专题09 含30°角的直角三角形的性质（题型专练）数学新教材苏科版八年级上册

专题09 含30°角的直角三角形的性质 （题型突破·举一反三） 题型01 利用含30°角的性质求长度 题型02 利用含30°角的性质证明 题型03 利用含30°角的性质解决动点问题 题型04 利用含30°角的性质解决最值问题 题型05 利用含30°角的性质解决折叠问题 题型06 利用含30°角的性质解决实际问题 题型07 利用含30°角的性质的综合应用 ▌题型01 利用含30°角的性质求长度 1. 找准对应边：30° 角对的直角边 = 斜边，斜边 = 2 倍 30° 对直角边； 2. 基础条件识别：先确认图形是直角三角形，再找出 30° 内角； 3. 线段运算工具：线段和差、中点等分、全等三角形对应边相等； 4. 常见组合：搭配等边三角形、等腰三角形、三线合一转化相等线段； 5. 做题步骤：标直角→标 30° 角→确定斜边与短直角边→代入 2 倍关系列式计算。 【典例1-1】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 【典例1-2】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图是生活中常见的遮阳棚，结构稳固，常用于小区、公园等场所．如图，在中，，，是中线，平分，交延长线于点，则的长为________． 【变式1-1】（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1-2】（24-25八年级上·北京门头沟·期末）如图，在中，是的角平分线．如果点D到的距离为1，那么的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【变式1-3】如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长为______ ． ▌题型02 利用含30°角的性质证明 1. 证线段倍分关系（核心）：证明一条线段是另一条的 2 倍 / 一半，优先构造含 30° 直角三角形； 2. 证线段相等：通过 2 倍等量代换，结合全等、等腰实现线段相等证明； 3. 证角度为 30°/60°：证明直角三角形中直角边为斜边一半，推出 30° 角； 4. 辅助线常用做法：作垂线构造直角三角形，截取线段、延长线段造出 30° 角； 5. 证明逻辑：先证直角→再证 30° 角（或边的 2 倍关系）→得出对应边角结论。 【典例2】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，，，交于点，为的中点，连接． (1)判断与的位置关系并说明理由； (2)若，求的长． 【变式1-1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，． (1)求证：； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【变式1-2】（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，已知：是的平分线上一点，，，、是垂足，连接，且交于点． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若，请你探究线段与线段之间有什么数量关系？并证明你的结论． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，垂直平分交、于点、，点在上，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． ▌题型03 利用含30°角的性质解决动点问题 1. 不变量：直角、30°/60° 角度、30° 对边与斜边 2 倍关系恒定不变； 2. 设元表达：设运动时间 t，用 t 表示动点移动的线段长度； 3. 分类讨论：动点在线段上、延长线上两种情况分别列式； 4. 考点方向：动点运动到某位置时线段倍分成立、构成 30° 直角三角形、线段长度定值； 【典例3】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为________． 【变式1-1】（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，在中，，，，动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为（单位：）．当为________时，是直角三角形． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图1所示，在边长为的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动．设点P的运动时间为，．当___ 时，是直角三角形；如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．那么当___时，是直角三角形． 【变式1-2】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，，，，动点、同时从A、B两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． (1)当t为何值时，为等边三角形？ (2)当t为何值时，为直角三角形？ ▌题型04 利用含30°角的性质解决最值问题 1. 最值核心模型：垂线段最短，常作垂线构造含 30° 直角三角形； 2. 最短距离计算：利用 “30° 对直角边最短” 的 2 倍关系求垂线段长度； 3. 解题思路：找点作垂直→识别 30° 直角三角形→用边的倍分关系求最小线段； 4. 限制条件：动点范围限定在线段、射线，端点单独验证最值； 5. 等量转化：多条线段和的最值，通过 30° 边的倍数转换统一线段。 【典例4】如图，已知点是角平分线上的一点，，，M是的中点，，如果点是上一个动点，则的最小值为(   ) A．2 B． C．4 D． 【变式1-1】（山东青岛市城阳区2025-2026学年第二学期期末考试七年级数学试题）如图，牧民从生活区边上某点D出发，先到草地边上某点E牧马，再到小河边上某点F饮马，最后回到点D处．已知，点C到的距离为2千米，，则周长的最小值为（     ） A．1千米 B．2千米 C．4千米 D．8千米 【变式1-2】（24-25八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，中，，且A，B，D在同一条直线上，动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 【变式1-3】（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是__________． ▌题型05 利用含30°角的性质解决折叠问题 1. 折叠核心不变性：折叠前后对应边相等、对应角相等； 2. 角度处理：折叠复制 30°、60° 直角，结合平角、互余计算未知角； 3. 线段处理：折叠等线段 + 30° 直角三角形 2 倍边长关系，列等式求线段； 4. 图形特征：折叠后易出现新等腰、含 30° 直角三角形，直接套用性质； 5. 做题步骤：标注折叠相等边角→找出直角与 30° 角→利用倍分关系计算。 【典例5】（2026·广东·一模）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在边的点E处，已知，，则的长是________． 【变式1-1】（2026·甘肃陇南·一模）如图，将长方形沿折叠，折叠后点落在点处，点恰好与点重合．已知，则的长为_____． 【变式1-2】（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在角平分线上，连接并延长交于点，若，则点到的距离为_____________． 【变式1-3】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，长方形纸片（图1），沿对角线将折叠（如图2），点C落在处，交与E，沿将折叠，落在上（图3），点A落在处． (1)求证：是等腰三角形； (2)探究：之间的数量关系，并说明理由． ▌题型06 利用含30°角的性质解决实际问题 1. 建模方法：将斜坡、支架、测量高度、光路等实物抽象为直角三角形； 2. 提取关键条件：实际场景中的垂直（直角）、倾斜 30° 角； 3. 计算规则：高度 / 垂直距离为 30° 对短边，斜坡长度为斜边，满足斜边 = 2 倍高； 4. 检验答案：线段长度不能为负数，结果符合现实场景逻辑； 5. 单位统一：题干带单位时，计算结果同步标注单位。 【典例6-1】（25-26八年级下·山东枣庄·期末）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【典例6-2】（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，两条笔直的公路，相交于点，为，指挥中心设在路段上，与地的距离为25千米．一次行动中，王警官带队从地出发，沿方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在12千米之内进行通话，则王警官在行进过程中________（填“能”或“不能”）与指挥中心用对讲机通话． 【变式1-1】（2026·河南周口·二模）一架梯子的长为，梯子与地面的夹角为，则梯脚之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级下·福建三明·期末）舂（）米，是我国古代的一种劳动方式．舂的结构简单（如图），一口石臼（）上架着用一根木头做成的“碓（）身”，“碓”的头部下面有杵（）．“碓”肚的两边有支撑翘动的横杆，“碓”尾部悬空．舂米时，谷类放到臼内，劳作者踩踏“碓”尾，使“碓”头高高抬起来，如图所示．已知交于点，与碓身所在水平线相交于点，若米，，则点到的距离为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1-3】（25-26八年级下·山东济宁·期末）数学实践课上，小丽先用3根木条搭成含角的直角三角形框架，如图，，．然后她依次添加支撑木条，并使得，垂足分别为，则支撑木条长度为（     ） A． B． C． D． ▌题型07 利用含30°角的性质的综合应用 1. 核心定理 在直角三角形中，30° 角所对直角边 = 斜边；斜边 = 2 倍 30° 对的直角边 逆定理：Rt△中，若一条直角边是斜边的一半，则这条直角所对内角为 30° 2. 综合题高频组合 1. 等边三角形：内角均 60°，作高拆分出两个全等含 30° 直角三角形，短直角边 =边长； 2. 顶角 120° 等腰三角形：两底角都是 30°，作底边垂线直接分出 2 个含 30°Rt△； 3. 直角三角形斜边中线：中线 =斜边，常与 30° 倍分线段等量代换； 4. 角平分线、垂直平分线：产生等角、等线段，构造出新 30° 直角三角形； 5. 折叠 / 翻折：复制相等角、相等边，衍生等腰、含 30° 直角三角形。 【典例7】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）已知点是线段的中点，直线与直线交于点，分别过点和点作直线的垂线，垂足分别为点和点． (1)如图1，当点与点重合时，请你猜想、验证后直接写出线段和的数量关系是________； (2)如图2，当点是线段上的任意一点时，线段和的数量关系是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)当点是射线上的任意一点时，若，，，请直接写出线段的长． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是高，是中线，且，G是的中点． (1)求证：； (2)若，连接． ①求证：是等边三角形； ②此时的长为________． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是边长为8的等边三角形，是边上一点（与、不重合），是延长线上一点（与不重合），且，过作于，连接交于． (1)当时，求的长； (2)求证：点到的距离等于； (3)求的值． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到． (1)直接写出与的位置关系：_____； (2)如图①，当时，求证：； (3)在点运动过程中，直线与直线相交于点，连接，当时，求线段长度． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 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【分析】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，掌握相关的性质、正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求出，根据等边三角形的判定证明； （2）过点O作于F，根据含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）证明：是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：如图，过点O作于F， 在中，， 则， ， ， ， ， ， ． ▌题型03 利用含30°角的性质解决动点问题 【典例3】【答案】或． 【变式1-1】【答案】或 【变式1-2】【答案】 或 【变式1-3】 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出，当时，为等边三角形，据此列方程求解即可； （2）分两种情况：当时，可证明，据此列方程求解即可；当时，可证明，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， ， ，， ， 当时，为等边三角形， 解得； （2）解：为直角三角形，分两种情况： 当时， ， ， ， ， 解得； 当时， ， ， ， ， 解得； 综上所述，当或时，为直角三角形． ▌题型04 利用含30°角的性质解决最值问题 【典例4】【答案】C 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】【答案】 ▌题型05 利用含30°角的性质解决折叠问题 【典例5】 【答案】5 【分析】根据折叠得到，，再结合含30度直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由折叠知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1-1】【答案】2 【变式1-2】【答案】3 【变式1-3】 【答案】(1) 证明：∵折叠， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 解：，理由如下： ∵折叠， ∴，， 又∵ ∴ 在中，， ． 【分析】本题考查长方形中的折叠问题．熟练掌握折叠的性质，以及等腰三角形的判定和含角的直角三角形性质是解题的关键． （1）利用折叠的性质以及长方形的性质和平行线的性质得到：，即可得证； （2）先求出，利用直角三角形性质进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型06 利用含30°角的性质解决实际问题 【典例6-1】【答案】B 【典例6-2】【答案】不能 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】【答案】C ▌题型07 利用含30°角的性质的综合应用 【典例7】 【答案】(1) (2) 解：数量关系依然成立． 理由：过点作直线，交的延长线于点， ， ， 四边形为长方形， ，， 由（1）知，， 在与中， ， ， ； (3)4或8 【分析】（1）猜想：．证明，可得结论． （2）结论成立．过点作直线，交的延长线点，证明，可得结论． （3）分两种情况求解，当是线段上时，和当在射线上时，画出图形，利用全等三角形的判定和性质以及含30度直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：猜想：． 验证：如题干图1中， ，， 在与中， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：当是线段上时，由（2）可知， 延长交的延长线与点M， ∵， ∴， ∴， ∵是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 当在射线上时，如下图，延长交的延长线于点， ，， ， ， 点为的中点， ， 又， ， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 综上：的值为4或8． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，含30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 【变式1-1】 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②8 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，由直角三角形的性质可得，则可证明，再由三线合一定理即可证明结论； （2）①由三线合一定理和（1）的结论可证明，据此可证明结论；②由等边三角形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，；求出，得到，则． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵在中，是高，是中线， ∴， ∵， ∴， 又∵G是的中点， ∴； （2）解：①∵， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴是等边三角形； ②∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，； ∵是中线， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】 【答案】(1)的长为； (2)见解析 (3)4 【分析】（1）设，则，，再利用直角三角形的性质列式计算即可求解； （2）延长，过点Q作于点证明，得出，即可证明结论； （3）延长，过点Q作于点，根据直角三角形的性质得出，从而得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：设， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则的长为； （2）证明：如图，延长，过点Q作于点， 则， ∵， ∴， ∴， 是等边三角形， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点Q到的距离为， ∴点到的距离等于； （3）解：如图，延长，过点Q作于点， 根据解析（2）可知：， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) 证明：由折叠的性质得，，， ∵，， ∴，，， ∴； (3)线段的长度为或． 【分析】（1）由折叠的性质得，，利用线段垂直平分线的判定定理即可得到； （2）求得，，利用即可证明结论成立； （3）分两种情况讨论，证明是等边三角形，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：连接， 由折叠的性质得，， ∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：当直线与射线相交于点时， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当直线与线段相交于点时， 同理是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴在同一直线上， 由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 综上，线段的长度为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质．第3问分类讨论是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 含30°角的直角三角形的性质 （题型突破·举一反三） 题型01 利用含30°角的性质求长度 题型02 利用含30°角的性质证明 题型03 利用含30°角的性质解决动点问题 题型04 利用含30°角的性质解决最值问题 题型05 利用含30°角的性质解决折叠问题 题型06 利用含30°角的性质解决实际问题 题型07 利用含30°角的性质的综合应用 ▌题型01 利用含30°角的性质求长度 1. 找准对应边：30° 角对的直角边 = 斜边，斜边 = 2 倍 30° 对直角边； 2. 基础条件识别：先确认图形是直角三角形，再找出 30° 内角； 3. 线段运算工具：线段和差、中点等分、全等三角形对应边相等； 4. 常见组合：搭配等边三角形、等腰三角形、三线合一转化相等线段； 5. 做题步骤：标直角→标 30° 角→确定斜边与短直角边→代入 2 倍关系列式计算。 【典例1-1】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质、直角三角形的性质，解决本题的核心是直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半． 根据为等边三角形和，可得，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，即可求解． 【详解】解： 为等边三角形， ， ， ， ， ， D为AB的中点， ， 等边三角形的边长为． 故选：． 【典例1-2】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图是生活中常见的遮阳棚，结构稳固，常用于小区、公园等场所．如图，在中，，，是中线，平分，交延长线于点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出，平分，根据角平分线的定义得出，根据直角三角形的性质得出，根据平行线的性质推得，根据等角对等边即可求解． 【详解】∵，是中线， ∴，平分， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：∵是等边三角形，平分交于点， ∴，，，且平分， ∴是直角三角形，， 又∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 【变式1-2】（24-25八年级上·北京门头沟·期末）如图，在中，是的角平分线．如果点D到的距离为1，那么的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，含角的直角三角形的性质等知识，过D作于E，由题意可知，，根据角平分线的定义得，则，得出，再利用含角的直角三角形的性质可得的长，从而解决问题． 【详解】解：过D作于E，由题意可知，， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 【变式1-3】如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长为______ ． 【答案】 【分析】连接，在中，求出的度数，又由的垂直平分线交于点D，交于点E，可得，即可得，又由含角的直角三角形的性质，求得答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ． ▌题型02 利用含30°角的性质证明 1. 证线段倍分关系（核心）：证明一条线段是另一条的 2 倍 / 一半，优先构造含 30° 直角三角形； 2. 证线段相等：通过 2 倍等量代换，结合全等、等腰实现线段相等证明； 3. 证角度为 30°/60°：证明直角三角形中直角边为斜边一半，推出 30° 角； 4. 辅助线常用做法：作垂线构造直角三角形，截取线段、延长线段造出 30° 角； 5. 证明逻辑：先证直角→再证 30° 角（或边的 2 倍关系）→得出对应边角结论。 【典例2】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，，，交于点，为的中点，连接． (1)判断与的位置关系并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1) ， 理由：， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴； (2)的长为 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1），由，得，，由得，可得，进而得，由为的中点，三线合一即可得； （2）由“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可得，得，同理得，由即可得出． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，． (1)求证：； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）连接，证明，根据直角三角形的性质，得，等量代换证明即可； （2）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明即可； 【详解】（1）证明：连接． 因为是的垂直平分线， 所以． 所以． 因为，， 所以． 所以． 所以． 所以． （2）解：是等边三角形．理由如下： 因为是的垂直平分线， 所以． 因为，， 所以． 所以． 又因为， 所以是等边三角形． 【变式1-2】（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，已知：是的平分线上一点，，，、是垂足，连接，且交于点． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若，请你探究线段与线段之间有什么数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1)是的平分线上一点，，， ， ∵， ， ， 是等腰三角形， 是的平分线， 是的垂直平分线； (2)是的平分线，， ， ，， ，， ， ， ， ． 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出，，确定是等腰三角形，再由等腰三角形的性质即可证明； （2）根据题意得出，确定，，确定，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，垂直平分交、于点、，点在上，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，掌握相关的性质、正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求出，根据等边三角形的判定证明； （2）过点O作于F，根据含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）证明：是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：如图，过点O作于F， 在中，， 则， ， ， ， ， ， ． ▌题型03 利用含30°角的性质解决动点问题 1. 不变量：直角、30°/60° 角度、30° 对边与斜边 2 倍关系恒定不变； 2. 设元表达：设运动时间 t，用 t 表示动点移动的线段长度； 3. 分类讨论：动点在线段上、延长线上两种情况分别列式； 4. 考点方向：动点运动到某位置时线段倍分成立、构成 30° 直角三角形、线段长度定值； 【典例3】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为________． 【答案】或． 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键．由题意可知，是等腰直角三角形，则，由折叠的性质可知，，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据点的分为分两种情况分别求解即可． 【详解】解：，为等腰三角形， 是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 如图1，当点在上时，，则； 如图2，当点在的延长线上时，，则； 综上可知，的长为或 故答案为：或． 【变式1-1】（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，在中，，，，动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为（单位：）．当为________时，是直角三角形． 【答案】或 【分析】根据题意求出，用含的代数式表示和的长，分和两种情况，利用含角的直角三角形的性质列方程求解 【详解】解：设运动时间为 由题意得：， ， 点从点向点运动， 当是直角三角形时，分两种情况讨论： ① 当时， 即 解得 ② 当时 即 解得 综上所述，当或时，是直角三角形． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图1所示，在边长为的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动．设点P的运动时间为，．当___ 时，是直角三角形；如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．那么当___时，是直角三角形． 【答案】 或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，过点C作于点D，根据等边三角形性质得，，，由此得当点P与点D重合时，是直角三角形，此时点P运动的路程为，由此可得点P的运动时间t；依题意得，，则，根据得当是直角三角形时，有以下两种情况：①当时，在中，根据得，则，由此解得；②当时，在中，根据得，则，由此解得，综上所述即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：过点C作于点D，如图1所示： ∵是等边三角形，且边长为， ∴，， ∵点P在边上运动， ∴ ∴当是直角三角形时，只能是； ∵于点D， ∴，， ∴当点P与点D重合时，是直角三角形， 此时点P运动的路程为：， 又∵点P运动的速度为， ∴此时点P运动的时间； ∵动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动， ∴， 又∵动点Q从点C出发，以的速度沿线段向点A运动， ∴， ∴， ∵， ∴当是直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图2所示： 在中，， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图3所示： 在中，， ∵， ∴， 解得：， 综上所述：当或时，是直角三角形． 故答案为：；或． 【变式1-3】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，，，，动点、同时从A、B两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． (1)当t为何值时，为等边三角形？ (2)当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出，当时，为等边三角形，据此列方程求解即可； （2）分两种情况：当时，可证明，据此列方程求解即可；当时，可证明，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， ， ，， ， 当时，为等边三角形， 解得； （2）解：为直角三角形，分两种情况： 当时， ， ， ， ， 解得； 当时， ， ， ， ， 解得； 综上所述，当或时，为直角三角形． ▌题型04 利用含30°角的性质解决最值问题 1. 最值核心模型：垂线段最短，常作垂线构造含 30° 直角三角形； 2. 最短距离计算：利用 “30° 对直角边最短” 的 2 倍关系求垂线段长度； 3. 解题思路：找点作垂直→识别 30° 直角三角形→用边的倍分关系求最小线段； 4. 限制条件：动点范围限定在线段、射线，端点单独验证最值； 5. 等量转化：多条线段和的最值，通过 30° 边的倍数转换统一线段。 【典例4】如图，已知点是角平分线上的一点，，，M是的中点，，如果点是上一个动点，则的最小值为(   ) A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据题意是角平分线上的点，可知点到边、的距离相等，要想求的最小值，只有与垂直时的值才最小，也就是的最小值等于，根据已知条件求出即可得． 【详解】解：是角平分线上的一点，， ， ∵M是的中点，， ∴， ∵， ∴， 点是上一个动点， 的最小值为到距离， 的最小值． 【变式1-1】（山东青岛市城阳区2025-2026学年第二学期期末考试七年级数学试题）如图，牧民从生活区边上某点D出发，先到草地边上某点E牧马，再到小河边上某点F饮马，最后回到点D处．已知，点C到的距离为2千米，，则周长的最小值为（     ） A．1千米 B．2千米 C．4千米 D．8千米 【答案】B 【分析】分别作点D关于的对称点G，H，连接，可证明是等边三角形，得到；可证明当四点共线时，的周长有最小值，最小值为的长，由垂线段最短求出的最小值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，分别作点D关于的对称点G，H，连接， 由轴对称的性质可得，， ， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴； ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长有最小值，最小值为的长， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，即此时有最小值， ∵点C到的距离为2千米， ∴的最小值为2千米， ∴的周长的最小值为2千米． 【变式1-2】（24-25八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，中，，且A，B，D在同一条直线上，动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查轴对称——最短路线问题，含三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 连接，可证明，然后推出的最小值为，最后求出即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 有最小值为的长． 故选B． 【变式1-3】（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】在上取一点，使得，连接，证明，将转化为，根据垂线段最短可知当、、三点共线且时，取得最小值，即点到的距离． 【详解】解：在上取一点，使得，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当点、、在同一条直线上且时，有最小值， 即的最小值为点到的距离， 过点作于点，则即为所求最小值， 在中，，， ， 在中，，，， ， 的最小值为． ▌题型05 利用含30°角的性质解决折叠问题 1. 折叠核心不变性：折叠前后对应边相等、对应角相等； 2. 角度处理：折叠复制 30°、60° 直角，结合平角、互余计算未知角； 3. 线段处理：折叠等线段 + 30° 直角三角形 2 倍边长关系，列等式求线段； 4. 图形特征：折叠后易出现新等腰、含 30° 直角三角形，直接套用性质； 5. 做题步骤：标注折叠相等边角→找出直角与 30° 角→利用倍分关系计算。 【典例5】（2026·广东·一模）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在边的点E处，已知，，则的长是________． 【答案】5 【分析】根据折叠得到，，再结合含30度直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由折叠知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1-1】（2026·甘肃陇南·一模）如图，将长方形沿折叠，折叠后点落在点处，点恰好与点重合．已知，则的长为_____． 【答案】2 【分析】由折叠得，，，，证明是等边三角形，得，，可求出，故可得． 【详解】解：由折叠得，，，， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在角平分线上，连接并延长交于点，若，则点到的距离为_____________． 【答案】3 【分析】由折叠的性质及等腰三角形的性质证明 ，再由可判定，由全等三角形的性质得，是的垂直平分线，进而得和是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，，在中由直角三角形性质求出，进一步即可求解. 【详解】解：如图，过作交于，连接， ， ， 为的角平分线， ， 由翻折得：， ， ， 是的中点， ， ， ， 在和中 ， ， ， 是的垂直平分线， ∴， ∵ ， ，， ∴， ，， 和是等腰直角三角形，是等腰三角形， ， ∵，，， ， ， ∴点到的距离为. 【变式1-3】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，长方形纸片（图1），沿对角线将折叠（如图2），点C落在处，交与E，沿将折叠，落在上（图3），点A落在处． (1)求证：是等腰三角形； (2)探究：之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵折叠， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 解：，理由如下： ∵折叠， ∴，， 又∵ ∴ 在中，， ． 【分析】本题考查长方形中的折叠问题．熟练掌握折叠的性质，以及等腰三角形的判定和含角的直角三角形性质是解题的关键． （1）利用折叠的性质以及长方形的性质和平行线的性质得到：，即可得证； （2）先求出，利用直角三角形性质进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型06 利用含30°角的性质解决实际问题 1. 建模方法：将斜坡、支架、测量高度、光路等实物抽象为直角三角形； 2. 提取关键条件：实际场景中的垂直（直角）、倾斜 30° 角； 3. 计算规则：高度 / 垂直距离为 30° 对短边，斜坡长度为斜边，满足斜边 = 2 倍高； 4. 检验答案：线段长度不能为负数，结果符合现实场景逻辑； 5. 单位统一：题干带单位时，计算结果同步标注单位。 【典例6-1】（25-26八年级下·山东枣庄·期末）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴在中，． 【典例6-2】（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，两条笔直的公路，相交于点，为，指挥中心设在路段上，与地的距离为25千米．一次行动中，王警官带队从地出发，沿方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在12千米之内进行通话，则王警官在行进过程中________（填“能”或“不能”）与指挥中心用对讲机通话． 【答案】不能 【分析】本题主要考查了含有的直角三角形的性质的实际应用，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 过点M作于点H，在中已知一角，以及一条边，根据“直角三角形中，所对应的直角边等于斜边的一半”就可以求出． 【详解】解：过点M作于点H，点H是路段距离指挥中心最近的点． 在中， 千米，， （千米）． 千米千米， 王警官在行进过程中不能与指挥中心用对讲机通话． 故答案为：不能． 【变式1-1】（2026·河南周口·二模）一架梯子的长为，梯子与地面的夹角为，则梯脚之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直角三角形两锐角互余得出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ， ． 【变式1-2】（25-26八年级下·福建三明·期末）舂（）米，是我国古代的一种劳动方式．舂的结构简单（如图），一口石臼（）上架着用一根木头做成的“碓（）身”，“碓”的头部下面有杵（）．“碓”肚的两边有支撑翘动的横杆，“碓”尾部悬空．舂米时，谷类放到臼内，劳作者踩踏“碓”尾，使“碓”头高高抬起来，如图所示．已知交于点，与碓身所在水平线相交于点，若米，，则点到的距离为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】过点作，根据角所对直角边等于斜边一半可得结论． 【详解】解：过点作，如图， ∵米，， ∴（米）， 所以，点到的距离为0.75米． 【变式1-3】（25-26八年级下·山东济宁·期末）数学实践课上，小丽先用3根木条搭成含角的直角三角形框架，如图，，．然后她依次添加支撑木条，并使得，垂足分别为，则支撑木条长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出，根据含角的直角三角形的性质求出，，再根据线段的和差求出，再次根据含角的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴在中，， ∴， ∵在中，， ∴， 即支撑木条长度为． ▌题型07 利用含30°角的性质的综合应用 1. 核心定理 在直角三角形中，30° 角所对直角边 = 斜边；斜边 = 2 倍 30° 对的直角边 逆定理：Rt△中，若一条直角边是斜边的一半，则这条直角所对内角为 30° 2. 综合题高频组合 1. 等边三角形：内角均 60°，作高拆分出两个全等含 30° 直角三角形，短直角边 =边长； 2. 顶角 120° 等腰三角形：两底角都是 30°，作底边垂线直接分出 2 个含 30°Rt△； 3. 直角三角形斜边中线：中线 =斜边，常与 30° 倍分线段等量代换； 4. 角平分线、垂直平分线：产生等角、等线段，构造出新 30° 直角三角形； 5. 折叠 / 翻折：复制相等角、相等边，衍生等腰、含 30° 直角三角形。 【典例7】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）已知点是线段的中点，直线与直线交于点，分别过点和点作直线的垂线，垂足分别为点和点． (1)如图1，当点与点重合时，请你猜想、验证后直接写出线段和的数量关系是________； (2)如图2，当点是线段上的任意一点时，线段和的数量关系是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)当点是射线上的任意一点时，若，，，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) 解：数量关系依然成立． 理由：过点作直线，交的延长线于点， ， ， 四边形为长方形， ，， 由（1）知，， 在与中， ， ， ； (3)4或8 【分析】（1）猜想：．证明，可得结论． （2）结论成立．过点作直线，交的延长线点，证明，可得结论． （3）分两种情况求解，当是线段上时，和当在射线上时，画出图形，利用全等三角形的判定和性质以及含30度直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：猜想：． 验证：如题干图1中， ，， 在与中， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：当是线段上时，由（2）可知， 延长交的延长线与点M， ∵， ∴， ∴， ∵是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 当在射线上时，如下图，延长交的延长线于点， ，， ， ， 点为的中点， ， 又， ， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 综上：的值为4或8． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，含30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是高，是中线，且，G是的中点． (1)求证：； (2)若，连接． ①求证：是等边三角形； ②此时的长为________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②8 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，由直角三角形的性质可得，则可证明，再由三线合一定理即可证明结论； （2）①由三线合一定理和（1）的结论可证明，据此可证明结论；②由等边三角形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，；求出，得到，则． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵在中，是高，是中线， ∴， ∵， ∴， 又∵G是的中点， ∴； （2）解：①∵， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴是等边三角形； ②∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，； ∵是中线， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是边长为8的等边三角形，是边上一点（与、不重合），是延长线上一点（与不重合），且，过作于，连接交于． (1)当时，求的长； (2)求证：点到的距离等于； (3)求的值． 【答案】(1)的长为； (2)见解析 (3)4 【分析】（1）设，则，，再利用直角三角形的性质列式计算即可求解； （2）延长，过点Q作于点证明，得出，即可证明结论； （3）延长，过点Q作于点，根据直角三角形的性质得出，从而得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：设， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则的长为； （2）证明：如图，延长，过点Q作于点， 则， ∵， ∴， ∴， 是等边三角形， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点Q到的距离为， ∴点到的距离等于； （3）解：如图，延长，过点Q作于点， 根据解析（2）可知：， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到． (1)直接写出与的位置关系：_____； (2)如图①，当时，求证：； (3)在点运动过程中，直线与直线相交于点，连接，当时，求线段长度． 【答案】(1) (2) 证明：由折叠的性质得，，， ∵，， ∴，，， ∴； (3)线段的长度为或． 【分析】（1）由折叠的性质得，，利用线段垂直平分线的判定定理即可得到； （2）求得，，利用即可证明结论成立； （3）分两种情况讨论，证明是等边三角形，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：连接， 由折叠的性质得，， ∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：当直线与射线相交于点时， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当直线与线段相交于点时， 同理是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴在同一直线上， 由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 综上，线段的长度为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质．第3问分类讨论是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $