专题2.1 等式性质与不等式性质（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第一册

本讲义聚焦等式与不等式性质核心知识点，先通过实数符号法则与比较大小法则奠定基础，再系统梳理不等式的对称性、传递性等性质，最后结合作差法、作商法等方法实现代数式大小比较与变形，构建完整学习支架。 该资料以类比思想推导不等式性质，培养学生归纳推理能力，结合乘车行李规定等实际问题引导用数学眼光观察现实，通过即学即练与题型分类训练提升逻辑思维。课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固易错点，强化知识应用。

专题2.1 等式性质与不等式性质 教学目标 1. 知学生能够精准识记等式的基本性质与不等式的八条核心性质，清晰区分等式与不等式性质的异同，熟练掌握不等式的移项、加减、乘除、乘方、开方等变形规则，能准确完成简单等式与不等式的恒等变形、不等变形运算。 2. 通过类比等式性质推导不等式性质的探究过程，培养学生类比推理、归纳总结的数学思维能力；借助例题辨析易错变形问题，提升学生严谨的逻辑推理能力和规范的代数运算能力，掌握利用不等式性质比较实数大小的基本方法。 3. 让学生体会数学知识之间的关联性与逻辑性，感受类比思想在数学学习中的重要作用；培养学生严谨求实的数学学习态度，养成规范推理、细心运算的良好解题习惯，增强学生学习不等式知识、解决代数问题的自信心。 教学重难点 重点 1. 掌握等式的基本性质，熟练理解并记忆不等式的全部核心性质，明确每一条性质的适用条件与变形规律。 2. 能够灵活运用不等式的性质进行代数式大小比较、不等式化简变形、简单不等式推导等基础运算。 3. 精准区分等式与不等式性质的区别，掌握不等式变形中符号变化的核心规则。 难点 1. 理解不等式性质中乘除负数、乘方、开方的限制性条件，攻克“不等号方向改变”的易错点，避免机械套用公式出错。 2. 掌握多个不等式叠加、同向不等式乘除的变形规则，能严谨判断复杂代数式变形后的不等关系。 3. 灵活运用类比思想、不等式性质解决综合性比较大小、参数范围推导问题，突破性质的灵活应用与逆向应用难点。 知识点01 符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变，符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数，符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数，符号语言： ④任何实数的平方为__________，0的平方为0，符号语言：，. 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①；②；③. 对于任意实数、，，，三种关系有且只有__________成立. 【即学即练】 1．中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 3．下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为（    ） A． B． C． D． 知识点02 不等式的性质 基本性质有： (1)对称性：(2)传递性： (3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b， 运算性质有： (1)可加法则： (2)可乘法则： (3)可乘方性： 【即学即练】 1．若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 2．（多选）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 知识点03 比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以__________后比较与0的关系，进一步比较与的大小. ①；②；③. 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小. ①；②；③. 中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择__________为中间量. 【即学即练】 1．（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 2．若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（1）比较与的大小； （2）已知，试比较和的大小. 题型01 用不等式(组)表示不等关系 将不等关系表示成不等式(组)的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接.(3)多个不等关系用不等式组表示. 【典例1】在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 题型02 作差法比较两数(式)的大小 作差法核心步骤：先对两个代数式作差，整理差式，通过因式分解、配方等方式化简。判断差值正负，差大于零则前者更大，小于零则后者更大，等于零两数相等。配方多用于二次式，因式分解适合多项式。做题务必化简彻底，不能直接粗略判断；注意含参数式子要分类讨论取值范围，避免片面判定大小，结合不等式性质严谨推导。 【典例1】比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 【变式1】已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 题型03 利用不等式的性质判断命题真假 运用不等式的性质判断真假的技巧 (1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质. (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. 【典例1】已知，下列不等式中一定成立是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 题型04 利用不等式的性质证明不等式 对利用不等式的性质证明不等式的说明 (1)不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a-b>0⇒a>b；a-b=0⇒a=b；a-b<0⇒a<b.这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础. (2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系. (3)比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用. 【典例1】（1）已知．求证：． （2）已知，求证：的充要条件是． 【变式1】设，使和同时成立的一个充分条件是______． 【变式2】已知为正实数．求证：. 题型05 利用不等式的性质比较大小 先理清已知不等关系，依托不等式八条性质逐层推导。同向不等式可相加，严禁直接相减；正数同向不等式能够相乘，负数相乘务必改变不等号方向。乘除负数时刻谨记翻转符号，区分零、正数、负数三种情况。遇到乘方、开方仅限正数可用。解题切忌随意拼凑不等式，不能主观臆断大小，复杂式子可搭配作差法辅助验证，规避乱用性质造成判断失误。 【典例1】（多选）对于实数、、下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则， D．若，则 【变式1】已知，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）下列命题正确的是（    ） A．“同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件 B．“且”是“”的必要不充分条件 C．“”是“方程有一个实数根”的充要条件 D．“”是“集合或为空集”的充要条件 题型06 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 利用不等式的性质求取值范围的策略 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.如 已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分别求出(x＋y)，－(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 【典例1】已知，，则的取值范围是______. 【变式1】（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 3．已知，，设，，则与的大小关系为______． 4．（多选）下列不等式，其中恒成立的有（   ） A． B． C． D． 5．若，试比较与的大小． 6．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 7．（多选）若，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 9．“，，”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 10．正整数满足，则的最大值为_______． 1．（多选）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是（   ） A．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 2．已知，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．设，，，证明：． 5．（1）已知，，求的取值范围； （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 6．已知实数且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选），运算“”为，则（    ） A． B． C． D．若，则 8．已知、且、，试比较与的大小. 9．设，若不等式的解集是，则等于________． 10．若，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式和均不能成立 B．不等式和均不能成立 C．不等式和均不能成立 D．不等式和均不能成立 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 等式性质与不等式性质 教学目标 1. 知学生能够精准识记等式的基本性质与不等式的八条核心性质，清晰区分等式与不等式性质的异同，熟练掌握不等式的移项、加减、乘除、乘方、开方等变形规则，能准确完成简单等式与不等式的恒等变形、不等变形运算。 2. 通过类比等式性质推导不等式性质的探究过程，培养学生类比推理、归纳总结的数学思维能力；借助例题辨析易错变形问题，提升学生严谨的逻辑推理能力和规范的代数运算能力，掌握利用不等式性质比较实数大小的基本方法。 3. 让学生体会数学知识之间的关联性与逻辑性，感受类比思想在数学学习中的重要作用；培养学生严谨求实的数学学习态度，养成规范推理、细心运算的良好解题习惯，增强学生学习不等式知识、解决代数问题的自信心。 教学重难点 重点 1. 掌握等式的基本性质，熟练理解并记忆不等式的全部核心性质，明确每一条性质的适用条件与变形规律。 2. 能够灵活运用不等式的性质进行代数式大小比较、不等式化简变形、简单不等式推导等基础运算。 3. 精准区分等式与不等式性质的区别，掌握不等式变形中符号变化的核心规则。 难点 1. 理解不等式性质中乘除负数、乘方、开方的限制性条件，攻克“不等号方向改变”的易错点，避免机械套用公式出错。 2. 掌握多个不等式叠加、同向不等式乘除的变形规则，能严谨判断复杂代数式变形后的不等关系。 3. 灵活运用类比思想、不等式性质解决综合性比较大小、参数范围推导问题，突破性质的灵活应用与逆向应用难点。 知识点01 符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变，符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数，符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数，符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0，符号语言：，. 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①；②；③. 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立. 【即学即练】 1．中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据已知写出不等式即可. 【详解】由长、宽、高之和不超过，得， 由体积不超过，得． 故选：C 2．在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【答案】C 【分析】人跑开的路程应大于100米，可得结论. 【详解】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 3．下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非正数含义即可得到答案. 【详解】因为非正数小于等于0，则能表示“a与b的和是非正数”的不等式为. 故选：C. 知识点02 不等式的性质 基本性质有： (1)对称性：(2)传递性： (3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b， 运算性质有： (1)可加法则： (2)可乘法则： (3)可乘方性： 【即学即练】 1．若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【答案】B 【分析】应用不等式性质及特殊值法、作差法判断各项的正误. 【详解】取，有，A错误； 因为，所以，所以，所以，B正确； 取，显然，C错误； 因为，所以，即，D错误． 故选：B 2．（多选）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用不等式性质及所给条件依次判断各项的正误. 【详解】因为，不等式两边同乘，不等号改变方向，所以， 又，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； 因为，所以， 由等价于，由题中条件无法得到此式， 例如取，则，C错误； 因为，所以，所以， 所以，又，所以，D正确． 故选：ABD 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知及不等式的性质依次判断各项的正误即可. 【详解】由，得，而， 所以，得，故，B错误； 因为，所以，所以，A错误； 由两边同时乘以，且，所以，C错误； 由两边同时乘以，且，得，D正确． 故选：D 知识点03 比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小. ①；②；③. 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小. ①；②；③. 中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量. 【即学即练】 1．（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对两个多项式比较大小，一般先作差后分解因式再比较大小．若两式相除可以约去一些公共项，也可选用作商法比较． （2）两个分式比较大小，根据式子特征构造两式之差或商再比较大小即可． 【详解】（1）方法一：作差法． ． 因为，所以，所以， 所以． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 所以． （2）方法一：作差法． ．因为且，所以． 又因为，所以，则 又因为，所以，即． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 因为，由倒数法则可知， 又，所以由不等式的性质得， 则由同向可加性得知， 则，即． 2．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法可得出的大小关系． 【详解】因为，所以． 故选：C. 3．（1）比较与的大小； （2）已知，试比较和的大小. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】（1）利用作差法得出，然后对与的大小进行分类讨论，进而可得出与的大小关系； （2）将、进行分子有理化，结合作商法可得出、的大小关系. 【详解】（1）， 当时，则，则； 当时，则，则； 当时，则，则； （2），则，， ， ， ，所以，， 因此，. 题型01 用不等式(组)表示不等关系 将不等关系表示成不等式(组)的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接.(3)多个不等关系用不等式组表示. 【典例1】在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出不等关系即可. 【详解】由题意得. 故选：D 【变式1】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得． 【详解】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 【变式2】公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知列出不等式，化简即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 题型02 作差法比较两数(式)的大小 作差法核心步骤：先对两个代数式作差，整理差式，通过因式分解、配方等方式化简。判断差值正负，差大于零则前者更大，小于零则后者更大，等于零两数相等。配方多用于二次式，因式分解适合多项式。做题务必化简彻底，不能直接粗略判断；注意含参数式子要分类讨论取值范围，避免片面判定大小，结合不等式性质严谨推导。 【典例1】比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】作差法比较即可 【详解】（1）， 则. （2）， 则 【变式1】已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 【变式2】下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 【答案】D 【分析】利用不等式的性质和作差法来进行不等式变形即可得到判断，对于不成立的不等式可通过举反例来判断. 【详解】对于A；由，可知，所以，故A正确； 对于B；由可得：，因为，所以，故B正确； 对于C；由可得：，又因为所以，故C正确； 对于D；取，则故D错误； 故选：D. 题型03 利用不等式的性质判断命题真假 运用不等式的性质判断真假的技巧 (1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质. (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. 【典例1】已知，下列不等式中一定成立是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例判断ABC即可，利用不等式性质判断； 【详解】对A：当时不成立，故A错误； 对B：当时不成立，故B错误； 对C：当时不成立，故C错误； 对D：因为，所以，则，即成立，故D正确. 故选：D. 【变式1】已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分和两种情况讨论，当时，，当时，；由此可以直接判断AB选项，取特殊值排除C选项，对D选项，由得，再分和两种情况证明. 【详解】A选项，当时，，此时即， 当时，，此时即，所以A错误； B选项，当时，，成立， 当时，，，所以B错误； C选项，当时，取，此时，不满足， 当时，取，此时，不满足，故C错误； D选项，等价于， 当时，，，此时， 当时，，，此时，D正确； 故选：D. 【变式2】下列说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】B 【分析】取特殊值判断ACD，根据不等式的性质及必要条件判断B. 【详解】项，若，，此时，但不满足，故A项错误； B项，根据不等式性质，可由推导出，故是的必要条件，故B项正确； C项，若，，此时，但不满足，故C项错误； D项，若，，此时，但是不满足，故D项错误． 故选：B 题型04 利用不等式的性质证明不等式 对利用不等式的性质证明不等式的说明 (1)不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a-b>0⇒a>b；a-b=0⇒a=b；a-b<0⇒a<b.这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础. (2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系. (3)比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用. 【典例1】（1）已知．求证：． （2）已知，求证：的充要条件是． 【答案】（1）证明: 由，所以． （2）证明: 因为，所以，又， 所以，即，充分性成立； ， 而，所以，即，必要性成立． 综上，的充要条件是． 【变式1】设，使和同时成立的一个充分条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据不等式的性质即可得解. 【详解】根据不等式的性质可知，当时，和同时成立的， 所以“”是“和同时成立”的充分条件， 即只要满足，就均是“和同时成立”的充分条件， 所以充分条件可以是． 故答案为：（答案不唯一） 【变式2】已知为正实数．求证：. 【答案】 证明：因为， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以. 【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证. 题型05 利用不等式的性质比较大小 先理清已知不等关系，依托不等式八条性质逐层推导。同向不等式可相加，严禁直接相减；正数同向不等式能够相乘，负数相乘务必改变不等号方向。乘除负数时刻谨记翻转符号，区分零、正数、负数三种情况。遇到乘方、开方仅限正数可用。解题切忌随意拼凑不等式，不能主观臆断大小，复杂式子可搭配作差法辅助验证，规避乱用性质造成判断失误。 【典例1】（多选）对于实数、、下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则， D．若，则 【答案】ABC 【分析】利用不等式的性质即可判断AB；利用作差法即可判断C；举出反例即可判断D. 【详解】对于A，因为，由不等式的性质可知，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以，故B正确； 对于C，由，可知， 因为，所以，于是， 又因为，所以，，故C正确； 对于D，取，，显然有， 此时，，显然，故D错误. 故选：ABC． 【变式1】已知，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质即可求解ABC，作差即可求解D. 【详解】对于A,由于，故，进而可得，A正确， 对于B，由于，故，B错误， 对于C，当时，，故C错误， 对于D，，由于，故， 但由于的值不确定，无法确定的符号，故D错误， 故选：A 【变式2】（多选）下列命题正确的是（    ） A．“同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件 B．“且”是“”的必要不充分条件 C．“”是“方程有一个实数根”的充要条件 D．“”是“集合或为空集”的充要条件 【答案】AC 【分析】根据同位角相等的判定定理及两直线平行的性质即可判断A；根据不一定推出且成立即可判断B；根据一元二次方程有一个实数根，即即可判断C；根据不一定推出集合或为空集，可以通过举反例来说明即可判断． 【详解】由两直线平行的判定及性质定理得，“同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件，A正确； 充分性：当且时，必有，充分性成立； 必要性：当时，有，即且或且，故不一定有且，必要性不成立， 故“且”是“”的充分不必要条件，B错误； 充分性：当时，方程的，有一个实数根，充分性成立； 必要性：当方程有一个实数根时，，即，必要性成立， 所以“”是“方程有一个实数根”的充要条件，C正确； 充分性：当时，取均不为空集，充分性不成立； 必要性：当或为空集时，一定有，必要性成立， 故“”是“集合或为空集”的必要不充分条件，D错误， 故选：AC． 题型06 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 利用不等式的性质求取值范围的策略 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.如 已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分别求出(x＋y)，－(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 【典例1】已知，，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】由不等式的性质即可求解. 【详解】因为， 所以，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则. 故答案为： 【变式1】（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】A选项，根据条件得到，解得；B选项，根据条件得到，求出；C选项，由不等式的性质可得；D选项，解法一：，结合，可求出；解法二：由不等式性质可得，故. 【详解】A选项，由可得，解得，A错误； B选项，由可得，解得，B错误； C选项，由可得，即，C正确； D选项，解法一：由得，则， 由A知，则， 解法二：已知，即，由知， 所以，即，D正确； 故选：CD 【变式2】若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知的范围求的最小值，用待定系数法或换元法求解. 【详解】法一：设 故且，所以，故， 由于，则， 所以， 整理得，故最小值为， 此时由，可得； 法二：设，则，所以， 由于，所以，故， 即，故最小值为，同法可得． 故选：B 1．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】．当时，结合，可得．反之，如，亦成立，却推不出．故“”是“”的充分不必要条件． 2．已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)解法1  因为且，所以， 因为，两边取倒数得， 又，则，从而得证． 解法2  因为且，所以， 因为， 所以，即． (2)因为且， 所以，，则，， 由，可得，即， 所以，即．综上，． 【详解】（1）略 （2）略 3．已知，，设，，则与的大小关系为______． 【答案】 【详解】．因为，，所以，，，所以，所以． 4．（多选）下列不等式，其中恒成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由，知A正确；由，知B错误；由，知C错误；由，知D正确． 5．若，试比较与的大小． 【答案】 【分析】分组因式分解，得到，结合条件即得. 【详解】 ， 因为，所以， 故. 6．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即. 【详解】这一事实表示为一个不等式为． 证明：， 又，， ，即， 即. 故选： 7．（多选）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用作差法，适当放缩比较、和、的大小，得到、、的大小关系即可求解. 【详解】，，， ， 所以， ， 所以，所以， 所以B、C、D正确，A错误. 故选：BCD 8．（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 【答案】（1），（2） 【分析】（1）（2）利用作差法即可求解. 【详解】（1）， 由于，所以，所以， 故 （2）， 因为，即 所以. 9．“，，”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性可得结论. 【详解】若，，，由不等式性质可得， 所以“，，”是“”的充分条件， 取，，满足，但不满足， 所以“，，”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 10．正整数满足，则的最大值为_______． 【答案】/ 【分析】当取最小的正整数时，所求最大. 【详解】，要使其最大，则都最小即可， 因为，且为正整数，故取， 此时， 故答案为： 1．（多选）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是（   ） A．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 【答案】AD 【分析】设窗户面积与地板面积分别为、，由题意可知，即，结合作差法逐项判断即可. 【详解】设窗户面积与地板面积分别为、，由题意可知，即， 按采光标准，窗户面积与地板面积的比值，且当越大时，住宅的采光条件越好． 对于AB选项，当时，， 故，所以若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好，A对B错； 对于C选项，若增加的窗户面积为，则增加的地面面积为， 故， 若，则，此时住宅的采光条件不变，C错； 对于D选项，若增加的窗户面积为，则增加的地面面积为， 故， 所以若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差，D对. 故选：AD. 2．已知，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过特殊值排除ABD选项，利用不等式的性质证明C选项. 【详解】对于A，当时，不等式不成立，所以A错误． 对于B，当时，满足，但，所以B错误． 对于C，因为，所以，则，所以C正确． 对于D，当时，，不符合，所以D错误． 故选：C. 3．已知，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定的正负情况，再根据不等式的性质，即可判断. 【详解】因为，且，所以，，的取值不确定，可以为正数，负数和零， A.因为，时，，时，，时，，故A错误； B.，，所以，故B错误； C.，，所以，故C正确； D.，，，故D错误. 故选：C 4．设，，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】由，，和，，证明即可. 【详解】由题意知，，， 则有，，，① ，，， 所以． 又根据①的结论可知，，， 所以． 综上所述，. 5．（1）已知，，求的取值范围； （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 【答案】（1）； （2）当时，；当时，． 【分析】（1）由不等式的性质即可求解；（2）通过作差法即可判断 【详解】（1）令，，，即， 则有解得．     又，，所以，，     所以，即．         （2）．     因为，，所以，．         当时，，即；     当时，，即．     综上所述，当时，；当时，． 6．已知实数且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由等式得到关于的表达式，再由条件得到，进而分析各不等式得到的取值范围，从而得解. 【详解】由，得， 因为且，所以， 所以由，得，所以， 由，得，所以， 由，得， 综上，，即. 故选：B. 7．（多选），运算“”为，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ABCD 【分析】由运算“”的定义分别计算判断A、B、C，用分析法分别从条件和结论出发证明得到D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，， ， 所以，故C正确； 对于D，若，则，， 要证，只需要证，即证， 即证，即证，即证， 因为，，所以上式成立，所以，故D正确. 故选：ABCD. 8．已知、且、，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】 ， 所以，当且仅当时取等号. 9．设，若不等式的解集是，则等于________． 【答案】 【分析】根据不等式的解集分别得出与以及与的关系即可求解. 【详解】由， 得， 因为， 所以 因为不等式的解集为， 所以，即， 解得， 所以． 故答案为：. 10．若，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式和均不能成立 B．不等式和均不能成立 C．不等式和均不能成立 D．不等式和均不能成立 【答案】B 【分析】利用不等式的性质结合已知条件逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，所以，即成立， 因为，所以，，所以，所以， 所以不成立，所以A错误， 对于B，由选项A可知不成立， 因为，所以，，所以，， 所以，所以，所以不成立，所以B正确， 对于CD，因为，所以， 所以，所以， 所以成立，所以CD错误， 故选：B 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $