第2章 整式及其加减（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材华东师大版七年级上册

**基本信息** 本卷为华东师大版七年级整式及其加减单元拔尖卷，23题覆盖单项式、多项式、同类项等核心知识，通过生活情境、文化素材及分层设计，提升学生抽象能力与应用意识，适配单元复习拔高需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|单项式/多项式判断（题1）、同类项（题3）、代数式实际意义（题2）|结合生活实例（线段长、面积）与跨年级真题，注重概念辨析| |填空题|6题/18分|单项式系数（题11）、幻方（题13）、新定义“和睦整式”（题15）|融入洛书文化素材与创新定义，考察符号意识| |解答题|7题/72分|整式化简求值（题17）、礼品盒包装建模（题19）、顺子数推理（题20）、扑克牌魔术应用（题23）|分层设计，从基础计算到综合应用，结合生活与文化情境，培养模型意识与推理能力|

第2章 整式及其加减·拔尖卷 【新教材华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【分析】根据定义逐个判断各代数式的类型，再对比选项得到正确结论． 【详解】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． 2．（25-26七年级上·云南昆明·开学考试）下列对这个式子的解释，（     ）是正确的． A．求线段的长 B．求组合图形的面积 C．求长方形的周长 D．圆柱底面积是，求圆柱的体积 【答案】C 【详解】解：A、线段，不符合题意； B、组合图形的面积，不符合题意； C、长方形的周长，符合题意； D、圆柱体积，不符合题意． 3．（24-25七年级上·全国·单元复习）已知和是同类项，则下列各组中的单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项的定义．所含字母相同并且相同字母的指数相同的项叫做同类项．掌握同类项的定义是解题的关键． 根据相同字母的指数相同列方程求出m和n的值，然后再根据同类项的定义逐项判定即可． 【详解】解：∵和是同类项， ∴，即， ∴A． 由，，则与不是同类项，不符合题意；     B． 由， ，则与是同类项，符合题意；     C． 由，，则与不是同类项，不符合题意；     D． ，，则与不是同类项，不符合题意．     故选B． 4．不改变的值，把二次项放在前面有“”号的括号里，一次项放在前面有“”号的括号里，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添括号的方法，熟练掌握添括号法则是解题的关键； 先在中找出二次项、和，然后再找出一次项、，根据添括号法则即可求解； 【详解】解：中找出二次项的有：、和， 一次项、， 根据题意得：； 故选：C． 5．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知，，则式子的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先把第二个等式两边乘以2，再用第一个等式减去第二个等式两边乘以2后的结果即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）已知，，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】比较两个代数式的大小，可采用作差法，计算并化简，通过判断差的正负性，即可得到与的大小关系． 【详解】解： 去括号得： 合并同类项得： 对任意实数，都有 ， 即 ． 7．（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知代数式合并同类项后不含，项，则的值为(        ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项．合并同类项后，不含，项，即它们的系数为零，求出和的值，再代入计算． 【详解】解：项系数： 项系数： 则 故选：D． 8．（2026·山西·中考真题）用、分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3倍与个位数字的8倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是（     ） A．6 B．13 C．31 D．56 【答案】D 【分析】先根据数位表示法写出原两位数，再根据题意写出新数，计算两者的差，整理后可得差是7的倍数，再判断选项中符合的结果即可． 【详解】解：∵原两位数的十位数字为，个位数字为， ∴原两位数可表示为 ，其中，，，均为整数， 由题意得新数为 ， 则新数与原数的差为： ∵，是整数， ∴差一定是的整数倍， 观察选项，只有是的倍数，因此答案选D． 9．（2026·湖北武汉·二模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为，满足，那么称这个数为“好运数”．例如：四位数，，是“好运数”；四位数，，不是“好运数”．若一个“好运数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，则这个“好运数”的最小值（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为新定义题型，根据“好运数”定义推导得到，根据已知条件得到结合能被9整除的数的性质，从小到大枚举千位数字，得到符合条件的最小“好运数”． 【详解】∵ 四位“好运数”满足，各数位数字互不相同且均不为， ∴ ， 整理得 ①， ∵ 能被整除， ， 将①代入得：， ∵ 能被整除，因此能被整除， ∵ 是的整数，，因此， 要得到最小的“好运数”，需让千位尽可能小，从小到大枚举： 当时，，代入①得，无符合条件的； 当时，，代入①得，无符合条件的； 当时，，代入①得，无符合条件的； 当时，，代入①得，无符合条件的； 当时，，代入①得，得， 此时四个数位为，互不相同且均不为，符合条件，因此最小“好运数”为． 10．（25-26七年级下·重庆·开学考试）对代数式任意添加两个不嵌套的括号括号内至少有两个字母并改变括号内的运算符号，然后进行去括号运算，称此为“括号相反操作”．例如：，…，下列说法： ①存在“括号相反操作”，使其运算结果相等； ②当运算结果为时，有2种不同的“括号相反操作”； ③所有的“括号相反操作”共有5种不同运算结果．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先根据题意列出所有符合要求的“括号相反操作”，计算每个操作的结果，再逐一判断三个说法的正误． 【详解】解：∵ 总共有5个字母，每个括号至少2个字母， ∴所有符合要求的括号组合共5种，分别计算结果如下： ， ， ， ， ， ①第1种操作和第3种操作的结果相同，故说法①正确，符合题意； ②第1种操作和第3种操作的结果都是，故说法②正确，符合题意； ③所有的“括号相反操作”共有4种不同运算结果，故说法③错误，不符合题意； 综上所述，正确的个数有2个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·河南郑州·期末）单项式的系数是 ___________． 【答案】 【分析】根据单项式系数的定义求解，注意是常数不是字母，需计入系数，不要遗漏原式的负号. 【详解】解：∵ 单项式的系数是单项式中的数字因数， ∵ 是常数，不属于字母， ∴ 单项式的数字因数为，因此该单项式的系数是. 12．（24-25七年级上·福建福州·期中）如果，则的值可表示为______（用含的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数乘法的分配律，代数式，利用有理数乘法的分配律把原式转化为，再展开整体代入即可得到答案，掌握有理数乘法的运算律是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13．（25-26七年级上·浙江台州·期末）我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方，将互不相同的9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则_____________；______________． 【答案】 6 【分析】本题结合幻方的性质考查等式的性质、整式的加减运算，同时考查方程思想与辅助未知数消元法的运用，关键是紧扣幻方中横行、竖行及对角线的三数之和相等的性质建立等式．解题时先根据幻方的性质列出包含、和公共辅助未知数的等式，消去后移项化简，直接求出；再设其他辅助未知数、，结合幻方的性质分别用、、表示出和，将其代入另一幻和等式中，通过整式的化简消去多余未知数，最终求解得出的值． 【详解】解：如图，设第1行第2列的数为，第2行第2列的数为，第3行第1列的数为． ∵每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴， 由，移项得； 由，得， 由，得 由，得，化简得． 故答案为：；． 14．历史上数学家欧拉最先把关于的多项式用记号来表示，把等于某数时的多项式的值用来表示．例如，对于多项式，当时，多项式的值为．若对于多项式，有，则的值为___________． 【答案】8 【分析】先求解，再求解，通过添括号，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：8 【点睛】本题考查的是求代数式的值，添括号的应用，理解题意，利用整体代入的思想求值是解本题的关键． 15．（25-26七年级上·河南·期末）如果整式A与整式B的差为整数a，我们称A，B为a的“和睦整式”，例如：与为1的“和睦整式”；与为3的“和睦整式”．若关于x的整式与为n的“和睦整式”，则的值为________． 【答案】49 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是关键．根据“和睦整式”的定义，两个整式的差为常数n，因此合并后x的二次项和一次项系数必须为零，从而求出m和k的值，再代入求n，最后计算代数式的值． 【详解】解： ， ∵与为n的“和睦整式”， ∴，，， ∴，，， ∴ 故答案为：49． 16．某校七、八年级的学生人数相同，九年级的学生人数是八年级学生人数的，已知七年级的男生人数与八年级的女生人数相同，九年级男生人数占三个年级男生人数的，那么三个年级的女生人数占三个年级的学生人数的______． 【答案】 【分析】通过设未知数表示出各年级男女生人数，再计算三个年级女生总人数与三个年级总人数的比值，即可得到结果． 【详解】解：设七年级男生人数为人，女生人数为人， ∵七、八年级学生人数相同，七年级的男生人数与八年级的女生人数相同， ∴八年级男生人数为人，女生人数为人，七、八年级总人数均为人． ∵九年级的学生人数是八年级学生人数的， ∴九年级学生人数为， 设九年级男生人数为， ∵九年级男生人数占三个年级男生人数的， ∴， 整理得， 解得， ∴九年级女生人数为， 三个年级女生总人数为， 三个年级总人数为， ∴三个年级女生人数占总人数的比值为． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）已知：．（为常数） (1)若不含项，求出的值； (2)在（1）的基础上化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先代入A、B计算，合并同类项后，根据不含项即项的系数为0，求解的值； （2）将（1）得到的代入，计算，合并同类项得到化简结果． 【详解】（1）解： ， ∵不含项， ， 解得． （2）解：当时， ， ， ． 18．（8分）（25-26七年级上·陕西商洛·期末）在七年级数学活动课上，有三位同学各拿一张卡片，卡片上分别写了，，，三个整式，其中是未知的． C (1)若A为二次三项式，求的值； (2)若A为二次二项式，，求整式C； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的定义，整式的加减． （1）根据二次三项式的定义得到且，求解即可； （2）根据A为二次二项式得到，根据得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：∵A为二次三项式， ∴且， ∴且， 解得； （2）解：∵为二次二项式， ∴， 解得：， 即， ， ． 19．（10分）（10分）某礼品店招聘员工，薪资待遇丰厚，竞争者蜂拥而至．笔试题目如下，聪明的同学也来试一试吧．（注意：包装纸重叠部分不计） (1)用代数式表示如图1所示的长方形礼品盒的表面积； (2)若顾客购买相同的两份礼品（礼品盒同图1），并要求包装在一起，请在以下两种包装方式中任选一种，并用代数式表示所需的包装纸的面积． 解：我选 （填“甲”或“乙”）． (3)当时，从节约的角度你会选择 种方式包装，所需包装纸 ； 当时，如果有四盒相同的长方形礼品包装在一起，最节约的包装方案需要包装纸 ． 【答案】(1) (2)甲，（或填乙，） (3)乙，76；112 【分析】（1）已知长、宽、高，利用长方体的表面积为，即可写出代数式； （2）根据两种摆放方式易得长、宽、高，再列出对应的表面积代数式即可； （3）观察甲乙图形，当时，乙图中重合部分的面积更大，因此表面积更小，故应该选择乙方式包装，然后根据新的长、宽、高计算出表面积即可；画出4个长方形可以摆成的形状，共6种，先比较重合部分面积，重合面积越大，数量越多的所构成的表面积就越小，选出表面积最小的然后列式计算即可． 【详解】（1）解： 所以图1所示的长方形礼品盒的表面积为 （2）解：若选甲，两个礼品盒叠放后的尺寸为：长，宽，高， 所需的包装纸的面积为． 若选乙，两个礼品盒叠放后的尺寸为：长，宽，高， 所需的包装纸的面积为． （3）解：当时，若选甲，所需的包装纸的面积为， 若选乙，所需的包装纸的面积为， 因为， 所以从节约的角度选择乙种方式包装，所需包装纸． 当时，如果有四盒相同的长方形礼品包装在一起，有以下6种不同的摆放方式，如图所示： 观察可知，图⑤重合面积大，数量多，所构成的表面积最小， 所以图⑤最省包装纸，此时礼品盒叠放后的尺寸为：长，宽，高，所需的包装纸的面积为 ． 20．（10分）（25-26七年级下·河北承德·阶段检测）按要求解答下列各题： (1)列式：设是一个三位数，则用含，，的代数式表示为______； (2)定义：如果一个三位数的三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，则这个三位数叫作顺子数，如“123”“456”等都是顺子数．请你再举出一个顺子数：______； (3)推理：嘉嘉经过观察计算发现顺子数都可以被3整除．设 是一个顺子数． ①请用含的代数式表示和； ②通过整式的运算，证明上述发现的结论． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3)①，； ②证明： ， ，为正整数， 为整数， 顺子数都可以被3整除． 【分析】（1）根据多位数的表示方法列出含a，b，c的代数式即可； （2）根据顺子数的定义，写出一个顺子数即可； （3）①根据顺子数的定义，百位数为a，十位数为，个位数为可得到结果； ②把顺子数表示为，整理为，证得结论． 【详解】（1）解：三位数可表示为：； （2）解：根据题意一个顺子数为：789（答案不唯一）； （3）解：①∵三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数， ∴； ②略 21．（12分）（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 【答案】(1)， (2)， ， ， ， (3) 【分析】（1）根据有理数的运算规则运算即可；平移的方框，任选与图1位置不同的位置将值代入运算即可； （2）根据图像将表示出来，再代入进行运算即可； （3）根据（2）将用表示出来，再代入求解即可． 【详解】（1）解：； 当， 则． （2）解：设，则，，． ， ， ， ； 所以，的值为． （3）解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 22．（12分）（25-26七年级上·四川成都·期末）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：． (1)求m、n的值； (2)①情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 单位长度； ②应用：当情境①中的火车匀速向右运动时，若火车完全经过点M需要4秒，则火车的速度为 个单位长度/秒； (3)在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9，； (2)① 4；② 2； (3)存在，，4． 【分析】（1）根据得，计算即可． （2）①设玩具火车的长度为个单位长度，设原的位置为，则原的位置为．通过火车移动时的位置关系建立方程求长度；②根据完全经过的路程和时间求速度 （3）设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点B1的距离为4t个单位长度，此时点B1表示的数是，，根据题意，得到点Q表示的数是，点P表示的数是，进而表示出，代入化简，令t的系数为零计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）设玩具火车的长度为个单位长度． 当点移动到点时，点对应的数为；当点移动到点时，点对应的数为． 分析位置关系：设原的位置为，则原的位置为． 移到时，的新位置为； 移到时，的新位置为． 两式相减得：，即，解得． 火车完全经过点需要秒．由①知火车长个单位，原的位置为，原的位置为，点表示的数为． 火车完全经过时，需要从原位置移动到（因为火车完全经过需车尾离开，到的距离需加上火车长度），所以移动的距离为． 速度（单位长度/秒）． （3）设运动时间为秒． 火车向右运动，速度为，原位置为1，原位置为， 所以的位置为，的位置为， 则． 点从（）向左运动，速度， 所以的位置为． 点从（）向右运动，速度2， 所以的位置为． ． 则． 要使该值为定值，需的系数为0， 即，解得． 此时定值为． 故当时，常数k使得的值与它们的运动时间无关，此时值为4． 【点睛】本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键． 23．（14分）（25-26七年级下·福建厦门·期末）术中蕴含着许多数学原理，基于数学原理可以设计一些扑克牌魔术． 小鹭设计了一款扑克牌魔术，具体步骤如下： ①将一副扑克牌（共52张，不含大小王）随机打乱； ②将打乱后的扑克牌，抽取三十张，依次背面向上，叠放在桌上，第1张扑克牌在最下方，第30张扑克牌在最上方，如下图所示： ③从剩余的扑克牌中，随机抽取两张，翻开后依次摆放在桌上，余下扑克牌背面向上，叠放在原来三十张扑克牌之上，形成牌堆； ④根据每张翻开的扑克牌点数，从牌堆中从上往下数取扑克牌，放在对应扑克牌的下方，使得数取张数与该张扑克牌点数之和为13； 例如，若翻开的扑克牌为4，则取9张扑克牌；若翻开的扑克牌为K，则不取牌． ⑤将步骤③中翻开的两张扑克牌点数之和记为，在剩余牌堆中从上往下数第张，翻开对应的扑克牌． 例如，步骤③中翻开的两张扑克牌为4，K，则此时，即翻开从上往下数的第17张扑克牌．（注：本魔术中，扑克牌中的A，J，Q，K分别视为点数1，11，12，13） 在该魔术中，只需在步骤②中提前记忆特定位置的扑克牌，即可准确预测最终翻开的结果． (1)如果在步骤③中翻开的扑克牌为3，Q，按照上述步骤，步骤④中共需取的扑克牌为几张？ (2)对于任意翻开的两张扑克牌，步骤⑤中最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第几张？请说明理由． 【答案】(1)11张 (2)第25张 【分析】（1）根据规则：取牌张数+牌点数=13，分别算出点数3、Q对应的取牌数量，再求和即可； （2）设两张牌点数分别为，先表示出步骤④取牌总数，再结合，计算步骤⑤翻开牌在整堆牌的上层位置，再换算成从下往上的序数． 【详解】（1）解：已知规则：取牌张数牌点数，Q视为点数12． 点数为3时，取牌数量：张； 点数为Q时，取牌数量：张， 总共取牌：张， 所以步骤4中共需取扑克牌11张． （2）解：设两张翻开的扑克牌点数分别为和：两张牌点数之和， 步骤④总共取走的牌数：对于点数为的牌，取牌数为；对于点数为的牌，取牌数为，总取牌数为， 剩余牌堆的总张数：步骤②抽取30张，步骤③抽取（张），步骤④取走张，因此剩余牌堆张数为， 步骤⑤要求从剩余牌堆从上往下数第张翻开，那么从下往上数的位置为总张数减去从上往下数的位置再加1，即，因此最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第张． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 整式及其加减·拔尖卷 【新教材华东师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 2．（25-26七年级上·云南昆明·开学考试）下列对这个式子的解释，（     ）是正确的． A．求线段的长 B．求组合图形的面积 C．求长方形的周长 D．圆柱底面积是，求圆柱的体积 3．（24-25七年级上·全国·单元复习）已知和是同类项，则下列各组中的单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．不改变的值，把二次项放在前面有“”号的括号里，一次项放在前面有“”号的括号里，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知，，则式子的值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）已知，，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．以上都有可能 7．（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知代数式合并同类项后不含，项，则的值为(        ) A． B． C． D． 8．（2026·山西·中考真题）用、分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3倍与个位数字的8倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是（     ） A．6 B．13 C．31 D．56 9．（2026·湖北武汉·二模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为，满足，那么称这个数为“好运数”．例如：四位数，，是“好运数”；四位数，，不是“好运数”．若一个“好运数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，则这个“好运数”的最小值（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·重庆·开学考试）对代数式任意添加两个不嵌套的括号括号内至少有两个字母并改变括号内的运算符号，然后进行去括号运算，称此为“括号相反操作”．例如：，…，下列说法： ①存在“括号相反操作”，使其运算结果相等； ②当运算结果为时，有2种不同的“括号相反操作”； ③所有的“括号相反操作”共有5种不同运算结果．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·河南郑州·期末）单项式的系数是 ___________． 12．（24-25七年级上·福建福州·期中）如果，则的值可表示为______（用含的式子表示）． 13．（25-26七年级上·浙江台州·期末）我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方，将互不相同的9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则_____________；______________． 14．历史上数学家欧拉最先把关于的多项式用记号来表示，把等于某数时的多项式的值用来表示．例如，对于多项式，当时，多项式的值为．若对于多项式，有，则的值为___________． 15．（25-26七年级上·河南·期末）如果整式A与整式B的差为整数a，我们称A，B为a的“和睦整式”，例如：与为1的“和睦整式”；与为3的“和睦整式”．若关于x的整式与为n的“和睦整式”，则的值为________． 16．某校七、八年级的学生人数相同，九年级的学生人数是八年级学生人数的，已知七年级的男生人数与八年级的女生人数相同，九年级男生人数占三个年级男生人数的，那么三个年级的女生人数占三个年级的学生人数的______． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）已知：．（为常数） (1)若不含项，求出的值； (2)在（1）的基础上化简：． 18．（8分）（25-26七年级上·陕西商洛·期末）在七年级数学活动课上，有三位同学各拿一张卡片，卡片上分别写了，，，三个整式，其中是未知的． C (1)若A为二次三项式，求的值； (2)若A为二次二项式，，求整式C； 19．（10分）（10分）某礼品店招聘员工，薪资待遇丰厚，竞争者蜂拥而至．笔试题目如下，聪明的同学也来试一试吧．（注意：包装纸重叠部分不计） (1)用代数式表示如图1所示的长方形礼品盒的表面积； (2)若顾客购买相同的两份礼品（礼品盒同图1），并要求包装在一起，请在以下两种包装方式中任选一种，并用代数式表示所需的包装纸的面积． 解：我选 （填“甲”或“乙”）． (3)当时，从节约的角度你会选择 种方式包装，所需包装纸 ； 当时，如果有四盒相同的长方形礼品包装在一起，最节约的包装方案需要包装纸 ． 20．（10分）（25-26七年级下·河北承德·阶段检测）按要求解答下列各题： (1)列式：设是一个三位数，则用含，，的代数式表示为______； (2)定义：如果一个三位数的三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，则这个三位数叫作顺子数，如“123”“456”等都是顺子数．请你再举出一个顺子数：______； (3)推理：嘉嘉经过观察计算发现顺子数都可以被3整除．设 是一个顺子数． ①请用含的代数式表示和； ②通过整式的运算，证明上述发现的结论． 21．（12分）（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 22．（12分）（25-26七年级上·四川成都·期末）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：． (1)求m、n的值； (2)①情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 单位长度； ②应用：当情境①中的火车匀速向右运动时，若火车完全经过点M需要4秒，则火车的速度为 个单位长度/秒； (3)在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 23．（14分）（25-26七年级下·福建厦门·期末）术中蕴含着许多数学原理，基于数学原理可以设计一些扑克牌魔术． 小鹭设计了一款扑克牌魔术，具体步骤如下： ①将一副扑克牌（共52张，不含大小王）随机打乱； ②将打乱后的扑克牌，抽取三十张，依次背面向上，叠放在桌上，第1张扑克牌在最下方，第30张扑克牌在最上方，如下图所示： ③从剩余的扑克牌中，随机抽取两张，翻开后依次摆放在桌上，余下扑克牌背面向上，叠放在原来三十张扑克牌之上，形成牌堆； ④根据每张翻开的扑克牌点数，从牌堆中从上往下数取扑克牌，放在对应扑克牌的下方，使得数取张数与该张扑克牌点数之和为13； 例如，若翻开的扑克牌为4，则取9张扑克牌；若翻开的扑克牌为K，则不取牌． ⑤将步骤③中翻开的两张扑克牌点数之和记为，在剩余牌堆中从上往下数第张，翻开对应的扑克牌． 例如，步骤③中翻开的两张扑克牌为4，K，则此时，即翻开从上往下数的第17张扑克牌．（注：本魔术中，扑克牌中的A，J，Q，K分别视为点数1，11，12，13） 在该魔术中，只需在步骤②中提前记忆特定位置的扑克牌，即可准确预测最终翻开的结果． (1)如果在步骤③中翻开的扑克牌为3，Q，按照上述步骤，步骤④中共需取的扑克牌为几张？ (2)对于任意翻开的两张扑克牌，步骤⑤中最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第几张？请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $