专题1.7 等边三角形（专题训练）《知识解读·题型专练》-2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦等边三角形性质应用，覆盖8类题型，构建从基础计算到动态综合的知识逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质求长度|5题|结合高、角平分线等性质计算边长|以等边三角形三边相等、三角60°为基础，关联特殊线段性质| |性质求角度|6题|利用内角、外角及旋转性质求角度|延伸至图形变换中的角度关系，强化推理能力| |性质证明|5题|涉及全等、等边三角形判定|构建“性质→判定→应用”逻辑闭环| |折叠问题|4题|轴对称性质与等边三角形结合|体现空间观念，关联图形变换不变量| |动点问题|5题|动态过程中线段、角度关系探究|培养动态几何分析能力，强化变量与不变量思想| |含30°角直角三角形|4题|利用特殊直角三角形边角关系|衔接等边三角形高分割出的特殊三角形，深化知识关联| |斜边中线性质|4题|直角三角形斜边中线应用|拓展至直角构造，完善知识体系|

专题1.7 等边三角形（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 题型 1··根据等边三角形的性质求长度 1 题型·2·根据等边三角形的性质求角度 4 题型·3·根据等边三角形的性质证明) 8 题型·5·与等边三角形有关的折叠问题 13 题型·6·等边三角形中的动点问题 17 题型·7·函 30°角的直角三角形 27 题型·8·斜边的中线等于斜边的一半 29 题型 1··根据等边三角形的性质求长度 1．如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，若，的周长为，，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是关键． 由等边三角形的性质可得，，结合可证明也是等边三角形，则． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B． 2．如图，在等边三角形中，是高，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据三线合一的性质求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形，是高，， ∴， 故选：C． 3．如图，是等边三角形，是的平分线，延长到，使，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，掌握三线合一的定义是解题关键． 由等边三角形可得，，即，进而可求出的长． 【详解】解：是等边三角形，， ， 是的平分线， ， ， ， ， 故选：C． 4．如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质是解答的关键．先根据等边三角形的性质得到，再根据含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 平分交于点， ， ． 故选：D． 5．如图，是等边三角形，D是边上的一点，于点E．若，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．4．8 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，由等边三角形的性质得到，进而得到，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 故选：B 题型·2·根据等边三角形的性质求角度 6．如图，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上， ．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过A作，利用平行线的性质，等量代换证明即可． 【详解】解：如图，过A作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由等边三角形， ∴， ∴． 7．如图，直线，是等边三角形，点，分别在直线，上，交直线于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，，再结合角的和差运算即可得到答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，若，则的度数为（    ） A．45° B．30° C．15° D．20° 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，关键是由等边三角形的性质推出垂直平分． 由等边三角形的性质推出，，由线段垂直平分线的性质推出，得到，判定是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，． ∴垂直平分． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 9．如图，P是正内一点，将绕点B旋转到，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据旋转的性质即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵将绕点旋转到， ∴， 故选：B． 10．如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质， 先根据等边三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形，且是边上的中线， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 11．如图，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质和证明得到，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 题型·3·根据等边三角形的性质证明) 12．如图，是等边三角形，，、相交于点，于点，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，求出，根据全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等求出，求出，根据含角的直角三角形性质求出，即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 又∵， ∴． 13．如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：， ， ． ，，． 是等边三角形， ， ∵， ∴， ， 是等边三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据平行线的性质即可求出的度数； （2）根据垂线的性质得到，可知，进而得到，，，根据等边三角形的性质得到，证明，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， D是边的中点， ． ， ； （2）略． 14．如图，是等边三角形，点是边上一点，，，试判断与的位置关系，并说明你的理由． 【答案】 理由如下： 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】证明，可得，即可求证． 【详解】略 15．如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“等角减去同角仍相等”得到，再根据判定，从而证明结果； （2）利用等量代换将转化为，从而解出答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，即， 在和中，， ， ∴． （2）解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（1）知， 16．如图，都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接． 若，求的长． 【答案】3 【分析】根据等边三角形的性质，证明即可得证． 【详解】∵和均是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型·5·与等边三角形有关的折叠问题 17．如图，等边三角形纸片的边长为，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，解题的关键是通过折叠的性质得出对应的线段等量关系． 根据折叠的性质，得，，即可求得阴影部分的周长之和． 【详解】解：由折叠的性质，得，， ∵为等边三角形， 得， 三个阴影部分的周长的和为： ， 故选D． 18．如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠及其性质．先根据等边三角形性质得，因此当为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，则，由折叠的性质可得出的度数；②当为直角时，则，进而得，由折叠的性质可得出的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】解：为等边三角形， ， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1所示：    则， 由折叠的性质得：， ②当为直角时，如图2所示：    则， ， 由折叠的性质得：， 综上所述：的度数为或． 故选：A． 19．如图，在一个等边三角形纸片中取三边中点，以虚线为折痕折叠纸片，若三角形纸片的面积是，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点和等边三角形的性质得到，，再求出，根据直角三角形斜边中线的性质和三线合一求出，从而可得结果． 【详解】解：如图，∵F分别为中点，是等边三角形， ∴，， ∵D为边中点， ∴，， ∵E为中点， ∴D，E关于对称， ∴垂直平分， ， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线，三角形面积，解题的关键是掌握基本定理，用边的关系找出面积的关系． 20．如图，在△ABC中，CD是AB边的中线，，将△BCD沿CD折叠，使点B落在点E的位置． (1)判断△AED的形状并加以证明； (2)证明． 【答案】(1) 是等边三角形，证明如下： 是的边的中线， ， 由折叠的性质得：， ， 是等边三角形． (2) 证明：由（1）已证：是等边三角形， ， ， ， ． 【分析】（1）先根据线段中点的定义可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据等边三角形的判定即可得出结论； （2）先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的判定即可得证． 【详解】（1）解：略． （2）略． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键． 题型·6·等边三角形中的动点问题 21．在中，点O是边的中点，，． (1)如图1，若，求证：是等边三角形； (2)如图2，在（1）的条件下，若点D在线段延长线上，且是等边三角形，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，点M在线段上，是等边三角形； ①求的度数； ②若点M沿着线段从点B运动到点C，运动的过程中始终是等边三角形，点N随之运动，请直接写出点N的运动路径的长度为 ． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴ ∵点O是线段的中点，， ∴， ∴是等边三角形； (2) 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴≌； (3) ①；②18 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，构造全等三角形是解题的关键． 对于（1），先求出，再说明，即可得出答案； 对于（2），根据等边三角形的性质得，再根据“”得出答案； 对于（3）①，先取的中点H，连接，先说明是等边三角形，再证明≌，可得答案； 对于②，当点N从起点到C做直线运动，当点M在点B时，求出，可得第一段路径，当点M在线段上时，证明≌，由点N从点C到终点做直线运动，求出路径，再求和即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）①如图2，取的中点H，连接， ∵H是的中点，， ∴ ∵， ∴是等边三角形，， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴≌， ∴； ②18． ∵点N从起点到C做直线运动， 当点M在点B时，， ∴点M从点B运动到H时，点N运动路径的长度等于9， 当点M在线段上时，如图3， 由（2）知是等边三角形． ∵是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴≌， ∴， ∴点N从点C到终点做直线运动. ∵当点M在点C时，， ∴点M从点H运动到C时，点N运动路径的长度等于9． 综上所述，点N的路径长度是， 故答案为：18． 22．如图所示，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿方向匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： (1)当点Q到达点C时，与的位置关系如何？请说明理由． (2)在点P与点Q的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由． (3)t为何值时是直角三角形？ 【答案】(1) (2)当时，是等边三角形 (3)当或是直角三角形 【分析】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键． （1）先求出的长，可得点是的中点，由等边三角形的性质可求解； （2）由等边三角形的性质可得方程，即可求解； （3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质列出方程，可求解． 【详解】（1）当点到达点时，与垂直，理由如下： ∵， 当点到达点时，则， ∴， ∴点为的中点， ∴； （2）假设在点与点的运动过程中，能成为等边三角形， ∴， ∴， 解得， ∴当时，是等边三角形； （3）根据题意得， ∴， 当时， ∵， ∵， 即 解得； 当时，同理可得， 解得， 综上所述：当或是直角三角形． 23．已知：如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿，方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，，两点停止运动，设点的运动时间为， 解答下列各问题： (1)的面积为多少？ (2)当为何值时，是等边三角形？ (3)当是直角三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)3 (3)2或4 【分析】（1）如图1，作辅助线，求出AM的长度，借助面积公式，即可求解； （2）由，列出关于t的方程，即可解决问题； （3）运用分类讨论的数学思想，按或两种情况逐一解析，即可解决问题． 【详解】（1）如图，过点A作于点M， ∵是等边三角形，且边长为6， ∴，，， ∴，， ∴的面积 （）． （2）如备用图1，由（1）可知， ∴当时，是等边三角形， ∴， 解得：． （3）如备用图2， 若， ∵， ∴，， 即，解得：； 若， 同理可得， 即，解得：， 综上，或． 【点睛】该题主要考查了等边三角形的判定及其性质、直角三角形的边角关系等几何知识点及其应用问题，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 24．如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结．      (1)当__________时，； (2)请添加一个条件：__________，使得为等边三角形； (3)在（2）的条件下，当为等边三角形时，求证：； 【答案】(1)30 (2) (3) 解：如图1中，   与是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ， ， ， 故． 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识 （1）根据含角的直角三角形的性质解答即可； （2）利用等边三角形的判定解答； （3）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可； 【详解】（1）解：当时， ， ； 故答案为：30； （2）解：添加一个条件， ∵， ∴为等边三角形； 故答案为：； （3）略 25．操作探究：已知是等边三角形，点是边上一点． (1)如图1，过点作交于点，图中有_____个等边三角形； (2)如图2，点在上运动(不与重合)，点是延长线上一点，且，过作于E，连接交于，试说明：在点运动的过程中，线段的长是定值(即)； (3)若将条件中“是等边三角形”改为“是等腰三角形，”，如图3所示，（2）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)还成立，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）根据是等边三角形，，得出、是等边三角形即可； （2）作交于，先判定为等边三角形，再根据三线合一，得到，然后判定，得到，进而得到； （3）作于，先判定，得到，，再判定，得到，进而得到（2）中的结论还成立． 【详解】（1）解：如图1，是等边三角形 ， ， ， 为等边三角形， 、是等边三角形，共2个 故答案为：； （2）线段的长是定值，即，理由如下： 如图，作交于， 是等边三角形 ， ， ， 为等边三角形， ， 又， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， （3）（2）中的结论还成立． 理由：如图3，过点作于， 在与中， 在与中， 题型·7·函 30°角的直角三角形 26．如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角的直角三角形的对边等于斜边的一半，解题关键是理解这些图形的性质． 【详解】∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， 即． 27．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴在中，． 28．在中，是边上的中线，，，，则的面积为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】过点作于点，求出，的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，是边上的中线，， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∴的面积为． 29．如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：∵是等边三角形，平分交于点， ∴，，，且平分， ∴是直角三角形，， 又∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 题型·8·斜边的中线等于斜边的一半 30．如图、两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得， 是的中点，， ，两点间的距离为， 故选：C． 31．如图，一根木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为，若木棍端沿墙下滑，且端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点到点的距离（     ） A．始终不变 B．先变小再变大 C．先变大再变小 D．逐渐变小 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，， 连接， ∵，为的中点， ∴， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化． 32．如图，直角三角形中，分别是斜边上的高和中线，，则的值是（    ） A．15 B．12 C． D．5 【答案】A 【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出长度，并判定是等边三角形，再由三线合一得到长度，最后数形结合表示出要求的线段，代入值计算即可． 【详解】解：在中，为斜边上的中线，则， ， ， 则是等边三角形， ， 由三线合一可得是边上的中线，则， ． 33．如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，连接，则的长为_____． 【答案】 【分析】首先利用三线合一性质得到，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.7 等边三角形（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 题型 1··根据等边三角形的性质求长度 1 题型·2·根据等边三角形的性质求角度 2 题型·3·根据等边三角形的性质证明) 4 题型·5·与等边三角形有关的折叠问题 6 题型·6·等边三角形中的动点问题 7 题型·7·函 30°角的直角三角形 9 题型·8·斜边的中线等于斜边的一半 10 题型 1··根据等边三角形的性质求长度 1．如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，若，的周长为，，则的长为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，在等边三角形中，是高，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，是等边三角形，是的平分线，延长到，使，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 5．如图，是等边三角形，D是边上的一点，于点E．若，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．4．8 题型·2·根据等边三角形的性质求角度 6．如图，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上， ．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线，是等边三角形，点，分别在直线，上，交直线于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，若，则的度数为（    ） A．45° B．30° C．15° D．20° 9．如图，P是正内一点，将绕点B旋转到，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．如图，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型·3·根据等边三角形的性质证明) 12．如图，是等边三角形，，、相交于点，于点，，． (1)求证：； (2)求的长． 13．如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 14．如图，是等边三角形，点是边上一点，，，试判断与的位置关系，并说明你的理由． 15．如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 16．如图，都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接． 若，求的长． 题型·5·与等边三角形有关的折叠问题 17．如图，等边三角形纸片的边长为，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为（   ） A． B． C． D． 18．如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 19．如图，在一个等边三角形纸片中取三边中点，以虚线为折痕折叠纸片，若三角形纸片的面积是，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 20．如图，在△ABC中，CD是AB边的中线，，将△BCD沿CD折叠，使点B落在点E的位置． (1)判断△AED的形状并加以证明； (2)证明． 题型·6·等边三角形中的动点问题 21．在中，点O是边的中点，，． (1)如图1，若，求证：是等边三角形； (2)如图2，在（1）的条件下，若点D在线段延长线上，且是等边三角形，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，点M在线段上，是等边三角形； ①求的度数； ②若点M沿着线段从点B运动到点C，运动的过程中始终是等边三角形，点N随之运动，请直接写出点N的运动路径的长度为 ． 22．如图所示，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿方向匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： (1)当点Q到达点C时，与的位置关系如何？请说明理由． (2)在点P与点Q的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由． (3)t为何值时是直角三角形？ 23．已知：如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿，方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，，两点停止运动，设点的运动时间为， 解答下列各问题： (1)的面积为多少？ (2)当为何值时，是等边三角形？ (3)当是直角三角形时，求的值． 24．如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结．      (1)当__________时，； (2)请添加一个条件：__________，使得为等边三角形； (3)在（2）的条件下，当为等边三角形时，求证：； 25．操作探究：已知是等边三角形，点是边上一点． (1)如图1，过点作交于点，图中有_____个等边三角形； (2)如图2，点在上运动(不与重合)，点是延长线上一点，且，过作于E，连接交于，试说明：在点运动的过程中，线段的长是定值(即)； (3)若将条件中“是等边三角形”改为“是等腰三角形，”，如图3所示，（2）中的结论是否还成立？请说明理由． 题型·7·函 30°角的直角三角形 26．如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 27．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 28．在中，是边上的中线，，，，则的面积为（     ） A． B． C．1 D．2 29．如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型·8·斜边的中线等于斜边的一半 30．如图、两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 31．如图，一根木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为，若木棍端沿墙下滑，且端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点到点的距离（     ） A．始终不变 B．先变小再变大 C．先变大再变小 D．逐渐变小 32．如图，直角三角形中，分别是斜边上的高和中线，，则的值是（    ） A．15 B．12 C． D．5 33．如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，连接，则的长为_____． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $