专题2.4 最简二次根式及其二次根式的加减法（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本初中数学讲义聚焦最简二次根式的判定与化简、同类二次根式的识别与合并、二次根式的加减及混合运算、分母有理化等核心知识点，构建从概念理解到运算应用的递进学习支架。 资料通过“即学即练”与分层题型设计，涵盖判断、化简、规律探究及实际应用等，培养学生运算能力与推理意识，如规律探究题引导用数学眼光发现问题，实际应用题提升应用意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题2.4 最简二次根式及其二次根式的加减法 教学目标 1.掌握最简二次根式判定标准，熟练运用多种方法把普通根式化为最简形式。 2.能准确识别同类二次根式，依据乘法分配律规范完成同类根式合并计算。 3.牢记二次根式加减三步计算流程，熟练完成根式加减、混合运算题目。 4.理解分母有理化原理，会找有理化因式去掉分母根号，规避常见计算错误。 教学重难点 重点： 1.最简二次根式两条判定条件，掌握整数、分数、多项式根式的化简方法。 2.同类二次根式判断与合并方法，落实 “先化简，再合并” 的加减运算规则。 3.分母有理化操作方法，以及二次根式混合运算的运算先后顺序要求。 难点： 1.忽略化简步骤直接判断同类根式，容易误判被开方数不同的根式为同类根式。 2.化简含多项式、小数、带分数的根式，因式转化与去分母步骤容易遗漏出错。 3.混合运算结合分母有理化综合题型，易混淆运算顺序、错误合并非同类根式。 知识点01最简二次根式 1.概念 满足两个条件才是最简二次根式：第一，被开方数不含分母；第二，被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 2.化简二次根式的通用方法 第一，提取完全平方因数/因式开方：找出被开方数里能开尽方的数字或代数式，开方后写到根号外侧。 第二，化去根号内分母：被开方数是带分数先转假分数；是小数先化为分数；是分式则配平方分母再开方。 第三，被开方数为多项式时，先因式分解，再拆分能开方的因式化简。 【即学即练】 1．下列是最简二次根式的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴选项均不是最简二次根式， 选项的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． 知识点02同类二次根式 1.概念 几个二次根式化简成最简形式后，如果被开方数完全相同，这几个根式称为同类二次根式。 2.合并同类二次根式方法 依据乘法分配律，只把根号外的系数相加，根指数、根号内的被开方数保持不变，不能改动根号部分。 【即学即练】 2．若能与最简二次根式合并，则的值为________． 【答案】5 【详解】解：∵，能与最简二次根式合并， ∴与是同类二次根式，被开方数相等， ∴， ． 3．下列式子中和是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是最简二次根式，被开方数为； A选项：是最简二次根式，被开方数为，，不符合要求； B选项：，化简后为整数，不符合要求； C选项：是最简二次根式，被开方数为，，不符合要求； D选项：，最简二次根式的被开方数为，与的被开方数相同， 和是同类二次根式； 4．与最简二次根式是同类二次根式，则_________． 【答案】 【详解】解：∵是最简二次根式， 又∵与是同类二次根式， ∴， 解得． 知识点03二次根式的加减法 1.加减运算法则 先把所有二次根式化为最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并，非同类根式不能合并。 2.三步运算步骤 化：全部根式统一化简为最简二次根式； 找：区分找出化简后被开方数相同的同类二次根式； 合：同类根式系数相加减，根号与被开方数原样保留。 【即学即练】 5．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项，与无法直接合并，，错误； B选项，，错误； C选项，与无法直接合并，，错误； D选项，，正确． 6．计算：． 【答案】 【详解】解：原式； 知识点04二次根式的混合运算 运算顺序和整式运算完全一致：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号优先计算括号内内容，也可先去括号计算。 【即学即练】 7．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 知识点05分母有理化 1.定义 分母中含有根式时，利用分式基本性质消去分母里根号的过程，叫做分母有理化。 2.核心方法 给分子、分母同时乘分母对应的有理化因式，让分母转化为不含根号的有理数或整式。 【即学即练】 8．计算：________． 【答案】 【详解】解：原式． 9．已知：，则的值是________． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴． 题型01 最简二次根式的判断 【例1】下列根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确． 【例2】下列根式，，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； 的被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，的被开方数含分母，不是最简二次根式； 所以最简二次根式共2个，故A选项符合题意． 【变式1-1】下列根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故A选项不符合题意； 选项B：被开方数含分母，不是最简二次根式，故B选项不符合题意； 选项C：被开方数含分母，不是最简二次根式，故C选项不符合题意； 选项D，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，故D选项符合题意． 【变式1-2】若是最简二次根式，则可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A中，满足，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，因此是最简二次根式，符合要求． 选项B中，无意义，因此排除B； 选项C中，被开方数含分母，因此不是最简二次根式，排除C； 选项D中，是能开得尽方的因数，，因此不是最简二次根式，排除D． 【变式1-3】在、、、、中，最简二次根式的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ，可化简，不是最简二次根式； 不可以化简，是最简二次根式； ，可化简，不是最简二次根式； ，可化简，不是最简二次根式； 根指数是 ，不是最简二次根式； 所以最简二次根式只有 个． 判断一个根式是否为最简二次根式，严格对照两条标准，两条必须同时满足。第一，被开方数内部不能含有分母；第二，被开方数不存在能开得尽方的因数或者因式。 【例3】计算的结果是 _____． 【答案】 【详解】解：． 【例4】将化简，结果正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】． 【变式2-1】若最简二次根式和乘积是有理数，则______． 【答案】1 【分析】 【详解】解：， 最简二次根式和乘积是有理数， ， 解得：， 故答案为： 【变式2-2】________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式2-3】化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：． （2）解：由，可知． 所以． （3）解：． 因为，所以． 题型02 最简二次根式的化简问题 如果被开方数是整数，先分解质因数，把其中平方数开方放到根号外面，剩余不能开方的部分留在根号内。 如果被开方数是分数、小数、带分数，统一先转化为假分数，再分子分母同乘合适式子，消去根号内的分母。 如果被开方数是多项式，先因式分解，拆分出完全平方式开方；化简全程保证根号内无分母、无平方因数。 题型03 同类二次根式的判断 【例5】二次根式①②③④中，与不是同类二次根式的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】解： ①，被开方数为，与是同类二次根式； ②，被开方数为，与不是同类二次根式； ③，被开方数为，与是同类二次根式； ④，被开方数为，与是同类二次根式； 与不是同类二次根式的是②． 【例6】下列各数中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项．是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式； B选项．是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式； C选项．是最简二次根式，被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式； D选项．是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式． 【变式3-1】下列说法正确的是（   ） A．同类二次根式一定是最简二次根式 B．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式 C．任何两个二次根式都可以化成同类二次根式 D．两个二次根式若不是同类二次根式就不能合并 【答案】D 【详解】解：A．同类二次根式不一定是最简二次根式；化简后被开方数可能相同，是同类二次根式，该说法错误，不符合题意；                                                  B．被开方数不同的二次根式，化简后被开方数可能相同，可能是同类二次根式，该说法错误，不符合题意； C．二次根式化简后被开方数不相同的二次根式不是同类二次根式，该说法错误，不符合题意； D．同类二次根式才能合并，该说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-2】若两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，则称这两个二次根式为同类二次根式．那么下列与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A. 与不是同类二次根式，不符合题意； B. 与不是同类二次根式，不符合题意； C. 与不是同类二次根式，不符合题意； D. =与是同类二次根式． 故选D． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【变式3-3】被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，下列各数与是同类二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解： ，与不是同类二次根式； ，与是同类二次根式； ，与是同类二次根式； ，与不是同类二次根式； 所以与是同类二次根式的有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式化简、同类二次根式判断，解题关键是先化成最简二次根式，再判断同类二次根式． 题型04 求同类二次根式中的参数 【例7】如果最简二次根式能与合并，那么的值为（     ） A．1 B．2 C．6 D．10 【答案】A 【详解】解：∵， 且最简二次根式能与合并， ∴ ， 解得． 【例8】如果最简二次根式与能合并，则______ 【答案】0 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得：． 【变式4-1】若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为________________． 【答案】 【详解】解：依题意，，其被开方数为5， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式4-2】若二次根式与能合并，则整数的值除9之外还可能是__________． 【答案】 （答案不唯一） 【详解】解：， ∵二次根式与能合并， ∴化简后被开方数为， ∴，其中为正整数，且， 当时，，解得：，为题目给出的已知值； 当时，，解得，符合整数要求． 【变式4-3】已知是最简二次根式，且与可以合并，求与的乘积． 【答案】1 【详解】解：由题意得， 解得， ． 题型05 二次根式加减运算 【例9】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，不能合并，A错误； B选项：是整数，是无理数，不是同类项，不能合并，B错误； C选项：，C错误； D选项：，计算正确，D正确 【例10】计算的结果是_______ 【答案】 【详解】解：． 【变式5-1】计算：_______． 【答案】 【详解】解： ． 【变式5-2】计算： ____________________ ． 【答案】 【详解】解： ． 【变式5-3】计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型06 二次根式的混合运算 【例11】计算 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【例12】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式6-2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式6-3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， =， =； （2）， ， =， =． 题型07 二次根式的分母有理化 【例13】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例14】阅读下面材料： ； ； ； 请解决下列问题： (1)求的值； (2)计算（为正整数）的值； (3)利用上面的解法，请计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式7-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式7-2】先化简，再求值． 已知，，求： (1)的值； (2)的值 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴ ． 【变式7-3】观察下列计算：，，，… (1)______；______． (2)用含n的代数式表示你所发现的规律； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) ； (2) 当为正整数时， (3) 【分析】 【详解】（1）解： ； ； （2）解：， ， ， … ． （3）解： ． 分母含有根号时，核心依据分式基本性质，分子、分母同时乘分母的有理化因式，消去分母根号。 单项式根式分母，有理化因式为它本身；两项根式分母，有理化因式是和它共轭的式子（改变中间符号）。 计算结束后整理结果，保证分母为整数或整式，根号只出现在分子位置，同时化为最简二次根式。 题型08 二次根式的化简求值 【例15】已知，则代数式的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：∵， 又∵， ∴原式． 【例16】已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴. 【变式8-1】已知，则___________． 【答案】 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 【变式8-2】已知，，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 【变式8-3】已知，，求的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，或，， ∵， ∴，， ∵ ， 将，代入， 原式． 题型09 二次根式的规律探究问题 【例17】有一组数据按如下规律排列：则第2026个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】观察已知数据找规律： 第个数为 ， 第个数为 ， 第个数为 ， … ∴ 归纳可得，第个数为， 当时，代入得：第个数为 ． 【例18】学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，，… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：___________； （2）若符合上述规律，则___________． 【答案】 【分析】 【详解】解：（1） 可得规律：，其中为大于的正整数． ； （2）由（1）得：， ∵， ， 解得：， ． 【变式9-1】观察式子：，， ，…，由此得到的规律，请你用含n（n是大于等于1的正整数）的式子表示出来_____． 【答案】 【详解】解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …， 以此类推，第n个等式：． 【变式9-2】小言做数学题时，发现；；；；按此规律，若（a，b为正整数），则________． 【答案】 【详解】解：根据题中的规律得：（的正整数）， ，， ， 则． 【变式9-3】阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：理由如下： ； （3）解：原式． 观察一组根式等式，分开观察被开方数、系数、化简结果三组数字的变化规律，记录数值增减、倍数关系。 用含n的代数式总结通用规律，把前 2 到 3 组已知式子代入验证，确认规律准确无误。 逆向题型给出化简结果，结合乘除、分母有理化的运算法则，反向推导原式被开方数与系数。 题型10 二次根式的实际应用 【例19】某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 【例20】一切运动的物体都具有动能．已知运动物体的速度v（单位：米／秒）与质量m（单位：千克），动能（单位：焦耳）近似满足公式．一名运动员在匀速跑步，他的质量是80千克．若动能是2000焦耳，求该运动员的跑步速度． 【答案】该运动员的跑步速度是米／秒 【详解】解：，代入， 得， ∴该运动员的跑步速度是米／秒． 【变式10-1】《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【答案】 【详解】解：由题意得：装裱后长方形的长为， ∴长方形的面积为； 故答案为． 【变式10-2】有一块面积为平方米的正方形工料，李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】能办到；长方形的长和宽分别为米和米 【详解】解：设长方形的长为米，则宽为米， 则由题意得，解得（取正值）， 所以长为米，宽为米， 因为面积为平方米的正方形的边长为， 因为，所以， 所以李师傅能办到，长方形的长和宽分别为米和米． 【变式10-3】高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小红说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．某质量为的小球经过落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)4秒 (2) 解：不正确． 理由： 当时，． ， 她的说法不正确． (3)；启示：严禁高空抛物，一个小球都能砸伤人 【分析】 【详解】（1）解：由题意知：当时，； 故物体从的高空落到地面的时间为4秒． （2）略 （3）解：，， ， ， 所带能量， 这个小球在下落过程中所带能量有． 启示：严禁高空抛物，一个小球都能砸伤人． 一、单选题 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项，无法继续化简，是最简二次根式． B选项，，不是最简二次根式． C选项，，不是最简二次根式． D选项，，不是最简二次根式． 2．下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：同类二次根式的定义为：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式． ∵ 选项A：是最简二次根式，被开方数为，与是同类二次根式． 选项B：，被开方数为，与是同类二次根式． 选项C：，被开方数为，与不是同类二次根式． 选项D：是最简二次根式，被开方数为，与是同类二次根式． 3．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.，故A错误． B.，故B错误． C.，故C正确． D.，故D错误． 4．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（　　） A． B． C． D．12s 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴ ． 5．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴ ． 6．已知，，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即． 故选：A． 二、填空题 7．若式子是最简二次根式，请写出一个符合条件的实数x的值________． 【答案】5（答案不唯一） 【详解】解：令， 解得， 此时是最简二次根式，符合要求. 8．计算：______． 【答案】1 【详解】解：原式 ． 9．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 【答案】63 【详解】解：已知，，，……， 可归纳出一般形式：． 当时，． 故答案为63． 三、解答题 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2） 11．已知，． (1)求和的值； (2)求的值； 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解： ． 12．小明用计算器计算的近似值，得到 (1)请用这个近似值计算的近似值（结果保留三位小数）； (2)请用这个近似值，计算的近似值（结果保留三位小数）． 【答案】(1)3.464 (2)17.493 【详解】（1）解： （2）解： 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】解： ． 2．已知，，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ． 3．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 4．若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的平方根； (2)对于任意的正实数和，我们定义新运算：，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∴的平方根为； （2）解：∵，， ∴ 5．【发现问题】进行二次根式的计算时，有时会遇到这种分母中含有无理数的式子． 【分析问题】对形如这类式子可以用课本所学知识直接进行计算，但是这类式子无法直接计算，我们可以用之前所学乘法公式来解决． 【解决问题】经过探索、同学们发现可以用下面的方法进行计算： 请你认真阅读同学们的解题方法、并解决下列问题： (1)计算：___________． (2)计算：； (3)求：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：对任意正整数，对分母有理化得， 因此， ． 6．我们可以用不同的方法比较二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 方法1：我们可以用“平方法”将和分别平方． 因为，，，所以． 方法2：在方格纸中通过“构造线段法”来比较大小． 如图，在方格纸中，画线段，，连接，可得．根据垂线段最短，可得，即． (1)比较大小：______9； (2)请分别用“平方法”和“构造线段法”比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：， ； （2）解：构造线段法：如图； ， ； 平方法：， ， ， ． 7．同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0．由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)若，其中，为有理数，则________，________； (2)如果，其中，为有理数，求的立方根． 【答案】(1)；2 (2) 【分析】 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：． （2）解：， ， ． ，为有理数， ，， 解得，， ， ∴的立方根为． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 最简二次根式及其二次根式的加减法 教学目标 1.掌握最简二次根式判定标准，熟练运用多种方法把普通根式化为最简形式。 2.能准确识别同类二次根式，依据乘法分配律规范完成同类根式合并计算。 3.牢记二次根式加减三步计算流程，熟练完成根式加减、混合运算题目。 4.理解分母有理化原理，会找有理化因式去掉分母根号，规避常见计算错误。 教学重难点 重点： 1.最简二次根式两条判定条件，掌握整数、分数、多项式根式的化简方法。 2.同类二次根式判断与合并方法，落实 “先化简，再合并” 的加减运算规则。 3.分母有理化操作方法，以及二次根式混合运算的运算先后顺序要求。 难点： 1.忽略化简步骤直接判断同类根式，容易误判被开方数不同的根式为同类根式。 2.化简含多项式、小数、带分数的根式，因式转化与去分母步骤容易遗漏出错。 3.混合运算结合分母有理化综合题型，易混淆运算顺序、错误合并非同类根式。 知识点01最简二次根式 1.概念 满足两个条件才是最简二次根式：第一，被开方数不含分母；第二，被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 2.化简二次根式的通用方法 第一，提取完全平方因数/因式开方：找出被开方数里能开尽方的数字或代数式，开方后写到根号外侧。 第二，化去根号内分母：被开方数是带分数先转假分数；是小数先化为分数；是分式则配平方分母再开方。 第三，被开方数为多项式时，先因式分解，再拆分能开方的因式化简。 【即学即练】 1．下列是最简二次根式的是（     ）． A． B． C． D． 知识点02同类二次根式 1.概念 几个二次根式化简成最简形式后，如果被开方数完全相同，这几个根式称为同类二次根式。 2.合并同类二次根式方法 依据乘法分配律，只把根号外的系数相加，根指数、根号内的被开方数保持不变，不能改动根号部分。 【即学即练】 2．若能与最简二次根式合并，则的值为________． 3．下列式子中和是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．与最简二次根式是同类二次根式，则_________． 知识点03二次根式的加减法 1.加减运算法则 先把所有二次根式化为最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并，非同类根式不能合并。 2.三步运算步骤 化：全部根式统一化简为最简二次根式； 找：区分找出化简后被开方数相同的同类二次根式； 合：同类根式系数相加减，根号与被开方数原样保留。 【即学即练】 5．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 6．计算：． 知识点04二次根式的混合运算 运算顺序和整式运算完全一致：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号优先计算括号内内容，也可先去括号计算。 【即学即练】 7．计算： (1)； (2) 知识点05分母有理化 1.定义 分母中含有根式时，利用分式基本性质消去分母里根号的过程，叫做分母有理化。 2.核心方法 给分子、分母同时乘分母对应的有理化因式，让分母转化为不含根号的有理数或整式。 【即学即练】 8．计算：________． 9．已知：，则的值是________． 题型01 最简二次根式的判断 【例1】下列根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【例2】下列根式，，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】下列根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】若是最简二次根式，则可能是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】在、、、、中，最简二次根式的个数是（     ） A． B． C． D． 判断一个根式是否为最简二次根式，严格对照两条标准，两条必须同时满足。第一，被开方数内部不能含有分母；第二，被开方数不存在能开得尽方的因数或者因式。 题型02 最简二次根式的化简问题 【例3】计算的结果是 _____． 【例4】将化简，结果正确的是（     ）． A． B． C． D． 【变式2-1】若最简二次根式和乘积是有理数，则______． 【变式2-2】________． 【变式2-3】化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 如果被开方数是整数，先分解质因数，把其中平方数开方放到根号外面，剩余不能开方的部分留在根号内。 如果被开方数是分数、小数、带分数，统一先转化为假分数，再分子分母同乘合适式子，消去根号内的分母。 如果被开方数是多项式，先因式分解，拆分出完全平方式开方；化简全程保证根号内无分母、无平方因数。 题型03 同类二次根式的判断 【例5】二次根式①②③④中，与不是同类二次根式的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【例6】下列各数中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列说法正确的是（   ） A．同类二次根式一定是最简二次根式 B．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式 C．任何两个二次根式都可以化成同类二次根式 D．两个二次根式若不是同类二次根式就不能合并 【变式3-2】若两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，则称这两个二次根式为同类二次根式．那么下列与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，下列各数与是同类二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型04 求同类二次根式中的参数 【例7】如果最简二次根式能与合并，那么的值为（     ） A．1 B．2 C．6 D．10 【例8】如果最简二次根式与能合并，则______ 【变式4-1】若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为________________． 【变式4-2】若二次根式与能合并，则整数的值除9之外还可能是__________． 【变式4-3】已知是最简二次根式，且与可以合并，求与的乘积． 题型05 二次根式加减运算 【例9】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【例10】计算的结果是_______ 【变式5-1】计算：_______． 【变式5-2】计算： ____________________ ． 【变式5-3】计算： 题型06 二次根式的混合运算 【例11】计算 (1)． (2)． 【例12】计算： (1)； (2)． 【变式6-1】计算： (1) (2) 【变式6-2】计算： (1) (2) 【变式6-3】计算： (1) (2) 题型07 二次根式的分母有理化 【例13】计算： (1) (2) 【例14】阅读下面材料： ； ； ； 请解决下列问题： (1)求的值； (2)计算（为正整数）的值； (3)利用上面的解法，请计算：． 【变式7-1】计算： (1)； (2)． 【变式7-2】先化简，再求值． 已知，，求： (1)的值； (2)的值 【变式7-3】观察下列计算：，，，… (1)______；______． (2)用含n的代数式表示你所发现的规律； (3)利用这一规律计算：． 分母含有根号时，核心依据分式基本性质，分子、分母同时乘分母的有理化因式，消去分母根号。 单项式根式分母，有理化因式为它本身；两项根式分母，有理化因式是和它共轭的式子（改变中间符号）。 计算结束后整理结果，保证分母为整数或整式，根号只出现在分子位置，同时化为最简二次根式。 题型08 二次根式的化简求值 【例15】已知，则代数式的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例16】已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式8-1】已知，则___________． 【变式8-2】已知，，求的值． 【变式8-3】已知，，求的值． 题型09 二次根式的规律探究问题 【例17】有一组数据按如下规律排列：则第2026个数是（     ） A． B． C． D． 【例18】学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，，… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：___________； （2）若符合上述规律，则___________． 【变式9-1】观察式子：，， ，…，由此得到的规律，请你用含n（n是大于等于1的正整数）的式子表示出来_____． 【变式9-2】小言做数学题时，发现；；；；按此规律，若（a，b为正整数），则________． 【变式9-3】阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 观察一组根式等式，分开观察被开方数、系数、化简结果三组数字的变化规律，记录数值增减、倍数关系。 用含n的代数式总结通用规律，把前 2 到 3 组已知式子代入验证，确认规律准确无误。 逆向题型给出化简结果，结合乘除、分母有理化的运算法则，反向推导原式被开方数与系数。 题型10 二次根式的实际应用 【例19】某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 【例20】一切运动的物体都具有动能．已知运动物体的速度v（单位：米／秒）与质量m（单位：千克），动能（单位：焦耳）近似满足公式．一名运动员在匀速跑步，他的质量是80千克．若动能是2000焦耳，求该运动员的跑步速度． 【变式10-1】《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【变式10-2】有一块面积为平方米的正方形工料，李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 【变式10-3】高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小红说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．某质量为的小球经过落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 一、单选题 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（　　） A． B． C． D．12s 5．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 6．已知，，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若式子是最简二次根式，请写出一个符合条件的实数x的值________． 8．计算：______． 9．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 三、解答题 10．计算： (1)； (2)． 11．已知，． (1)求和的值； (2)求的值； 12．小明用计算器计算的近似值，得到 (1)请用这个近似值计算的近似值（结果保留三位小数）； (2)请用这个近似值，计算的近似值（结果保留三位小数）． 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D．3 2．已知，，求的值． 3．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 4．若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的平方根； (2)对于任意的正实数和，我们定义新运算：，求的值． 5．【发现问题】进行二次根式的计算时，有时会遇到这种分母中含有无理数的式子． 【分析问题】对形如这类式子可以用课本所学知识直接进行计算，但是这类式子无法直接计算，我们可以用之前所学乘法公式来解决． 【解决问题】经过探索、同学们发现可以用下面的方法进行计算： 请你认真阅读同学们的解题方法、并解决下列问题： (1)计算：___________． (2)计算：； (3)求：的值． 6．我们可以用不同的方法比较二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 方法1：我们可以用“平方法”将和分别平方． 因为，，，所以． 方法2：在方格纸中通过“构造线段法”来比较大小． 如图，在方格纸中，画线段，，连接，可得．根据垂线段最短，可得，即． (1)比较大小：______9； (2)请分别用“平方法”和“构造线段法”比较与的大小． 7．同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0．由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)若，其中，为有理数，则________，________； (2)如果，其中，为有理数，求的立方根． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $