专题2.4 立方根（高效培优讲义）数学北师大版2024八年级上册

专题2.4 立方根 教学目标 1. 理解立方根的概念，能准确阐述其定义，会用根号“”表示一个数的立方根 ，明确根指数3不能省略。 2. 熟练运用立方运算求一些常见数的立方根，清晰掌握开立方与立方互为逆运算，并能利用这一关系解决简单数学问题。 3. 深入探究立方根的性质，能够准确区分立方根与平方根在定义、性质、个数及被开方数取值范围等方面的不同 。 教学重难点 1.重点 （1）立方根的概念，引导学生深刻理解立方根是如何由一个数的立方运算逆推得出的，掌握立方根的文字表述与数学符号表示。 （2）立方根的求法，通过实例练习，让学生熟练掌握利用立方运算求立方根的方法，包括正数、负数和零的立方根求解 。 2.难点 （1）正确理解立方根的概念，学生易将立方根与平方根概念混淆，需通过对比分析，帮助学生理解立方根独特的性质和内涵 。 （2）区分立方根与平方根的不同，详细剖析两者在定义、性质、个数以及被开方数范围等方面的差异，通过具体例子和练习强化学生认知 。 知识点01 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2：立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【即学即练1】计算： ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，理解立方根的含义是解本题的关键．根据立方根的含义求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【即学即练2】已知a的立方根为，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】此题主要考查了已知一个数的立方根，求这个数，根据a的立方根为，可得：，据此求出a的值是多少即可． 【详解】解∵a的立方根为， ∴． 故答案为：． 知识点02 立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【即学即练】若，则的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、立方根概念理解 【分析】本题考查的是立方根及平方根的定义，掌握立方根及平方根的定义是解题的关键．根据题意列出关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：， 的平方根是， 故答案为：． 知识点03 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【即学即练】完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【答案】(1)80，4 (2)， (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解． （3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80，4； （2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵， ∴，； （3）解：根据平方根的变化规律得： ∵， ∴ 又， ∴， 从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵ ∴， ∴． 题型01 立方根概念理解 【典例1】下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 【答案】D 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了立方根的概念和求一个数的立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此逐一求解判断即可． 【详解】解：∵正数、0和负数都有立方根， ∴选项A不符合题意； ∵64的立方根是4， ∴选项B不符合题意； ∵立方根等于本身的数有和0， ∴选项C不符合题意； ∴， ∴选项D符合题意， 故选：D． 【变式1】下列说法中，正确的是（   ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．一个非零数的立方根与这个数同号 C．负数没有平方根也没有立方根 D．算术平方根一定是正数 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，根据平方根，立方根，算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、一个数的立方根只有1个，故原说法不正确，不符合题意； B、一个非零数的立方根与这个数同号，正确，符合题意； C、负数没有平方根但是有立方根，故原说法不正确，不符合题意； D、0的算术平方根是0，不是正数，故原说法不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是和 D． 【答案】D 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是正确理解一个正数有一个正的立方根、的立方根是，一个负数有一个负的立方根． 利用立方根的定义及求法逐项判断即可． 【详解】解：、的立方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、有立方根，为，原选项说法错误，不符合题意； 、立方根等于本身的数是，和，原选项说法错误，不符合题意； 、，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 题型02 求一个数的立方根 【典例2】64的立方根是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是立方根的含义，根据立方根的含义求解即可． 【详解】解：64的立方根是， 故答案为：． 【变式1】计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键． 根据立方根的性质求解即可． 【详解】． 故答案为：． 【变式2】的平方根是 ．的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根、立方根的计算，解题的关键是掌握平方根和立方根的求解过程． 根据平方根、立方根的定义计算即可． 【详解】解：， ； ， ； 故答案为：，． 题型03 已知一个数的立方根，求这个数 【典例3】已知一个数的立方根为，则这个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，属于基础题型，熟练掌握立方根的概念是关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：∵一个数的立方根为， ∴这个数是． 故答案为：． 【变式1】一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的综合运用，先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案．熟记平方根、立方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， 分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； 的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为， 故答案为：． 【变式2】已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数，平方根的定义，求一个数的算术平方根，根据和是正数M的平方根可得与相等或与互为相反数，据此求出a的值， 再由立方根的定义求出b的值，则可求出的值，最后根据算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：当时，则， 当与不相等时， ∵和是正数M的平方根， ∴， ∴； 综上所述，或； ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴或， ∴的算术平方根是或， 故答案为；或． 题型04 立方根的性质 【典例4】已知，则的值为 ． 【答案】或或 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根的计算，掌握立方根的性质是关键． 根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，列式求解即可． 【详解】解：，即一个数的立方根等于它本身， ∴当时， 解得，； 当时， 解得，； 当时， 解得，； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或 ． 【变式1】数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、整式的加减运算 【分析】本题考查绝对值的性质，算术平方根以及立方根的性质；根据有理数、、在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果． 【详解】解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 故答案是：． 【变式2】根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 【答案】2，，0，，；；当为偶数时，；当为奇数时， 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与立方根有关的规律探索 【分析】此题考查立方根的定义及性质，求一个数的立方根，探究实数的计算规律，正确求出一个数的立方根是解题的关键． 先根据立方根定义填空，以此总结出的结果；对于式子（是整数）需要分为偶数和奇数进行讨论，得到偶次方根和奇次方根的结果． 【详解】解：；；；；， 则对于实数； 对于式子（是整数）， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 题型05 利用开立方解方程 【典例5】解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根，立方根定义求解方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）先整理为，再利用平方根定义解方程即可； （2）先整理为 ，再利用立方根定义解方程即可； 【详解】（1）解：由 得 所以 所以 或 解得 或 （2）解：由 得 所以 所以 解得 【变式1】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（）把移到右边，再根据平方根的定义解答即可； （）把移到右边，再根据立方根的定义解答即可； 本题考查了利用平方根和立方根解答方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查由平方根运算、立方根运算解方程，熟练掌握平方根及立方根运算是解决问题的关键． （1）由平方根运算，直接开平方求解即可得到答案； （2）由立方根运算，直接开立方求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 即， ， 解得或； （2）解：， ， 即， 解得． 题型06 平方根与立方根的综合 【典例6】已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 【变式1】已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)的平方根是． 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其运算方法是关键． （1）根据算术平方根，立方根的计算列式求解即可； （2）把的值代入，根据平方根的计算求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是2， ， 解得； 的立方根是2， ，即， 解得． （2）解：由（1）知，，， ； 而10的平方根是， 的平方根是． 【变式2】已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算： （1）根据立方根和算术平方根的定义，进行求解即可； （2）夹逼法求出的值，进而求出的值，再利用平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 题型07 立方根的应用 【典例7】如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为，它的棱长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用．根据立方根的性质解答即可求解． 【详解】解：∵它的体积为， ∴它的棱长是． 【变式1】如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)7厘米 (2)17厘米 【分析】本题考查立方根和算术平方根的实际应用，熟练掌握立方根和算术平方根的计算是解此题的关键． （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积求出长方体的底面面积，再根据长方体的底面面积求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意得，该正方体铁块的棱长为（厘米）， ∴该正方体铁块的棱长为7厘米． （2）解：由题意，长方体的体积为：（立方厘米）， ∴长方体的底面面积为：（平分厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为：（厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为17厘米． 【变式2】在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根以及平方根的实际应用，根据题意正确列出含平方根、立方根的式子是解答本题的关键． （1）设正方体棱长为，根据正方体的体积公式得，解出的值即可； （2）设直径为，根据“用量筒量得从杯中溢出的水的体积为”得，解出的值，即可解答． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得：， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得：，不符合实际， 直径为， 答：直径为． 题型08 与立方根有关的规律探究问题 【典例8】观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________． (3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________． 【答案】(1)右；一； (2)； (3)； 【分析】本题考查数字的变化类、立方根、算术平方根，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值． （1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律； （2）根据（1）的规律可得结论； （3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值． 【详解】（1）解：用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位． 故答案为：右；一； （2）解：∵，结合立方根小数点的规律， ∴，， 故答案为：；； （3）解：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位． ∵， ∴，． 故答案为：；． 【变式1】观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1)0.01，100 (2) (3)当或时，；当或或时，；当或时， 【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． （1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：（1）；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：0.01、100； （2）已知，若，用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3），，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或或时，； 当或时，． 【变式2】（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 一、单选题 1．已知实数的立方根是，则实数的立方根是（  ） A． B．8 C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是掌握求一个数的立方根． 根据立方根的定义，先求出实数的值，再计算的值，最后求其立方根． 【详解】解：由题意得，实数的立方根是，即，故， ∴， ∴， 故选：D． 2．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，相反数，根据平方根、立方根和相反数的定义，逐一判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 故选：． 3．下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．9的立方根是3 C．是的算术平方根 D．16的平方根是4 【答案】A 【分析】本题考查立方根、平方根及算术平方根的定义，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A．，故是的立方根，选项A正确； B．，因此的立方根不是，故选项B错误，不符合题意； C．，其算术平方根为，而非，故选项C错误，不符合题意； D．的平方根为，而选项仅提到，遗漏负根，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 4．若，，则（    ） A．2938 B．6329 C．293.8 D．632.9 【答案】C 【分析】此题考查了立方根．根据已知等式，利用立方根的定义判断即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 5．如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（    ） A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用，掌握立方根的意义是解题的关键．先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论． 【详解】解：∵体积为的正方体的棱长为：， 体积为的正方体的棱长为：， 又 ∵， ∴棱长应变为原来的2倍． 故选：A． 6．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是27，则输出的y的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数，算术平方根及立方根，根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键． 【详解】解：若开始输入的的值是， 则其立方根为，是有理数， 则的算术平方根是， ∵是无理数， ∴输出， 故选：C． 二、填空题 7．计算： ， ， ． 【答案】 【分析】分别根据立方根、绝对值、平方根的定义来计算这三个式子．本题主要考查了立方根、绝对值、平方根的定义，熟练掌握各定义的含义是解题的关键． 【详解】解： ，即 故答案为：，， ． 8．已知与互为相反数，则与的积的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数的定义，算术平方根与平方式的非负性，以及立方根，掌握非负性，利用非负性进行求解是本题的关键．根据题意可以列出式子，利用二次根式与平方式的非负性可求出与的值，即可求出与的积的立方根． 【详解】解：与互为相反数 即 ， ，； ， ， 与的积的立方根为：． 故答案为：． 9．已知实数在数轴上的位置如图所示：则 ． 【答案】 【分析】本题考查了用数轴判断式子正负，立方根和算术平方根． 先由数轴得到，再计算即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，， ∴ ， ， 故答案为：． 10．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，其流程图如下，当输入的值是64时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的计算及无理数的判断；根据程序进行计算判断即可． 【详解】解：是有理数，是有理数，是无理数，输出的值是； 故答案为：． 11．若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少 （用含的代数式表示），若，则棱长应减少 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，代数式求值，根据题意求出立方体体积减少的体积，进而得到减少后立方体的棱长，可得棱长减少的数量，再把代入计算即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵立方体的棱长为， ∴立方体的体积为， ∴立方体体积减少后剩余的体积为， ∴此时的棱长为， ∴棱长应减少， 当时，， ∴若，则棱长应减少， 故答案为：；． 12．（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 【答案】（1），，1 ，10 ，100（2）①，， ② 【分析】本题主要考查了立方根的性质，依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． （1）利用立方根的性质求解即可； （2）①利用立方根的性质求解即可； ②利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：（1）； ； ； ； ； 故答案为：，，1 ，10 ，100； （2）①； ； 故答案为：，； ② 故答案为：． 三、解答题 13．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)9 【分析】本题主要考查了求立方根： （1）利用立方根的定义开立方即可． （2）利用立方根的定义开立方即可． （3）利用立方根的定义开立方即可． （4）利用立方根的定义开立方即可． 【详解】（1）解：的立方根为； （2）解：的立方根为； （3）解：的立方根为； （4）解：的立方根为． 14．求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】此题考查了利用平方根和立方根的意义解方程，熟练掌握平方根和立方根的计算方法是关键． （1）根据平方根的意义得到，即可得到的值； （2）变形为，根据立方根的意义得到，即可得到的值． 【详解】（1）解： ∴    ∴或 （2）解： ∴ 15．计算： (1) (2) 【答案】(1)9 (2)8 【分析】本题考查了实数的混合运算． （1）先计算乘方，算术平方根，立方根，再计算加法即可； （2）先化简绝对值，计算算术平方根，再去括号，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 16．将一正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．如果玻璃杯内部的底面半径为，那么正方体的棱长是多少毫米？（取，结果取整数．） 【答案】正方体的棱长约为 【分析】本题考查立方根的实际应用、圆柱体、正方体的体积的计算方法，掌握体积计算公式是正确解答的前提．根据题意可得底面半径，高为 的圆柱体的体积等于正方体的体积，可利用方程求出棱长． 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得，，即， ∵， ∴； 答：正方体的棱长约为． 17．已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为． (1)求、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根的定义，本题的易错点在于平方根和算术平方根的区分． （1）根据平方根与立方根的定义即可求出答案．根据和是某正数的两个不相等的平方根，可得和互为相反数，其和为；由的立方根为得，即可求出答案． （2）根据第一问求出的值代入得，再由算术平方根的定义求出答案． 【详解】（1）解：由题意和是某正数的两个不相等的平方根可得， ， ， ， 由于的立方根为， ， ； （2）当时，    ∴的算术平方根是 18．某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5． (1)求m，n的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，的值分别为5，6 (2) 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，求一个数的立方根. （1）分别根据平方根和算术平方根的定义计算即可； （2）将，的值分别代入得到，再求立方根即可. 【详解】（1）解：∵某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5， ∴，， 解得，； （2）解：， ∴． 19．观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 【答案】(1)一 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索、算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据表格中的数据总结规律即可； （2）根据所得规律即可求得答案； （3）由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得立方根的规律，从而求得答案． 【详解】（1）解：由表格数据可得：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得：若被开立方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； ∵， ∴． 20．【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 【详解】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 立方根 教学目标 1. 理解立方根的概念，能准确阐述其定义，会用根号“”表示一个数的立方根 ，明确根指数3不能省略。 2. 熟练运用立方运算求一些常见数的立方根，清晰掌握开立方与立方互为逆运算，并能利用这一关系解决简单数学问题。 3. 深入探究立方根的性质，能够准确区分立方根与平方根在定义、性质、个数及被开方数取值范围等方面的不同 。 教学重难点 1.重点 （1）立方根的概念，引导学生深刻理解立方根是如何由一个数的立方运算逆推得出的，掌握立方根的文字表述与数学符号表示。 （2）立方根的求法，通过实例练习，让学生熟练掌握利用立方运算求立方根的方法，包括正数、负数和零的立方根求解 。 2.难点 （1）正确理解立方根的概念，学生易将立方根与平方根概念混淆，需通过对比分析，帮助学生理解立方根独特的性质和内涵 。 （2）区分立方根与平方根的不同，详细剖析两者在定义、性质、个数以及被开方数范围等方面的差异，通过具体例子和练习强化学生认知 。 知识点01 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2：立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【即学即练1】计算： ． 【即学即练2】已知a的立方根为，则a的值为 ． 知识点02 立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【即学即练】若，则的平方根是 ． 知识点03 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【即学即练】完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 题型01 立方根概念理解 【典例1】下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 【变式1】下列说法中，正确的是（   ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．一个非零数的立方根与这个数同号 C．负数没有平方根也没有立方根 D．算术平方根一定是正数 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是和 D． 题型02 求一个数的立方根 【典例2】64的立方根是 ． 【变式1】计算： ． 【变式2】的平方根是 ．的立方根是 ． 题型03 已知一个数的立方根，求这个数 【典例3】已知一个数的立方根为，则这个数为 ． 【变式1】一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【变式2】已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根 ． 题型04 立方根的性质 【典例4】已知，则的值为 ． 【变式1】数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 【变式2】根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 题型05 利用开立方解方程 【典例5】解下列方程： (1)； (2) 【变式1】解下列方程： (1)； (2)． 【变式2】求下列各式中x的值： (1)； (2)． 题型06 平方根与立方根的综合 【典例6】已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【变式1】已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式2】已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 题型07 立方根的应用 【典例7】如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为，它的棱长是多少？ 【变式1】如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【变式2】在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 题型08 与立方根有关的规律探究问题 【典例8】观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________． (3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________． 【变式1】观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【变式2】（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 一、单选题 1．已知实数的立方根是，则实数的立方根是（  ） A． B．8 C． D．2 2．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．9的立方根是3 C．是的算术平方根 D．16的平方根是4 4．若，，则（    ） A．2938 B．6329 C．293.8 D．632.9 5．如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（    ） A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍 6．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是27，则输出的y的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．计算： ， ， ． 8．已知与互为相反数，则与的积的立方根为 ． 9．已知实数在数轴上的位置如图所示：则 ． 10．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，其流程图如下，当输入的值是64时，输出的值是 ． 11．若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少 （用含的代数式表示），若，则棱长应减少 ． 12．（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 三、解答题 13．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．求下列各式中的值： (1) (2) 15．计算： (1) (2) 16．将一正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．如果玻璃杯内部的底面半径为，那么正方体的棱长是多少毫米？（取，结果取整数．） 17．已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为． (1)求、的值； (2)求的算术平方根． 18．某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5． (1)求m，n的值； (2)求的立方根． 19．观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 20．【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$