专题05 三角形中的倒角模型（六类）（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦三角形倒角模型这一核心知识点，以三角形内角和、外角定理为基础，系统梳理双角平分线（双内、双外、一内一外）、高分线、双垂直与射影等六大类模型，构建从基础定理到复杂模型的递进式学习支架。 资料通过典例变式设计引导学生建立“见图形→套模型→列等式”思维，规范代数设元解题步骤，培养推理意识与数学表达能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固模型应用，查漏补缺提升解题能力。

专题05 三角形中的倒角模型（六大类） 1．熟记三角形内角和、外角定理两大核心倒角依据，能快速书写角度等量关系； 2．掌握双角平分线模型（双内、双外、一内一外）、高分线、双垂直与射影模型等6 大类常见倒角模型； 3．能看懂图形中隐藏等角、互补角、倍半角，建立 “见图形→套模型→列等式” 的解题思维； 4．规范几何倒角步骤，熟练用代数设元（设∠1=x）解方程求角度；多步倒角综合大题，等量代换逻辑链条梳理。 1、三角形内角和定理：三角形的内角和为180°。即在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。 推论：直角三角形两锐角互余，即∠C=90°，则∠A+∠B=90°。 2. 三角形外角定理（倒角最常用）：三角形一个外角 = 和它不相邻的两个内角之和。即△ABC 延长BC 到D，则∠ACD=∠A+∠B。 推论：外角＞任意一个不相邻内角；外角 + 相邻内角 = 180°（邻补角） 3. 邻补角、平角、周角 平角：180°； 邻补角两角和 180° ； 周角：360° 4. 对顶角相等。 5. 角平分线定义：若 AD 平分∠BAC，则∠BAD=∠CAD=∠BAC。 6. 垂直、高线：高线→夹角 90°；直角三角形锐角互余 7. 折叠性质：折叠前后对应角相等；折痕为角平分线，隐藏等角 题型01 三角形同一个角的平分线与高线形成的夹角（高分线模型） 【典例】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题重现】沪科版义务教育教科书数学八年级上册第87页第9题原文如下： “如图，在中，平分交于点D，，垂足为点E．若，，求的度数． 受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧． 【问题变式】如图1，将原第9题中“”改为“在上任取一点F，作”，垂足为点E，其他条件不变，直接写出的度数_______； 【继续探究】如图2，将【问题变式】中“在上任取一点F”改为“在的延长线上任取一点F”，其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； 【深度探究】如图3，在中，，，是的平分线，在上任取一点F，过点F作，与的延长线交于点E，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】问题变式：；继续探究：不变；理由见解析；深度探究： 【详解】解：问题变式：∵，，∴， ∵平分，∴， 是的一个外角，， ，∴，； 继续探究：的度数不变；理由如下：∵，，∴， ∵平分，∴， 是的一个外角，， ，∴，； 深度探究：在中，，，， 是的平分线，， 是的一个外角，， ，． 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·期中）在中，是高，是角平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，，∴，． 又∵平分，∴． ∵在中，，，∴．故选C． 【变式2】（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，在中，平分，，若，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，即的度数是．故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，是高，是的平分线．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴ ∴，故选：A． 【变式4】（25-26八年级上·山西朔州·期中）综合与实践 【材料准备】量角器、三角尺、直尺、铅笔． 【操作过程】仁仁画了图①所示的图形，在中，，平分，于点，尝试取了几组，的特殊值，并量得的度数，得到表中几组对应值． 的度数 的度数 的度数 【结论探究】（1）若，，则的度数为_____； （2）试探究，与之间的数量关系，并说明理由； 【变式应用】（3）仁仁继续研究，在图①中，其他条件不变，若把“于点”改为“是线段上一点，于点”，如图②，请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）． 【详解】解：（1）由表格可知：， ∴当，时，； （2）． 理由如下：∵平分，∴． ∵，∴， ∵， ∴． （3）；过点作，由（2）可知：， ∵，∴，∴． 题型二：双垂直模型（同一个三角形的两条高线） 【典例】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：∵，∴， 又∵，∴，即，设，则， ∵，∴，解得，，． 【变式1】（2025·陕西·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是边上的高，∴，∵，∴， ∵是边上的高，∴，∴，故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，是它的两条高，直线交于点F， ． 【答案】或 【详解】解：当为锐角三角形时，如图，           ∵，是它的两条高，∴； 当为钝角三角形时，如图，∵，是它的高，∴， ∵是的高，∴，综上所述：或，故答案为：或． 【变式3】（24-25·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在中，和分别是边上的高，若，，则的值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴，∴．故选B． 题型三：子母型双垂直模型（射影模型） 【典例】（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，在中，，，为边上的高线．(1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的角平分线分别交于点E、F，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：在中，，，， 平分，，． 【变式1】（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，于点C，于点D，，，，则点C到的距离是（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：∵，，∴， ∵，，，∴，∴，则点C到的距离是． 【变式2】（24-25·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    【答案】50或25/25或50 【详解】解：∵，∴ ∵平分 ∴；当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1，∵，∴；       ②当时，如图2，∴， ∵，∴， 综上，的度数为或．故答案为：50或25． 【变式3】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）综合与实践 根据引入概念，理解应用概念． 经历数学概念的学习过程 引 入 概念 概念1 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角相等，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 概念2 连接不等边三角形的一个顶点和它对边上一点的线段，将不等边三角形分成两个小三角形，若一个小三角形为等腰三角形，另一个小三角形与原来三角形互为“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 问题解决 理 解 概 念 任务1 （1）如图1，在中，写出图中两对“等角三角形”． ① ;② ． 任务2 （2）如图2，在中，为角平分线， 证明是的“等角分割线”． 应用概念 任务3 （3）在中，若为的“等角分割线”，写出可能的度数(写出一个即可)． 【答案】任务1: 与 是等角三角形；任务见解析；任务 【详解】解：任务1：，，， ，，， 与是“等角三角形”．故答案为：，； 任务：，，， 为角平分线，，，，是等腰三角形， ，， ，，与是“等角三角形”，为的等角分割线． 任务3：的度数：或或或．理由如下：根据题意可知，存在以下四种情况： ①当是等腰三角形，时，，， ； ②当是等腰三角形，时，， ； ③当是等腰三角形，时，，； ④当是等腰三角形，时，，， 在中，，， 故：的度数为或或或（任写一个）． 【变式4】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是AB上一点，且．      (1)求证： 证明：∵在中，（已知） ∴（___________），又∵（已知），∴（等量代换）， ∵（___________），∴，∴． (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，． ①___________；（用含m的代数式表示） ②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；(2)见解析；(3)①；②． 【详解】（1）证明：∵在中，（已知）， ∴（直角三角形两锐角互余）， 又∵（已知），∴（等量代换）， ∵（三角形内角和定理），∴，∴． 故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理； （2）证明：∵平分，∴， ∵，∴，，∴， 又∵，∴； （3）解：①∵，∴， ∵，∴，∴，故答案为：；    ②连接，设，则，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴解得：， ∴四边形的面积，故答案为：． 题型四：三角形的两条内角平分线形成的夹角 【典例】（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，，∴． ∵平分，平分，∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，和的平分线相交于点． (1)若，求的度数；(2)把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ，， 和的平分线相交于点，，， ，． （2），理由如下：在中，， 和的平分线相交于点，，， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】(1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】(3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】(1)(2) ；理由见解析(3) 【详解】（1）解：若， 由条件可知 ，∴； 若，∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ， ∵，∴； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线，∴ ， ∴ ； （3）解：．如图，延长，交于点E，由（2）知， ， 由条件可知，∴， ∴ ，即． 【变式3】（24-25七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105 【详解】解：（1）∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴ ． （2）∵、是的三等分线，、是的三等分线， ∴，， ∴ ．故答案为： （3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线， ∴，， ∴ ．故答案为： （4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，∴，，，， ∴ ， ， ∴． 故答案为： （5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线， ∴，，，， ∴ ， ， ∴， ∵∴，∴， 同理可得．故答案为：105 题型五：三角形的一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角 【典例】（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，平分，平分的外角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在中，，，平分，平分的外角， ∴，， ∵，∴，故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，的平分线与外角的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C．25° D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长和交于点G，∵， ∴ ，∴， ∵的平分线与外角的平分线相交于点，∴， ∴故选：C． 【变式2】（25-26·河北·八年级专题练习）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系． (1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ； 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是   ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由． 【答案】(1)30°；50°；1:2(2)成立，见解析 【详解】（1）解：如图2，是等边三角形，，， 平分，平分．，，，； 如图3，是等腰三角形，，，， 平分，平分．，， ，；故答案为，，； （2）解：成立，如图1，在中，，在中，，（1） 平分，平分，，， 又，，（2） 由（1）（2），，． 【变式3】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为____． 【答案】 【详解】解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线， ，，又，， ，，同理可得：， ， 则，∵，，． 【变式4】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，，分别是的内角和外角的平分线，且，平分交于点，连接，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，． 平分，．．，故选项 B 正确； 平分，．，即． 又，，即． ，无法推出，故选项 C 错误； ，且，，故选项 A 正确； 平分，． 在 中，． ，． 又，，故选项 D 正确． 题型六：三角形的两条外角平分线形成的夹角 【典例】（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，的两外角，的平分线交于点P，．则_______． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：， ∵．∴，∴， ∴，∴，故选：A 【变式1】（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，分别是，的外角平分线，(1)若，，那么______．(2)若，求的度数用含α的式子表示）． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，，∴，， 又∵，分别是，的外角平分线， ∴，，∴，故答案为：． （2）解：∵，∴， 又∵，，，∴， ∵，， ∴，∴， ∴，即． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，分别平分的外角，内角，外角．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有___________． 【答案】①③④ 【详解】解：①∵平分，∴， ∵，，∴，∴，故①正确； ②∵，∴，∵平分，， ∴，∴，故②错误； ③在中，，∵平分的外角，∴， ∵，∴，，， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ④∵平分，∴，∵，∴，∴， ∵，即 ∴，∴， ∴，故④正确；故答案为：①③④． 【变式3】（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 【答案】(1)(2)(3)(4)或或或 【详解】（1）解：分别是和的角平分线，， ， ，； （2）解：分别是和的角平分线，， ， ； （3）解：分别是的角平分线，，， ，，， ，， ，； （4）解：是的角平分线，是的角平分线，， ，， ，由（3）知，，， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，，都是锐角， ∴分四种情况讨论：①，，，； ②，，； ③，，，， ④，，解之得：， 综上可知：的度数为或或或． 【巩固训练】 1.（24-25八年级上·新疆·期末）如图，是的角平分线，是的角平分线，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵分别平分和，∴，， ∵，， ∴，， ∴，而，∴．故选：C． 2．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（   ） A．4 B．4.8 C． D．8 【答案】B 【详解】解：由题意得，， 即，解得， 故选：B． 3.（24-25·浙江·八年级专题练习）如图，中，，平分，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵中，，∴设，那么，∴， ∵平分，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴．故选：B． 4．（2025·重庆·三模）如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，∴， ∴，，∴， 在与中，， ∴，∴， ∵，∴的面积，故答案为：． 5．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ． 【答案】/42度 【详解】解：如图，延长交于， ∵两条高交于点O，∴为边上的高，即， ∴，故答案为：． 6.（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图，四边形中，与的角平分线交于点，___________． 【答案】105 【详解】解：四边形的内角和为，， ， 分别是、的角平分线，， ． 7.（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，是一个缺角的三角板模型，现要知道的大小.数学活动课上，小李没有采用先直接量得和的度数，再求得的度数，而是分别画出的角平分线与的外角平分线相交于点，测得，请告知 °. 【答案】 【详解】解：∵的角平分线与的外角平分线相交于点， ∴，， ∴， ∵，∴， ∴，∴，故答案为：； 8．（24-25·浙江·七年级专题练习）∠ACD是△的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点An． 设∠A＝．则＝ ，∠A2021＝ ． 【答案】 【详解】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A， ∵∠A=，∴∠A1=，同理可得：∠An=，∴∠A2021=，故答案为：，． 9．（24-25·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，于，平分交于，交于F．(1)如果，求的度数；(2)试说明：．    【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：，，， 平分交于，，； （2）证明：，， ，，， 平分交于，，，，． 10．（24-25·江苏·八年级统考期末）已知在△ABC中，图1，图2，图3中的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，（1）如图1，点O是△ABC的两个内角平分线的交点，猜想∠O与∠A之间的数量关系，并加以证明．（2）请直接写出结果．如图2，若，△ABC的内角平分线与外角平分线交于点O，则∠O＝________；如图3，若，△ABC的两个外角平分线交于点O，则∠O＝_________． 【答案】（1），证明见解析；（2）；． 【详解】解：（1）． 证明：∵平分，平分，∴，， ∴ ．即． （2）；．如图2所示： ∵平分，平分，∴，， ∴． ∵∴．即． 如图3所示：∵平分，平分，∴，， ∴ ． ∵∴．即．故答案为：；． 11．（24-25·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在中，，、分别在边、上，、相交于点．(1)给出下列信息：①；②是的角平分线；③是的高．请你用其中的两个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明； 条件：______，结论：______．（填序号） 证明： (2)在（1）的条件下，若，求的度数．（用含的代数式表示）    【答案】(1)①②；③；见解答(2) 【详解】（1）条件：①②，结论：③， 证明：∵是的角平分线，∴， ∵，∴， ∵， ∴，∴是的高． 条件：①③，结论：②， 证明：∵是的高，∴，∴， ∵，，， ∴， ∴是的角平分线； 条件：②③，结论：①， 证明：∵是的角平分线，∴， ∵是的高，∴，∴， ∵，，∴； 故答案为：①②；③； 证明：见解答； （2）∵，∴，∵是的角平分线，∴， ∵，∴． 【强化训练】 1．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图．在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③点在的角平分线上；④；⑤若点到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是 ． 【答案】①②③ 【详解】解：为外角的角平分线，平分，，， 又是的外角，，故①正确； ，分别平分，，∴， 则，∴，故②是正确的． 连接，如图所示： ，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点， ∴点在的角平分线上，故③是正确的． ∵，平分， ∴ 平分， ∴∴故④是错误的， ∵，分别平分，，∴点到的距离点到的距离点到的距离， ∴， 故⑤是错误的，故答案为：①②③． 2.（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，，分别平分的内角、外角、外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【详解】解：①平分，，，， ，，，故①正确， ②，，平分，， ，故②正确； ③，，， ，，， ，，，故③正确； ④平分，，，，， 平分，，，， ，， ，，故④正确； ⑤由④得，，，， ，故⑤不正确．故答案为：①②③④． 3.（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】(1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ．(2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】(4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)(4) 【详解】（1）解：在中，，∴， ∵，分别平分和，∴， ∴，∴； （2）解：，理由如下： ∵平分，平分外角，∴，， ∵是的外角，是的外角，∴， ∴，即，∴； （3）解：∵，∴，∴， ∵平分，平分，∴， ∴，∴； （4）解：∵折叠，∴， ∵，∴，∴， ∵平分，平分，由（1）得：． 4．（24-25八年级上·河南许昌·期中）探究与发现： （1）如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD． ①若，则　 　．②若，用含有α的式子表示为　 　． （2）如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由．（3）如图（3），在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：　 　． 【答案】（1）①125°②∠P＝90°＋α；（2）∠P＝（∠A＋∠B）（3）∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）−180° 【详解】解：（1）①∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠ACD ∵∠A＋∠ADC＋∠ACD＝180°∴∠ADC＋∠ACD＝180°−∠A ∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180° ∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°− （∠ADC＋∠ACD） ∴∠P＝180°−（180°−∠A）＝90°＋∠A=90°＋×70°=125° 故答案为：125°； ②∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠ACD ∵∠A＋∠ADC＋∠ACD＝180°∴∠ADC＋∠ACD＝180°−∠A ∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180° ∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°− （∠ADC＋∠ACD） ∴∠P＝180°−（180°−∠A）＝90°＋∠A=90°＋α故答案为：∠P＝90°＋α； （2）∠P＝（∠A＋∠B） 理由如下：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠BCD ∵∠A＋∠B＋∠BCD＋∠ADC＝360°∴∠BCD＋∠ADC＝360°−（∠A＋∠B） ∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°−（∠ADC＋∠BCD） ∴∠P＝180°−[360°−（∠A＋∠B）]＝（∠A＋∠B） （3）∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD∴∠PDC＝∠EDC，∠PCD＝∠BCD ∵∠A＋∠B＋∠E＋∠F＋∠BCD＋∠EDC＝720°∴∠BCD＋∠EDC＝720°−（∠A＋∠B＋∠E＋∠F） ∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°−（∠EDC＋∠BCD） ∴∠P＝180°− [720°−（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）]∴∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）−180° 故答案为：∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）−180°． 5．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值；的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)(2)(3)正确的结论是①，理由见解析 【详解】（1）解：∵平分平分，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，故答案为：； （2）解：∵平分平分，∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴，∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下：同（1）可得， ∵平分平分，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴的值为定值，①正确，其值是． 6.（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，的平分线交于点O，． （1）的度数为_____．（2）若CD平分外角，交BO的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点，则的度数为_____． 【答案】 80° 10° 【详解】（1）解：∵BO平分，CO平分， ∴，. ∵，， ∴， ∴， ∴. （2）解：由（1）知. ∵点E是的两外角平分线的交点， ∴，， ∴ . ∵BO平分，CD平分外角， ∴，. ∵，， ∴ ， ∴. 7．（25-26七年级下·福建泉州·期中）我们曾经研究过三角形双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题，小明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若，则______． (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______． (3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合．若，则为多少度？ (4)【拓展提升】如图4，在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，，、的角平分线交于点G，若，，试探究和，之间的数量关系． 【答案】(1)(2)(3)(4)或或． 【详解】（1）解：，， 、的角平分线交于点P，， ，，； （2）解：的角平分线与的外角的角平分线交于点P， ，，． （3）解：∵平分，平分，∴，（角平分线的定义）， ∴，∴， ∴，∴，∴． 由折叠的性质可得，，∴， ∵，，∴． （4）解：①当点F在点E左侧时，如图所示， ∵，∴．∵平分，平分， ∴，．∵， ∴． ②当F在D、E之间时，如图所示：同理可得，， ， ∴． ③当点F在D点右侧时，如图所示： 同理可得． 综上所述，F在E左侧；F在ED中间；F在D右侧． 8．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）【初步认识】 （1）如图1，在中，平分，平分．若，则______； 如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】（2）如图3，平分外角，平分外角，求证：； 【拓展应用】（3）如图4，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3）的度数为或或或 【详解】（1）解：如图1，∵平分，平分， ∴， ∵，∴； 如图2，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴，整理得，； （2）证明：∵平分外角，平分外角， ∴，． ∵，∴ ， ∴． ∴． （3）解：∵平分，平分，∴，， ∵，∴． 由（1）（2）知，， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ∴①当时，，∴． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ④当时，，解得． 综上，的度数为或或或． 9．（24-25·河南新乡·七年级期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动．(1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点． ①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数； ②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数；        (2)【迁移探究】操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系．    【答案】(1)①；②(2)不变，理由见解析 (3)对于图3；对于图4 【详解】（1）解：①如图所示：       在中，，，， 是的平分线，， 是的一个外角，， 用三角尺作边上的高，垂足为点，； ②如图所示:是的一个外角，， ，； （2）解：不变，理由如下：       由（1）可知，，是的一个外角， ，，； （3）解：如图所示：在中，，，， 是的平分线，， 是的一个外角，， ，；如图所示：    在中，，，， 是的平分线，， ， ，； 综上所述，对于图3；对于图4． 21 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形中的倒角模型（六大类） 1．熟记三角形内角和、外角定理两大核心倒角依据，能快速书写角度等量关系； 2．掌握双角平分线模型（双内、双外、一内一外）、高分线、双垂直与射影模型等6 大类常见倒角模型； 3．能看懂图形中隐藏等角、互补角、倍半角，建立 “见图形→套模型→列等式” 的解题思维； 4．规范几何倒角步骤，熟练用代数设元（设∠1=x）解方程求角度；多步倒角综合大题，等量代换逻辑链条梳理。 1、三角形内角和定理：三角形的内角和为180°。即在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。 推论：直角三角形两锐角互余，即∠C=90°，则∠A+∠B=90°。 2. 三角形外角定理（倒角最常用）：三角形一个外角 = 和它不相邻的两个内角之和。即△ABC 延长BC 到D，则∠ACD=∠A+∠B。 推论：外角＞任意一个不相邻内角；外角 + 相邻内角 = 180°（邻补角） 3. 邻补角、平角、周角 平角：180°； 邻补角两角和 180° ； 周角：360° 4. 对顶角相等。 5. 角平分线定义：若 AD 平分∠BAC，则∠BAD=∠CAD=∠BAC。 6. 垂直、高线：高线→夹角 90°；直角三角形锐角互余 7. 折叠性质：折叠前后对应角相等；折痕为角平分线，隐藏等角 题型01 三角形同一个角的平分线与高线形成的夹角（高分线模型） 【典例】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题重现】沪科版义务教育教科书数学八年级上册第87页第9题原文如下： “如图，在中，平分交于点D，，垂足为点E．若，，求的度数． 受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧． 【问题变式】如图1，将原第9题中“”改为“在上任取一点F，作”，垂足为点E，其他条件不变，直接写出的度数_______； 【继续探究】如图2，将【问题变式】中“在上任取一点F”改为“在的延长线上任取一点F”，其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； 【深度探究】如图3，在中，，，是的平分线，在上任取一点F，过点F作，与的延长线交于点E，请直接写出与，之间的数量关系． 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·期中）在中，是高，是角平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，在中，平分，，若，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，是高，是的平分线．若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26八年级上·山西朔州·期中）综合与实践 【材料准备】量角器、三角尺、直尺、铅笔． 【操作过程】仁仁画了图①所示的图形，在中，，平分，于点，尝试取了几组，的特殊值，并量得的度数，得到表中几组对应值． 的度数 的度数 的度数 【结论探究】（1）若，，则的度数为_____； （2）试探究，与之间的数量关系，并说明理由； 【变式应用】（3）仁仁继续研究，在图①中，其他条件不变，若把“于点”改为“是线段上一点，于点”，如图②，请直接写出，与之间的数量关系． 题型二：双垂直模型（同一个三角形的两条高线） 【典例】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】（2025·陕西·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，是它的两条高，直线交于点F， ． 【变式3】（24-25·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在中，和分别是边上的高，若，，则的值为（　　）． A． B． C． D． 题型三：子母型双垂直模型（射影模型） 【典例】（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，在中，，，为边上的高线．(1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的角平分线分别交于点E、F，求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，于点C，于点D，，，，则点C到的距离是（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 【变式2】（24-25·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    【变式3】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）综合与实践 根据引入概念，理解应用概念． 经历数学概念的学习过程 引 入 概念 概念1 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角相等，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 概念2 连接不等边三角形的一个顶点和它对边上一点的线段，将不等边三角形分成两个小三角形，若一个小三角形为等腰三角形，另一个小三角形与原来三角形互为“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 问题解决 理 解 概 念 任务1 （1）如图1，在中，写出图中两对“等角三角形”． ① ;② ． 任务2 （2）如图2，在中，为角平分线， 证明是的“等角分割线”． 应用概念 任务3 （3）在中，若为的“等角分割线”，写出可能的度数(写出一个即可)． 【变式4】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是AB上一点，且．      (1)求证： 证明：∵在中，（已知） ∴（___________），又∵（已知），∴（等量代换）， ∵（___________），∴，∴． (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，． ①___________；（用含m的代数式表示） ②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示） 题型四：三角形的两条内角平分线形成的夹角 【典例】（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，和的平分线相交于点． (1)若，求的度数；(2)把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 【变式2】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】(1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】(3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【变式3】（24-25七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 题型五：三角形的一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角 【典例】（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，平分，平分的外角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，的平分线与外角的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C．25° D． 【变式2】（25-26·河北·八年级专题练习）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系． (1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ； 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是   ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由． 【变式3】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为____． 【变式4】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，，分别是的内角和外角的平分线，且，平分交于点，连接，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 题型六：三角形的两条外角平分线形成的夹角 【典例】（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，的两外角，的平分线交于点P，．则_______． A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，分别是，的外角平分线，(1)若，，那么______．(2)若，求的度数用含α的式子表示）． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，分别平分的外角，内角，外角．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有___________． 【变式3】（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 【巩固训练】 1.（24-25八年级上·新疆·期末）如图，是的角平分线，是的角平分线，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（   ） A．4 B．4.8 C． D．8 3.（24-25·浙江·八年级专题练习）如图，中，，平分，若，，则（　　） A． B． C． D． 4．（2025·重庆·三模）如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为 ． 5．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ． 6.（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图，四边形中，与的角平分线交于点，___________． 7.（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，是一个缺角的三角板模型，现要知道的大小.数学活动课上，小李没有采用先直接量得和的度数，再求得的度数，而是分别画出的角平分线与的外角平分线相交于点，测得，请告知 °. 8．（24-25·浙江·七年级专题练习）∠ACD是△的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点An． 设∠A＝．则＝ ，∠A2021＝ ． 9．（24-25·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，于，平分交于，交于F．(1)如果，求的度数；(2)试说明：．    10．（24-25·江苏·八年级统考期末）已知在△ABC中，图1，图2，图3中的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，（1）如图1，点O是△ABC的两个内角平分线的交点，猜想∠O与∠A之间的数量关系，并加以证明．（2）请直接写出结果．如图2，若，△ABC的内角平分线与外角平分线交于点O，则∠O＝________；如图3，若，△ABC的两个外角平分线交于点O，则∠O＝_________． 11．（24-25·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在中，，、分别在边、上，、相交于点．(1)给出下列信息：①；②是的角平分线；③是的高．请你用其中的两个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明； 条件：______，结论：______．（填序号） 证明： (2)在（1）的条件下，若，求的度数．（用含的代数式表示）    【强化训练】 1．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图．在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③点在的角平分线上；④；⑤若点到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是 ． 2.（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，，分别平分的内角、外角、外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 ．（填序号） 3.（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】(1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ．(2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】(4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 4．（24-25八年级上·河南许昌·期中）探究与发现： （1）如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD． ①若，则　 　．②若，用含有α的式子表示为　 　． （2）如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由．（3）如图（3），在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：　 　． 5．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值；的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 6.（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，的平分线交于点O，． （1）的度数为_____．（2）若CD平分外角，交BO的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点，则的度数为_____． 7．（25-26七年级下·福建泉州·期中）我们曾经研究过三角形双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题，小明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若，则______． (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______． (3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合．若，则为多少度？ (4)【拓展提升】如图4，在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，，、的角平分线交于点G，若，，试探究和，之间的数量关系． 8．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）【初步认识】 （1）如图1，在中，平分，平分．若，则______； 如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】（2）如图3，平分外角，平分外角，求证：； 【拓展应用】（3）如图4，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 9．（24-25·河南新乡·七年级期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动．(1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点． ①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数； ②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数；        (2)【迁移探究】操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系．    18 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $