第十五章轴对称学强基过关试题卷（重庆专版） 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦轴对称单元核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计适配单元复习，融合几何直观与推理能力，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|轴对称图形识别、坐标对称、等腰三角形性质|以图书月图标为情境（时代性），基础概念辨析| |填空题|6/24|镜面对称、最短路径、垂直平分线性质|结合汽车牌照镜面问题（生活应用），考查空间观念| |解答题|8/86|作图、证明、动态几何（如等边三角形运动问题）|综合探究题（牧马路径）体现应用意识，培养推理能力|

第十五章 轴对称 2026-2027学年上期数学提升卷 （新人教版，重庆专版） 一、 选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的． 1．以下是某校图书月活动设计的备选图标，其中属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．已知点，那么点P关于x轴对称的的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的对称规律，用到关于x轴对称的点的坐标性质：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，直接根据性质求解即可． 【详解】解：∵点坐标为，关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为． 3．如图，在中，，，与关于直线成轴对称，，连接，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质；由轴对称图形的性质可得，进而结合三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：与关于直线成轴对称， ， ，， ， ， ，与关于直线成轴对称， ， ， ． 故选：C． 4．已知一个等腰三角形的顶角为，则它的底角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形顶角为， ∴底角度数为． 5．如图，在中，，是边上的中线，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等腰三角形“三线合一”的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（     ） A．10 B．11 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先根据三角形的外角的性质得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据的周长得出答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴的周长为． 7．如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质，结合，可以证出，从而得到．利用等量代换和外角的性质，求得．根据直角三角形的性质，得到，代入的值，求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 8．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，已知，，则的周长为（     ） A． B．5 C．10 D．13 【答案】C 【分析】由题意易得，由折叠的性质可知：，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：在长方形中，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 9．如图，在中，，，，，D为上一点，，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】作点D关于的对称点G，则，当三点共线，且时，取得最小值，推出，根据等面积法计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 作点D关于的对称点G，连接， 则，， ∴， 当三点共线，且时，取得最小值， 此时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即的最小值为3． 10．已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的是（     ） A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①④ 【答案】A 【详解】解：①如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴；故①正确； ②由①知：，， ∵点O是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③如图2，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形；故④正确 ∴正确的结论有：①③④． 二、填空题：（本题共6个小题，每小题4分，共24分）请把下列各题的正确答案直接填写在对应的位置． 11．已知点与点关于x轴对称，求______． 【答案】2 【详解】直接利用关于x轴对称点的性质得出关于m，n的方程组，进而得出答案． 【解答】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， 解得， 则． 12．汽车司机在观后镜中看到后面一辆汽车的车牌号为，则这辆车的实际牌照是_____． 【答案】18025 【分析】本题考查了镜面反射的性质，解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出：实际车牌号是：18025， 故答案为：18025． 13．如图，等腰直角中，，，为中点，，为上一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，，依据轴对称的性质，即可得到，，，根据，可得当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，根据全等三角形的对应边相等，即可得出的最小值为． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，， 则，，，， 是的中点， ， ， ， 当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，此时，最小， ，为的中点， ， 又， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了轴对称线路最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 14．如图，在中，，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】三角形的内角和定理求出，等边对等角，结合平角的定义，进行求解即可. 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴. 15．如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则_____ ． 【答案】 【分析】连接，并延长到，根据线段的垂直平分线的性质得，，根据四边形的内角和为得，根据外角的性质得，，相加可得结论． 【详解】解：连接，并延长到， 线段、的垂直平分线、相交于点， ，， ， ， ， ， ，， ，， ． 16．如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 【答案】1 【分析】过D作于F，根据等边三角形的性质得到，求得，得到，可得，根据等腰三角形的性质得到，由即可得到结论． 【详解】解：过D作于F， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 三、解答题：（本大题共16分，每小题8分）请把下列各题的正确答案填写在对应的位置． 17．已知：点，，根据下列条件解决问题． (1)若轴，求点的坐标； (2)若点在第一象限角的平分线上，求、两点间的距离． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，据此建立方程求出a的值，进而求出点B的坐标； （2）第一象限角的平分线上的点横纵坐标相同，据此建立方程求出a的值，进而求出点B的坐标和点A与点B的距离． 【详解】（1）解：∵轴， ， ， 点的坐标为． （2）点在第一象限角的平分线上， ， ， 点的坐标为． 、两点间的距离为． 18．如图，已知中，． (1)基本作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中，求证：．请完成下面的证明过程： 证明：平分， ， 在与中 ， ，，， ，且， ， ， ， ， ． 【答案】(1)如图所示即为所求； (2)，，，， 【分析】（1）利用尺规作出角平分线及相等的线段，然后连接即可； （2）先证明，再结合，且，即可得到结论． 4、 解答题：（本大题共70分，每小题10分）请把下列各题的正确答案填写在对应的位置． 19．如图，，的垂直平分线交于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出，利用垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，结合图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质和三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴． ∵， ∴， 即的周长为． 20．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线对称的图形； (2)尺规作图：画出的角平分线； (3)尺规作图：画出边上的垂直平分线． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如上图，射线即为所求： (3)如上图，直线即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 21．在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ． ， 是等边三角形； (2)证明：是等边三角形， ． ， ，即． 在与中， ， ， ． 【分析】(1) 首先由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； (2) 由是等边三角形可得，，进而得出，然后由证明，最后可得． 【详解】（1）略 （2）略 22．综合探究 【问题背景】直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小． 【解法探究】如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． (1)【深入研究】如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点．若，求的最小值． (2)【应用拓展】如图3，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使马所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 【答案】(1) (2)图见解析，路程为 【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的判定和性质，根据轴对称性质求解等知识点，解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段． （1）如图2，连接，由题意可知点B关于直线的对称点为C，可得，当E，P，C三点共线且时取得最小值，结合等边三角形性质可求得最小值； （2）如图3，连接，分别作出点A关于，的对称点B，C，连接分别交，于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解． 【详解】（1）解：如图2，连接，， ∵等边中， 是的平分线， ∴，平分线段， ∴是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为C，， ∴， 当E，P，C三点共线时，取得最小值为， 当时，取得最小值， 是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； （2）解：如图3，连接，分别作出点A关于，的对称点B，C，连接分别交，于点D，E，连接，，则线段，，之和即为所求的最短路径； 由对称的性质，得， ，，，， ∴， ∵草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴整个过程所行的路程为． 23．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，． (1)若的周长为，的周长为，求线段，的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质求解即可； （2）求解，结合等腰三角形的性质进一步求解即可. 【详解】（1）解： 是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ， 是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ， ； （2）解：， ， ，， ，， ． 24．如图，是边长为12的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动，（Q不与B重合），过P作于点E，连接交于点D． (1)当时，求的长； (2)证明：在运动过程中，点D是线段的中点； (3)在运动过程中线段的长度是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：如图，过作交于点F， ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴，， 是等边三角形， ， 、同时出发，速度相同，即， ， 在和中， ， ， ， 点是线段的中点； (3)线段的长不变，恒为6， 理由如下： 是边长为的等边三角形， ， 由（2）知， ， 是等边三角形，， ， ，即的长不变． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，以及平行线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，得到，则，设，进而得到，，列方程求解即可； （2）过作交于点，，得到，，推出，由题意得，则，证明，得到，即可得证； （3）由题意可得，由（2）知，得到，根据是等边三角形，，得到，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：是边长为的等边三角形， ，， 又， ， ∵、同时出发，速度相同，即 ∴可设， ，， 在中，， ，即， 解得， 当时，； （2）略 （3）略 25．如图1，在中，，点D是边上一点，连接，在上取一点E，使得，连接． (1)试说明； (2)如图2，点F是线段上一点，且，连接．试说明； (3)如图3，若，，求的度数． 【答案】(1)因为在中，， 又因为， 所以， 因为， 所以， 所以； (2)由（1）得，，即， 在和中， 所以，所以； (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理推出，由，即可得到结论； （2）证明，即可得到； （3）取的中点为G，连接，证明，得到，再由，，得到，结合，得到，由此求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：取的中点为G，连接，则， 因为，所以， 由（1）得，即． 在和中， ， 所以 所以． 因为，， 所以，因为．所以， 所以．所以．所以 精选考题才是刷题的捷径第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 2026-2027学年上期数学提升卷 （新人教版，重庆专版） 一、 选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的． 1．以下是某校图书月活动设计的备选图标，其中属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．已知点，那么点P关于x轴对称的的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，与关于直线成轴对称，，连接，则的度数是(   ) A． B． C． D． 4．已知一个等腰三角形的顶角为，则它的底角的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，是边上的中线，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（     ） A．10 B．11 C．15 D．16 7．如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 8．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，已知，，则的周长为（     ） A． B．5 C．10 D．13 9．如图，在中，，，，，D为上一点，，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 10．已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的是（     ） A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①④ 二、填空题：（本题共6个小题，每小题4分，共24分）请把下列各题的正确答案直接填写在对应的位置． 11．已知点与点关于x轴对称，求______． 12．汽车司机在观后镜中看到后面一辆汽车的车牌号为，则这辆车的实际牌照是_____． 13．如图，等腰直角中，，，为中点，，为上一个动点，则的最小值为______． 14．如图，在中，，，，则的度数为________． 15．如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则_____ ． 16．如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 三、解答题：（本大题共16分，每小题8分）请把下列各题的正确答案填写在对应的位置． 17．已知：点，，根据下列条件解决问题． (1)若轴，求点的坐标； (2)若点在第一象限角的平分线上，求、两点间的距离． 18．如图，已知中，． (1)基本作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中，求证：．请完成下面的证明过程： 证明：平分， ， 在与中 ， ，，， ，且， ， ， ， ， ． 4、 解答题：（本大题共70分，每小题10分）请把下列各题的正确答案填写在对应的位置． 19．如图，，的垂直平分线交于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 20．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线对称的图形； (2)尺规作图：画出的角平分线； (3)尺规作图：画出边上的垂直平分线． 21．在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 22．综合探究 【问题背景】直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小． 【解法探究】如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． (1)【深入研究】如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点．若，求的最小值． (2)【应用拓展】如图3，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使马所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 23．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，． (1)若的周长为，的周长为，求线段，的长； (2)若，求的度数． 24．如图，是边长为12的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动，（Q不与B重合），过P作于点E，连接交于点D． (1)当时，求的长； (2)证明：在运动过程中，点D是线段的中点； (3)在运动过程中线段的长度是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 25．如图1，在中，，点D是边上一点，连接，在上取一点E，使得，连接． (1)试说明； (2)如图2，点F是线段上一点，且，连接．试说明； (3)如图3，若，，求的度数． 精选考题才是刷题的捷径第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $