第2章 整式及其加减（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪科版七年级上册

**基本信息** 聚焦整式及其加减单元，通过基础题巩固代数式规范、同类项等核心知识，创新题如“对消多项式”定义、BMI健康材料题，培养抽象能力与模型意识，适配单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|代数式规范、同类项、多项式次数|结合几何图形面积辨析（第6题），考查几何直观| |填空题|4/20|整式化简、系数、相反数关系|联系端午节粽子标价（第14题），体现应用意识| |解答题|9/90|化简求值、新定义、健康数据材料（BMI/脂肪总量）、作差法、积木延伸|设置“对消多项式”新定义（第20题）、健康数据材料题（第21题），培养推理能力与数据意识|

第二章 整式及其加减（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A B D C C A A B C 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11． 12． 13． 14． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．【答案】(1)化简结果为，值为 (2)化简结果为，值为 【详解】（1）解： 当，时， 原式； （2）解： 解得 原式． 17．【答案】(1)的值与的大小无关， 理由：由题意知，， 的值与的大小无关； (2) 【详解】（1）略 （2） ，，， ， ． 18．【答案】 【详解】解：由题意得 ，互为相反数，因此 ，互为倒数，因此 ． 的绝对值是，因此 ． 是最小的正整数，因此 ． 所以． 19．【答案】(1) (2)否 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 的值与的取值有关． 20．【答案】(1)② (2)0 (3)2 【详解】（1）解：，不是常数，故①不是“对消多项式”； ，为常数，故②是“对消多项式”； （2）解：； （3）解： ， ∵多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴“对消值”为2． 21．【答案】(1)小明的体重状况为偏胖；小勤的体重状况为正常； (2)她的脂肪总量为6.07； (3)在这一周的跑步过程中，思齐同学共计消耗的热量 【详解】（1）解：小明：，小勤：， 小明的体重状况为偏胖；小勤的体重状况为正常； （2）解：把，代入，得， 把代入，得， ， 所以她的脂肪总量为6.07； （3）解：， ； 所以在这一周的跑步过程中，思齐同学共计消耗的热量． 22．【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 计算得： ， ∵， ∴， ∴， 计算得： ， ∵ ∴， ∴， 综上可得； （3）解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，， ∵ ， 又∵， ∴， ∴， ∴． 23．【答案】(1)； (2)； (3)积木①②组合的最远延伸长度是；积木①②③组合的最远延伸长度是 【详解】（1）解：均匀积木重心在中点，上层积木最多能超出下层；多层依次外伸时，第1块相对第2块最多伸，第2块相对第3块最多伸，第3块相对第4块最多伸，…，第n块相对下一块最多伸； 只推积木①至最远：①相对②最多延伸； 再固定①②推②：①②总质量为，②相对③最多延伸， 再叠加①相对②的，总延伸； 再固定①②②推③：①②②总质量为，相对④最多延伸， 总延伸； 故答案为：；； （2）解：固定①，推②至最远：②相对③最多伸，①跟着②一起外伸，总延伸； 固定①②相对位置，三块①②③放在④上，推③至最远， 设③相对④向右伸出，支撑边界为④的右端， 各块重心坐标（以④右端为，向右为正）： ① ②同①，为， ③， 三块总重心等于（临界平衡）： ， 解得 总延伸长度（最右端超出④的总长） ． （3）解：1．积木①先延伸 (相对②超出)，再固定①②推②： 设②相对③最远可伸， 由题意得，解得， 所以①②组合总延伸：； 2．再固定①②推③：①②②总质量为，③相对下层最远可伸， 总延伸：． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 整式及其加减（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各选项中的两项是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．常数项是 4．已知，，且，则（） A． B．6 C．2或 D．或 5．当时，代数式的值为6，当时，这个代数式的值是（     ） A．4 B．6 C． D． 6．如图，大长方形的长为 a，宽为 b，从右上角切去一个小长方形，剩余的阴影部分图形面积可通过多种方法表示．下列四个表达式中，不能表示该阴影部分面积的是（     ） A． B． C． D． 7．若单项式与可以合并，则的值为（    ） A．7 B．4 C．5 D． 8．无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 9．已知整式：，其中，，均为非负整数，，且满足，．下列说法： ①满足条件的整式中，有4个是二次二项式； ②当时，所有满足条件的整式的和为； ③满足条件的整式共有16个； 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 10．观察下列关于x的单项式，探究其规律：，…，按照上述规律，第1013个单项式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．化简的结果是________． 12．单项式的系数是_________． 13．若与互为相反数，则a与b的关系为_____． 14．端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高．若每个粽子的成本为元，则每个粽子的标价为_____． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）化简： (1)； (2)． 16．（8分）先化简，再求值． (1)，其中， (2)，其中，满足 17．（8分）如图，边长为的正方形和边长为（）的正方形按如图所示摆放在一起，，，三点在同一直线上，设图①中阴影部分的面积为，设图②中阴影部分的面积为． (1)如图①，判断的值与的大小有关吗？说明理由； (2)如图②，若，，求的值． 18．（8分）已知有理数，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是4，是最小的正整数，求的值． 19．（10分）已知多项式． (1)求； (2)试判断的值是否与的取值无关． 20．（10分）定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）： ①与；②与 ． (2)多项式与的“对消值”为 ． (3)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 21．（12分）材料题 素材1 党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的BMI数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖． 素材2 在不同时期，人的腰围（记作，单位：cm）和体重（记为，单位：kg）会有变化，则脂肪总量． 其中，（男），（女） 素材3 为响应号召，思齐同学为自己制定了每天跑步的计划，以下是思齐同学一周内的跑步记录，其中超过的记为“+”，不足的记为“”． 任务1 (1)八年级男生小明身高，体重，女生小勤身高，体重，通过上述材料说明小明和小勤的体重状况．（除不尽时，保留两位小数） 任务2 (2)脂肪过低或过高均可能引发健康风险，若晓慧同学的身高为，体重为，腰围为，她的脂肪总量为多少？ 任务3 (3)若思齐同学每跑步大约消耗的热量，求在这一周的跑步过程中，思齐同学共计消耗的热量是多少？ 22．（12分）阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)【理解】若，则_____；（填“”、“”或“”） (2)【运用】若，证明 (3)【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案． 方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板． 方案二：用4块A型钢板，7块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小． 23．（14分）取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题． (1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示） 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 整式及其加减（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵选项A、 不符合规范，应写为； 选项B、 不符合规范，应写为 ； 选项D、 不符合规范，带分数应化为假分数 ； 选项C、 符合所有书写规范， 故选C． 2．下列各选项中的两项是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，单独的两个数字也叫做同类项，据此逐一判断即可． 【详解】A、与都是常数，是同类项，故此选项符合题意； B、 是常数，不含字母，含字母，不是同类项，故此选项不符合题意； C、不是单项式，与不是同类项，故此选项不符合题意； D、中的指数为 ，的指数为 ，中的指数为 ，的指数为 ，相同字母指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意． 3．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．常数项是 【答案】B 【详解】解：A、是二次三项式，原说法正确，不符合要求； B、的次数是4，原说法错误，符合要求； C、的系数是，原说法正确，不符合要求； D、的常数项是，原说法正确，不符合要求． 4．已知，，且，则（） A． B．6 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】先根据绝对值的定义求出、的所有可能值，结合的条件筛选符合的取值，再计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，且，均不满足条件， ∴舍去，即， 当时，； 当时，； ∴的值为或． 5．当时，代数式的值为6，当时，这个代数式的值是（     ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题运用整体代入法求解，先根据时代数式的值求出的值，再利用奇次幂的符号性质，将代入后代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵当时，代数式的值为， ∴把代入得 ， 整理得：， 当时，代入代数式得： ， 即当时，这个代数式的值是． 6．如图，大长方形的长为 a，宽为 b，从右上角切去一个小长方形，剩余的阴影部分图形面积可通过多种方法表示．下列四个表达式中，不能表示该阴影部分面积的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：用大长方形面积减去长方形面积表示该阴影部分面积为， A选项表达式正确，不符合题意； 如图①，用上半部分的长方形面积加下半部分长方形的面积表示该阴影部分面积为，B选项表达式正确，不符合题意；C选项表达式错误，符合题意； 如图②，用两个梯形的面积表示该阴影部分面积为， D选项表达式正确，不符合题意． 7．若单项式与可以合并，则的值为（    ） A．7 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】两个单项式可以合并，说明它们是同类项，根据同类项定义“相同字母的指数相等”列方程求出和的值，代入代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵两个单项式可以合并， ∴与是同类项， ∴，， 解得，． 将，代入得：． 8．无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 【答案】A 【分析】利用多项式恒等对应系数相等得到和的值，再化简待求式代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，即 ， ． 9．已知整式：，其中，，均为非负整数，，且满足，．下列说法： ①满足条件的整式中，有4个是二次二项式； ②当时，所有满足条件的整式的和为； ③满足条件的整式共有16个； 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据已知条件确定各系数的取值范围，用分类枚举法逐个验证三个说法即可． 【详解】解：①判断二次二项式个数：∵，故，二次二项式只能是或， 若，则，得，此时，无符合条件的非负整数； 若，则，得或，时共2个，时共2个，合计4个，故①正确． ②当时：∵， ∴， ∵， ∴， 所有满足条件的整式为：，，，， 求和得：，故②错误． ③按​分类枚举所有可能： ：仅，共个， ：、、，共个， ：、，共个， ：、，共个， ：、，共个， 总个数：，③正确． 综上，正确的说法共2个． 10．观察下列关于x的单项式，探究其规律：，…，按照上述规律，第1013个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，观察所给单项式，发现其系数及次数的变化规律即可解决问题． 【详解】解：∵，…， ∴第个单项式可表示为：， 当时，第个单项式是：． 故选C． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．化简的结果是________． 【答案】 【详解】解：原式． 12．单项式的系数是_________． 【答案】 【详解】单项式的系数为． 13．若与互为相反数，则a与b的关系为_____． 【答案】 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴． 14．端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高．若每个粽子的成本为元，则每个粽子的标价为_____． 【答案】 【分析】根据“标价=成本”进行解答即可． 【详解】解：标价为． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（8分）先化简，再求值． (1)，其中， (2)，其中，满足 【答案】(1)化简结果为，值为 (2)化简结果为，值为 【分析】（1）先去括号再合并同类项，最后将，代入计算即可； （2）先去括号再合并同类项，再根据非负性求出，最后代入计算即可． 【详解】（1）解： 当，时， 原式； （2）解： 解得 原式． 17．（8分）如图，边长为的正方形和边长为（）的正方形按如图所示摆放在一起，，，三点在同一直线上，设图①中阴影部分的面积为，设图②中阴影部分的面积为． (1)如图①，判断的值与的大小有关吗？说明理由； (2)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)的值与的大小无关， 理由：由题意知，， 的值与的大小无关； (2) 【分析】（1）阴影部分面积等于两个正方形的面积和减去空白部分三个三角形的面积，据此列式整理，即可得出结论； （2）根据图形列式得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2） ，，， ， ． 18．（8分）已知有理数，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是4，是最小的正整数，求的值． 【答案】 【分析】根据相反数、倒数、绝对值、最小的正整数的定义，先求出相关量的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：由题意得 ，互为相反数，因此 ，互为倒数，因此 ． 的绝对值是，因此 ． 是最小的正整数，因此 ． 所以． 19．（10分）已知多项式． (1)求； (2)试判断的值是否与的取值无关． 【答案】(1) (2)否 【分析】本题主要考查了整式加减的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题． （1）先根据整式的加减混合运算，求出的值即可； （2）把整式进行整理，然后令含x项的系数等于0，即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 的值与的取值有关． 20．（10分）定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）： ①与；②与 ． (2)多项式与的“对消值”为 ． (3)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 【答案】(1)② (2)0 (3)2 【分析】（1）求出每组中两个代数式的和，进行判断即可； （2）根据题意直接计算求解即可； （3）求出，根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：，不是常数，故①不是“对消多项式”； ，为常数，故②是“对消多项式”； （2）解：； （3）解： ， ∵多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴“对消值”为2． 21．（12分）材料题 素材1 党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的BMI数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖． 素材2 在不同时期，人的腰围（记作，单位：cm）和体重（记为，单位：kg）会有变化，则脂肪总量． 其中，（男），（女） 素材3 为响应号召，思齐同学为自己制定了每天跑步的计划，以下是思齐同学一周内的跑步记录，其中超过的记为“+”，不足的记为“”． 任务1 (1)八年级男生小明身高，体重，女生小勤身高，体重，通过上述材料说明小明和小勤的体重状况．（除不尽时，保留两位小数） 任务2 (2)脂肪过低或过高均可能引发健康风险，若晓慧同学的身高为，体重为，腰围为，她的脂肪总量为多少？ 任务3 (3)若思齐同学每跑步大约消耗的热量，求在这一周的跑步过程中，思齐同学共计消耗的热量是多少？ 【答案】(1)小明的体重状况为偏胖；小勤的体重状况为正常； (2)她的脂肪总量为6.07； (3)在这一周的跑步过程中，思齐同学共计消耗的热量 【分析】（1）根据计算，再根据数值标准解答即可； （2）根据素材2的公式代入计算即可； （3）用一周的跑步距离总和乘以60即可． 【详解】（1）解：小明：，小勤：， 小明的体重状况为偏胖；小勤的体重状况为正常； （2）解：把，代入，得， 把代入，得， ， 所以她的脂肪总量为6.07； （3）解：， ； 所以在这一周的跑步过程中，思齐同学共计消耗的热量． 22．（12分）阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)【理解】若，则_____；（填“”、“”或“”） (2)【运用】若，证明 (3)【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案． 方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板． 方案二：用4块A型钢板，7块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题干信息得出答案即可； （2）分别计算，，即可得出结论； （3）设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，，作差法比较，的大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 计算得： ， ∵， ∴， ∴， 计算得： ， ∵ ∴， ∴， 综上可得； （3）解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，， ∵ ， 又∵， ∴， ∴， ∴． 23．（14分）取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题． (1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示） 【答案】(1)； (2)； (3)积木①②组合的最远延伸长度是；积木①②③组合的最远延伸长度是 【分析】（1）根据题干性质求解即可； （2）根据题干性质求解即可； （3）根据题干性质求解即可． 【详解】（1）解：均匀积木重心在中点，上层积木最多能超出下层；多层依次外伸时，第1块相对第2块最多伸，第2块相对第3块最多伸，第3块相对第4块最多伸，…，第n块相对下一块最多伸； 只推积木①至最远：①相对②最多延伸； 再固定①②推②：①②总质量为，②相对③最多延伸， 再叠加①相对②的，总延伸； 再固定①②②推③：①②②总质量为，相对④最多延伸， 总延伸； 故答案为：；； （2）解：固定①，推②至最远：②相对③最多伸，①跟着②一起外伸，总延伸； 固定①②相对位置，三块①②③放在④上，推③至最远， 设③相对④向右伸出，支撑边界为④的右端， 各块重心坐标（以④右端为，向右为正）： ① ②同①，为， ③， 三块总重心等于（临界平衡）： ， 解得 总延伸长度（最右端超出④的总长） ． （3）解：1．积木①先延伸 (相对②超出)，再固定①②推②： 设②相对③最远可伸， 由题意得，解得， 所以①②组合总延伸：； 2．再固定①②推③：①②②总质量为，③相对下层最远可伸， 总延伸：． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $