第二章 二次函数与一元二次方程、不等式（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第一册

该高中数学单元复习讲义以二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的内在关联为核心，通过表格对比（如基本不等式与重要不等式的条件及等号成立情况）、知识框架图梳理不等关系、比较大小、不等式性质等基础知识点，清晰呈现Δ三种情况对应的解集规律等重难点分布。 讲义亮点在于“问题情境-方法提炼-分层训练”的设计，如通过房屋造价实际问题（题型05）培养数学建模与运算能力，含参不等式分类讨论（题型08）强化逻辑推理，典例与变式题组满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生用数学思维解决问题的能力。

第二章 二次函数与一元二次方程、不等式 教学目标 1. 理清二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者内在关联，熟练掌握一元二次不等式解法，能结合图像求解解集，会处理简单含参不等式。 2. 借助图像数形结合分析代数问题，掌握分类讨论、分离参数等方法，提升代数运算、图像分析与逻辑推理能力。 3. 感受数形结合、转化化归思想，养成严谨审题规范解题习惯，能建立二次不等式模型解决实际最值、恒成立问题。 教学重难点 重点 1. 利用二次函数图像解一元二次不等式，掌握Δ三种情况对应的解集规律。 2. 理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的相互转化关系。 3. 一元二次不等式恒成立、区间最值题型的基础解题思路。 难点 1. 含参一元二次不等式的完整分类讨论（二次项系数、判别式、两根大小）。 2. 给定区间上二次函数最值分析，结合恒成立问题求参数范围。 3. 灵活运用数形结合思想，实现图像与代数不等式之间快速转换。 知识点01 不等关系 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 知识点02 比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b._________．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 知识点03 等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4　可乘性：如果a＝b，那么_________； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒；②a<b<0⇒；③a>b>0，0<c<d⇒；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质___________________________； ②假分数的性质___________________________. 知识点04 两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2. 基本不等式的常见变形 (1).(2). 知识点05 基本不等式与最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值_________； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值_________. 从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：__________________． 2．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 知识点06 一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 知识点07 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． (1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的_________． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △>0 △=0 △<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} (1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：__________________ (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点08 一元二次不等式恒成立、有解问题 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件_________． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 题型01 比较两个实数（式子）的大小 【典例1】（多选）已知，下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（多选）若，则下列命题正确的是（  ） A．若且，则 B．若，则 C．若且，则 D． 【变式2】（多选）已知实数满足，则下列不等式正确的是（   ） A．> B．> C．≥ D．> 【变式3】设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型02 不等式的性质判断正误 【典例1】（多选）若，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）[多选]下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式2】已知a，b，c满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知非零实数，满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 题型03 利用不等式的性质求取值范围 【典例1】已知，则的取值范围为___________． 【变式1】已知，则的取值范围是___________ 【变式2】若实数，满足，，则的取值范围是________． 【变式3】已知，，则的取值范围是________． 题型04 基本不等式求最值 【典例1】（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【变式1】设为正实数，且，则的最大值为___，的最小值为____． 【变式2】已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【变式3】（多选）已知，，则下列说法正确的有（     ） A．若，则的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最小值为4 D．若，则的最小值为 题型05 基本不等式的实际应用 【典例1】某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【变式1】设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___________． 【变式2】某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【变式3】某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 题型06 不等式的证明 【典例1】已知为正实数．证明：． 【变式1】对任意实数，.求证： 【变式2】（多选）已知，且，则（    ） A． B．存在使得 C．不存在使得 D． 【变式3】已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型07 解不含参数的一元二次不等式(含分式不等式） 【典例1】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式1】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知正数x，y满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型08 含参数的一元二次不等式 【典例1】已知不等式的解集中恰好有两个偶数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若关于的不等式的正整数解只有1个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 题型09 一元二次不等式求参数问题 【典例1】若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知关于的不等式的解集为，则的最小值为（   ） A．8 B．12 C． D． 【变式2】设，若不等式的解集是，则的值为（    ） A．36 B．8 C．3 D． 【变式3】若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型10 一元二次不等式恒成立和有解问题 【典例1】已知函数，若满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式1】“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【变式2】使得，为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 1．某企业原来生产某种产品（万件）可获利（万元），且满足.现该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元.由市场调研分析得知，当前产品供不应求.记该企业优化后的产品的利润为（单位：万元）. (1)求函数的解析式； (2)当优化后的产品产量为多少万件时，该企业的利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 2．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．已知. (1)若，求x的取值范围； (2)求y的最小值. 4．（多选）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．若点是抛物线上的两点，若，则 5．若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 7．已知，且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； 8．某学校引入种植类劳动教育课程，打算围成如图所示的四块全等的长方形田地种植不同种类的蔬菜，其中一面可以利用原有的墙（足够长），其他各面需要用篱笆围成，设其中一块田地为矩形. (1)若每块田地的面积为，要使围成四块田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长和宽各为多少？ (2)现有40m长的篱笆，要使每块田地的面积最大，应该设计田地的长和宽各为多少？ 9．（多选）若实数a，b满足，，则下列说法正确的为（    ） A．当时，的最大值为16 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 10．选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 1．已知的图象经过点，则_____；若方程有两个不等实数根，满足，则实数的取值范围为_____． 2．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 4．设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（多选）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 6．（多选）已知且，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为6 C．的最大值为 D．的最小值为9 7．（1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 8．（多选）若正实数满足，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 9．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知关于的不等式的解集为，其中． (1)若，求的值； (2)求不等式的解集. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 二次函数与一元二次方程、不等式 教学目标 1. 理清二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者内在关联，熟练掌握一元二次不等式解法，能结合图像求解解集，会处理简单含参不等式。 2. 借助图像数形结合分析代数问题，掌握分类讨论、分离参数等方法，提升代数运算、图像分析与逻辑推理能力。 3. 感受数形结合、转化化归思想，养成严谨审题规范解题习惯，能建立二次不等式模型解决实际最值、恒成立问题。 教学重难点 重点 1. 利用二次函数图像解一元二次不等式，掌握Δ三种情况对应的解集规律。 2. 理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的相互转化关系。 3. 一元二次不等式恒成立、区间最值题型的基础解题思路。 难点 1. 含参一元二次不等式的完整分类讨论（二次项系数、判别式、两根大小）。 2. 给定区间上二次函数最值分析，结合恒成立问题求参数范围。 3. 灵活运用数形结合思想，实现图像与代数不等式之间快速转换。 知识点01 不等关系 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 知识点02 比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 知识点03 等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒；②a<b<0⇒；③a>b>0，0<c<d⇒；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质； ②假分数的性质. 知识点04 两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2. 基本不等式的常见变形 (1).(2). 知识点05 基本不等式与最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 知识点06 一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 知识点07 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． (1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △>0 △=0 △<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} (1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点08 一元二次不等式恒成立、有解问题 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 题型01 比较两个实数（式子）的大小 【典例1】（多选）已知，下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】选项A. ，取，则， 则不成立，故选项A错误；     选项B. ，，，，故选项B正确； C.，，， ，，，，，，故选项C错误； D. ， ，，， ，故选项D正确. 【变式1】（多选）若，则下列命题正确的是（  ） A．若且，则 B．若，则 C．若且，则 D． 【答案】BD 【分析】应用特殊值法判断A，作差法结合不等式性质判断B，C，D. 【详解】对于A选项，若且，取则 ，A错； 对于B选项，若，则 ，B对； 对于C选项，若且，则， 则 ，故  ，C错； 对于D选项，   ， 当且仅当 时，等号成立，故 ，D对.   【变式2】（多选）已知实数满足，则下列不等式正确的是（   ） A．> B．> C．≥ D．> 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，所以，故A正确. 对于B，，故B正确. 对于C，举反例，时，，故C错误. 对于D，，由于，所以，即，故D正确. 【变式3】设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 因为， 所以， 所以，因此， 因为， 所以，即. 题型02 不等式的性质判断正误 【典例1】（多选）若，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，由，得，则，即，A错误； 对于B，由，得，则，即，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，由，得，D正确. 【变式1】（多选）[多选]下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【分析】利用不等式的性质，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，因为，不等式两边同除以，可得，故A正确； 对于B，因为，所以，又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又，所以，故C不正确； 对于D，令， 则，解得，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，故D不正确. 【变式2】已知a，b，c满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质可判断ABD，举反例排除C. 【详解】因为 ，不等式 两边同除以正数，不等号方向不变，因此 一定成立，A正确； 由 得 ，又 ，负数除以负数结果为正，因此 一定成立，B正确； 取，满足条件，但此时，C错误； 由得 ，且，正数除以负数结果为负，因此一定成立，D正确. 【变式3】已知非零实数，满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质判断A，B；利用作差法判断C，D. 【详解】易知，，故A错误，B正确； 对于C，移项作差，得， 因为不能判断的正负， 所以不能确定的正负， 所以不能判断的大小关系，故C错误； 对于D，移项作差，， 所以，故D错误. 题型03 利用不等式的性质求取值范围 【典例1】已知，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】由于， 则，所以, 即, 则的取值范围为; 故答案为： 【变式1】已知，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】先根据的范围求出的范围，再与的范围相加，从而得到的取值范围. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 即的取值范围为． 故答案为： 【变式2】若实数，满足，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出的范围，然后结合不等式的性质进行计算. 【详解】由于，则； 由于，则， 两式相加，则. 故答案为： 【变式3】已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】，，， 的取值范围是. 故答案为： 题型04 基本不等式求最值 【典例1】（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）14；（2）（i）（ii）4 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 【变式1】设为正实数，且，则的最大值为___，的最小值为____． 【答案】 【详解】而为正实数，则，故的最大值为， 当且仅当时，取得最大值． 令，， ， ， 又， ， 当且仅当时，即时取得最小值， 的最小值为． 【变式2】已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 【变式3】（多选）已知，，则下列说法正确的有（     ） A．若，则的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最小值为4 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式即可判断A；利用拼凑法和基本不等式即可判断B；利用和基本不等式即可判断C；将拆分成，再利用基本不等式即可判断D， 【详解】对于A，已知，，由基本不等式有， 两边平方得，当且仅当 ，即，时等号成立，故A正确； 对于B，因为，所以， 由基本不等式有， 当且仅当 ，即时等号成立， 因为，所以，故B错误； 对于C，已知，，由可得， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，已知，，，则，， ， 由基本不等式有， 当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当，，即，时等号成立，故D正确. 题型05 基本不等式的实际应用 【典例1】某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1)（）. (2)当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 【分析】（1）根据各个面的面积直接写出总造价； （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由地面面积为，得房屋侧面的宽度为， 所以房屋正面的造价为， 房屋侧面的造价为， 所以房屋的总造价为. （2）由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 【变式1】设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】设，根据条件先分析出的取值范围，然后根据与全等表示出，结合三角形面积公式以及基本不等式可求解出面积的最大值. 【详解】设，点翻折后的位置为点， 因为矩形周长为，所以，所以， 又因为，所以，解得，所以， 因为， 所以与全等，所以， 设，则， 在中，，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，满足， 所以， 故答案为：. 【变式2】某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【变式3】某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 【答案】(1)9平方米. (2)当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 【分析】（1）由，结合一元二次不等式求解即可； （2）由题意得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1），且， ， 即， 解得或（舍）， ，当且仅当时，等号成立. 所以当正面和侧面长均为3米时，展房占地面积最少为9平方米. （2）由题知， 总造价为 当即时，上式等号成立， 所以当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 题型06 不等式的证明 【典例1】已知为正实数．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】先证明，然后利用柯西不等式的性质证明即可. 【详解】先证明， 原不等式， ， ． 由柯西不等式得 【变式1】对任意实数，.求证： 【答案】 证明：因为，， 所以，， 令，， 则 当且仅当，即时等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立. 【变式2】（多选）已知，且，则（    ） A． B．存在使得 C．不存在使得 D． 【答案】ACD 【分析】应用不等式性质计算判断A，D，应用基本不等式计算判断B，反证法计算判断C， 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于C，由，得，则， 若存在使得，则与已知相矛盾，C正确； 对于B，由且，得，B错误； 对于D，，D正确. 故选：ACD. 【变式3】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式，结合比较法逐一判断即可. 【详解】A：当时，，所以不正确； B：， 因为，，所以当时，， 当时，，当时，，因此不正确； C：因为，，所以有，正确； D：因为，，所以有， 即，所以不正确. 故选：C 题型07 解不含参数的一元二次不等式(含分式不等式） 【典例1】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 且，即，即， 不等式两边同时乘以，得， 解得，故解集为. 【变式1】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由不等式，即， 则，解得，即， 所以不等式的解集为． 【变式2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，解得， 所以，又，所以. 【变式3】已知正数x，y满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过均值不等式求解出范围后通过恒成立条件求解范围. 【详解】因为，所以. 所以对于，可以看作， 因为，当且仅当时成立，所以， 解得. 题型08 含参数的一元二次不等式 【典例1】已知不等式的解集中恰好有两个偶数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解，分三种情况讨论，即可得出结果. 【详解】由，得， 当时，此时，不等式的解集为，不合题意，舍去； 当时，此时，不等式的解集为， 此时若有2个偶数解，则需，解得； 当时，此时，不等式的解集为， 此时若有2个偶数解，则需，解得. 综上，实数的取值范围为，故C正确. 故选：C． 【变式1】若关于的不等式的正整数解只有1个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过因式分解简化不等式，再结合参数符号分析解集范围，最终根据正整数解的数量限制确定参数的取值范围. 【详解】由，得． 当时，该不等式的解集中有无数个正整数，不符合题意，舍去； 当时，该不等式的解集为，则，解得7． 故选：A 【变式2】已知不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，且是方程的两根，由韦达定理得，代入 中，因式分解即可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且是方程的两根， 由韦达定理得，即. 所以不等式可化为即， ，则， 所以不等式的解集为. 故选：A 【变式3】关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】对进行分类讨论即可求解 【详解】当时，不等式即为，此时不等式的解集为，故D正确； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为，故B正确 当时，不等式即为，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，故C正确. 综上所述，不等式的解集可能为BCD，不可能为A. 故选：A 题型09 一元二次不等式求参数问题 【典例1】若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而可以求出结果. 【详解】． 若，则原不等式的解集为，则，得； 若，则原不等式的解集为空集，不符合题意； 若，则原不等式的解集为，则，得． 综上所述，的取值范围为． 故选：D 【变式1】已知关于的不等式的解集为，则的最小值为（   ） A．8 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式解集与方程根的关系可得，再由对勾函数单调性即可求得最小值. 【详解】由题中条件可知，是方程的两个根， 则，, 所以， 又，令， 可知该函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 则的最小值为． 故选：C 【变式2】设，若不等式的解集是，则的值为（    ） A．36 B．8 C．3 D． 【答案】D 【分析】结合一元二次不等式的解集分析即可求解. 【详解】因为不等式的解集是，设，则，且，则不等式的解集为，所以2，是方程的两根，由韦达定理可知解得，， 故选：D. 【变式3】若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式与方程的关系得，，进而转化为解不等式即可. 【详解】因为关于的不等式的解集是 所以，方程的两个实数根 所以，，即， 所以， 因为， 所以，分解因式，解得 所以不等式的解集为 故选：A 题型10 一元二次不等式恒成立和有解问题 【典例1】已知函数，若满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解析： 或． 综上所述或. 【变式1】“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出原命题恒成立时的取值范围，再寻找该范围的真子集，即为充分不必要条件． 【详解】若，恒成立，则，故， 解得． 要求充分不必要条件，即求的真子集， 观察选项可知，C选项满足题意． 故选：C． 【变式2】使得，为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先研究真命题的充要条件，再分析必要条件就是满足真包含的集合即可. 【详解】若，为真命题，则时，， 而，故当时，取到最大值6，故， 因此是所求必要不充分条件的范围的真子集， 故选项中只有满足条件， 故选：C 【变式3】已知，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先代入化简函数差值得到线性式，再分离参数 ，结合存在性问题的特点，只需 小于等于右侧函数在区间上的最大值，最后通过求最值确定 的取值范围. 【详解】因为， 又因为“存在 使得 ”成立， 等价于：，整理得：，即， 因为 ，所以 ，不等式可化为， 要使该不等式在 上有解，只需 小于等于 在区间上的最大值， 所以 在 上单调递减，最大值为 ， 因此，即 . 故选：C. 1．某企业原来生产某种产品（万件）可获利（万元），且满足.现该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元.由市场调研分析得知，当前产品供不应求.记该企业优化后的产品的利润为（单位：万元）. (1)求函数的解析式； (2)当优化后的产品产量为多少万件时，该企业的利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【答案】(1) (2)生产3万件产品时利润最大，最大利润为390万元 【分析】（1）根据题意直接写出解析式； （2）当时，利用二次函数性质求最值，当时，利用基本不等式求最值，综合两段函数求最值. 【详解】（1）由题意得， （2）当，， 故当时，取最大值，； 当时，， 当且仅当，即时，为最大值. 因此，优化后产品产量为3万件时，企业获最大利润万元 2．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】含参分类讨论解不等式即可. 【详解】由可得，显然此时不等式无解； 若，此时不等式解集为，要满足题意需该区间有且仅有整数，则； 若，此时不等式解集为，要满足题意需该区间有且仅有整数，则； 综上或. 故选：C 3．已知. (1)若，求x的取值范围； (2)求y的最小值. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由得出，将不等式变形为，解此不等式，结合可得出原不等式的解集. （2）y与x之间的关系化简为，利用基本不等式可求得y的最小值. 【详解】（1）由可得，由可得，即， 解得或， 由于，因此，x的取值范围为. （2）由可得，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号. 因此y的最小值为. 4．（多选）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．若点是抛物线上的两点，若，则 【答案】AB 【分析】根据二次函数的图象性质对每个选项进行判断即可. 【详解】因为二次函数的图象与轴的一个交点为， 则. 由图象可以看出，. 因为二次函数的对称轴为，所以，即. 所以，所以A正确； 将代入中，得，所以C错误； 因为，，所以. 所以，即，所以B正确； 对于选项D，当均在对称轴左侧，由于在对称轴左侧抛物线是单调递减的， 所以如果，则，所以D错误. 故选：AB. 5．若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】利用不等式性质判断A；举例说明判断BD；作差比较大小判断C. 【详解】对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，取，得，B错误； 对于C，，由，得， 则，，即，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：A 6．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由题易得，，，据此可判断①；又函数过，可得，结合，，可得的范围判断②；又，结合，可得即可判断③；由题知即可判断④. 【详解】根据题意，，因为二次函数过点，所以， 又顶点在第一象限，所以对称轴，则，即，故①正确； 二次函数图像过，所以，则， 又，，所以，则，故②正确； 由，所以，又，所以，故③正确； ，故④正确. 故选：D. 7．已知，且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）利用基本不等式求出最小值. （2）根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即得范围. 【详解】（1）由，得，当且仅当，即，时取等号. 则，而，解得，所以的最小值为16. （2）由，，得， 因此， 当且仅当，即，时取等号， 所以的取值范围为. 8．某学校引入种植类劳动教育课程，打算围成如图所示的四块全等的长方形田地种植不同种类的蔬菜，其中一面可以利用原有的墙（足够长），其他各面需要用篱笆围成，设其中一块田地为矩形. (1)若每块田地的面积为，要使围成四块田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长和宽各为多少？ (2)现有40m长的篱笆，要使每块田地的面积最大，应该设计田地的长和宽各为多少？ 【答案】(1)=6m，=4m (2)=5m，= 【分析】（1）设长为，宽为，则围成四块田地的篱笆总长为，然后由基本不等式可得答案； （2）设长为，宽为，则，然后由基本不等式可得答案. 【详解】（1）设长为，宽为， 则围成四块田地的篱笆总长为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故应设计田地的长为6m，宽为4m时，可使围成四块田地的篱笆总长最小； （2）设长为，宽为，则，即， 所以，当且仅当时等号成立， 故应设计田地的长为5m，宽为时，可使每块田地的面积最大. 9．（多选）若实数a，b满足，，则下列说法正确的为（    ） A．当时，的最大值为16 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】BD 【分析】利用基本不等式的变形，结合整体法逐一分析判断即可. 【详解】A错，当时，，， 解得，当且仅当时等号成立， 故有最大值，最大值为18. B对，当时，，则， 所以，即， 当且仅当时，有最小值，最小值为. C错，当时，，则， 当时，，当且仅当时等号成立， 此时无解； 当时，，当且仅当时等号成立， 此时解得或，故ab有最小值. D对，当时，，， 则，当且仅当或时等号成立， 故有最小值，最小值为. 故选：BD. 10．选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 1．已知的图象经过点，则_____；若方程有两个不等实数根，满足，则实数的取值范围为_____． 【答案】 1 【分析】第一空，代入点的坐标即可求得；第二空，根据方程根满足条件列不等式组，即可解得结果. 【详解】由题知，当时，，解得， 所以，又方程有两个不等实数根， 则，又因为，所以，得到， 由，得到或，所以． 故答案为：1；． 2．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：利用待定系数法，结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 方法二：利用双换元法，结合不等式的性质求得正确答案. 【详解】方法一：设，则， 所以解得即， 因为则 因此． 方法二：设，则， 所以， 又因为，所以， 因此． 故选：D 3．已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． (3) 【分析】（1）求出方程的根后可得不等式的解； （2）就、、分类讨论后可得不等式的解； （3）根据二次函数的对称轴可得不等式的三个不同的整数解，从而可得实数的取值范围． 【详解】（1）当时，， 所以方程的根为或－3， 所以不等式的解集为． （2）若，即，此时二次函数的图象在轴上方， 不等式的解集为； ②若，即，此时方程为， 只有一个根，不等式的解集为； ③若，即， 此时方程的两根分别为，， 不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）因为，故抛物线的对称轴为且开口向上， 而不等式的解集中恰有三个整数解， 故且，在不等式的解集中（、关于对称）， ，不在不等式的解集中（、关于对称）， 故， 故. 4．设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据题设先得到，应用韦达定理将目标式化为关于的表达式，即可求最大值. 【详解】由题设，可得， 结合已知有，且，， ， 当时，取得最大值10. 故选：C 5．（多选）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误. 【详解】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD 6．（多选）已知且，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为6 C．的最大值为 D．的最小值为9 【答案】AB 【分析】根据基本不等式以及函数关系，可得答案. 【详解】对于A，由，则，当且仅当时等号成立， 整理可得，解得，即，故A正确； 对于B，由，则，当且仅当时等号成立， 整理可得，解得，故B正确； 对于C，由，当时，整理可得， 由，则，即，解得， 所以，故C错误； 对于D，由，当时，整理可得， 由，则，即，解得， 则， 当且仅当等号成立，故D错误. 故选：AB. 7．（1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 【答案】（1） 的取值范围为； 的取值范围为； 的取值范围为. （2） 当时，； 当时，； 当时，． 【分析】（1）结合不等式的基本性质即可求解. （2）利用作差法进行比较，先对代数式作差得出；再分类讨论即可得出结果. 【详解】（1）因为， 所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 当时，两个不等式相加乘可得：，即； 当时，两个不等式相加乘可得：，即， 所以． 的取值范围为； 的取值范围为； 的取值范围为. （2）． 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时．     综上可得：当时，； 当时，； 当时，． 8．（多选）若正实数满足，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】由，可判断A；利用基本不等式1的代换可求得的最小值可判断B；利用可求最大值可判断C；根据，结合二次函数可求最小值. 【详解】由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； ，当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值是9，故B错误； ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是，故C正确； ， 当时，取得最小值，故D正确. 故选：ACD. 9．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解． 【详解】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 10．已知关于的不等式的解集为，其中． (1)若，求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系，结合韦达定理可得结果. （2）讨论的范围，解一元二次不等式可得结果. 【详解】（1）当时，关于的方程的两根为， 由韦达定理可得，解得. （2）原不等式可化为. 当时，原不等式为，解得，； 当时，方程的根为，， 当时，不等式可化为，解得或， ； 当，即时，原不等式为，； 当，即时，不等式可化为，解得，； 当，即时，不等式可化为，解得，. 综上所述，当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $