专题06 三角形中的全等模型（七类）（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦三角形全等核心知识点，系统梳理全等三角形定义、性质及SSS、SAS等5种判定定理，衔接平移、对称、旋转三大全等变换，构建倍长中线、截长补短等七类经典模型的学习支架，助力学生从基础到综合应用逐步进阶。 资料以模型为纲，典例与变式结合，强调辅助线构造及规范书写，融入实际情境问题。通过模型识别培养几何直观与空间观念，推理证明发展推理意识，分层训练提升应用能力，课中辅助教师系统教学，课后帮助学生巩固查漏。

专题06 三角形中的全等模型（七类） 1.牢记全等三角形定义、性质、5 种判定定理，能精准区分 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 适用条件； 2.掌握平移、对称、旋转三大全等变换，识别一线三垂直、手拉手、倍长中线、截长补短、角分线、中点模型等经典全等模型； 3.会结合倒角模型，先证等角、等边，再推导三角形全等； 4.规范几何证明书写格式：条件→判定→全等→对应边 / 角相等； 5.能利用全等实现线段相等、角度相等、线段和差、线段倍分转化； 6.复杂图形中拆分、补全基础全等模型，隐藏条件（公共边、公共角、对顶角、同角 / 等角的余补角相等）挖掘； 7.辅助线构造：倍长中线、截长补短、作垂线、作平行线、延长线段构造全等。 1.全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2.全等三角形性质（证题常用结论） 对应边相等；对应角相等；对应中线、对应高线、对应角平分线相等；周长相等，面积相等。 3.全等判定定理（5 个，必考） SSS（边边边）：三边对应相等，两三角形全等。 SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等；注意：角必须夹在两条边中间。 ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等。 AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等。 HL（斜边直角边，仅限直角三角形）：斜边和一条直角边对应相等，两个 Rt△全等。 4.隐藏相等边角（证全等万能条件）：公共边、公共角；对顶角相等；同角 / 等角的余角相等；同角 / 等角的补角相等；角平分线分角相等；中点分线段相等；垂直得 90° 直角； 平行线：内错角、同位角相等； 等式性质：同加 / 同减一条线段（角度），和差相等。 题型一：倍长中线 【典例】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题． （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接．根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：__________； 【方法运用】（2）如图2已知是的中线，是上一点，连接交于．若．求证：； 【问题拓展】（3）如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，若面积为16，求点到的距离． 【答案】（1）；（2）见详解（3） 【详解】解：（1）∵是的中线，∴， 在和中，∴， 即根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为． （2）如图，延长至H，使得，连接，如图所示： ∵是的中线，∴，∵，， ∴∴，∴． （3）延长至，使得，连接，∵是的中点∴ ∵，∴∴，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵∴等边三角形，∴， ∴，，∴， 又∵，∴，∴，， ∴，即：， ∴为等边三角形，∴．∴，∴， 设点到的距离为∵面积为16，∴ 则∴，即点到的距离为． 【变式1】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图，在中，D是边上的中点． (1)如图1，E是边上任意一点，过点C作，交的延长线于点F．.求证：． (2)如图2，连接，若，，求的长的取值范围． (3)如图3，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． (4)若将（3）中的“，”更改为“平分，”，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析(4)，理由见解析 【详解】（1）解：∵，∴，， ∵D是边上的中点．∴，∴，∴． （2）解：如图，延长至点E，使，连接．∵是的中线，∴， 在和中，∵，∴，∴， 又，∴在中，由三边关系可得：，即， ∵，∴故． （3）证明：如图，延长至点F，使，连接． 同法（1）得：，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴， 在和中，∵， ∴，∴，即平分； （4），理由如下：如图，延长至点F，使，连接． ∴同法（1）得：，∴， ∵，∴∵平分，∵， ∵，∴，∴，∴ 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】（1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：_____． （2）如图1，在中，若，，是的中线，则的取值范围是_____． 【问题应用】（3）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（4）如图3，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析（4）见解析 【详解】解：（1）∵是的中线，∴， 在和中，，∴，故答案为：； （2）∵，，，∴， ∴，∴，∴，故答案为：； （3）线段与的数量关系是：，理由如下： 延长到F，使，连接，如图所示： 则，同（1）证明：，∴， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴； （4）．理由如下：延长至G，使， 连接，则，∵点D为的中点，∴， 在和中，∴，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴， 在和中，∴，∴． 【变式3】（24-25八年级上·山西大同·期中）阅读理解：中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” (1)如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是__________（请直接写出答案） (2)为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长．(3)如图3，和均为等腰直角三角形，连接，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究并直接写出：和的数量关系和位置关系． 【答案】(1)(2)(3)，，理由见解析 【详解】（1）解：是的中点，， 在和中，，，， ，，，在中，， 即，，，， ，中线的取值范围是：，故答案为：． （2）解：延长交的延长线于，如图2所示： 根据题意得：，，， 点是的中点，，在和中，， ，，，， ，，又，为线段的垂直平分线，； （3）解：，，理由如下：延长到，使，连接，如图3所示： 则，点是的中点，， 在和中，，， ，，，， 和均为等腰直角三角形，，，， ，，， ，，，在和中，， ，，， ，，，， ，，，即． 题型二：截长补短模型 【典例】（25-26八年级上·云南昆明·期末）截长补短源于《九章算术》“以盈补虚”思想，古匠造殿梁长不足，截他木续之，发现截补后两梁端点重合、角线相符，遂悟可证全等．明代木工将此经验总结为“截长补短法”，后经徐光启引入《几何原本》体系，成为证明三角形全等的重要辅助手段，体现了中国传统技艺与西方逻辑推理的融合． 在四边形中，是边的中点． (1)如图①，若平分，，，则的度数是______°； (2)如图②，若平分，，则线段、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图③，若，，，求线段长度的最大值． 【答案】(1)(2)，证明见详解(3) 【详解】（1）解：平分，，， 又，； （2）解：，证明如下：如图，在上取， 平分，， 在和中，，， ，，，， 是边的中点，，在和中， ，，； （3）解：如图，过点作且，过点作且， 则在和中，， 在和中，， ，，， 又，，是等边三角形，， ，的最大值为． 【变式1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）在和中，∵，，， ∴，∴； （2）解：选择②为条件，①为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴， 在和中，∵，，， ∴，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴； 选择①为条件，②为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴，在和中， ∵，，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴； 【变式2】（25-26八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】“截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】（1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】（2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由；（3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】解：（1） 见解析 （2）见解析 （3）不成立.新数量关系为：． 【详解】（1）；理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线，， 在和中，，， ，，，，，， ，，； （2），理由：如图②，在上截取，连接， 平分，， 在和中，，，，， ，，，， ，，； （3）不成立， 新数量关系为：， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接， 是的平分线，， 在和中，，， ，，，， ，， ，，，，． 【变式3】（24-25八年级上·广西·开学考试）【问题背景】在四边形中，，，，，分别是、上的点．且，试探究图1中线段、、之间的数量关系； 【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】在在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，请证明【初步探索】中的结论是否仍然成立； 【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【问题发现】如图4，在四边形ABCD中，，，若点F在CB的延长线上，点E在CD的延长线上，若，请直接写出与的数量关系．    【答案】初步探索：；探索延伸：仍然成立，证明见解析；结论运用：此时两舰艇之间的距离是210海里；问题发现：． 【详解】初步探索：线段、、之间的数量关系为：； 证明：延长到，使，连接，如图1：       在和中，，∴，∴，， ∵，，∴， ∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴， 故线段、、之间的数量关系为：．故答案为：． 探索延伸：仍然成立；证明：如图2，延长到，使，连接， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴.∴， 在和中，，∴∴， ∴；故结论仍然成立． 结论运用：解：连接，延长交于点，如图3：       ∵，，∴， ∵，∴， ∴符合探索延伸中的条件，∴结论成立， 即海里，答：此时两舰艇之间的距离是210海里； 问题发现：延长到H，使，如图4， ∵，∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∴，即， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴． 题型三：一线三等角（K字型）模型 【典例】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)(2)（1）中结论仍然成立，理由见解析(3)7 【详解】（1）解：∵， ∴，∴， 又∵，∴，∴， ∴；故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： ∵，，， ∴．在和中，， ∴．∴，．∴，∴（1）中结论仍然成立； （3）解：∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）综合与实践：央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【模型感知】一线三等角模型是初中数学三角形全等知识点考察的经典模型，在同一条直线上，依次分布三个相等的角，两角外侧各有一个三角形，由此构成的几何图形叫做一线三等角模型． (1)如图1，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点，于．则________；线段、、之间的数量关系为___________． 【模型应用】(2)如图2．点在的边、上，点在内部的射线上．已知，．求证：． 【类比探究】(3)如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，则___________． 【答案】(1)，(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：，，，， ，，， ∵，∴， 在和中，，∴，， ∵，∴； （2），，，， ，，，， 在和中，； （3）如图，过点作于，过点作的延长线于， ，，， 在和中，， ，，同理可得：，，， 即：，， 在和中，∴， ∴，∴． 【变式2】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，，∴，， 又∵，，∴， ∴，∴．故答案为：． （2）解：，， ，， 在与中，，，， 又，； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴，过点作轴，分别与交于点，轴，轴，轴， 又，，， 在与中，，，， ，， ，点坐标为． 【变式3】（25-26七年级上·山东东营·期中）【特例感知】（1）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，请猜想线段，，之间的数量关系，并写出证明过程； 【问题探究】（2）如图2，在中，点为上一点，，，， ，求． 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，为边上的高，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1），见解析；（2）7；（3）10或4 【详解】解：（1），证明如下： ∵，，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴； （2）∵，又∵，∴， 又∵，∴，∴，，∴； （3）∵，是高，∴，，∴； 当是以为直角边的等腰直角三角形时，分两种情况： ①当时，则，过点作，交的延长线于点，如图，则， 同（1）法可得：，∴， ∴，∴； ②当时，，作，如图， 同（1）法可得：，∴，∴； 综上：的面积为或． 题型四：手拉手模型 【典例】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）已知：如图，分别以的边为腰向外作等腰直角、等腰直角，连接相交于点O，连接，①，②，③，④平分，⑤平分，则以上结论正确的有（    ） A．①③⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，∴， 又∵，∴， 即，∴，∴，①正确； ∵，∴，又∵， ∴，∴，即，③正确； 过点A分别作，垂足为点P,Q． ∵，∴，∴，∴， ∴点A在的平分线上，即平分，④正确．故选：D． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，已知和都是等边三角形（，，共线）．下列结论：①②③④⑤． 其中正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：∵与为等边三角形， ∴，∴， 在和中，，∴， ∴，故①正确； 又∵，∴在和中，，∴， ∴，∴是等边三角形，则，故②正确； 在和中，，∴，∴， ∴， ∴，故③正确；作于M，于N，如图所示： 则，在和中，， ∴，∴，∴平分，， 又，，则，故④正确； 在上取一点，使得，连接， 又，在和中，，， ，，则为等边三角形， ，则，故⑤错误；∴正确的有①②③④共4个． 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，为锐角，点D为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，． (1)如果，．①当点D在线段上时，如图1，线段、的位置关系为________，数量关系为________；②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．(2)如图3，如果，，点D在线段上运动．探究：当多少度时，？请说明理由． 【答案】(1)①，；②仍然成立，理由见解析(2)当时，，理由见解析 【详解】（1）解：①与位置关系是，数量关系是． 理由：，，． 又，，，且． ，，即．故答案为：，； ②都成立，， 在与中，， ，，，即． （2）解：当时，． 理由：过点A作交的延长线于点G，则， ∵，∴，∴∴， 在与中，，∴， ∴，∴，即． 【变式3】（24-25·广东·七年级专题练习）已知：△ABC与△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE． （1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且∠ABC＝60°，求证：△BMN是等边三角形； （2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是 　 　°； （3）如图2，若A、B、D不在一直线上，但∠ABC＝60°的条件不变则直线AE和CD的夹角是 　 　°； （4）如图3，若∠ACB＝60°，直线AE和CD的夹角是 　 　°． 【答案】（1）证明见解析；（2）60；（3）60；（4）60； 【详解】（1）∵∠ABC＝∠DBE＝60° ∴， ， ∴ ∵BA＝BC，BD＝BE 和中 ∴∴ 和中∴∴∴为等边三角形； （2）∵∠ABC＝∠DBE＝60°, BA＝BC∴为等边三角形；∴ 根据题意，AE和CD相交于点O ∵ ∴ ∵∴ ∴，即直线AE和CD的夹角是故答案为：； （3）∵∠ABC＝∠DBE＝60°, BA＝BC∴为等边三角形；∴ ∵，，∠ABC＝∠DBE＝60°∴ ∵BA＝BC，BD＝BE 和中 ∴∴ 如图，延长，交CD于点O ∴ ∵∴ ∴，即直线AE和CD的夹角是故答案为：； （4）∵BA＝BC，∴ ∵∠ACB＝60°∴∴为等边三角形 ∵BD＝BE，∠ABC＝∠DBE∴ ∵， ∴ 和中 ∴∴ 分别延长CD、AE，相较于点O，如下图： ∴ ∵∴ ∴，即直线AE和CD的夹角是故答案为：． 题型五：半角模型 【典例】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在等边中，在边上取两点、，使．若，，，则以、、为边长的三角形的形状为（　　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 【答案】C 【详解】解：如图所示：将绕点顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知，，，，， ∵是等边三角形，∴，∵，∴， ∴，∴， 在与中，，∴，∴， ∵，，∴， ∴以、、为边长的三角形的形状为钝角三角形,故选：C． 【变式1】（24-25.上海 七年级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数. 【答案】（1）见解析；（2）20° 【详解】（1）旋转△BCF使BC与CD重合， ∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形， ∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°， 由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，∴A，D，F′共线， ∵∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD， ∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED； （2）∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°， 又∵AD//BC，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°， ∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°． 【变式2】（2026·四川遂宁·三模）如图，正方形中，点、分别在线段、上运动，且满足，、分别与相交于点、，下列说法中：①；②点到线段的距离一定等于正方形的边长；③，，则；④若，，则．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可） 【答案】①②④ 【详解】解：如图，把绕点A顺时针旋转得到， 由旋转的性质得，， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴，故①正确；过A作于G， ∴，在与中，，∴， ∴，∴点A到线段的距离一定等于正方形的边长，故②正确； ∵，∴，设，∴， ∴，∴，∴（负值舍去）， ∴，∴，故③错误； 如图，把绕点A顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得，， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，设，则， ∴，解得：，∴，故④正确． 【变式3】（24-25八年级上·河南周口·期末）如图1，已知是边长为5的等边三角形，以为底边作一个顶角为的等腰三角形．点M，N分别是边与边上的点，并且满足．    (1)尝试探究：要想证明为的平分线，小诚做了如下思考，如图2，延长至点F，使，连接，通过证明______，得到，进而证得______，得证为的平分线；(2)类比延伸：在（1）的思路下求的周长； (3)拓展迁移：当点D在内部时，其他条件不变，直接写出的周长． 【答案】(1)，(2)10(3)5 【详解】（1）延长至点F，使，连接，    由题意得，，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，． ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴平分． （2）∵，∴．∵，∴． ∴的周长为：． （3）延长交于P，延长交于Q，令，连接， ∵是等腰三角形，且，∴，，， ∵是等边三角形，∴， ∴，，，∴，， 在和中， ，∴ ，∴，， ∵ ，，∴， 在和中， ∴ ，∴，， ∵ ，，∴，∴即， 在和中， ，∴ ，∴． ∴的周长为：． 题型六：对角互补模型 【典例】（24-25·广东广州·八年级统考期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：过点P作PK⊥AB，垂足为点K．∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，∴PK＝PD， 在Rt△BPK和Rt△BPD中，，∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL），∴BK＝BD， ∵∠APC+∠ABC＝180°，且∠ABC+∠KPD＝180°，∴∠KPD＝∠APC，∴∠APK＝∠CPD，故①正确， 在△PAK和△PCD中，，∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确， ∴BK﹣AB＝BC﹣BD，∴BD﹣AB＝BC﹣BD，∴AB+BC＝2BD，故③正确， ∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA），∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC， ∴S四边形ABCP＝S四边形KBDP＝2S△PBD．故④正确．故选A． 【变式1】（25-26八年级上·北京·校考期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上． (1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______． (2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例．    【答案】(1)角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上．(2)成立，证明见解析． 【详解】（1）解：因为，，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上，所以点A在的角平分线上 故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上． （2）结论：平分仍然成立； 证明：如解图3，过点A作，，∴，    又∵，∴，∴， 又∵，∴， 在和中，∴∴， 又∵，，∴平分，故（1）结论正确． 【变式2】（24-25重庆八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】（1）详见解析；（2）（1）中结论仍然成立，理由详见解析；（3）（1）中结论不成立，结论为OE﹣OD=OC，证明详见解析. 【详解】(1)∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°， ∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=30°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°， 在Rt△OCD中，OD=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC， (2)(1)中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图， ∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°， 同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG， ∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG， ∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC； (3)(1)中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图， ∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG， ∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE， ∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC． 【变式3】（25-26九年级上·广东·校考期中）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F． （1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长； （2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系． 【答案】（1）1（2）证明见解析（3）结论不成立．结论：BE﹣CF=AB 【详解】解：（1）如图1中， ∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4， ∵点D是线段BC的中点，∴BD=DC=BC=2，∵DF⊥AC，即∠CFD=90°，∴∠CDF=30°， 又∵∠EDF=120°，∴∠EDB=30°，∴∠BED=90°∴BE=BD=1． （2）如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N． ∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN， 又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF， 又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，∴BE+CF=BM+EM+NC﹣FN=2BM=BD=AB． （3）结论不成立．结论：BE﹣CF=AB． ∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN， 又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF， 又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF， ∴BE﹣CF=BM+EM﹣（FN﹣CN）=2BM=BD=AB． 题型七：角平分线的全等模型（三类） 【典例】（重庆市酉阳土家族苗族自治县2025-2026学年上学期八年级教学质量监测数学试题）探究解题 (1)利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，证明； (2)图2是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点作于点．已知，，的面积为30，请求出的面积； (3)如图3，在中，，，平分，，交的延长线于点，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论．（提示：可延长交延长线于） 【答案】(1)证明：∵平分，， ，，又， （2）解：如图2所示，延长交于点， 同（1）可得，，， ，，， ∵与同高，， 的面积为30，，， ，的面积； (3)，证明：如图3，延长交延长线于， ∵，∴．平分，， 在和中，，，，即， ，，， 在和中，，，，． 【变式1】（24-25·山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：如图，在上截取，连接 平分，平分，， ，，， ，， 在和中，，， ，，， 在和中，，， ，， 周长为，，， ，．故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容：已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点．，，垂足分别为点和点．求证：．    分析：图中有两个直角和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程． (2)【类比探究】如图②，是的平分线，是上任意一点，点M、N分别在、上，连接和，若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：，，， 是的平分线，， 在和中，，，； （2）证明：如图②，过点作于，于，    是的平分线，，，， ，，， 在和中，，，． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，射线平分，在射线，上分别截取线段．；使；在射线上任取一点D，连接，．则与的数量关系为______． （2）如图2，在中，，平分，求证：； （3）如图3，在四边形中，，，，C为边中点，若平分，平分，，求的值． 【答案】（1）（2）详见解析（3） 【详解】（1）证明：射线平分，， 又，，，，故答案为：； （2）证明：在上截取，连接，如图2所示： 平分，，又，， ，，，，，， 又，，，，， ，； （3）解：在上取点，使，连接，在上取点，使，连接，如图3所示： 是边的中点，，， 平分，，又，， ，，．同理可证：， ，，，，， ，，， ，是等边三角形，，． 【巩固训练】 1．（2026·北京石景山·二模）如图，直线，，分别在，上，平分，平分，过点的直线与直线，分别交于点，（不与点，重合）． 有以下结论：①；②；③；上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：①， ， 平分，平分， ， ， ，在中， ， ．故①正确；②过点作于，交于，作于， ， ，平分，，，， 同理可得，，在和 中，， ，．故②正确； ③当在的同侧时由②可得 ，∴， ∵，，∴，， ∴，∴， ∴ ，当在的异侧时，同理可得，而，， ∴，故③不正确．综上所述，正确的结论是①②． 2.（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      【答案】3 【详解】解： ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在和中：，∴， ∴，∴，故答案为：3． 3.（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ． 【答案】3 【详解】解：如下图，延长交于点， ∵，，，∴， ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴．故答案为：3． 4．（2026·甘肃天水·模拟预测）如图，在正方形中，，分别为，上的点，连接，，若于点，，则的长为________． 【答案】 【详解】解：四边形是正方形，，，． ，，，． 在和中，，，．，． 5．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，在正方形中，点在上，点在上，且，交于点，交于点，则线段、、之间的数量关系为___________． 【答案】 【详解】解：如图，把逆时针旋转得，连接， ∵四边形是正方形，∴，， ∵把逆时针旋转得，∴，，，， ∴，， ∴，，∵，∴， 在和中，，∴，∴，∴． 6.（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）（1）已知：如图①，在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为D，E．求证：． （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角：那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）应用，如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是15，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析；（3） 【详解】证明：（1）∵直线m，直线m，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵在和中，∴， ∴，∴； （2）结论仍然成立，理由是：∵， ∴，∴， ∵在和中，∴， ∴，∴． （3）∵，∴， 在和中，，∴，∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，，∵，∴， ∵，∴与的面积之和为． 7．（25-26八年级上·重庆綦江·期末）（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D．求证：； （2）如图②，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，且．求证：； （3）如图③，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为17，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】证明：（1）∵，，，∴， ∴，，∴， 在和中，，∴； （2）∵，，，， ∴，， 在和中，，∴； ∴，，∴； （3）∵的面积为17，，∴的面积是：， 根据解析（2）同理可证，∴，∴． 8．（2025·河南南阳·一模）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答． （1）【观察发现】①如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则与的数量关系是__________； ②如图2，的角平分线、相交于点P．当时，线段与的数量关系是__________； （2）【探究迁移】如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）或10． 【详解】（1）①∵是的角平分线，∴， ∵，，∴，∴；故答案为：； ②在上取点D，使，连接，， ∵的角平分线、相交于点P．∴平分，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴；故答案为：； （2），理由：在上取点E，使，连接，则， ∵，∴， ∵的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； 9.（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)的长为14 【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接，平分，∴， ，∴，，， ∵，，是的一个外角，， ，，，，； （2）解：在上截取，连接， ，，∴， ，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，的长为14． 10.（2025·广东·校考二模）综合与实践：小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围． 小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决 请回答：(1)小明证明用到的判定定理是：________；（填入你选择的选项字母） A．              B．              C．             D． (2)的取值范围是________． 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，求的长． 【答案】(1)A(2)；． 【详解】（1）解：如图，延长到，使，连接，点为的中点，， 在和中，，，故答案为：A； （2）解：，，， ，，， ，，故答案为：； 解决问题：如图，延长交的延长线于点H， 四边形是正方形，，为边的中点，， 在和中，，，，， ，，，，，， ，，，． 【强化训练】 1.（25-26·辽宁·八年级校考期末）如图，中，，，为线段上一动点（不与点，重合），连接，作 ，交线段于，以下四个结论： ①；②当为中点时，；③当为等腰三角形时，； ④当时，．其中正确的结论的个数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：①，， ，，，故①正确； ②为中点，，，，， ，，，故②正确； ③，，，为等腰三角形，，， ，；或为等腰三角形， ，，，，故③错误； ④，，， ，，， ，，，，故④正确， 综上所述正确的有①②④．故选：． 2.（25-26八年级上·山东·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（   ） A．SSS     B．SAS     C．AAS     D．ASA （2）求得的取值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】（3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【能力提高】（4）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析；（4） 【详解】解：（1）是的中线，， 在和中，，．故选：B． （2）由（1）知：，，， 在中，，由三角形三边关系定理得：，．故选：C． （3）证明：如图，延长到，使，连接， 是中线，，在和中，， ，，，，， ，，． （4）如图，延长，交的延长线于点，，， 是的中线，，在和中，， ，，，，， 又，，即，垂直平分，． 3.（24-25八年级上·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分，， 在和中，，，，， ，，，，； 方法2：延长到，使，连接， 平分，， 在和中，，，，， ，，，，； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下：如图，在上截取，连接， 由（1）知，， ，，， 为等边三角形， ，， ，为等边三角形，，， ，，，． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知，，是等边三角形， ，， ，，， ，为等边三角形，，， ，，即， 在和中，，，， ，； （3）线段、、之间的数量关系为．连接，过点作于点， ，，， 在和中，，，，， 在和中，，，， ，． 4．（24-25八年级下·广东·专题练习）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）或或 【详解】解：（1）如图1，延长到G，使，连接， ∵∴ ∴，∴∴． ∵，∴．∴． ∵．∴；故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到G，使，连接 ∵，∴ ∵∴∴， ∴∴． ∵，∴．∴．∵．∴； （3）若如图1，则结论成立，若如图3，则或 证明：在上截取，使，连接． ∵，∴． ∵∴∴ ∴．∴ ∵，∴∴．∵∴．同理可得： ∵∴．故答案为：或或． 5.（2026·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题． 方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题． （1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】（2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】（3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）证明见解析． 【详解】（1）证明：方法一：∵平分，∴， 在和中，，，， ∴∴，， ∵，∴，∴，∴，∴； 方法二：延长到点E，使得，连接， ∴，则， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，，， ∴，∴，∵，∴； （2）在上取，连接，∵于，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴； （3）如图所示，∵，为等边三角形，∴，， ∴∴， ∴，∴，∴， 过作，交于点，∴， ∵是的中点，∴，又，∴， ∴ ，，，而， ，∴， 又∵，∴，∴ ， 即． 6.（25-26·广东·八年级校考期中）如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连． (1)求证：；(2)求证：平分； (3)设，若，直接写出a，b，c之间满足的数量关系． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：∵等边与等边的顶点，，三点在一条直线上， ∴，，∴， ∴，，∴， ∵等边，等边，∴，， 在与中，∵，∴，∴． （2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点， ∵（1）中已证，又∵，，∴， ∵，，∴平分． （3），理由如下：如图2，过点作交于点，过点作交于点，在上截取一点，使得，在上截取一点，使得，连接，， ∵，∴，∵， 又∵等边，∴，∴， ∵，∴，即， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，∴，，∴， 即，在与中，∵， ∴，∴．∵，，∴， 同法可证，，∵，∴． ∵，，∴， ∵（2）中已证，∴，∴，即． 7．（24-25七年级下·陕西西安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】（1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】（2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】（3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线；再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（）． 【详解】（）如图， 延长交于点，由已知可知，∴， ∵，∴； （），证明如下：如图，延长交于点，则， ∵，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴，由已知可知，，∴； （）如图，延长交于，由已知可知，，，∴， ∵，∴，∴． 8．（24-25七年级下·广东·期末）已知：点是平分线上一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)观察猜想：如图，当时，写出和的数量关系，并说明理由．(2)探究证明：如图，当时，写出，和之间的等量关系，并说明理由．(3)拓展延伸：如图，当，点在射线的反向延长线上时，请直接写出线段、和之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）解：．理由：过点作于点， ∵点在的角平分线上，且于，，∴，， ∵，∴，，∴， 在和中，，∴（），∴． （2）解：结论：，理由如下：如图，过点作于点， 同（），可证，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． （3）解：，理由如下：如图，过点作于点， 同（），可证，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 9.（24-25八年级下·山东威海·期中）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点，，当绕点旋转到时（如图），易证． (1)当绕点旋转到时（如图），上面的结论还成立吗？说明理由． (2)当绕点旋转到如图的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？说明理由． (3)图中，若，，求的面积为 ． 【答案】(1)成立，理由见解析；(2)，理由见解析；(3)． 【详解】（1）解：上面的结论还成立，理由如下： 如图，在的延长线上，截取，连接， 在和中， ，∴，∴，， ∵，，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； （2）解：，理由如下：如图，在上截取，连接 在和中，，∴， ∴，，∴ ，即， ∵，∴ 在和中，，∴， ∴，∴，∴； （3）解：∵ ，∴， ∴的面积，∴的面积为，故答案为：． 10．（24-25·山东临沂·八年级统考期末）【知识背景】我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题． (1)【问题初探】如图（1），中，，，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作，使，，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由． (2)【类比再探】如图（2），中，，，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作，使，，连接BE，则______．（直接写出答案，不写过程；需要作辅助线的，请说明辅助线的作法，并在图（2）中作出辅助线） (3)【方法迁移】如图（3），是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE连接BE，则BD，BE，BC之间有怎样的数量关系？（直接写出答案，不写过程）． (4)【数学思考】如图（4），是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE猜想的度数，并说明理由． 【答案】(1)BE＝CD．证明见详解；(2)90°；(3)BC＝BD+BE．证明见详解；(4)∠EBD＝120°． 【详解】（1）证明：问题初探：BE＝CD．如图（1），∵∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠BAE+∠BAD=∠BAD+∠CAD，∴∠BAE＝∠CAD， 在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD； （2）解：在图（2）中过点M作MF∥AC交BC于点F， ∵，，∴∠ACB=∠ABC=， ∵MF∥AC，∴∠BMF=∠A=90°，∠BFM=∠C=45°，∴MB=MF， ∵∠DME＝∠BMF＝90°，∴∠BME＝∠DMF， 在△BME和△FMD中，，∴△BME≌△FMD（SAS）， ∴∠MBE＝∠MFD=45°；∴∠EBD＝∠MBE+∠ABC＝90°．故答案为：90°； （3）解：BC＝BD+BE．如图（3），∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=60°，∴∠BAE＝∠CAD， 在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD，∴BC＝BD+CD＝BD+BE； （4）拓展创新：∠EBD＝120°．理由：在图（4）中过点M作MG∥AC交BC于点G， 如图则∠BMG=∠A=60°，∠BGM=∠C=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BM=GM， ∵∠DME＝∠BMG＝60°，∴∠BME+∠BMD=∠BMD+∠GMD=60°，∴∠BME＝∠DMG， 在△BME和△GMD中，，∴△BME≌△GMD（SAS）， ∴∠MBE＝∠MGB＝60°，∴∠EBD＝∠MBE+∠MBG＝120°． 56 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角形中的全等模型（七类） 1.牢记全等三角形定义、性质、5 种判定定理，能精准区分 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 适用条件； 2.掌握平移、对称、旋转三大全等变换，识别一线三垂直、手拉手、倍长中线、截长补短、角分线、中点模型等经典全等模型； 3.会结合倒角模型，先证等角、等边，再推导三角形全等； 4.规范几何证明书写格式：条件→判定→全等→对应边 / 角相等； 5.能利用全等实现线段相等、角度相等、线段和差、线段倍分转化； 6.复杂图形中拆分、补全基础全等模型，隐藏条件（公共边、公共角、对顶角、同角 / 等角的余补角相等）挖掘； 7.辅助线构造：倍长中线、截长补短、作垂线、作平行线、延长线段构造全等。 1.全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2.全等三角形性质（证题常用结论） 对应边相等；对应角相等；对应中线、对应高线、对应角平分线相等；周长相等，面积相等。 3.全等判定定理（5 个，必考） SSS（边边边）：三边对应相等，两三角形全等。 SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等；注意：角必须夹在两条边中间。 ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等。 AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等。 HL（斜边直角边，仅限直角三角形）：斜边和一条直角边对应相等，两个 Rt△全等。 4.隐藏相等边角（证全等万能条件）：公共边、公共角；对顶角相等；同角 / 等角的余角相等；同角 / 等角的补角相等；角平分线分角相等；中点分线段相等；垂直得 90° 直角； 平行线：内错角、同位角相等； 等式性质：同加 / 同减一条线段（角度），和差相等。 题型一：倍长中线 【典例】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题． （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接．根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：__________； 【方法运用】（2）如图2已知是的中线，是上一点，连接交于．若．求证：； 【问题拓展】（3）如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，若面积为16，求点到的距离． 【变式1】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图，在中，D是边上的中点． (1)如图1，E是边上任意一点，过点C作，交的延长线于点F．.求证：． (2)如图2，连接，若，，求的长的取值范围． (3)如图3，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． (4)若将（3）中的“，”更改为“平分，”，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】（1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：_____． （2）如图1，在中，若，，是的中线，则的取值范围是_____． 【问题应用】（3）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（4）如图3，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【变式3】（24-25八年级上·山西大同·期中）阅读理解：中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” (1)如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是__________（请直接写出答案） (2)为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长．(3)如图3，和均为等腰直角三角形，连接，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究并直接写出：和的数量关系和位置关系． 题型二：截长补短模型 【典例】（25-26八年级上·云南昆明·期末）截长补短源于《九章算术》“以盈补虚”思想，古匠造殿梁长不足，截他木续之，发现截补后两梁端点重合、角线相符，遂悟可证全等．明代木工将此经验总结为“截长补短法”，后经徐光启引入《几何原本》体系，成为证明三角形全等的重要辅助手段，体现了中国传统技艺与西方逻辑推理的融合． 在四边形中，是边的中点． (1)如图①，若平分，，，则的度数是______°； (2)如图②，若平分，，则线段、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图③，若，，，求线段长度的最大值． 【变式1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【变式2】（25-26八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】“截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】（1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】（2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由；（3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【变式3】（24-25八年级上·广西·开学考试）【问题背景】在四边形中，，，，，分别是、上的点．且，试探究图1中线段、、之间的数量关系； 【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】在在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，请证明【初步探索】中的结论是否仍然成立； 【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【问题发现】如图4，在四边形ABCD中，，，若点F在CB的延长线上，点E在CD的延长线上，若，请直接写出与的数量关系．    题型三：一线三等角（K字型）模型 【典例】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）综合与实践：央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【模型感知】一线三等角模型是初中数学三角形全等知识点考察的经典模型，在同一条直线上，依次分布三个相等的角，两角外侧各有一个三角形，由此构成的几何图形叫做一线三等角模型． (1)如图1，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点，于．则________；线段、、之间的数量关系为___________． 【模型应用】(2)如图2．点在的边、上，点在内部的射线上．已知，．求证：． 【类比探究】(3)如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，则___________． 【变式2】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【变式3】（25-26七年级上·山东东营·期中）【特例感知】（1）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，请猜想线段，，之间的数量关系，并写出证明过程； 【问题探究】（2）如图2，在中，点为上一点，，，， ，求． 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，为边上的高，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 题型四：手拉手模型 【典例】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）已知：如图，分别以的边为腰向外作等腰直角、等腰直角，连接相交于点O，连接，①，②，③，④平分，⑤平分，则以上结论正确的有（    ） A．①③⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①③④ 【变式1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，已知和都是等边三角形（，，共线）．下列结论：①②③④⑤． 其中正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，为锐角，点D为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，． (1)如果，．①当点D在线段上时，如图1，线段、的位置关系为________，数量关系为________；②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．(2)如图3，如果，，点D在线段上运动．探究：当多少度时，？请说明理由． 【变式3】（24-25·广东·七年级专题练习）已知：△ABC与△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE． （1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且∠ABC＝60°，求证：△BMN是等边三角形； （2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是 　 　°； （3）如图2，若A、B、D不在一直线上，但∠ABC＝60°的条件不变则直线AE和CD的夹角是 　 　°； （4）如图3，若∠ACB＝60°，直线AE和CD的夹角是 　 　°． 题型五：半角模型 【典例】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在等边中，在边上取两点、，使．若，，，则以、、为边长的三角形的形状为（　　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 【变式1】（24-25.上海 七年级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数. 【变式2】（2026·四川遂宁·三模）如图，正方形中，点、分别在线段、上运动，且满足，、分别与相交于点、，下列说法中：①；②点到线段的距离一定等于正方形的边长；③，，则；④若，，则．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可） 【变式3】（24-25八年级上·河南周口·期末）如图1，已知是边长为5的等边三角形，以为底边作一个顶角为的等腰三角形．点M，N分别是边与边上的点，并且满足．    (1)尝试探究：要想证明为的平分线，小诚做了如下思考，如图2，延长至点F，使，连接，通过证明______，得到，进而证得______，得证为的平分线；(2)类比延伸：在（1）的思路下求的周长； (3)拓展迁移：当点D在内部时，其他条件不变，直接写出的周长． 题型六：对角互补模型 【典例】（24-25·广东广州·八年级统考期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】（25-26八年级上·北京·校考期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上． (1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______． (2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例．    【变式2】（24-25重庆八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【变式3】（25-26九年级上·广东·校考期中）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F． （1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长； （2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系． 题型七：角平分线的全等模型（三类） 【典例】（重庆市酉阳土家族苗族自治县2025-2026学年上学期八年级教学质量监测数学试题）探究解题 (1)利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，证明； (2)图2是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点作于点．已知，，的面积为30，请求出的面积； (3)如图3，在中，，，平分，，交的延长线于点，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论．（提示：可延长交延长线于） 【变式1】（24-25·山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【变式2】（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容：已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点．，，垂足分别为点和点．求证：．    分析：图中有两个直角和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程． (2)【类比探究】如图②，是的平分线，是上任意一点，点M、N分别在、上，连接和，若，求证：． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，射线平分，在射线，上分别截取线段．；使；在射线上任取一点D，连接，．则与的数量关系为______． （2）如图2，在中，，平分，求证：； （3）如图3，在四边形中，，，，C为边中点，若平分，平分，，求的值． 【巩固训练】 1．（2026·北京石景山·二模）如图，直线，，分别在，上，平分，平分，过点的直线与直线，分别交于点，（不与点，重合）． 有以下结论：①；②；③；上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2.（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      3.（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ． 4．（2026·甘肃天水·模拟预测）如图，在正方形中，，分别为，上的点，连接，，若于点，，则的长为________． 5．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，在正方形中，点在上，点在上，且，交于点，交于点，则线段、、之间的数量关系为___________． 6.（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）（1）已知：如图①，在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为D，E．求证：． （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角：那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）应用，如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是15，求与的面积之和． 7．（25-26八年级上·重庆綦江·期末）（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D．求证：； （2）如图②，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，且．求证：； （3）如图③，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为17，求与的面积之和． 8．（2025·河南南阳·一模）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答． （1）【观察发现】①如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则与的数量关系是__________； ②如图2，的角平分线、相交于点P．当时，线段与的数量关系是__________； （2）【探究迁移】如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由． 9.（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 10.（2025·广东·校考二模）综合与实践：小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围． 小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决 请回答：(1)小明证明用到的判定定理是：________；（填入你选择的选项字母） A．              B．              C．             D． (2)的取值范围是________． 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，求的长． 【强化训练】 1.（25-26·辽宁·八年级校考期末）如图，中，，，为线段上一动点（不与点，重合），连接，作 ，交线段于，以下四个结论： ①；②当为中点时，；③当为等腰三角形时，； ④当时，．其中正确的结论的个数是（   ）    A． B． C． D． 2.（25-26八年级上·山东·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（   ） A．SSS     B．SAS     C．AAS     D．ASA （2）求得的取值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】（3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【能力提高】（4）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 3.（24-25八年级上·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 4．（24-25八年级下·广东·专题练习）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ． 5.（2026·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题． 方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题． （1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】（2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】（3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：． 6.（25-26·广东·八年级校考期中）如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连． (1)求证：；(2)求证：平分； (3)设，若，直接写出a，b，c之间满足的数量关系． 7．（24-25七年级下·陕西西安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】（1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】（2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】（3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线；再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 8．（24-25七年级下·广东·期末）已知：点是平分线上一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)观察猜想：如图，当时，写出和的数量关系，并说明理由．(2)探究证明：如图，当时，写出，和之间的等量关系，并说明理由．(3)拓展延伸：如图，当，点在射线的反向延长线上时，请直接写出线段、和之间的数量关系． 9.（24-25八年级下·山东威海·期中）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点，，当绕点旋转到时（如图），易证． (1)当绕点旋转到时（如图），上面的结论还成立吗？说明理由． (2)当绕点旋转到如图的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？说明理由． (3)图中，若，，求的面积为 ． 10．（24-25·山东临沂·八年级统考期末）【知识背景】我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题． (1)【问题初探】如图（1），中，，，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作，使，，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由． (2)【类比再探】如图（2），中，，，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作，使，，连接BE，则______．（直接写出答案，不写过程；需要作辅助线的，请说明辅助线的作法，并在图（2）中作出辅助线） (3)【方法迁移】如图（3），是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE连接BE，则BD，BE，BC之间有怎样的数量关系？（直接写出答案，不写过程）． (4)【数学思考】如图（4），是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE猜想的度数，并说明理由． 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $