25.1 一元二次方程的概念 同步练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 分层递进设计，覆盖从概念理解到综合应用的巩固路径，适配新授课基础巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|一元二次方程定义、一般式|以选择填空直接考查概念，如单选题1-4直接判断方程类型与系数| |提升层|根的判断、参数确定|结合方程解与代数式求值，如解答题14利用方程解化简求值| |拓展层|跨知识综合、材料探究|融入概率与二次根式应用，如填空题12结合概率考查方程解，解答题16通过材料阅读深化概念应用|

25.1 一元二次方程的概念 同步练习2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．一元二次方程的一次项系数是（   ） A． B． C． D． 2．关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 4．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 5．若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 6．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 7．若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B．2 C． D．4 二、填空题 8．把一元二次方程化成一般形式：________． 9．写出一个关于且二次项系数为2的一元二次方程______． 10．关于的方程（均为常数，）的解是，则方程的解是___________． 11．若方程的二次项系数是1，则一次项系数是___________． 12．从背面完全相同，正面分别标有数的四张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为，则使关于的方程有整数解且使关于的一元二次方程有正数解的概率为___________． 三、解答题 13．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 14．先化简，再求值：，其中m为方程的解． 15．已知关于x的方程，试问： (1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？ (2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？ 16．请阅读下列材料：已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，∴．故． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． (2)已知，求代数式的值； (3)已知，求代数式的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D B C B C C B 1．【答案】D 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式（），再根据一般形式确定一次项系数． 【详解】解： ∴ ∵一元二次方程的一般形式为（），其中为一次项系数 ∴该方程的一次项系数是， 故选：D． 2．【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，列出并解不等式即可． 【详解】∵一元二次方程的二次项系数不能为0 ∴ ∴ 【点睛】本题考查一元二次方程的概念，一元二次方程的二次项系数不能为0是解题关键． 3．【答案】C 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将原方程所有项移至等号左边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程化成一般形式是， 故选：． 4．【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【详解】解：A、方程含分式，不是整式方程，不符合题意； B、展开左边得，整理得，符合一元二次方程定义； C、当时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、展开左边得，整理得，是一元一次方程，不符合题意． 5．【答案】C 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】解：当时，方程为， 方程必有一个根是， 故选：C． 6．【答案】C 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 7．【答案】B 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 使方程左、右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．将代入一元二次方程求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故选：B； 8．【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式的结构是解题关键． 通过去括号、移项和合并同类项将方程化为一般形式． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 9．【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据二次项系数为2的条件，构造一个简单的一元二次方程即可． 【详解】解：满足条件的一元二次方程为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 10．【答案】或 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到或，解之即可得出结论． 【详解】解：可把方程看作关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的解是， ∴关于的方程的解是或， ∴或． 故答案为：或． 11．【答案】2 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，项与系数，掌握知识点是解题的关键． 将方程化为一般形式后，根据一元二次方程的标准形式确定一次项系数即可． 【详解】解：原方程为 化为， 合并同类项得 ． 故一次项系数为：2． 故答案为：2． 12．【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、根据概率公式计算概率、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了概率公式的应用、分式方程、一元二次方程解等知识点．掌握分式方程的解法是解题的关键． 先求得使关于x的方程有整数解，且使关于x的一元二次方程有正数解时的情况，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当，即时原分式无解， ∴使关于x的方程有整数解的：，1，2； ∵， ∴，解得：， ∵关于x的一元二次方程x2+mx=0有正数解， ∴或， ∴使关于x的方程有整数解，且使关于x的一元二次方程有正数解的只有， ∴使关于x的一元二次方程有正数解的概率为：． 故答案为：． 13．【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 14．【答案】， 【知识点】分式化简求值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查分式的化简求值，一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的加减法和乘除法可以化简题目中的式子，然后根据m为方程的解，可以求得，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式 为的解 ， ∴， 原式． 15．【答案】(1)或 (2) 【知识点】一元一次方程的定义、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出或或是解（1）的关键，能根据一元二次方程的定义得出且是解（2）的关键． （1）根据一元一次方程的定义得出或或，再求出即可； （2）根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可． 【详解】（1）解：要使关于的方程是一元一次方程，分3种情况： ①，解得：，该方程是一元一次方程； ②，解得：，该方程是一元一次方程； ③，解得：，该方程是一元一次方程； 所以当或时，该方程是关于的一元一次方程； （2）解：要使关于的方程是一元二次方程，必须且， 解得：，都满足， 所以时，该方程是关于的一元二次方程． 16．【答案】(1) (2)8 (3)2028 【知识点】二次根式的混合运算、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，二次根式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关定义准确计算为解题关键． （1）先表示出，再展开，得到，即可得到结果； （2）先表示出，再展开，即可得到结果； （3）先表示出，再展开，带入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ，即． ； （2）解：， ， ，即， ． （3）解：， ， ，即， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $