第2章 周末练6 章末检测试卷(二)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

**基本信息** 以章末检测为载体，系统整合集合、不等式、函数等知识，通过分类解析提炼作差比较、基本不等式、分类讨论等方法，强化数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合运算|1题|不等式解法求交集|集合与不等式概念结合| |不等式求解|5题|分类讨论参数、符号法则|从基础到含参不等式的推理| |最值问题|4题|基本不等式“1的代换”|代数变形与逻辑推理结合| |综合应用|3题|数学建模、转化思想|知识迁移与实际问题解决|

周末练6　章末检测试卷(二) [时间：120分钟 分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.已知集合A={x|2<x<4}，B={x|(x-1)(x-3)<0}，则A∩B等于(　　) A.{x|1<x<3} B.{x|1<x<4} C.{x|2<x<3} D.{x|2<x<4} 答案　C 解析　∵A={x|2<x<4}， B={x|(x-1)(x-3)<0}={x|1<x<3}， ∴A∩B={x|2<x<3}. 2.若正数m，n满足2m+n=1，则的最小值为(　　) A.1+ B. C.2+ D. 答案　B 解析　∵正数m，n满足2m+n=1， ∴=(2m+n)+2 当且仅当n=m=-1时取等号. ∴的最小值为. 3.已知0<a<且M=N=则M，N的大小关系是(　　) A.M=N B.M<N C.M>N D.不能确定 答案　C 解析　由0<a< 得a>0，b>0，0<ab<1， 所以M-N= =>0，即M>N. 4.已知2<a<3，-2<b<-1，则m=2a-b的取值范围是(　　) A.6≤m≤7 B.2<m<5 C.4≤m≤7 D.5<m<8 答案　D 解析　由题意可知4<2a<6，1<-b<2， 所以5<m=2a-b<8. 5.不等式|x|(1-2x)>0的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为|x|≥0， 故|x|(1-2x)>0等价于 即x<0或0<x<. 6.已知关于x的不等式ax2-x+c>0的解集为{x|-2<x<1}，则函数y=ax2+x+c的图象为(　　) 答案　B 解析　由题意可知，a<0且 ∴ ∴函数y=ax2+x+c=-x2+x+2的图象为B项. 7.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对∀x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≤2} B.{a|-2<a<2} C.{a|-2<a≤2} D.{a|a<-2} 答案　C 解析　当a-2=0，即a=2时， 不等式为-4<0，对∀x∈R恒成立. 当a≠2时，则 即解得-2<a<2. 综上，实数a的取值范围是{a|-2<a≤2}. 8.记不等式x2+x-2>0，x2-ax+1≤0(a>0)的解集分别为A，B，已知A∩B中有且只有两个正整数，则a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由x2+x-2>0可得，x<-2或x>1，所以A= 因为A∩B中有且只有两个正整数，所以A∩B≠∅， 对于方程x2-ax+1=0(a>0)，判别式Δ=a2-4>0，则a>2， 所以方程的两根分别为x1=x2=则x2>x1>0， 所以B= 因为A∩B中有且只有两个正整数， 当 即时，可得≤a< 当x1=>1时，解得0<a<2，不符合题意， 综上所述，a的取值范围为. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列命题中不正确的是(　　) A.若ab>0，a>b，则 B.若a>b，则a|c|>b|c| C.若a>b，c>d，则a-c>b-d D.若a>b，c<d，则a+c=b+d 答案　BCD 解析　∵ab>0，a>b，∴a·>b·∴故A正确；取c=0，可排除B；取a=3，b=1，c=0，d=-4，此时a-c<b-d，故C错误；取a=3，b=1，c=-4，d=0，此时a+c<b+d，故D错误. 10.对于给定实数a，关于x的一元二次不等式(ax-1)(x+1)<0的解集可能是(　　) A. B. C. D.R 答案　AB 解析　由题意知a≠0，当a>0时，解得-1<x<； 当-1<a<0时，解得x<或x>-1； 当a=-1时，解得x≠-1； 当a<-1时，解得x<-1或x>. 11.已知正实数x，y满足x+=4，下列说法正确的是(　　) A.的最大值是2 B.x-y的最大值是1 C.xy的最小值是2 D.+y的最小值是2 答案　AD 解析　∵x>0，y>0，x+=4， ∴4->0，解得y>∴0<x<4. x+≥2即4≥2 解得0<≤2(当且仅当x=2，y=1时取最大值2)，故A正确； x-y=4--y=4-≤4-2(当且仅当y=x=4-时取最大值4-2)，故B错误； 当x=y=时，满足x+=4，此时xy=1，故C错误； +y= =≥2(当且仅当x=2，y=1时取最小值2)，故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.不等式≤1的解集是　　　　　　. 答案　{x|1<x≤6} 解析　由≤1得≤0， 故解得1<x≤6. 13.某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是　　　　　　　　.(假设每件衬衫的售价是m)  答案　{m|45≤m≤65} 解析　设每件衬衫提价x元，则每件衬衫的售价为(40+x)元， 则每天出售衬衫的净收入为 (40+x-30)(40-x)=(-x2+30x+400)元， 由题可知，-x2+30x+400≥525， 整理得(x-25)(x-5)≤0， 解得5≤x≤25， 则45≤m≤65. 14.已知a>0，b>0，c>0，a2-ab+9b2-5c=0，则的最小值是　　　　.当取最小值时，m2-3m≥a+b-c恒成立，则实数m的取值范围是　　　　. 答案　1　 解析　因为a2-ab+9b2-5c=0， 所以=1，当且仅当即a=3b时等号成立. 当a=3b时，c=3b2，a+b-c=-b2+4b，所以当b=2时，a+b-c取得最大值4， 所以由m2-3m≥a+b-c恒成立可得，m2-3m≥4，解得m≤-1或m≥4. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)(1)比较x3与x2-x+1的大小；(6分) (2)已知a>b>c，且a+b+c=0， 求证：.(7分) (1)解　作差得，x3-(x2-x+1)=(x3-x2)+(x-1)=x2(x-1)+(x-1)=(x2+1)(x-1)， 当x=1时，x3-(x2-x+1)=0，故x3=x2-x+1； 当x>1时，x3-(x2-x+1)>0，故x3>x2-x+1； 当x<1时，x3-(x2-x+1)<0，故x3<x2-x+1. (2)证明　∵a>b>c，且a+b+c=0， ∴c<0. ∵a>b>c，∴a-c>b-c>0， 取倒数得. 由于c<0，∴得证. 16.(15分)已知a>0，b>0，且ab-b+2=0. (1)求ab+的最小值；(7分) (2)求+2b的最小值.(8分) 解　(1)因为a>0，b>0，且ab-b+2=0，所以ab=b-2>0，所以b>2， 则ab+=b-2+=b+1+-3. 因为b>2，所以b+1>3，所以b+1+≥8， 当且仅当b+1=即b=3，a=时，等号成立， 则b+1+-3≥5，即ab+≥5， 故ab+的最小值是5. (2)因为a>0，b>0，且ab-b+2=0，所以a+=1， 所以+2b==2ab++5. 因为a>0，b>0，所以2ab>0>0， 则2ab+≥4， 当且仅当2ab=即a=b=3时，等号成立， 所以2ab++5≥9，即+2b≥9， 故+2b的最小值是9. 17.(15分)(1)若关于x的不等式ax2-2x+3≤0在x∈R上有解，求实数a的取值范围；(6分) (2)若关于x的不等式-2≤ax2-2x+3≤2恰有一个实数解，求实数a的值(或取值范围).(9分) 解　(1)①当a=0时，由-2x+3≤0， 解得x≥满足题意； ②当a<0时，令y=ax2-2x+3，则此二次函数的图象开口向下，满足题意； ③当a>0时，Δ=4-12a≥0，解得a≤ 综上所述，实数a的取值范围为. (2)当a=0时，-2≤-2x+3≤2， 即≤x≤不满足条件，舍去； 当a≠0时，令y=ax2-2x+3， 若a>0，则函数y=ax2-2x+3的图象开口向上， ∴函数的最小值为2，∴=2，∴a=1； 若a<0，则函数y=ax2-2x+3的图象开口向下， ∴函数的最大值为-2， ∴=-2，∴a=(舍去)， 综上所述，实数a的值为1. 18.(17分)国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元. (1)写出钻石的价值y关于钻石重量x的关系式；(7分) (2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m=n时，价值损失的百分率最大.(10分) (注：价值损失的百分率=×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计) (1)解　由题意可设价值与重量的关系式为 y=kx2(x≥0)， ∵3克拉的钻石的价值是54 000美元， ∴54 000=k·32，解得k=6 000， ∴y=6 000x2， ∴此钻石的价值与重量的关系式为 y=6 000x2(x≥0). (2)证明　若两颗钻石的重量分别为m，n克拉， 则原有价值是6 000(m+n)2， 现有价值是6 000m2+6 000n2， 价值损失的百分率为 ×100% =×100%≤ 当且仅当m=n时，等号成立. ∴当m=n时，价值损失的百分率最大. 19.(17分)(1)问题：正数a，b满足a+b=1，求的最小值.其中一种解法是： (a+b)=1++2≥3+2 当且仅当且a+b=1，即a=-1且b=2-时取等号. 学习上述解法并解决下列问题： 若实数a，b，x，y满足=1，试比较a2-b2和(x-y)2的大小，并指明等号成立的条件；(8分) (2)利用(1)的结论，求M=的最小值，并求出使M取得最小值时m的值.(9分) 解　(1)a2-b2=(a2-b2)×1=(a2-b2)=x2+y2- 又≥2=2|xy|，当且仅当时等号成立， 所以a2-b2=x2+y2-≤x2+y2-2|xy|≤x2+y2-2xy=(x-y)2， 即a2-b2≤(x-y)2，当且仅当且x，y同号时等号成立.此时x，y满足=1. (2)令x=y=构造=1求出a2=1，b2= 由M=可得m≥1，且4m-3=m-1+(3m-2)>m-1，故M>0， 由(1)的结论可得M=x-y≥. 当且仅当时等号成立，此时m=. 即当m=时，M取得最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $