5.2 解一元一次方程（知识清单）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了一元一次方程的求解知识体系。从移项概念出发，明确解一元一次方程的一般步骤，结合移项不变号、去分母漏乘等易错点提示关键注意事项，构建从基础概念到步骤应用的学习支架。 知识链路按概念、步骤、易错点到多题型应用的逻辑展开，覆盖解方程、参数问题、新定义等八类题型。习题结合各地期末真题，配有方法技巧指导，培养学生运算能力和推理意识，帮助形成有条理的数学思维，提升用数学语言解决问题的能力。

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第五章 一元一次方程 5.2解一元一次方程 知识速记 ◇知识点一解一元一次方程 1.移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形 叫作移项。 2.解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。 △特别提醒 ①这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是 为使方程逐渐向x=a形式转化； ②解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分 母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号。 易错辨析 易错点1移项不变号 · 错例：解方程3x+2=x-4,移项得3x+x=-4+2 ·错因：未掌握移项核心规则，项从方程一侧移到另一侧必须变号，同侧交换位置 不变号 ·规避方法：牢记口诀“移项必变号，同侧不变号” 易错点2去分母时漏乘不含分母的常数项 。 错例：解方程之+1=3，去分母得x+1=6 ·错因：去分母是等式整体同乘最小公分母，每一项都要乘，常数项极易漏乘 ·规避方法：去分母口诀：有分母、无分母，所有项全部同乘公分母，一项不漏 易错点3系数正负颠倒，符号出错 ·错例：-2x=4,系数化为1得X=2 ·错因：两边同除以负数，未正确变号，符号判断失误 1/7 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 。 规避方法：系数为负，两边同除负数，左右符号同步反转 解题攻略 题型一：解一元一次方程 圜方法技巧 标准五步解法：去分母→去括号→移项→合并同类项一→系数化为1。 1.(25-26七年级下·甘肃天水期末)解方程 (02x-3=3x-1 25x7+1=3x-1 6 4 2.(25-26六年级下·山东威海期末)解方程： (1)4x-312-x=6 2)3x-1-1=5x-2 4 6 3)+4-X-1=-10 0.20.5 3.(25-26七年级下·黑龙江大庆·期末)解一元一次方程： (①)4x+1=9+2x 2X3-2x+1=-1. 2 3 4.(25-26七年级上·河北石家庄·期末)本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小萌 同学的解题过程： 3x-1-1=5x-7 4 6 解：去分母（方程两边乘12），得33x-1-1=25x-7① 去括号，得9x-10x=-14+3+1② 移项，得9x-10x=-14+3+1③ 合并同类项，得-x=-10④ 系数化为1，得x=10⑤ 217 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)以上求解步骤中，第一步的依据是 (2)上述小萌的解题过程从第步开始出现错误.。 (3)请帮小萌改正错误，写出完整的解题过程. 题型二：已知一元一次方程的解求参数 冒方法技巧 核心方法：将已知解代入原方程，转化为关于参数的普通方程。 1.(25-26七年级下.吉林长春期末)已知关于x的一元一次方程2x+a=0的解为X=2, 则a的值为() A.4 B.-4 c.1 D.-1 2.（25-26六年级下山东烟台期末)若关于x的一元一次方程2x+a=4的解为x=-3, 则a的值为(). A.-2 B.2 C.-10 D.10 3.关于x的方程2x+a=5的解是x=3,则a= 题型三：一元一次方程同解问题 冒方法技巧 1.解题套路：先解不含参数的方程，求出未知数的值； 2.将解代入含参数方程，求解参数： 2.双参数题型：分别求解、交叉代入，联立求值。 1.(25-26七年级下四川内江期末)若关于x的方程8-2m=21-x与方程2x-3=-x 的解相同，则m的值为() A.4 B.2 C.-2 D.-4 2.已知方程3x-1=2x+1和方程2x+a=3a+2有相同的解，那么a的值是 3.已知关于y的方程2y+3=5y+3引-6与方程3ym_2m,Y=1-y的解相同，求 2 m的值. 题型四：一元一次方程错解问题 3/7 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法技巧 1.看错符号、漏乘漏项：根据错误步骤列出错方程，代入错解求出参数； 2.用求出的正确参数代入原正确方程，重新求解标准答案。 1.(25-26六年级下-山东威海期中)小明解方程2x-1=×十-1时，由于粗心大意， 52 在去分母时，方程右边的-1没有乘以10，由此求得的解为x=4,则方程 2x-1_x+a 52 -1正确的解是（) A.X=4 B.X=7 C.x=10 D.x=13 2.(25-26七年级上·四川凉山期末)小明在解方程3x-x-2a=4去括号时，忘记将括 号中的第二项变号，求得方程的解为x=-2,那么方程正确的解为() A.X=2 B.x=-4 C.x=6 D.X=8 3.(25.26六年级下-山东青岛期中)小明解方程2+1-X二Q=1时，去分母时方程右 3 2 边的1忘记乘6，得到错误解x=2,则方程正确的解x=: 4.(25-26七年级下·重庆万州·期中)某同学在解方 2x-1_3x+2Q-2去分母时，方 3 4 程右边的-2没有乘12，因而求得的方程的解为x=4,试求α的值，并求出原方程的正确 解。 题型五：一元一次方程整数解问题 □方法技巧 1.解题步骤：正常解方程，用参数表示未知数x= 2.整数条件：×为整数→分母是分子的因数（正负因数均考虑）： 3.枚举所有整数因数，求出对应参数取值。 1.已知k为整数，关于x的方程(k+2)X=3有负整数解，则满足条件的k的值有( A.1个 B.2个 C.3个 D.无数多个 2。已知关于x的方程x一2m心=子2的解是非负整数，则符合条件的所有整数m的和 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是() A.23 B.-34 C.-23 D.34 3.已知关于x的方程k心-1=3-x的解为正整数，则k能取的整数值的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 4.（25-26七年级下黑龙江大庆期中)）若关于X的方程+2-X十1-1的解是负整数， 32 且k也是整数，则满足条件的所有k的值为 题型六：根据一元一次方程解的其他情况求参问题 ☐方法技巧 1.唯一解：化简为aX=b,满足a≠0；无数解：a=0且b=0;无解：a=0且 b≠0 2.其他情况需根据条件求解。 1.己知方程6一X=x-1的解比关于x的方程-11=3k+1的解大5，则k的值为（) 4 A.-5 B.-2 C.1 D.3 2.(25-26七年级上·江苏扬州·期末)关于x的方程3x=2x+a的解是方程4x+2=7-x 的解的3倍，则a的值为_· 3.关于x的两个一元一次方程2x+1=-5与3x+m=-x+1的解互为相反数，求m的值. 4.已知m,n是有理数，关于x的方程mx-3+n3x+1=5x+1 (1)当m=2时，解该方程， (2)若该方程有无数解，求，n的值. 题型七：一元一次方程中新定义问题 口方法技巧 1.核心原则：严格按题目新定义运算，不套用常规运算； 2.步骤：翻译新定义式子→列出对应方程→化简求解、验证参数。 1.(2026湖南怀化一模)已知二次多项式ax+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)， 把关于x的方程3ax+b=2x-1的解称为该二次多项式的“衍生值”，若无论t为何值时， 517 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二次多项式2X-+5和X-2t-mx的“衍生值”都相等，则2m-n的值是（） 3 A. B.1 C. 2 D.2 2.定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”. 例如：方程2x=4和x+2=0为“和谐方程”.若关于x的方程3x+m=10与方程 4x-2=x+10是“和谐方程”，则m= 3.定义：若关于x的方程mx+n=0m≠0的解为x=n+m,则称这样的方程为“元宵方 程”.例如：2x- 0的解为x=2 3 丽2-+2则方程2x-=0为“元宵方程”， 而亏 3 3 1)方程3x-9=0是“元宵方程”吗？请说明理由. 4 (2)若m=-3,有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理 由 (3)若关于x的方程mx+n=0m≠0为“元宵方程”，请解关于y的方程： m(m+ny+3=3y-ny 4.(25-26六年级下·山东烟台·期中)定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就 称这两个方程为“毓德方程”.例如：方程2x-1=4和2x-3=0为“毓德方程”. (1)请判断方程4x-2x+5=2与方程-2y-y+3=3是否互为“毓德方程”： (②若关于x的方程登+m-1=0与方程3x-2=x+4互为“毓德方程”，求m的值。 5.定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例 如：方程4x=8和x+1=0为“集团方程”. (1)若关于x的方程3x+m=0与方程4x-1=x+8是“集团方程”，则m的值为 (2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个解为，求n的值； 1 3)若关于x的一元一次方程2025x+3=2x+k和2025x+1=0是“集团方程”，直接写 出关于y的一元一次方程25y+1+3=2y+2+k的解。 617 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型八：绝对值方程 口方法技巧 1.基础形式x=a:a>0,两解x=±a;a=0,唯一解x=0;a<0,无解； 2.常规解法：整体换元，将绝对值内式子看作整体，先求绝对值整体值； 3.分类去绝对值：根据正负性拆分两种情况，分别解方程。 1.如果x=-X,那么() A.x<0 B.x>0 C.X≤0 D.X≥0 2.(235-26七年级下河南南阳期肿)方程2x+1=1的解是() B.x=-1 3 或x= 2 D.X 2或x=-3 3.若-x=3,则x= 4.解下列方程： (1)x-31=2 号2x+1=1. 717 第五章 一元一次方程 5.2 解一元一次方程 🔷知识点一　解一元一次方程 1. 移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫作移项。 2. 解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 ⚠️特别提醒 ①这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化； ②解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号。 易错点 1 移项不变号 · 错例：解方程 ，移项得 · 错因：未掌握移项核心规则，项从方程一侧移到另一侧必须变号，同侧交换位置不变号 · 规避方法：牢记口诀“移项必变号，同侧不变号” 易错点 2 去分母时漏乘不含分母的常数项 · 错例：解方程 ，去分母得 · 错因：去分母是等式整体同乘最小公分母，每一项都要乘，常数项极易漏乘 · 规避方法：去分母口诀：有分母、无分母，所有项全部同乘公分母，一项不漏 易错点 3 系数正负颠倒，符号出错 · 错例：，系数化为1得 · 错因：两边同除以负数，未正确变号，符号判断失误 · 规避方法：系数为负，两边同除负数，左右符号同步反转 题型一：解一元一次方程 📝方法技巧 标准五步解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 1．（25-26七年级下·甘肃天水·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得． 2．（25-26六年级下·山东威海·期末）解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解：利用分数的基本性质将分母化为整数，得， 去括号得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 3．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）解一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小萌同学的解题过程： 解：去分母(方程两边乘12)，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 系数化为1，得⑤ (1)以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)上述小萌的解题过程从第 步开始出现错误． (3)请帮小萌改正错误，写出完整的解题过程． 【答案】(1)等式的性质2 (2)一 (3)完整的解题过程． 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 【分析】（1）根据等式的性质回答即可； （2）根据解一元一次方程的一般步骤逐步判断即可； （3）根据解一元一次方程的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解：第一步方程左右两边乘12，依据是等式的性质2； （2）解：上述小萌的解题过程从第一步开始出现错误，错误原因是漏乘12； （3）略 题型二：已知一元一次方程的解求参数 📝方法技巧 核心方法：将已知解代入原方程，转化为关于参数的普通方程。 1．（25-26七年级下·吉林长春·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得：． 2．（25-26六年级下·山东烟台·期末）若关于的一元一次方程的解为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解的概念，方程的解能使方程左右两边相等，将已知解代入原方程即可求出的值． 【详解】∵是一元一次方程的解， ∴将代入方程得：， 整理得：， 解得：． 3．关于x的方程的解是，则______． 【答案】 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴ 解得． 题型三：一元一次方程同解问题 📝方法技巧 1. 解题套路：先解不含参数的方程，求出未知数的值； 2. 将解代入含参数方程，求解参数； 2. 双参数题型：分别求解、交叉代入，联立求值。 1．（25-26七年级下·四川内江·期末）若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】两个方程解相同，先求解不含参数的第二个方程，再将解代入第一个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程得， 解得． 2．已知方程和方程 有相同的解，那么的值是______． 【答案】 【分析】分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于的方程，从而可以求出的值． 【详解】解：解方程得：， 解方程得：， ∵方程和方程有相同的解， ∴， 解得：． 3．已知关于的方程与方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】解方程得，代入后得，求解后可得答案． 【详解】解：解方程， 得：， ∵关于的方程与方程的解相同， ∴， 即， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 即的值为． 题型四：一元一次方程错解问题 📝方法技巧 1. 看错符号、漏乘漏项：根据错误步骤列出错方程，代入错解求出参数； 2. 用求出的正确参数代入原正确方程，重新求解标准答案。 1．（25-26六年级下·山东威海·期中）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘以10，由此求得的解为，则方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据错误的去分母规则得到错误方程，将错解代入求出参数的值，再将参数的值代入原方程求解，即可解题． 【详解】解：∵小明去分母时，方程右边的没有乘以， ∴错误去分母得到的方程为：， 将代入错误方程，得， 解得， 将代入原方程，得， 两边同乘10正确去分母，得， 展开得， 移项合并得， 解得， ∴方程正确的解为． 2．（25-26七年级上·四川凉山·期末）小明在解方程去括号时，忘记将括号中的第二项变号，求得方程的解为，那么方程正确的解为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目给出小明在解方程时犯了一个常见的符号错误：去括号时没有改变括号内第二项的符号．我们可以通过他错误的解反推出参数的值，然后将代入原方程，正确解出方程的解．关键在于理解错误操作下的方程形式，并据此建立等式求出． 【详解】解：因此他的错误方程为： ． 代入错误解， 解得： 代入原方程： 即： 解得： 3．（25-26六年级下·山东青岛·期中）小明解方程时，去分母时方程右边的1忘记乘6，得到错误解，则方程正确的解_____． 【答案】7 【分析】先根据小明错误的解法求出，从而可得原方程为，再解一元一次方程即可得出结果． 【详解】解：∵小明解方程时，去分母时方程右边的1忘记乘6，得到错误解， ∴， ∴将代入可得， 解得：， ∴原方程为， 去分母可得：， 解得：． 4．（25-26七年级下·重庆万州·期中）某同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘12，因而求得的方程的解为，试求a的值，并求出原方程的正确解． 【答案】， 【分析】把代入到去分母后的方程可得，可得原方程为，进一步解方程即可. 【详解】解：， 该同学去分母时得到的错误方程为，， ∵是方程的解， ∴把代入得， ∴， ∴， 得． 把代入到原方程中得， 整理得，， ∴， 解得． 题型五：一元一次方程整数解问题 📝方法技巧 1. 解题步骤：正常解方程，用参数表示未知数 ； 2. 整数条件：x为整数 → 分母是分子的因数（正负因数均考虑）； 3. 枚举所有整数因数，求出对应参数取值。 1．已知为整数，关于的方程有负整数解，则满足条件的的值有(        ) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【答案】B 【分析】先求解方程得到关于的表达式，再根据方程有负整数解，为整数，确定的可能取值，进而得到满足条件的的个数． 【详解】，方程有解 ，可得 方程的解为负整数，为整数 为整数，且， 是的负整数因数，的负整数因数只有和 当时，，符合要求 当时，，符合要求 满足条件的共有个． 2．已知关于x的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数m的和是（   ） A．23 B． C． D．34 【答案】B 【分析】先解方程得到用含m的代数式表示的x，再根据x是非负整数确定所有符合条件的整数m，最后计算m的和即可． 【详解】解：原方程为 ∵方程两边同乘6去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： ∴ ∵ x是非负整数，m是整数，时等式不成立， ∴ x为正整数，因此为负整数，且是10的约数， ∴的可能取值为 对应m的值为 ∴ 所有整数m的和为 ． 3．已知关于的方程的解为正整数，则能取的整数值的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先整理方程得到x关于k的表达式. 再根据x为正整数、k为整数，确定k的可能取值． 【详解】，解得， ∵为正整数，∴， ∴， 又∵为正整数，k为整数， ∴是4的正因数， ∴或或， ∴或或，共3个符合条件的整数值． 4．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）若关于的方程的解是负整数，且也是整数，则满足条件的所有的值为_________． 【答案】， 【分析】先解关于的一元一次方程，用含的代数式表示出，根据方程的解是负整数，为整数，可知是的负因数，进而求出所有满足条件的的值． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 解得 方程的解是负整数，是整数 是的负因数，即或 当时， 解得，符合题意 当时， 解得，符合题意 故满足条件的所有的值为，． 题型六：根据一元一次方程解的其他情况求参问题 📝方法技巧 1. 唯一解：化简为 ，满足 ；无数解： 且 ； 无解： 且 ； 2. 其他情况需根据条件求解。 1．已知方程的解比关于x的方程的解大5，则k的值为（  ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】先解出第一个方程的解，再根据两个方程解的关系得到第二个方程的解，代入第二个方程即可求出k的值． 【详解】解：先解方程， 去分母得 ， 展开得 ， 移项合并同类项得 ， 解得 ， ∵方程的解比方程的解大5， ∴方程的解为 ， 把代入得， 移项合并同类项得， 解得． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）关于x的方程的解是方程的解的3倍，则a的值为______． 【答案】3 【分析】先求出方程的解，再根据题意得到方程的解，代入求解的值． 【详解】解：解方程， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 因为方程的解是方程的解的倍， 所以方程的解为， 将代入方程， 得， 即， 解得． 3．关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解与解一元一次方程，先解出第一个方程的解，根据两个方程的解互为相反数得到第二个方程的解，再将解代入第二个方程即可求出的值． 【详解】解：解方程 移项得 解得 ∵两个方程的解互为相反数 ∴方程的解为 把代入 得 整理得 解得． 4．已知m，n是有理数，关于x的方程 (1)当时，解该方程． (2)若该方程有无数解，求m，n的值． 【答案】(1)当时，方程无解，当时， (2)， 【分析】（1）当时，原方程为，整理可得，分情况求解即可得出结果； （2）将原方程整理可得，再结合该方程有无数解，且m，n是有理数，得出，求解即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，原方程为， 整理可得：， ∴当，即时，方程变为，此方程无解， 当，即时，方程的解为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵该方程有无数解，且m，n是有理数， ∴， 解得：，． 题型七：一元一次方程中新定义问题 📝方法技巧 1. 核心原则：严格按题目新定义运算，不套用常规运算； 2. 步骤：翻译新定义式子→列出对应方程→化简求解、验证参数。 1．（2026·湖南怀化·一模）已知二次多项式（是常数，且），把关于的方程的解称为该二次多项式的“衍生值”．若无论为何值时，二次多项式和的“衍生值”都相等，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据题中“衍生值”的定义列方程求解，再由无论为何值时，二次多项式的“衍生值”都相等，列方程组求解即可． 【详解】解：∵方程的解是多项式的“衍生值”， ∴是多项式的“衍生值”， ∵方程的解是多项式的“衍生值”， ∴是多项式的“衍生值”， ∵二次多项式和的“衍生值”都相等， ∴，即， ∵无论为何值时，二次多项式的“衍生值”都相等， ∴，解得， ∴． 2．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则______． 【答案】22 【详解】解：解方程，得， 又方程与方程是“和谐方程”， ∴方程的解为， 把代入，得， 解得． 3．定义：若关于的方程的解为，则称这样的方程为“元宵方程”．例如：的解为，而．则方程为“元宵方程”． (1)方程是“元宵方程”吗？请说明理由． (2)若，有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． (3)若关于的方程为“元宵方程”，请解关于的方程：． 【答案】(1)方程是“元宵方程”， 解：解方程，得， 又∵， ∴方程是“元宵方程”． (2)有，该方程的解为 (3) 【分析】本题根据“元宵方程”的定义解题，核心思路为：对于，若方程的解满足，则为元宵方程． （1）先求解给定方程，再计算，对比验证即可； （2）根据元宵方程的定义建立关于的等式，代入求出，再得到方程的解； （3）先根据元宵方程的定义推导出，代入关于的方程化简求解． 【详解】（1）略 （2）解：若是“元宵方程”，则满足方程的解， 又∵的解为， ∴代入得：， 解得，因此存在符合要求的“元宵方程”， ∴方程的解为． （3）解：∵是“元宵方程”， ∴，整理得， 将代入关于的方程得：， 解得． 4．（25-26六年级下·山东烟台·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“毓德方程”，求m的值． 【答案】(1)方程与方程互为“毓德方程” (2) 【分析】（1）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得 ； 解方程，得 ， ∵， ∴方程与方程是互为“毓德方程”； （2）解：解方程得 ， 解方程，得 ， ∵关于的方程与方程互为“毓德方程”， ∴， ∴． 5．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”． (1)若关于x的方程与方程是“集团方程”，则m的值为_________； (2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)6 (2)或 (3) 【分析】（1）先分别求解两个方程的解，再根据“集团方程”定义（解的和为1）列方程求m； （2）设两个解，利用“集团方程”解的和为1及差为6列方程求n； （3）先求已知方程的解，根据“集团方程”定义求另一个方程的解，再通过方程变形求y的值． 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程与方程是“集团方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“集团方程”的两个解的和为1，设其中一个解为n， ∴另一个解是， ∵两个解的差是6， ∴，即， ∴或， 解得或． （3）解：∵， ∴， ∵和是“集团方程”， ∴的解为， ∵可化为， ∴， ∴． 题型八：绝对值方程 📝方法技巧 1. 基础形式 ：a＞0，两解 ；a=0，唯一解x=0；a＜0，无解； 2. 常规解法：整体换元，将绝对值内式子看作整体，先求绝对值整体值； 3. 分类去绝对值：根据正负性拆分两种情况，分别解方程。 1．如果，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义判断的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，，不满足；当时，，满足条件；当时，，满足条件； ∴满足的的取值范围是． 2．（25-26七年级下·河南南阳·期中）方程的解是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用绝对值的性质将原方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴方程两边同乘，得 ， ∴或， 解，得； 解，得． ∴原方程的解为或． 3．若，则___________． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义，绝对值等于正数的数有两个，这两个数互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：， ， 或 ，即 ． 4．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】利用绝对值的性质：若（），则，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：对于方程， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． （2）解：对于方程， 两边同乘，得， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $