高中数学单元测试——第2章一元二次函数、方程和不等式（较难版01）

**基本信息** 高中数学第2章一元二次函数、方程和不等式单元复习卷（较难版），通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，全面考查核心知识，适配单元复习需求，体现数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|不等式性质、解集|基础概念辨析，如第3题解分式不等式| |多选题|3题18分|方程实根、最值|多选项分层考查，如第11题结合条件求最值| |填空题|3题15分|实际应用、恒成立|情境化设计，如第12题杂志销售总收入模型| |解答题|5题77分|二次函数不等式、证明、利润问题、根与系数关系|综合创新，如第19题类比韦达定理推导三次方程根与系数关系，培养推理与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第2章 一元二次函数、方程和不等式（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式的基本性质判断各个选项. 【详解】∵，∴，A选项错误，B选项正确； ，C选项错误， ，D选项错误. 故选：B. 2．（本题5分）下列式子的值比的值大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法比较大小后可得正确的选项. 【详解】因为， 所以， 同理可得均小于． 故选：D. 3．（本题5分）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】利用一元二次不等式的运算法则计算求解． 【详解】，解得， 不等式的解集为，故A正确． 故选：A． 4．（本题5分）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解分式不等式先移项,然后通分,最后化成等价形式解一元二次不等式即可求出解集. 【详解】解分式不等式, 等价于.所以解集为. 故选:A. 5．（本题5分）若关于的不等式的解集中恰有个整数解，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题可先将不等式因式分解，再根据与的大小关系讨论不等式的解集，最后结合解集中恰有个整数解确定的取值范围． 【详解】将不等式因式分解，可得， 当时，此时不等式的解集为， 因为解集中恰有个整数解，那么这两个整数解应为和，所以； 当时，不等式变为，因为任何实数的平方都大于或等于，所以此时不等式无解，不符合题意； 当时，此时不等式的解集为， 因为解集中恰有个整数解，那么这两个整数解应为和，所以； 综上，实数的取值范围为或． 故选：D． 6．（本题5分）已知，，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举反例排除ACD；利用不等式的性质证明B. 【详解】选项 A： ，，则 . 由于，不满足 ，故选项 A 不成立； 选项 B： 因为，所以，， 又因为，由不等式的性质得，故选项 B 成立； 选项 C： 取 ，，则 不满足 ，故选项 C 不成立； 选项 D： 取，，则 . 不满足 ，故选项 D 不成立. 故选：B 7．（本题5分）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．1 B． C．9 D．4 【答案】C 【分析】由题意求出的表达式，利用基本不等式求出取得最大值时，进而代入，结合二次函数性质求解即可. 【详解】由条件正实数，，满足， 可得，所以， 当，即时，等号成立，此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值9，所以的最大值为9， 故选：C. 8．（本题5分）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，求得，得到，进而求得实数的范围，得到答案. 【详解】由正实数满足，可得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 二、多选题 9．（本题6分）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由，得，则，D错误. 故选：AC 10．（本题6分）若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】在题干中的等式两边平方得出，然后对实数的取值进行分类讨论，根据原方程只有一个实数解，可得出关于的等式与不等式，综合可解得实数的取值范围. 【详解】由可得，整理得. 由于方程恰有一个实根，分以下几种情况讨论： （i）当时，或. 若，则，矛盾； 若，则，解得，满足方程； （ii）当时，即当且时， 若，解得， 此时方程为，即，解得， 满足方程； 若，若且， 则在上有且只有一个实数解， 而，故且满足； 若且，则在上有且只有一个实数解， 设，则， 而，故，此时对称轴， 而， 故此时在上无解， 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：BD. 11．（本题6分）已知且，则 （    ） A．的最大值为 B．的最小值为10 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】AD选项，直接使用基本不等式进行求解，得到A正确；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C选项，变形得到，由基本不等式求出答案； 【详解】对于A，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为9，故B错误； 对于C，因为且， 故， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为__________. 【答案】 【分析】根据已知条件列出不等式. 【详解】若提价后该杂志的单价为x元，则销售量为万本， 则提价后销售的总收入为万元， 所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为： . 故答案为： 13．（本题5分）若，为正数，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值. 【详解】由题知，， 当时，即时，的最小值为. 故答案为： 14．（本题5分）已知函数，若在区间上恒大于0，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题意知，当时，，根据基本不等式求出的最小值，即可求出答案. 【详解】由题意知，当时，，即， 所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知二次函数. (1)当且时，解关于的不等式； (2)若的解集是，求，的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将代入，解一元二次不等式即可得解； （2）由题意得是方程的两根，利用根与系数的关系可求得的值. 【详解】（1）当且时， 则不等式，即为 即，解得， 则的解集为. （2）因为的解集是， 所以是方程，即的两根， 则，解得，经检验满足题意. 16．（本题15分）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证明. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18．（本题17分）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质求解； （2）分、、三种情况，再结合根的大小以及一元二次函数的图象求解. 【详解】（1）由题意可知即对一切实数恒成立， 当时，不恒成立，故不符合题意； 当时，则，可得； 综上，的范围为. （2）可化为，即， ①当时，，即， 可得，故不等式的解集为； ②当时，有， 若，即时，可得或，解集为或； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为或； ③当，则，可得，解集为， 综上，当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为 19．（本题17分）（1）若方程的两根分别为、，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明： 类比以上思路，推导一元三次方程（）的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根、、满足，求实数的值. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据韦达定理，可得，代入所求，即可得答案. （2）设有三个不相等的实数根，将可分解因式为，展开整理，待定系数，即可求得答案. （3）由（2）可知，，结合条件，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）由题意， 所以. （2）设有三个不相等的实数根， 则可分解因式为， 打开括号得， 所以有恒成立， 所以等式两边对应系数相等， 所以有. （3）由（2）可知，， 易知， 因为，， 所以有，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第2章 一元二次函数、方程和不等式（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）下列式子的值比的值大的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 4．（本题5分）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）若关于的不等式的解集中恰有个整数解，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（本题5分）已知，，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．1 B． C．9 D．4 8．（本题5分）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 二、多选题 9．（本题6分）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 11．（本题6分）已知且，则 （    ） A．的最大值为 B．的最小值为10 C．的最小值为3 D．的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为__________. 13．（本题5分）若，为正数，且，则的最小值为______. 14．（本题5分）已知函数，若在区间上恒大于0，则实数的取值范围为______. 四、解答题 15．（本题13分）已知二次函数. (1)当且时，解关于的不等式； (2)若的解集是，求，的值. 16．（本题15分）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18．（本题17分）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 19．（本题17分）（1）若方程的两根分别为、，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明： 类比以上思路，推导一元三次方程（）的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根、、满足，求实数的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $