理规律判断；符合必然规律的为 “一定”，违背客观规律的为 “不可能”，存在多种结果的为 “可能”。 2. 可能性大小比较题 题型特征：给出不同盒子的物品数量、不同转盘的区域划分，比较摸到某类物品、指针落在某区域的可能性大小。 解题策略：总数相同时，直接比较对应类别的数量 / 面积，数值越大则可能性越大；总数不同时，可通过占比计算或统一标准后再比较。 3. 简单方案设计题 题型特征：要求设计摸球、转盘等方案，满足指定的可能性要求，如 “摸到红球的可能性大”“游戏对双方公平”。 解题策略： 要求某事件可能性大：对应类别的数量 / 面积多于其他类别； 要求游戏公平：双方对应的数量 / 面积完全相等； 要求某事件不可能发生：对应类别的数量为 0。 4. 结果列举题 题型特征：给出简单的随机试验，如摸 2 个球、抛两枚硬币，列举出所有可能出现的结果。 解题策略：按固定顺序有序枚举，做到不重复、不遗漏；可借助列表法、连线法辅助梳理，避免混乱。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）最不利原则（抽屉原理初步） 1. 题型特征 题目出现 “至少…… 才能保证……” 的表述，要求在最极端、最倒霉的情况下，确保目标事件一定发生，是可能性模块的奥数核心考点。 典型场景：多色摸球、抽牌、物品分配、数字抽取等。 2. 核心解题思路 先构造最不利（最倒霉）的极端情况：把所有不符合目标的情况全部取到，距离成功只差一步；此时再取 1 个，就必然能保证目标事件达成。 核心公式：保证成功的最少数量 = 最不利情况的数量 + 1 3. 三类常考模型 基础保证型：保证摸到指定颜色 / 类型的物品。 例：盒子里有 5 红 3 黄 2 蓝球，至少摸几个才能保证一定摸到红球？ 最不利情况：先把非红球全部摸完（3+2=5 个），再摸 1 个一定是红球，共 6 个。 同色保证型：保证摸到 n 个同色的物品。 例：多色球，至少摸几个保证有 2 个同色？最不利是每种颜色各摸 1 个，再摸 1 个即可，即颜色总数 + 1。 组合保证型：保证同时满足多个条件，需叠加多层最不利情况，逐步逼近目标。 （二）可能性的定量计算（分数概率初步） 1. 题型特征 计算某一事件发生的可能性占比，用分数表示可能性大小，是小升初衔接核心考点。 适用前提：所有可能出现的结果具有等可能性。 2. 基础计算方法 核心公式： 示例：盒子里有 3 红 2 白球，摸到红球的可能性为，摸到白球的可能性为。 3. 两类抽取模型 放回型：抽取后将物品放回，总数始终不变，每次抽取的可能性完全相同； 不放回型：抽取后物品不再放回，总数逐次减少，后续抽取的可能性会随之前的结果变化，需分步枚举计算。 （三）游戏公平性分析与改造 1. 题型特征 给出一个游戏规则，判断是否公平；若不公平，修改规则使其公平；或设计满足特定胜率要求的游戏方案。 2. 解题策略 分别计算双方获胜的可能性大小，相等则公平，不等则不公平； 改造规则的常用方法： 调整数量：增加弱势方对应的物品数量，或减少强势方的数量，使双方可能性相等； 调整得分：修改得分规则，如强势方赢了得 1 分，弱势方赢了得对应倍数的分，使长期期望得分相等； 替换元素：更换为天然等可能性的元素，如硬币、对称骰子、均分转盘。 （四）可能性逻辑推理题 1. 题型特征 给出若干条关于可能性的描述，推理物品的数量范围、颜色分布，或判断谁说的正确、预测比赛胜负。 典型场景：多人摸球后描述各自的感受，反推盒子里球的数量分布；或根据多个条件推理未知物品的属性。 2. 解题策略 从确定信息入手，先排除完全不可能的情况，缩小范围； 根据可能性大小的反向规律，对应数量的多少关系，进一步限定边界； 用假设法逐一验证剩余可能，排除出现矛盾的选项，最终锁定符合所有条件的结果。 （五）有序枚举法解复杂概率 1. 题型特征 多步随机试验，如两次摸球、掷两枚骰子、抽两张卡片，求指定结果发生的可能性。 2. 解题方法 核心工具：列表法、树状图法，按固定顺序列出所有等可能的结果，再数出符合条件的结果数，代入公式计算。 核心原则：不重复、不遗漏，确保每个被统计的结果都是等可能的。 示例：掷两枚骰子，求点数和为 7 的可能性。先枚举所有 36 种等可能结果，再数出和为 7 的 6 种，对应可能性为。 （六）拓展提升类 1. 抽屉原理进阶（分配型） 题型特征：把若干物品放进若干个抽屉，求至少有一个抽屉里的物品数量；或保证至少一个抽屉有 n 个物品，求最少需要的物品总数。 核心公式：有余数时，至少数 = 商 + 1；无余数时，至少数 = 商。 解题关键：准确区分 “抽屉” 和 “物品”，根据题目分类标准构造对应的抽屉。 2. 可能性与统计结合 题型特征：给出多次重复试验的统计结果，根据频率推断可能性大小，或估算物品总数、各类别的数量。 核心规律：试验次数足够多时，事件发生的频率会接近真实的可能性大小；数量多的类别，被抽到的频率通常更高。 3. 极值方案设计 题型特征：给定物品总数与约束条件，设计方案使某事件的可能性最大或最小，或满足指定的可能性比例。 解题策略：求可能性最大，就让对应类别数量尽可能多；求可能性最小，就让对应类别数量尽可能少，全程满足题目给出的总数、类别数等约束条件。 五、核心解题方法汇总 定性判断法：基础题型中，通过数量、面积的多少直接判断可能性大小，匹配 “一定、可能、不可能” 的描述。 最不利原则：解决 “至少…… 保证……” 类问题的核心方法，先构造最极端的失败情况，再加 1 得到保证值。 有序枚举法：计算可能性、列举结果的通用方法，借助列表、树状图实现不重不漏。 公式定量法：等可能性事件中，用 “符合条件数 ÷ 总结果数” 计算可能性的分数值。 假设推理法：逻辑推理类题目的通用思路，假设验证、排除矛盾，锁定正确结论。 公平对等法：设计公平游戏时，保证双方对应的数量、面积或得分权重对等。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 混淆可能性与必然性：误认为可能性大的事件一定会发生，可能性小的事件一定不发生，忽略单次结果的随机性。 数量与可能性关系颠倒：误认为数量越少可能性越大，正确规律是数量越多，对应事件发生的可能性越大。 公平性认知偏差：认为游戏有输赢就是不公平，忽略公平指的是获胜机会均等，不代表单次结果必须平局。 绝对化判断失误：忽略前提条件，将小概率事件判定为不可能，将大概率事件判定为一定发生。 2. 计算类易错点 最不利原则漏加 1：算出最不利情况的数量后，忘记加 1，导致结果少 1，无法保证目标事件一定达成。 枚举重漏错误：多步试验枚举时顺序混乱，出现重复计数或遗漏结果，导致可能性计算偏差。 总数计算错误：计算可能性时分母的总结果数数错，或混淆放回与不放回模型，总数取值错误。 抽屉原理公式误用：有余数和无余数的情况混淆，一律加 1 或一律不加，导致至少数计算错误。 3. 应用类易错点 方案设计违反约束：设计游戏方案时，忽略总数、类别数等限定条件，方案不符合题目要求。 频率与概率混淆：将少数几次试验的频率直接等同于真实可能性，忽略试验次数较少时频率波动较大。 反推数量绝对化：根据可能性大小反推数量时，误将 “可能更多” 当成 “一定更多”，可能性只能判断相对关系，不能确定具体数值。 不放回模型分步错：不放回抽取时，第二步的总数未减 1，仍用原总数计算，导致后续可能性计算错误。 培优练习 一、选择题 1．一个不透明的盒子里装有5个红球、3个白球、2个黄球，这些球除颜色外完全相同。从中任意摸出一个球，摸到（    ）的可能性最大。 A．红球 B．白球 C．黄球 D．无法确定 【答案】A 【分析】比较各种颜色球的数量，哪种颜色的球数量最多，摸到的可能性最大；据此解答。 【详解】5＞3＞2 所以摸到红球的可能性最大。 2．一个袋子中有6个球，这些球除颜色外完全相同。笑笑每次从袋子中摸出1个球，记录颜色后放回摇匀。一共摸了30次，30次都是红球，由此可知（    ）。 A．袋子中一定全是红球 B．袋子中红球数量可能多 C．第31次摸出的一定是红球 D．袋子中红球数量可能少 【答案】B 【分析】袋子里一共6个球，每次摸完都放回，摸了30次全是红球。摸球属于随机事件，多次摸到红球，只能说明红球数量比较多，但不能确定全部都是红球，也不能保证下一次一定摸到红球。 【详解】A．连续30次摸到红球，不代表袋子里没有其他颜色的球，只是没有被摸到，“一定全是红球”说法太绝对，说法错误。 B．连续多次摸到红球，说明袋子里红球的数量比较多，“可能多”是合理推测，说法正确。 C．每次摸球都是独立的随机事件，前面的结果不会影响下一次，不能保证下一次一定摸到红球，说法错误。 D．如果红球数量很少，连续30次都摸到红球发生的概率极低，这个推测不符合试验现象，说法错误。 3．盒子里有两种颜色的球10个（球的材料大小都相同），每次摸出1个球，然后放回摇匀。若摸到红球，就得一等奖；若摸到蓝球，就得二等奖。丽丽进行了六组试验，试验结果见下。根据表中的数据推测，丽丽最有可能是用下面（    ）盒做的试验。 A．红球0个  蓝球10个 B．红球2个  蓝球8个 C．红球5个  蓝球5个 D．红球7个  蓝球3个 【答案】B 【分析】从统计表中可以看出，六组实验当中，每组都是摸到红球的次数小于摸到蓝球的次数，也就是摸到红球的可能性小于摸到蓝球的可能性，因此红球的个数大概率小于蓝球的个数。据此解答。 【详解】A．没有红球，不可能摸到红球，不符合试验结果； B，一共10个球里只有2个红球，红球数量远少于蓝球，摸到红球的可能性远小于蓝球，和试验结果吻合； C．红球蓝球各5个，摸到两种球的次数应该差不多，不符合红球少很多的结果； D．红球7个比蓝球多，摸到红球的次数应该比蓝球多，和试验结果相反。 4．在20以内的质数中，任选两个数相乘，乘积是奇数的可能性大还是偶数的可能性大？（    ） A．一样大 B．偶数 C．奇数 D．无法确定 【答案】C 【分析】质数：只有1和它本身，没有其它因数的数；先找出20以内的质数，再结合奇偶性乘法规律（奇数×奇数＝奇数，偶数×任何数＝偶数），分析乘积为奇数和偶数的情况数，比较可能性大小。 【详解】20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19，共8个，其中只有2是偶数，其余7个是奇数。 乘积为奇数：只有两个奇数相乘时才会出现，从7个奇数中任选2个奇数相乘，他们的乘积结果情况数如下： 3×5＝15，3×7＝21，3×11＝33，3×13＝39，3×17＝51，3×19＝57； 5×7＝35，5×11＝55，5×13＝65，5×17＝85，5×19＝95； 7×11＝77，7×13＝91，7×17＝119，7×19＝133； 11×13＝143，11×17＝187，11×19＝209； 13×17＝221，13×19＝247； 17×19＝323。 乘积为偶数：只要所选的两个数包含2，乘积就是偶数，即2分别与其他7个质数相乘，情况数如下： 2×3＝6，2×5＝10，2×7＝14，2×11＝22，2×13＝26，2×17＝34，2×19＝38。 以上所有算式调换位置，乘积不变。 综上，乘积是奇数有21种情况，乘积是偶数有7种情况，所以乘积是奇数的可能性大。 5．端午节是中国首个入选世界非遗的节日，各地都有包粽子的习俗。王芳家制作了三种口味的粽子，其中豆沙的15个，红枣的14个，花生的13个。从中任意拿一个，吃到（    ）口味的可能性最大。 A．豆沙 B．红枣 C．花生 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据哪种口味粽子的数量最多，任意拿一个时吃到该口味的可能性就最大，通过比较三种口味粽子的数量来确定答案。 【详解】15＞14＞13， 豆沙口味的粽子数量最多，所以从中任意拿一个，吃到豆沙口味的可能性最大。 6．淘气、笑笑和奇思玩摸球游戏。盒子里有数量相同的红、黄、绿三种颜色的球，并且这些球除颜色外大小均相同。摸出红球淘气加分，摸出黄球笑笑加分，摸出绿球奇思加分，摸出球后再放回盒子里。前5次都是淘气加分，摸第6次的结果是（    ）。 A．一定是淘气加分 B．不可能是淘气加分 C．三人都有可能加分 D．三人都不可能加分 【答案】C 【分析】红、黄、绿三种球数量相同，单次摸到三种颜色球的机会均等，每次摸球后放回，盒中各色球数量保持不变，前后摸球互不影响，前次的摸球结果不会改变第次的摸球可能性。 【详解】前次连续摸出红球只是随机出现的偶然情况，不能决定第次摸球结果，因此摸第次的结果是三人都有可能加分。 二、填空题 7．一个袋子中装有除颜色外完全相同的9个红球和4个黄球。要使摸到黄球的可能性比红球大，则至少需要往袋中加入( )个黄球。 【答案】6 【分析】可能性大小由球的数量决定，要摸到黄球可能性比红球大，黄球总数就要比红球9个多，黄球最少要有10个。 【详解】10－4＝6（个） 8．盒子中装有2个红球、4个白球和6个黑球。随意去摸，摸到( )球的可能性最大，摸到( )球的可能性最小。 【答案】 黑 红 【分析】可能性大小和球的数量有关，数量越多，摸到的可能性越大；数量越少，摸到的可能性越小。 【详解】盒子里红球2个，白球4个，黑球6个，6＞4＞2，黑球数量最多，红球数量最少。 所以摸到黑球的可能性最大，摸到红球的可能性最小。 9．布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的可能性为______。 【答案】 【分析】一共有（3＋6）个球，红球有3个；用红球的数量除以一共的数量即可。 【详解】3÷（3＋6） ＝3÷9 ＝ 10．文化活动体验：景区有6个文化体验项目，小明随机选择一个参加，选到“千字文拓印”的可能性是( )。 【答案】 【分析】先明确该事件的基本事件数和总的基本事件数。因为选到“千字文拓印”是1个基本事件，总共有6个等可能的基本事件，由此即可计算。 【详解】 选到“千字文拓印”的可能性是。 11．一个盒子里装有8个红球和2个白球，它们除颜色外完全相同。从中任意摸出一个球，摸到( )球的可能性大；如果要使摸到两种球的可能性相等，需要再放入( )个( )球。 【答案】 红 6 白 【分析】可能性大小判断：在总情况数相同的前提下，某类事物数量越多，发生的可能性越大；数量相等时，可能性相等。 【详解】①盒子里有8个红球和2个白球，总球数为10个。红球数量多于白球，因此摸到红球的可能性大。 ②要使摸到红球和白球的可能性相等，需红球和白球数量相同。红球数量为8个，白球数量为2个，因此需要再放入白球，放入的数量为：8－2＝6（个）。 12．用3、4、5组成三位数，组成的数是奇数的可能性( )组成的数是偶数的可能性。（填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】大于 【分析】先列举出用3、4、5组成的所有三位数，再找出哪些是奇数，哪些是偶数，比较奇数与偶数的个数，个数多的可能性就大，据此解答。 【详解】用3、4、5组成三位数有：345、354、435、453、534、543； 奇数是：345、435、453、543，有4个； 偶数有：354、534，有2个； 4＞2 组成的数是奇数的可能性（大于）组成的数是偶数的可能性。 13．口袋里有一些卡片，3张画着正方形，2张画着三角形，任意拿出一张卡片，结果有( )种可能；任意拿出2张卡片，有( )种可能。 【答案】 2 3 【分析】根据题意，判断任意抽取卡片的可能结果，需先明确卡片的图案类型，再分别分析抽取1张和抽取2张的所有情况。抽取1张时，只需统计卡片的图案种类数量；抽取2张时，需按顺序枚举所有不重复的组合情况，统计组合的种类数，据此解答。 【详解】任意拿出1张卡片的可能情况：卡片只有正方形、三角形两种不同的图案，因此拿出1张时，结果要么是画着正方形的卡片，要么是画着三角形的卡片，一共有2种可能。 任意拿出2张卡片的可能情况，按分类枚举所有不重复的组合： ①2张都是画着正方形的卡片； ②2张都是画着三角形的卡片； ③1张画着正方形的卡片、1张画着三角形的卡片。 没有其他不重复的组合，因此一共有3种可能。 14．盒子里有9个红球、3个绿球和6个蓝球，任意摸出1个球，摸到( )球的可能性最小；如果任意摸出10个球，一定有( )球。 【答案】 绿 红 【分析】摸到某个颜色的球的可能性和数量有关，数量越少，摸到的可能性就越小；我们可以用 “最不利原则” 分析：先把数量较少的两种球（绿球和蓝球）全部摸出，共 3＋6＝9（个）。此时再摸第10个球，只能从剩下的红球中摸出，因此任意摸出10个球时，一定有红球。 【详解】由分析可知，9＞6＞3，任意摸出1个球，摸到绿球的可能性最小；如果任意摸出10个球，一定有红球。 15．某路口斑马线旁的红绿灯时间设置为：红灯80秒，绿灯25秒。小刚在任意时间经过这个路口时，遇到( )灯的可能性大。 【答案】红 【分析】因为有红灯，绿灯2种颜色的灯，所以可能出现2种情况；哪种颜色灯出现时间最短，遇到哪种灯的可能性越小，哪种灯出现的时间最长，遇到哪种灯的可能性越大，据此解答。 【详解】 所以小刚在任意时间经过这个路口时，遇到红灯的可能性大。 16．袋子里装有大小、质地完全相同的6个小球，球上分别写着1、2、3、4、5、6，从中任意摸出1个球，有( )种可能的结果。从中任意摸出2个球，有( )种可能的结果。 【答案】 6 15 【分析】球上写有6种数字，则任意摸出1个球，有6种可能。任意摸出2个球有： 数字1对数字2；数字1对数字3，数字1对数字4，数字1对数字5，数字1对数字6； 数字2对数字3；数字2对数字4；数字2对数字5；数字2对数字6； 数字3对数字4；数字3对数字5；数字3对数字6； 数字4对数字5；数字4对数字6； 数字5对数字6。一共15种结果。 【详解】根据分析可知，袋子里装有大小、质地完全相同的6个小球，球上分别写着1、2、3、4、5、6，从中任意摸出1个球，有6种可能的结果。从中任意摸出2个球，有15种可能的结果。 三、判断题 17．“太阳会从西边出”是可能的。( ) 【答案】× 【分析】太阳从东边升起，不可能从西边出。 【详解】“太阳会从西边出”是不可能的。原题说法错误。 故答案为：× 18．从一个盲盒里任意摸球，摸了3次，摸到的都是黑球，因此盲盒里一定全是黑球。( ) 【答案】× 【分析】从一个盲盒里任意摸球，摸了3次，摸到的都是黑球，只能断定盒子里面一定有黑球，但不能断定盒子里面全是黑球，由此判断。 【详解】由分析可得，从一个盲盒里任意摸球，摸到的都是黑球，只能断定盒子里面一定有黑球，但不能断定盒子里面全是黑球。 故答案为：× 19．小明抛10次硬币，有7次正面朝上，3次反面朝上。再抛第11次，正面朝上的可能性大。( ) 【答案】× 【分析】每次抛硬币的结果互相独立，正面朝上和反面朝上的可能性始终相等，与之前的抛掷结果没有关系。 【详解】硬币共有正、反2个面，每次抛掷时，正面朝上和反面朝上的可能性都是，所以第11次抛硬币的结果不受前10次影响，正面、反面朝上的可能性相等。 原题说法错误。 故答案为：× 20．一个袋子里装有大小形状相同的5个白球和5个黑球，每次摸出一个球，摸到白球和黑球的可能性是一样的。( ) 【答案】 √ 【分析】大小形状相同的球，数量相等时，摸到的可能性相等。 【详解】总球数：（个） 摸到白球的可能性： 摸到黑球的可能性： ，摸到两种球的可能性相同。 故答案为：√。 21．我扔4次硬币，正面朝上的次数一定有2次。( ) 【答案】× 【分析】因为一枚硬币只有正反两面，每次抛硬币正面朝上或朝下的可能性均为，据此分析判断即可。 【详解】扔4次硬币，每次正面朝上的可能性为，不一定每次都是正面朝上，所以正面朝上的不一定有2次，原题说法错误。 故答案为：× 22．在装有5个红球和5个黄球的口袋里任意摸一个球，不可能摸出黑球。( ) 【答案】√ 【分析】数量越多，可能性越大；数量越少，可能性越小；口袋里有什么颜色的球，那么就有可能摸到什么颜色的球；据此解答即可。 【详解】因为没有黑球，所以不可能摸出黑球。 故答案为：√ 四、解答题 23．小美到邮局买邮票，邮局里只有1角和4角这两种邮票．小美要买1元5角的邮票，如果营业员随意拿，小美得到的邮票张数有几种可能？ 【答案】 有以上4种可能． 【详解】略 24．有两个布袋，甲布袋有12只白球、8只黑球、10只红球，乙布袋中有3只白球、2只黄球，所有小球大小、形状都相同，且各袋中小球均已搅匀． （1）如果任意摸出1球，你想摸到白球，你认为选择哪个布袋成功的机会较大？ （2）如果有一布袋丙中有32只白球、14个黑球、4只黄球，你又选择哪个布袋呢？ 【答案】（1）乙 （2）丙 【解析】略 25．甲、乙两个篮球队之间近期的3场比赛成绩如下表．如果两个队现在进行一场比赛，哪个队获胜的可能性大？为什么？ 【答案】甲队获胜可能性更大一些，两个队伍一胜一负一平，但是相对来说，甲队获胜时是大比分超越，而乙队获胜时是小比分险胜，所以综合分析，还是甲队获胜可能性更大一些． 【详解】略 26．从一副扑克牌中去掉大、小王，混合后从中任意抽取一张。     （1）有多少种可能的结果？     （2）按花色分，有几种可能的结果？把这些结果都写出来。     （3）按颜色分，有几种可能的结果？把这些结果都写出来。 【答案】（1）52种 （2）4种，分别是红桃、黑桃、梅花、方块 （3）2种，分别是红色和黑色 【详解】（1）54－2＝52（张） 答：有52种可能的结果。 （2）一共有四种花色，所以会有4种可能的结果； （3）一共有两种颜色，所以会有2种可能的结果。 27．某商店国庆节搞促销活动，凡购买280元就可以摇奖一次。 一等奖（黑色）：一桶油 二等奖（阴影）：一包洗衣服 三等奖（白色）：一条毛巾 （1）摇到二等奖的可能性是（      ）。 （2）有可能得一等奖吗？摇到一等奖的可能性是多少？ 【答案】（1） （2）有可能； 【分析】（1）先数出总份数，阴影部分占2份，根据分数的意义，看阴影部分占整个转盘的几分之几即可； （2）只要转盘上有的颜色，都有可能；黑色部分占1份，根据分数的意义，看黑色部分占整个转盘的几分之几即可得到一等奖的可能性。 【详解】（1）共有16份，阴影部分占2份，抽到二等奖的可能性是。 （2）黑色部分占1份，有可能得一等奖，摇到一等奖的可能性是。 【点睛】求可能结果的个数均等比例分配，而且只有在每个结果发生的可能性都相等的条件下才能进行均等比例分配。 28．某商品举行促销活动，前100名的购买者可以抽奖，一等奖20个，二等奖30个，三等奖50个。 （1）这次抽奖活动，中奖的可能性是多少？ （2）第一个人抽奖中一等奖可能性是多少？中二等奖的可能性是多少？中三等奖的可能性是多少？ （3）抽奖到一半，已经有9人中一等奖，17人中二等奖，24人中三等奖。这里李明第51个抽奖，中一等奖的可能性是多少？中二等奖的可能性是多少？中三等奖的可能性是多少？ 【答案】（1）100%； （2）；； （3）；； 【分析】（1）摸到的可能性（几分之几）＝所求事件出现的可能结果个数÷所有可能发生的结果个数； （2）用一等奖、二等奖和三等奖的个数分别除以所有可能出现的个数即可； （3）用剩下的一等奖、二等奖和三等奖的个数分别除以剩下的总个数即可。 【详解】（1）（20＋30＋50）÷100＝100%； 答：这次抽奖活动，中奖的可能性是100%； （2）20÷100＝； 30÷100＝； 50÷100＝； 答：第一个人抽奖中一等奖可能性是，中二等奖的可能性是，中三等奖的可能性是； （3）（20－9）÷50＝； （30－17）÷50＝； （50－24）÷50＝； 答：中一等奖的可能性是； 中二等奖的可能性是； 中三等奖的可能性。 【点睛】熟记可能性概率的计算方法是解答本题的关键。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 可能性（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 单元主题定义与本质 本单元是小学概率知识的启蒙模块，核心研究随机事件发生的确定性与不确定性，以及事件发生可能性的大小规律。 核心本质：对随机现象的定性描述与初步量化判断，建立 “随机事件的单次结果不可提前预知，但发生的可能性存在大小规律” 的认知，是初中系统学习概率统计的前置启蒙基础。 核心分类：事件按发生的确定性分为确定事件和 不确定事件（随机事件）两大类。 2. 核心概念界定 确定事件：在固定条件下，结果可以完全预知，包含两类： 必然事件：一定发生的事件，发生的可能性为 100%； 不可能事件：一定不会发生的事件，发生的可能性为 0。 不确定事件（随机事件）：在固定条件下，结果无法提前精准预判，可能发生也可能不发生，发生的可能性在 0 到 100% 之间。 标准描述词汇：用 “一定”“不可能” 描述确定事件；用 “可能”“经常”“偶尔” 描述随机事件发生的频率与可能性大小。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：属于 “统计与概率” 领域的概率启蒙单元，承接低年级的简单可能性认知，侧重培养随机意识与数据分析观念，为后续概率计算、统计推断知识筑牢认知基础。 奥数价值：以可能性为载体，延伸出最不利原则、抽屉原理、概率枚举、公平性设计、逻辑推理等经典题型，训练有序枚举、逆向极值思维、方案设计与逻辑推理能力，是小升初逻辑推理与应用模块的高频考点。 二、核心性质与基础规律 1. 可能性大小的核心影响因素 事件发生的可能性大小，与对应对象的数量多少、区域面积大小直接正相关： 摸球、抽签类场景：总数固定时，某类物品的数量越多，被随机抽到的可能性越大；数量越少，可能性越小。 转盘、抛投类场景：总面积固定时，某类区域的面积越大，指针落在该区域、投中该区域的可能性越大；面积越小，可能性越小。 反向规律：可能性越大，对应对象的数量 / 面积通常越多；可能性越小，对应数量 / 面积通常越少，可用于反向推理数量关系。 2. 等可能性与游戏公平性 等可能性：如果每个结果出现的机会完全均等，称这些结果具有等可能性，例如抛硬币的正反面、标准骰子的六个点数。 游戏公平性判断标准：游戏双方获胜的可能性大小相等，则游戏规则公平；可能性不相等，则游戏规则不公平。 注意：公平的游戏依然会有单次输赢，只是长期重复进行时，双方获胜的总次数大致均等，单次结果仍具有随机性。 3. 可能性的取值范围 不可能事件：可能性为 0，必然不发生； 随机事件：可能性在 0\1（对应 0%\100%）之间，数值越大，事件越容易发生； 必然事件：可能性为 1（对应 100%），必然发生。 高频认知误区：可能性大不等于 “一定会发生”，可能性小不等于 “一定不发生”，单次随机事件的结果不受可能性大小的绝对约束。 三、基础应用题型与标准解法 1. 事件类型判断题 题型特征：给出生活场景或数学场景中的事件，判断属于 “一定”“可能”“不可能” 中的哪一类。 解题策略：结合客观科学常识、数学定理规律判断；符合必然规律的为 “一定”，违背客观规律的为 “不可能”，存在多种结果的为 “可能”。 2. 可能性大小比较题 题型特征：给出不同盒子的物品数量、不同转盘的区域划分，比较摸到某类物品、指针落在某区域的可能性大小。 解题策略：总数相同时，直接比较对应类别的数量 / 面积，数值越大则可能性越大；总数不同时，可通过占比计算或统一标准后再比较。 3. 简单方案设计题 题型特征：要求设计摸球、转盘等方案，满足指定的可能性要求，如 “摸到红球的可能性大”“游戏对双方公平”。 解题策略： 要求某事件可能性大：对应类别的数量 / 面积多于其他类别； 要求游戏公平：双方对应的数量 / 面积完全相等； 要求某事件不可能发生：对应类别的数量为 0。 4. 结果列举题 题型特征：给出简单的随机试验，如摸 2 个球、抛两枚硬币，列举出所有可能出现的结果。 解题策略：按固定顺序有序枚举，做到不重复、不遗漏；可借助列表法、连线法辅助梳理，避免混乱。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）最不利原则（抽屉原理初步） 1. 题型特征 题目出现 “至少…… 才能保证……” 的表述，要求在最极端、最倒霉的情况下，确保目标事件一定发生，是可能性模块的奥数核心考点。 典型场景：多色摸球、抽牌、物品分配、数字抽取等。 2. 核心解题思路 先构造最不利（最倒霉）的极端情况：把所有不符合目标的情况全部取到，距离成功只差一步；此时再取 1 个，就必然能保证目标事件达成。 核心公式：保证成功的最少数量 = 最不利情况的数量 + 1 3. 三类常考模型 基础保证型：保证摸到指定颜色 / 类型的物品。 例：盒子里有 5 红 3 黄 2 蓝球，至少摸几个才能保证一定摸到红球？ 最不利情况：先把非红球全部摸完（3+2=5 个），再摸 1 个一定是红球，共 6 个。 同色保证型：保证摸到 n 个同色的物品。 例：多色球，至少摸几个保证有 2 个同色？最不利是每种颜色各摸 1 个，再摸 1 个即可，即颜色总数 + 1。 组合保证型：保证同时满足多个条件，需叠加多层最不利情况，逐步逼近目标。 （二）可能性的定量计算（分数概率初步） 1. 题型特征 计算某一事件发生的可能性占比，用分数表示可能性大小，是小升初衔接核心考点。 适用前提：所有可能出现的结果具有等可能性。 2. 基础计算方法 核心公式： 示例：盒子里有 3 红 2 白球，摸到红球的可能性为，摸到白球的可能性为。 3. 两类抽取模型 放回型：抽取后将物品放回，总数始终不变，每次抽取的可能性完全相同； 不放回型：抽取后物品不再放回，总数逐次减少，后续抽取的可能性会随之前的结果变化，需分步枚举计算。 （三）游戏公平性分析与改造 1. 题型特征 给出一个游戏规则，判断是否公平；若不公平，修改规则使其公平；或设计满足特定胜率要求的游戏方案。 2. 解题策略 分别计算双方获胜的可能性大小，相等则公平，不等则不公平； 改造规则的常用方法： 调整数量：增加弱势方对应的物品数量，或减少强势方的数量，使双方可能性相等； 调整得分：修改得分规则，如强势方赢了得 1 分，弱势方赢了得对应倍数的分，使长期期望得分相等； 替换元素：更换为天然等可能性的元素，如硬币、对称骰子、均分转盘。 （四）可能性逻辑推理题 1. 题型特征 给出若干条关于可能性的描述，推理物品的数量范围、颜色分布，或判断谁说的正确、预测比赛胜负。 典型场景：多人摸球后描述各自的感受，反推盒子里球的数量分布；或根据多个条件推理未知物品的属性。 2. 解题策略 从确定信息入手，先排除完全不可能的情况，缩小范围； 根据可能性大小的反向规律，对应数量的多少关系，进一步限定边界； 用假设法逐一验证剩余可能，排除出现矛盾的选项，最终锁定符合所有条件的结果。 （五）有序枚举法解复杂概率 1. 题型特征 多步随机试验，如两次摸球、掷两枚骰子、抽两张卡片，求指定结果发生的可能性。 2. 解题方法 核心工具：列表法、树状图法，按固定顺序列出所有等可能的结果，再数出符合条件的结果数，代入公式计算。 核心原则：不重复、不遗漏，确保每个被统计的结果都是等可能的。 示例：掷两枚骰子，求点数和为 7 的可能性。先枚举所有 36 种等可能结果，再数出和为 7 的 6 种，对应可能性为。 （六）拓展提升类 1. 抽屉原理进阶（分配型） 题型特征：把若干物品放进若干个抽屉，求至少有一个抽屉里的物品数量；或保证至少一个抽屉有 n 个物品，求最少需要的物品总数。 核心公式：有余数时，至少数 = 商 + 1；无余数时，至少数 = 商。 解题关键：准确区分 “抽屉” 和 “物品”，根据题目分类标准构造对应的抽屉。 2. 可能性与统计结合 题型特征：给出多次重复试验的统计结果，根据频率推断可能性大小，或估算物品总数、各类别的数量。 核心规律：试验次数足够多时，事件发生的频率会接近真实的可能性大小；数量多的类别，被抽到的频率通常更高。 3. 极值方案设计 题型特征：给定物品总数与约束条件，设计方案使某事件的可能性最大或最小，或满足指定的可能性比例。 解题策略：求可能性最大，就让对应类别数量尽可能多；求可能性最小，就让对应类别数量尽可能少，全程满足题目给出的总数、类别数等约束条件。 五、核心解题方法汇总 定性判断法：基础题型中，通过数量、面积的多少直接判断可能性大小，匹配 “一定、可能、不可能” 的描述。 最不利原则：解决 “至少…… 保证……” 类问题的核心方法，先构造最极端的失败情况，再加 1 得到保证值。 有序枚举法：计算可能性、列举结果的通用方法，借助列表、树状图实现不重不漏。 公式定量法：等可能性事件中，用 “符合条件数 ÷ 总结果数” 计算可能性的分数值。 假设推理法：逻辑推理类题目的通用思路，假设验证、排除矛盾，锁定正确结论。 公平对等法：设计公平游戏时，保证双方对应的数量、面积或得分权重对等。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 混淆可能性与必然性：误认为可能性大的事件一定会发生，可能性小的事件一定不发生，忽略单次结果的随机性。 数量与可能性关系颠倒：误认为数量越少可能性越大，正确规律是数量越多，对应事件发生的可能性越大。 公平性认知偏差：认为游戏有输赢就是不公平，忽略公平指的是获胜机会均等，不代表单次结果必须平局。 绝对化判断失误：忽略前提条件，将小概率事件判定为不可能，将大概率事件判定为一定发生。 2. 计算类易错点 最不利原则漏加 1：算出最不利情况的数量后，忘记加 1，导致结果少 1，无法保证目标事件一定达成。 枚举重漏错误：多步试验枚举时顺序混乱，出现重复计数或遗漏结果，导致可能性计算偏差。 总数计算错误：计算可能性时分母的总结果数数错，或混淆放回与不放回模型，总数取值错误。 抽屉原理公式误用：有余数和无余数的情况混淆，一律加 1 或一律不加，导致至少数计算错误。 3. 应用类易错点 方案设计违反约束：设计游戏方案时，忽略总数、类别数等限定条件，方案不符合题目要求。 频率与概率混淆：将少数几次试验的频率直接等同于真实可能性，忽略试验次数较少时频率波动较大。 反推数量绝对化：根据可能性大小反推数量时，误将 “可能更多” 当成 “一定更多”，可能性只能判断相对关系，不能确定具体数值。 不放回模型分步错：不放回抽取时，第二步的总数未减 1，仍用原总数计算，导致后续可能性计算错误。 培优练习 一、选择题 1．一个不透明的盒子里装有5个红球、3个白球、2个黄球，这些球除颜色外完全相同。从中任意摸出一个球，摸到（    ）的可能性最大。 A．红球 B．白球 C．黄球 D．无法确定 2．一个袋子中有6个球，这些球除颜色外完全相同。笑笑每次从袋子中摸出1个球，记录颜色后放回摇匀。一共摸了30次，30次都是红球，由此可知（    ）。 A．袋子中一定全是红球 B．袋子中红球数量可能多 C．第31次摸出的一定是红球 D．袋子中红球数量可能少 3．盒子里有两种颜色的球10个（球的材料大小都相同），每次摸出1个球，然后放回摇匀。若摸到红球，就得一等奖；若摸到蓝球，就得二等奖。丽丽进行了六组试验，试验结果见下。根据表中的数据推测，丽丽最有可能是用下面（    ）盒做的试验。 A．红球0个  蓝球10个 B．红球2个  蓝球8个 C．红球5个  蓝球5个 D．红球7个  蓝球3个 4．在20以内的质数中，任选两个数相乘，乘积是奇数的可能性大还是偶数的可能性大？（    ） A．一样大 B．偶数 C．奇数 D．无法确定 5．端午节是中国首个入选世界非遗的节日，各地都有包粽子的习俗。王芳家制作了三种口味的粽子，其中豆沙的15个，红枣的14个，花生的13个。从中任意拿一个，吃到（    ）口味的可能性最大。 A．豆沙 B．红枣 C．花生 D．无法确定 6．淘气、笑笑和奇思玩摸球游戏。盒子里有数量相同的红、黄、绿三种颜色的球，并且这些球除颜色外大小均相同。摸出红球淘气加分，摸出黄球笑笑加分，摸出绿球奇思加分，摸出球后再放回盒子里。前5次都是淘气加分，摸第6次的结果是（    ）。 A．一定是淘气加分 B．不可能是淘气加分 C．三人都有可能加分 D．三人都不可能加分 二、填空题 7．一个袋子中装有除颜色外完全相同的9个红球和4个黄球。要使摸到黄球的可能性比红球大，则至少需要往袋中加入( )个黄球。 8．盒子中装有2个红球、4个白球和6个黑球。随意去摸，摸到( )球的可能性最大，摸到( )球的可能性最小。 9．布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的可能性为______。 10．文化活动体验：景区有6个文化体验项目，小明随机选择一个参加，选到“千字文拓印”的可能性是( )。 11．一个盒子里装有8个红球和2个白球，它们除颜色外完全相同。从中任意摸出一个球，摸到( )球的可能性大；如果要使摸到两种球的可能性相等，需要再放入( )个( )球。 12．用3、4、5组成三位数，组成的数是奇数的可能性( )组成的数是偶数的可能性。（填“大于”“小于”或“等于”） 13．口袋里有一些卡片，3张画着正方形，2张画着三角形，任意拿出一张卡片，结果有( )种可能；任意拿出2张卡片，有( )种可能。 14．盒子里有9个红球、3个绿球和6个蓝球，任意摸出1个球，摸到( )球的可能性最小；如果任意摸出10个球，一定有( )球。 15．某路口斑马线旁的红绿灯时间设置为：红灯80秒，绿灯25秒。小刚在任意时间经过这个路口时，遇到( )灯的可能性大。 16．袋子里装有大小、质地完全相同的6个小球，球上分别写着1、2、3、4、5、6，从中任意摸出1个球，有( )种可能的结果。从中任意摸出2个球，有( )种可能的结果。 三、判断题 17．“太阳会从西边出”是可能的。( ) 18．从一个盲盒里任意摸球，摸了3次，摸到的都是黑球，因此盲盒里一定全是黑球。( ) 19．小明抛10次硬币，有7次正面朝上，3次反面朝上。再抛第11次，正面朝上的可能性大。( ) 20．一个袋子里装有大小形状相同的5个白球和5个黑球，每次摸出一个球，摸到白球和黑球的可能性是一样的。( ) 21．我扔4次硬币，正面朝上的次数一定有2次。( ) 22．在装有5个红球和5个黄球的口袋里任意摸一个球，不可能摸出黑球。( ) 四、解答题 23．小美到邮局买邮票，邮局里只有1角和4角这两种邮票．小美要买1元5角的邮票，如果营业员随意拿，小美得到的邮票张数有几种可能？ 24．有两个布袋，甲布袋有12只白球、8只黑球、10只红球，乙布袋中有3只白球、2只黄球，所有小球大小、形状都相同，且各袋中小球均已搅匀． （1）如果任意摸出1球，你想摸到白球，你认为选择哪个布袋成功的机会较大？ （2）如果有一布袋丙中有32只白球、14个黑球、4只黄球，你又选择哪个布袋呢？ 25．甲、乙两个篮球队之间近期的3场比赛成绩如下表．如果两个队现在进行一场比赛，哪个队获胜的可能性大？为什么？ 26．从一副扑克牌中去掉大、小王，混合后从中任意抽取一张。     （1）有多少种可能的结果？     （2）按花色分，有几种可能的结果？把这些结果都写出来。     （3）按颜色分，有几种可能的结果？把这些结果都写出来。 27．某商店国庆节搞促销活动，凡购买280元就可以摇奖一次。 一等奖（黑色）：一桶油 二等奖（阴影）：一包洗衣服 三等奖（白色）：一条毛巾 （1）摇到二等奖的可能性是（      ）。 （2）有可能得一等奖吗？摇到一等奖的可能性是多少？ 28．某商品举行促销活动，前100名的购买者可以抽奖，一等奖20个，二等奖30个，三等奖50个。 （1）这次抽奖活动，中奖的可能性是多少？ （2）第一个人抽奖中一等奖可能性是多少？中二等奖的可能性是多少？中三等奖的可能性是多少？ （3）抽奖到一半，已经有9人中一等奖，17人中二等奖，24人中三等奖。这里李明第51个抽奖，中一等奖的可能性是多少？中二等奖的可能性是多少？中三等奖的可能性是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $