专题03 基本不等式九类综合题型（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“一正二定三相等”为核心，系统构建9类题型解法体系，通过典例-变式-压轴三级训练培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心解法|围绕“一正二定三相等”展开，强调正数条件与等号验证|从基本不等式核心条件出发，奠定方法基础| |题型归纳|9题型（每题型1典例+3变式）|提炼“1的代换”“分离常数”“换元法”等9类通法，明确特征与步骤|按条件复杂度递进，从分式型到多变量型，形成题型-方法对应链| |压轴挑战|16题（选择/填空/解答）|综合运用多法融合（如因式分解+换元），强化逻辑推理|从基础应用到复杂情境，提升数学语言表达与创新意识|

专题03 基本不等式 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、”1“的代换 题型六、换元法/双换元 题型二、分离常数后”1“的代换 题型七、多变量多次使用基本不等式 题型三、一次比二次/二次比一次型（对勾函数型） 题型八、复杂代数式型 题型四、反解带入型（消元法） 题型九、基本不等式链的几何图形证明 题型五、因式分解型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 基本不等式求最值是高中数学核心重难点，所有题型均围绕一正、二定、三相等三大核心条件展开，解题贯穿两条底线原则：一是参与求和、求积的代数式必须为正数，二是使用基本不等式求最值必须验证等号能够取到，所有参数结果最终均需合规检验 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、”1“的代换 典例1 （25-26高二下·河北·期末）已知，则的最小值为_______. 【答案】/ 【分析】先由判断，再将配凑，利用乘法结合基本不等式求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 题型模版 1.特征：已知正数a,b满足线性等式，目标为求分式型的最值 2.方法：将目标式乘以构造“1”，展开后利用基本不等式求解；最后检验等号成立条件 变式1-1（25-26高二下·广西贺州·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】∵ 正实数满足,∴ . ∴ . ∵ ，由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，符合为正实数的约束条件. ∴ 的最小值为. 变式1-2（25-26高二下·河北沧州·期末）若，，，则的最小值为（   ） A．26 B．25 C．19 D．13 【答案】B 【详解】因为，，，所以 ， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为25. 变式1-3（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【详解】正实数，满足， 则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 类型二、分离常数后”1“的代换 典例2 （24-25高二下·天津静海·阶段检测）设为正数，且，则的最小值为___________ 【答案】 【详解】由可得，得. ， 当且仅当时，即时等号成立. 题型模版 1.特征：目标分式分子次数高于分母，无法直接使用1的代换，约束条件为正数线性等式 2.方法：先对分式分离常数，化简为常数加分式结构，再构造乘“1”模型，运用基本不等式，验证取等条件 变式2-1（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测）若正实数、满足，则的最小值为________. 【答案】 【分析】利用条件将原式变形为，再利用乘“1”法求解最值. 【详解】因为， 所以，又， 所以， 由可得，故， 由于，当且仅当，即时取到等号， 故， 因此最小值为， 故答案为： 变式2-2（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先进行化简，再根据化简后的式子，分母和为定值，进行双换元，结合1的妙用，利用基本不等式来求最小值即可. 【详解】 设，则，且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以原式最小值为， 故答案为：. 变式2-3（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是_____． 【答案】/0.25 【分析】方法一，利用换元法，然后根据基本不等式“1”的妙用求解.方法二，直接根据基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】方法一 设，，则， ， ， 当且仅当，，即，时取等号， ． 方法二，， ， 当且仅当，时取等号，． 故答案为： 题型三、一次比二次/二次比一次型（对勾函数型） 典例3 已知，则函数的最小值是______． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:. 题型模版 1.特征：齐次分式或，自变量 2.方法：同除或者换元转化为标准对勾函数；结合定义域，利用单调性或者基本不等式求最值 变式3-1（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 变式3-2（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 变式3-3求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）3；（2）；（3）10. 【分析】对分式函数利用分离常数法构造基本不等式（对勾函数）的结构，或利用基本不等式（1,、2）或利用函数单调性求最值. 【详解】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取“=”） 即的最小值为3； （2）令，则在是单增， ∴当t=2时，y取最小值； 即y的最小值为 （3）令，则可化为： 当且仅当t=3时取“=” 即y的最小值为10 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 题型四、反解带入型（消元法） 典例4 （25-26高二下·天津南开·期末）已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，已知， 则，， 由基本不等式得：， 当且仅当“”，即“，”时取“”. 题型模版 1.特征：二元约束等式，可将一个变量用另一个变量表达，目标函数含有两个变量 2.方法：由条件反解出一个变量，代入目标式实现二元转一元；优先确定变量取值范围，再求解最值 变式4-1（2026高三下·全国·专题练习）若正实数满足，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】将代换后使用基本不等式求解. 【详解】因为正实数满足，所以，解得，则， 可得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 变式4-2（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 变式4-3（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】方法一：条件等式可化为，再结合关系利用基本不等式求结论； 方法二：由条件等式可得，消元变形可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】（方法一）由，可得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为13． 题型五、因式分解型 典例5 （2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，代入目标式并应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由，则，，，故， 所以， 当且仅当，此时取等号. 题型模版 1.特征：已知条件能够因式分解，变形得到两个代数式乘积为定值 2.方法：对条件因式分解，配凑目标代数式构造和定/积定结构，使用基本不等式，同步验证等号能否成立 变式5-1（25-26高一下·河北衡水·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】B 【分析】根据题意，化简题设条件为，又由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由正数满足，可得， 所以，同理，将条件变形为， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 变式5-2（25-26高一上·福建厦门·期末）（多选）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 【答案】BCD 【分析】对于ABC，由，得，再结合基本不等式逐个判断即可.对于D，结合，,分析整数解即可. 【详解】由，得，又， 所以，即，由得，由,故. 对于A由，令，得，解得， 即，当且仅当时，取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确， 对于C，， 当且仅当时，取等号，故C正确； 对于D，由，,，故当时，；当时，；当时，，不满足整数解； 当时，；当时，，故不满足整数解； 综上，此方程有且仅有3组整数解，分别为，；，；，.故D正确. 故选：BCD 变式5-3（25-26高一上·天津·阶段检测）已知，b为正实数，且，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】由条件可得，据此利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， ，b为正实数，所以，， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 题型六、换元法/双换元 典例6 已知均为正实数，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】根据题设条件特征令，，则，用其替代问题中的变量，从而达到消元和简化题设问题，并构造出基本不等式模型，结合基本不等式即可求解. 【详解】已知均为正实数，，即， 令，，所以， 所以 ， 当且仅当，即或取等号． 则的最小值是. 故答案为：. 题型模版 1.特征：式子含有根式、复杂复合代数式，变量结构繁杂难以直接配凑不等式 2.方法：单换元简化根式；双换元重组条件等式；换元同步标注新元取值范围，求解后回代原变量 变式6-1（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知且，则的最小值为_____． 【答案】9 【分析】通过换元，令，得，将问题转化为求的最小值.再通过“1”的代换结合基本不等式即可得解. 【详解】由，得，令，则， 故 ， 当且仅当即时等号成立， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9． 故答案为：9. 变式6-2设x，y是正实数，且，则的最大值是________. 【答案】 【分析】令，进行换元可得，，结合基本不等式运算求解. 【详解】令，则， 可得，即， 且， ∵， 当且仅当，即时，等号成立， 可得， ∴， 即的最大值是. 故答案为：. 变式6-3已知实数x，y满足，则的最小值是______． 【答案】 【分析】由得，设，得，代入目标式整理，利用基本不等式求解最值. 【详解】由得， 设，得， ， ， 当且仅当，即或，即或时等号成立 的最小值是 故答案为：. 题型七、多变量多次使用基本不等式 典例7 （25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】记原式为．首先齐次化，结合均值不等式有，从而可得，利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】令 ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 令， 注意到单调递增， 故． 当且仅当时等号成立． 故答案为： 题型模版 1.特征：三元及以上代数式，需要分步多次运用基本不等式放缩 2.方法：分步放缩，写出每一步等号成立条件；必须保证所有等号条件能够同时满足，避免虚假最值 变式7-1（25-26高一上·湖南娄底·阶段检测）设为正实数，则的最小值是____________． 【答案】 【分析】设，从而用表达出，从而原式等于，利用基本不等式求出最值，验证取等条件后得到答案. 【详解】设， 则， 则， ， ， 故 ， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 验证取等条件，显然， ，，故，，， 代入可得，故等号成立 . 故答案为： 变式7-2（25-26高一上·重庆·期中）已知，，且满足：，则的最小值等于________． 【答案】48 【分析】利用常值代换和基本不等式即可求得最小值. 【详解】因，且， 则 （当且仅当时等号成立） ，当且仅当即时等号成立. 所以的最小值等于. 故答案为：. 变式8-3（25-26高一上·湖南·期末）已知正数a，b满足，，则的最小值为______ . 【答案】 【分析】由，，平方得到，代入目标式化简变形通过两次运用基本不等式计算即可求出最小值． 【详解】解：由，得， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时取“等号”， 所以当，，时，的最小值为 故答案为： 题型八、复杂代数式型 典例8 （25-26高一上·江西赣州·期中）若正数，满足，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】依题意可得，从而得到，再利用基本不等式计算可得. 【详解】因为正数，满足， 所以，则， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为. 故答案为： 题型模版 1.特征：多元、高次、混合分式，不具备标准不等式模型，无法直接套用基本不等式 2.方法：优先齐次化、拆项配凑，尝试转化为标准模型；无法配凑时转为函数单调性求解 变式8-1（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知a，b，，，则（1）最大值为______；（2）的最大值为______． 【答案】 【分析】由，将拆分为，由基本不等式得到；对于，将拆分为，则由基本不等式，，故. 【详解】由，将拆分为，则， 根据基本不等式，，， 两式相加得，故，等号成立当且仅当，， 代入，得，即，此时 对于，将拆分为，则， 由基本不等式，，， 两式相加得，故， 等号成立当且仅当，，代入，得， 即，此时， 故答案为：； 变式8-2若正实数，满足，则的最大值为______. 【答案】 【详解】 ，即 又 ，等号成立的条件为 ，原式整理为 ，即 ，那么，所以 的最大值是 . 【点睛】基本不等式常考的类型，已知和为定值，求积的最大值，经常使用公式 ，已知积为定值，求和的最小值， ，已知和为定值，求和的最小值，例如：已知正数 ， ，求 的最小值，变形为 ，再 ，构造1来求最值. 变式8-3已知，均为正数，且，则的最小值为__________． 【答案】6 【分析】由已知有，则，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件. 【详解】由均为正数，且，则， 又， ，当且仅当，即取等号， 所以，当且仅当取等号，则， 所以，当且仅当取等号，目标式最小值为6. 故答案为：6 题型九、基本不等式链的几何图形证明 典例9 （25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 题型模版 1.特征：已知正数a,b，要求证明调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数的大小关系 2.方法：借助圆的射影定理构造对应四条线段，利用垂线段最短、直径最长等几何性质比较线段长短完成证明 变式9-1（26-27高三·全国·一轮复习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 【答案】①③ 【分析】先明确，的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明①③选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断②④选项． 【详解】由题意可知，， 由∽可知，即， 所以； 在中，，即， 当时，O，C点重合，，此时，所以①正确； 在中，由∽可得，即， 所以， 由于，所以， 当时，，此时，所以③正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明． 变式9-2《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆和直角三角形的性质得到、、，结合即可得. 【详解】由，可得半圆的半径， 由， ， 所以， ， 由图知，则. 故选：D 变式9-3《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，结合及，即可求解. 【详解】因为，点在直径上，不妨设点在线段上，如图所示， 则， 当与不重合时，因为，则， 当与重合时，，，也满足， 又易知，所以，    故选：D. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26高一上·广西北海·期末）已知均为正实数，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】先将分式进行化简，然后利用基本不等式的1的妙用求最小值. 【详解】因为，， 又， 则， 由可得， 不妨设， 则问题转化为当时，求的最小值， ， 当，即时取得等号， 即，解得， 此时最小值是. 故选：D 2．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：D. 3．（25-26高三上·天津河东·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 【答案】B 【分析】根据已知等式，二次运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正实数，，满足， 所以 ， 因为，是正实数， 所以，当且仅当时取等号， 即当时，， 又因为是正实数， 所以， 所以，当时取等号， 又因为， 当且仅当时取等号， 即，当时取等号， 所以， 因此当，时，的最小值为. 故选：B 4．（25-26高一下·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 5．（福建南平市2025-2026学年第二学期高二年级综合练习（一）数学试题）若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合基本不等式及“”的代换，两次利用基本不等式可得最值. 【详解】已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为. 二、多选题 6．（25-26高一上·广西桂林·期末）已知，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则的最小值是8 C．的最小值为2 D．若，则的最大值为4 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式逐项求解最值即可得结论. 【详解】对于A，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，故A正确； 对于B，因为，，，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是8，故B正确； 对于C，因为，令，则，所以， 当且仅当，即时，等号成立，又，故的最小值不为2，故C错误； 对于D，因为，所以， 则， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最大值为4，故D正确. 故选：ABD. 7．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知a，b，c为正实数，且，则（    ） A．的最小值为8 B．的最大值为 C．的最小值为5 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，直接用基本不等式即可判断；对于B，将其变形为，利用基本不等式化成关于的一元二次不等式求解判断；对于C，将其变形为，利用基本不等式计算判断；对于D，利用将化成，两次应用基本不等式计算判断. 【详解】对于A，因，则，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，由，且，为正实数，可得， 即，解得，取平方得， 当且仅当，即，时取等号，故B错误； 对于C，由，且，为正实数，则得， 则， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，由C可得， 则， 又因为， 当且仅当，且时，即时取等号，故D正确. 三、填空题 8．（25-26高一上·江苏·期末）已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】由题设求得，从而将所求式化成，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意，为正实数，且，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 故答案为：. 9．（25-26高一下·黑龙江·开学考试）已知，且，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据题意利用换元法将原式变为，再由，结合基本不等式求解最值即可. 【详解】由题可得， 所以， 则，当且仅当， 即时取等号， 所以， 即的最大值是. 故答案为：. 10．已知，，，则的最小值为____． 【答案】 【详解】由可得 ， 当且仅当，即，也即，时等号成立， 即的最小值为． 11．（25-26高二下·重庆璧山·期末）若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 【答案】 9 3 【分析】第①问通过对已知等式变形结合基本不等式求解；第②问通过换元法化简，再结合已知等式利用基本不等式求最小值． 【详解】①，由，所以，，，当且仅当时取得等号,则的最小值为， 由条件得，，，，，当且仅当，时取得等号， 则的最小值为. 12．（2026·上海浦东新·三模）已知，满足，则的最小值是______________． 【答案】 【详解】因为， 则， 则的最小值是，当且仅当时取等号． 13．（25-26高二下·天津·期末）已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】将原式子化简后，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为，，，所以， ， . 所以， . 所以 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 14．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 【答案】 【分析】通过凑出均值不等式的前提条件后求解. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当时等号成立. 15．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，则的最大值为___________． 【答案】/ 【分析】令，则，将所求式转化为，利用 “1” 的代换和均值不等式求出括号内式子的最小值，从而得到原表达式的最大值。 【详解】令，则，且， ， 由得， 所以 ， 当且仅当时取等号，结合，解得， 即时取等号， 所以，即的最大值为， 故答案为：. 16．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】－1 【分析】对进行化简，再利用均值不等式求解. 【详解】因为，所以， 因为均为正数，所以， 所以 , 当且仅当，即，即时，取得最小值， 故答案为：－1 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 基本不等式 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、”1“的代换 题型六、换元法/双换元 题型二、分离常数后”1“的代换 题型七、多变量多次使用基本不等式 题型三、一次比二次/二次比一次型（对勾函数型） 题型八、复杂代数式型 题型四、反解带入型（消元法） 题型九、基本不等式链的几何图形证明 题型五、因式分解型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 基本不等式求最值是高中数学核心重难点，所有题型均围绕一正、二定、三相等三大核心条件展开，解题贯穿两条底线原则：一是参与求和、求积的代数式必须为正数，二是使用基本不等式求最值必须验证等号能够取到，所有参数结果最终均需合规检验 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、”1“的代换 典例1 （25-26高二下·河北·期末）已知，则的最小值为_______. 题型模版 1.特征：已知正数a,b满足线性等式，目标为求分式型的最值 2.方法：将目标式乘以构造“1”，展开后利用基本不等式求解；最后检验等号成立条件 变式1-1（25-26高二下·广西贺州·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 变式1-2（25-26高二下·河北沧州·期末）若，，，则的最小值为（   ） A．26 B．25 C．19 D．13 变式1-3（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________． 类型二、分离常数后”1“的代换 典例2 （24-25高二下·天津静海·阶段检测）设为正数，且，则的最小值为___________ 题型模版 1.特征：目标分式分子次数高于分母，无法直接使用1的代换，约束条件为正数线性等式 2.方法：先对分式分离常数，化简为常数加分式结构，再构造乘“1”模型，运用基本不等式，验证取等条件 变式2-1（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测）若正实数、满足，则的最小值为________. 变式2-2（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知，则的最小值为______． 变式2-3（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是_____． 题型三、一次比二次/二次比一次型（对勾函数型） 典例3 已知，则函数的最小值是______． 题型模版 1.特征：齐次分式或，自变量 2.方法：同除或者换元转化为标准对勾函数；结合定义域，利用单调性或者基本不等式求最值 变式3-1（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 变式3-2（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 变式3-3求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 题型四、反解带入型（消元法） 典例4 （25-26高二下·天津南开·期末）已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 题型模版 1.特征：二元约束等式，可将一个变量用另一个变量表达，目标函数含有两个变量 2.方法：由条件反解出一个变量，代入目标式实现二元转一元；优先确定变量取值范围，再求解最值 变式4-1（2026高三下·全国·专题练习）若正实数满足，则的最小值为______． 变式4-2（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 变式4-3（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 题型五、因式分解型 典例5 （2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 题型模版 1.特征：已知条件能够因式分解，变形得到两个代数式乘积为定值 2.方法：对条件因式分解，配凑目标代数式构造和定/积定结构，使用基本不等式，同步验证等号能否成立 变式5-1（25-26高一下·河北衡水·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 变式5-2（25-26高一上·福建厦门·期末）（多选）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 变式5-3（25-26高一上·天津·阶段检测）已知，b为正实数，且，则的最小值为_______． 题型六、换元法/双换元 典例6 已知均为正实数，，则的最小值是______． 题型模版 1.特征：式子含有根式、复杂复合代数式，变量结构繁杂难以直接配凑不等式 2.方法：单换元简化根式；双换元重组条件等式；换元同步标注新元取值范围，求解后回代原变量 变式6-1（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知且，则的最小值为_____． 变式6-2设x，y是正实数，且，则的最大值是________. 变式6-3已知实数x，y满足，则的最小值是______． 题型七、多变量多次使用基本不等式 典例7 （25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的最小值为______． 题型模版 1.特征：三元及以上代数式，需要分步多次运用基本不等式放缩 2.方法：分步放缩，写出每一步等号成立条件；必须保证所有等号条件能够同时满足，避免虚假最值 变式7-1（25-26高一上·湖南娄底·阶段检测）设为正实数，则的最小值是____________． 变式7-2（25-26高一上·重庆·期中）已知，，且满足：，则的最小值等于________． 变式8-3（25-26高一上·湖南·期末）已知正数a，b满足，，则的最小值为______ . 题型八、复杂代数式型 典例8 （25-26高一上·江西赣州·期中）若正数，满足，则的最小值为__________. 题型模版 1.特征：多元、高次、混合分式，不具备标准不等式模型，无法直接套用基本不等式 2.方法：优先齐次化、拆项配凑，尝试转化为标准模型；无法配凑时转为函数单调性求解 变式8-1（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知a，b，，，则（1）最大值为______；（2）的最大值为______． 变式8-2若正实数，满足，则的最大值为______. 变式8-3已知，均为正数，且，则的最小值为__________． 题型九、基本不等式链的几何图形证明 典例9 （25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 题型模版 1.特征：已知正数a,b，要求证明调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数的大小关系 2.方法：借助圆的射影定理构造对应四条线段，利用垂线段最短、直径最长等几何性质比较线段长短完成证明 变式9-1（26-27高三·全国·一轮复习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 变式9-2《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 变式9-3《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26高一上·广西北海·期末）已知均为正实数，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C．6 D． 2．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 3．（25-26高三上·天津河东·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 4．（25-26高一下·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 5．（福建南平市2025-2026学年第二学期高二年级综合练习（一）数学试题）若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（25-26高一上·广西桂林·期末）已知，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则的最小值是8 C．的最小值为2 D．若，则的最大值为4 7．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知a，b，c为正实数，且，则（    ） A．的最小值为8 B．的最大值为 C．的最小值为5 D．的最小值为 三、填空题 8．（25-26高一上·江苏·期末）已知正实数满足，则的最小值为__________. 9．（25-26高一下·黑龙江·开学考试）已知，且，则的最大值为__________. 10．已知，，，则的最小值为____． 11．（25-26高二下·重庆璧山·期末）若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 12．（2026·上海浦东新·三模）已知，满足，则的最小值是______________． 13．（25-26高二下·天津·期末）已知，，且，则的最小值为__________． 14．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 15．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，则的最大值为___________． 16．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $