第3章 3.1.2 函数的表示法（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“函数的表示法”核心知识点，承接上节课函数概念及三要素，系统讲解解析法、列表法、图象法三种表示法，通过对比优缺点构建认知框架，进而延伸至函数解析式求法（换元、配凑等）及分段函数，形成完整学习支架。 资料以生活实例（如买月饼、个人所得税）为切入点，培养用数学眼光观察现实世界的能力，通过多种求解析式方法训练数学思维逻辑性，结合分段函数图象与解析表达强化数学语言应用，课中例题助教师互动教学，课后练习帮学生查漏补缺，提升知识应用意识。

3.1.2　函数的表示法 学习目标　1.掌握函数的三种表示方法.(重点)2.会求函数的解析式.(重点)3.会用解析法及图象法表示分段函数，能用分段函数解决生活中的一些简单问题. 导语 上节课我们学习了函数的概念及三要素，研究了求函数定义域、值域的方法，这节课，我们来研究函数的表示法.首先，请大家结合初中所学以及课本P60-P62的问题1-问题4，试着总结一下函数的表示方法有哪几种？各有什么优缺点？ 一、函数的表示法 函数的表示法有三种，分别是解析法、列表法、图象法 表示法 概念 优缺点 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系 能简明全面地概括两个变量间的对应关系，也可以通过解析式求出任何一个变量的函数值；但是缺乏直观 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 不需计算即可直接看出表格中自变量的函数值；但表格外的数据没法求解 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 能直观形象地表示随着自变量的变化，相应函数值的变化趋势；但是作图法得到的函数值未必准确 例1　(课本例4)某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x). 解　这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}.用解析法可将函数y=f(x)表示为 y=5x，x∈{1，2，3，4，5}. 用列表法可将函数y=f(x)表示为 笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25 用图象法可将函数y=f(x)表示为如图所示. 例1　中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1，2，3，4，5，6})块月饼需要y元，你能用函数的三种表示法表示函数y=f(x)吗？ 解　函数的定义域是数集{1，2，3，4，5，6}，用解析法可将函数表示为 f(x)=6x，x∈{1，2，3，4，5，6}. 列表法可将函数表示为 月饼数x 1 2 3 4 5 6 钱数y 6 12 18 24 30 36 图象法可将函数表示为 反思感悟　列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，且三种表示法互相兼容或补充，但是无论是用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念. 二、求函数的解析式 例2　(1)已知f(+1)=x+2求f(x)； (2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1，f(x+1)-f(x)=2x，求f(x)； (3)已知2f(x)+f=x(x∈R且x≠0)，求f(x)的解析式. 解　(1)方法一　(换元法)令t=+1， 则x=(t-1)2，t≥1， 所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1)， 所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). 方法二　(配凑法)f(+1)=x+2 =x+2+1-1=(+1)2-1. 因为+1≥1， 所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). (2)依题意，设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)， 由f(0)=1，得c=1，则f(x)=ax2+bx+1. 又因为f(x+1)-f(x)=2x， 所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x， 即2ax+a+b=2x. 由恒等式性质，得所以 所以所求二次函数为f(x)=x2-x+1. (3)由 可知f(x)=(x≠0). 反思感悟　求函数解析式的四种常用方法 (1)换元法：设t=g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可.注意换元时t的取值范围. (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可. (3)待定系数法：若已知函数f(x)的类型，求解析式时，用待定系数法.先设出它的一般形式，根据条件确定相关的系数即可. (4)方程组法(或消元法)：当题目中出现f(x)和f(-x)，f(x)与f 的关系式时，经常通过构造方程组来求解. 注意：写解析式时，应注明定义域. 跟踪训练1　(1)已知f(x+1)=x2-3x+2，求f(x)； (2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))=4x+8，求f(x)； (3)已知f(x)+2f(-x)=9x+2，求f(x)的解析式. 解　(1)方法一　(配凑法)∵f(x+1)=x2-3x+2 =(x+1)2-5x+1=(x+1)2-5(x+1)+6， ∴f(x)=x2-5x+6. 方法二　(换元法)令t=x+1，则x=t-1， ∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6， 即f(x)=x2-5x+6. (2)设f(x)=ax+b(a≠0)， 则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b =a2x+ab+b. 又f(f(x))=4x+8，∴a2x+ab+b=4x+8， 即解得 ∴f(x)=2x+或f(x)=-2x-8. (3)∵f(x)+2f(-x)=9x+2， ① ∴f(-x)+2f(x)=9(-x)+2， ② ②×2-①得3f(x)=-27x+2， 即f(x)=-9x+. 三、分段函数 问题　函数y=是两个函数吗？ 提示　是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同. 知识梳理　分段函数 定义：函数y=f(x)在定义域上不同范围内的自变量有不同的对应关系，则函数y=f(x)称为分段函数. 注意点： 分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集. 例3　(课本例6)给定函数f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2，x∈R， (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象； (2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)=max{f(x)，g(x)}. 例如，当x=2时，M(2)=max{f(2)，g(2)}=max{3，9}=9. 请分别用图象法和解析法表示函数M(x). 解　(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象(如图). (2)由图中函数取值的情况，结合函数M(x)的定义，可得函数M(x)的图象(如图). 由(x+1)2=x+1，得x(x+1)=0. 解得x=-1，或x=0. 结合图象，得出函数M(x)的解析式为M(x)= 例3　已知函数f(x)=-x2+2，g(x)=x，令φ(x)=min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的最小者). (1)分别用图象和解析式表示φ(x)； (2)求函数φ(x)的定义域和值域； (3)解关于x的不等式φ(x)≥-1. 解　(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①. 令-x2+2=x，得x=-2或x=1. 由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②. 结合图②，得出φ(x)的解析式为 φ(x)= 即φ(x)= (2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)=1， ∴φ(x)的值域为(-∞，1]. (3)当φ(x)=-1时，当x≤-2或x≥1时， -x2+2=-1，解得x= 当-2<x<1时，x=-1， 由图象知，φ(x)≥-1的解集为[-1]. 反思感悟　分段函数的图象需要分段画.作分段函数的图象时，我们要先忽略各段上定义域的限制，分别作出各段解析式对应的图象，然后根据各段的定义域，从相应的图象上截取需要保留的一段图象即可.作图时要特别注意衔接点处点的虚实情况，保证不重不漏. 跟踪训练2　(1)已知函数f(x)=则f(6)等于(　　) A.-2 B.0 C.1 D.2 答案　A 解析　f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0-2=-2. (2)某厂生产某种零件，每个零件的成本为30元，出厂单价定为52元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于41元.设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，则函数P=f(x)的表达式为　　　　　. 答案　f(x)=x∈N 解析　设每个零件的实际出厂价恰好降为41元时，一次订购量为x0个， 则x0=100+=650. 当0<x≤100时，P=52；当100<x<650时，P=52-0.02(x-100)=54-； 当x≥650时，P=41. ∴P=f(x)=x∈N. 1.知识清单： (1)函数的三种表示法. (2)函数的解析式常见求法. (3)分段函数求值(范围)问题. (4)分段函数的应用. 2.方法归纳：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、方程组法、分类讨论、数形结合法. 3.常见误区： (1)求函数解析式时容易忽视定义域. (2)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实. (3)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式. 1.已知函数f(2x-1)=4x+6，则f(x)的解析式是(　　) A.f(x)=2x+8 B.f(x)=2x+1 C.f(x)=2x+2 D.f(x)=4x+2 答案　A 解析　因为f(2x-1)=4x+6=2(2x-1)+8， 所以f(x)=2x+8. 2.设函数f(x)=则f(f(3))等于(　　) A. B.3 C. D. 答案　D 解析　f(3)=f(f(3))=f+1=+1=. 3.已知f(x)=使f(x)≥-1成立的x的取值范围是 (　　) A.[-4，2) B.[-4，2] C.(0，2] D.(-4，2] 答案　B 解析　当x≤0时，f(x)≥-1即x+1≥-1，解得x≥-4，故-4≤x≤0； 当x>0时，f(x)≥-1即-(x-1)2≥-1， 解得0≤x≤2，故0<x≤2， 综上，x的取值范围是[-4，2]. 4.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是(　　) 答案　B 解析　根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A，D； 然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.已知函数f(x)的对应关系如表，函数g(x)的图象为如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))等于(　　) x 1 2 3 f(x) 2 3 0 A.3 B.2 C.1 D.0 答案　B 解析　由题图表知g(2)=1，f(1)=2， 所以f(g(2))=2. 2.下列图象是函数y=x|x|的图象的是(　　) 答案　D 解析　函数y=x|x|=分段画出图象如选项D所示. 3.已知f =2x+3，则f(6)的值为(　　) A.15 B.7 C.31 D.17 答案　C 解析　方法一　令-1=t，则x=2t+2， f(t)=2(2t+2)+3=4t+7， ∴f(x)=4x+7，f(6)=4×6+7=31. 方法二　令-1=6，则x=14， ∴f(6)=2×14+3=31. 4.已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x+2，则f(2)等于(　　) A.- B.- C. D. 答案　C 解析　方法一　由2f(x)+f(-x)=3x+2得2f(-x)+f(x)=-3x+2，消去f(-x)得f(x)=3x+ 所以f(2)=. 方法二　当x=2时，2f(2)+f(-2)=8； 当x=-2时，2f(-2)+f(2)=-4， 解得f(2)=. 5.(多选)设函数f(x)=若f(a)=6，则实数a等于(　　) A.-4 B.-3 C.4 D.3 答案　AD 解析　由得a=-4或a=3. 6.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　　) A.13立方米 B.14立方米 C.18立方米 D.26立方米 答案　A 解析　该单位职工每月应缴水费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为 y= 由y=16m，可知x>10. 令2mx-10m=16m，解得x=13. 7.(多选)已知函数f(x)=下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A.f(x)的定义域是R B.f(x)的值域是(-∞，5) C.若f(x)=3，则x= D.f(x)的图象与直线y=2有一个交点 答案　BCD 解析　f(x)的定义域是(-∞，2)，所以A选项错误； 当x≤-1时，x+2≤1， 当-1<x<2时，0≤x2<4，1≤x2+1<5， 所以f(x)的值域是(-∞，5)，所以B选项正确； 由B选项的分析可知，若f(x)=3， 则解得x=所以C选项正确； 画出f(x)的图象如图所示，由图可知，D选项正确. 8.(5分)已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，则f(x)=　　　　　　. 答案　-4x2+4x+7 解析　方法一　(利用“一般式”) 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得 ∴所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 方法二　(利用“顶点式”) 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ∵f(2)=f(-1)， ∴函数图象的对称轴为直线x= ∴m=. 又函数有最大值8， ∴f(x)=a+8. ∵f(2)=-1， ∴a+8=-1，解得a=-4， ∴f(x)=-4+8=-4x2+4x+7. 9.(5分)已知函数f(x)=则使f(x)<2成立的x的值组成的集合为　　　　. 答案　 解析　由题意可得 或 由解得1≤x<； 由解得x<-<x<1. 综上所述，使f(x)<2成立的x的值组成的集合为. 10.(11分)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按表格分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3 000元的部分 3% 超过3 000元至12 000元的部分 10% 超过12 000元至25 000元的部分 20% 某职工每月收入为x元，应缴纳的税额为y元. (1)请写出y关于x的函数关系式；(6分) (2)有一职工八月份缴纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？(5分) 解　(1)由题意， 得y= (2)∵该职工八月份缴纳了54元的税款， ∴5 000<x≤8 000，(x-5 000)×3%=54， 解得x=6 800. 故这名职工八月份的工资是6 800元. 11.(多选)已知狄利克雷函数f(x)=则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的值域为[0，1] B.f(f(x))=1 C.f(x+1)=f(x) D.f(x)的图象经过点 答案　BC 解析　对于A，f(x)的值域为{0，1}，故A错误；对于B，当x是有理数时，f(x)=1， f(f(x))= f(1)=1，当x是无理数时，f(x)=0，f(f(x))= f(0)=1，故B正确；对于C，当x是有理数时，x+1也为有理数，当x是无理数时，x+1也为无理数，故f(x+1)=f(x)成立，故C正确；对于D，因为f =1， 所以f(x)的图象经过点故D错误. 12.(5分)设x∈R，则函数y=2|x-1|-3|x|的值域为　　　　　　. 答案　{y|y≤2} 解析　当x≥1时，y=2(x-1)-3x=-x-2； 当0≤x<1时，y=-2(x-1)-3x=-5x+2； 当x<0时，y=-2(x-1)+3x=x+2. 故y=根据函数解析式作出函数图象，如图所示. 由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}. 13.(5分)已知函数f(x)满足f(0)=1，对任意实数x，y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，则函数f(x)的解析式为　　　　　　. 答案　f(x)=x2+x+1 解析　令x=y得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)， 则f(x)=x2+x+1. 14.(12分)已知函数f(x)的图象如图所示，在区间上是抛物线的一段. (1)求f(x)的解析式；(6分) (2)解不等式f(x)≤x+1.(6分) 解　(1)由图可知，当x<0时，f(x)=3； 当0≤x≤4时，设f(x)=a(x-2)2-1，a≠0， 把点(1，0)代入得a-1=0，解得a=1， 所以f(x)=(x-2)2-1； 当x>4时，设f(x)=kx+b(k≠0)， 把点(4，3)，(5，0)代入得 解得 所以f(x)=-3x+15. 所以f(x)= (2)f(x)≤x+1， 当x<0时，由3≤x+1，解得x≥4，矛盾，舍去； 当0≤x≤4时，由(x-2)2-1≤x+1，解得≤x≤4； 当x>4时，由-3x+15≤x+1，解得x≥4，所以x>4. 综上，不等式f(x)≤x+1的解集为. 15.(14分)已知函数f(x)=x-[x]，x∈[-1，2)，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[-3.05]=-4，[2.1]=2. (1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式；(6分) (2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象；(4分) (3)根据图象写出函数f(x)的值域.(4分) 解　(1)当-1≤x<0时，[x]=-1， 所以f(x)=x+1； 当0≤x<1时，[x]=0，所以f(x)=x； 当1≤x<2时，[x]=1，所以f(x)=x-1. 综上， f(x)= (2)函数f(x)的图象如图所示. (3)由图象，得函数f(x)的值域为[0，1). 学科网（北京）股份有限公司 $