第2章 整式及其加减（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪科版七年级上册

**基本信息** 第二章整式及其加减单元强化卷，120分钟150分，通过基础巩固、规律探究及跨学科情境（如密码破译），适配单元复习，发展抽象能力、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|同类项、整式运算、代数式求值|结合几何图形（中点等边三角形）考规律探究，体现数学眼光| |填空题|4/20|新定义运算、多项式化简|跨学科密码问题，培养应用意识与数据观念| |解答题|9/90|实际应用（花圃/草坪面积）、整式化简求值|分层设计，从基础运算到综合证明，发展推理能力与模型意识|

第二章 整式及其加减（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．与的和的倍是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“和的3倍”的表述，确定先算加法再算乘法的运算顺序，需添加括号保证运算优先级． 【详解】解：与的和为，和的3倍为． 2．下列是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项．根据定义逐项判断即可．常数项均为同类项． 【详解】解：A、和所含字母相同，但是相同字母的指数不同，不是同类项； B、和所含字母不同，不是同类项； C、和中，不是整式，不是同类项； D、1和都是常数，是同类项． 3．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：∵与所含字母不同，不是同类项，不能合并，∴A错误． B选项：∵与中相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，∴B错误． C选项：∵与是同类项，合并同类项时系数相减，字母及指数不变， ∴，∴C错误． D选项：∵与是同类项，合并同类项得，计算正确，∴D正确． 4．在下列说法中，正确的是（     ） A．的系数为 B．的次数为6 C．是四次三项式 D．若与是同类项，则 【答案】D 【分析】直接利用单项式的定义以及多项式的次数和项数的定义，同类项的概念分别分析得出答案即可． 【详解】解：A选项，的系数为，原说法错误，不符合题意； B选项，的次数为5，原说法错误，不符合题意； C选项，的最高次项次数为3，是三次三项式，原说法错误，不符合题意； D选项，∵与是同类项， ∴，， ∴，原说法正确，符合题意. 5．若，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．不确定，与k值大小有关 【答案】A 【分析】本题运用整体代入法求解代数式的值，先对所求代数式提取公因式变形，再结合已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：， ， 对所求代数式变形得：， 将代入得：原式，因此代数式的值为． 6．已知，，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】比较两个代数式的大小，可采用作差法，计算并化简，通过判断差的正负性，即可得到与的大小关系． 【详解】解： 去括号得： 合并同类项得： 对任意实数，都有 ， 即 ． 7．如图，学校计划用篱笆围成一个长方形花圃．为充分利用资源，该长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面用篱笆围成，中间再用两道篱笆分成3个长方形分别种植不同品种的花卉，所用篱笆总长为24米．设的长度为米，则长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设的长度为米，则的长度为米， 则长方形花圃的面积为． 8．有理数a，b，c均不为0，且，设，则代数式的值为（     ）． A． B．0或1 C． D．或 【答案】D 【分析】利用已知条件变形的表达式，再根据的符号分类讨论得到的两种可能值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，且，，均不为， ∴，，， 代入的表达式得： ， ∵，，，均不为， ∴，，不可能全为正，也不可能全为负，只有两种情况： ① 当，，为两正一负时，，，的结果为两个，一个，和为， ∴， 代入得； ② 当，，为两负一正时，，，的结果为两个，一个，和为， ∴， 代入得； ∴代数式的值为或． 9．如图1，连接等边三角形三边中点构成的小三角形，称为“中点等边三角形”（阴影部分），显然图1中有1个“中点等边三角形”；如图2，在图1中三个空白等边三角形中继续做“中点等边三角形”，可得图2中有4个“中点等边三角形”；如图3，在图2中9个空白等边三角形中继续做“中点等边三角形”，可知图3中有13个“中点等边三角形”，，依次类推，第5个图形中“中点等边三角形”的个数为（     ） A．120 B．121 C．122 D．123 【答案】B 【分析】根据给出的图形找出规律：第2个图形比第1个图形多3个；第3个图形比第2个图形多个，第4个图形比第3个图形多个；第5个图形比第4个图形多个，从而得出答案即可． 【详解】解：∵图1中有1个“中点等边三角形”， 图2中有个“中点等边三角形”， 图3中有个“中点等边三角形”， 图4中有个“中点等边三角形”， 图5中的 “中点等边三角形”个数为：（个）． 10．已知整式M：，其中，，，为整数，为正整数，n为自然数，且，下列说法： ①不存在满足条件的单项式； ②满足条件的所有整式中，二次三项式共有4个； ③当时，满足条件的所有整式和为； ④存在两个自然数n，使满足条件的整式M有且仅有7个． 其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】当时，可得，据此可判断①；当时，由M为二次三项式，得到都不为0，据此讨论的值，从而确定对应条件下的值，即可确定符合题意的M的个数，据此可判断②；当时，讨论的值，从而确定对应条件下的值，即可确定符合题意的M的个数，把所有整式求和即可判断③；求出时和时符合题意的M的个数即可判断④． 【详解】解：①当时，，此时， ∵为整数， ∴，即此时，此时M是单项式，故①说法错误； ②当时，则，为正整数，为整数， ∴， ∴， ∵M为二次三项式， ∴都不为0， 当时，，不符合题意； 当时，则，此时中必然有一个数为0，不符合题意； 当时，则，此时则， ∴或或或， ∴满足条件的所有整式中，二次三项式共有4个，故②正确； ③当时， 则，为正整数，为整数， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，则，则或， ∴或或或， 此时； 当，则，此时则或或， ∴或或或或或或或， 此时， ， ∴当时，满足条件的所有整式和为，故③错误； ④当时，， ∵为正整数， ∴的值为（有1个值）或3（有2个值）或2（有2个值）或1（有2个值）， ∴此时的总个数为； 当时，， ∵为正整数， ∴的值为2或1， 当时，，此时只有1种， 当时，， 若，则，此时有2种， 若，则，此时有2种， 若，则，此时有2种， ∴总个数为； 存在和两个自然数满足条件，故④正确． 综上，正确的说法共个． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．的结果是________． 【答案】 【分析】先去括号，再合并即可； 【详解】解： ． 12．当=______时，关于的多项式中不含有项． 【答案】 【分析】当多项式不含某一项时，该项合并同类项后的系数为，先合并多项式中的同类项，再令项的系数为，即可求解的值。 【详解】解：对多项式合并同类项得： ， 多项式不含有项， 项的系数为，即， 解得． 13．对于实数x，y，给出定义：，例如．已知，，则=________． 【答案】 【分析】先根据新的定义可得，，再作为整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由①②得：，即， 由②①得：，即， ∴． 14．随着信息时代的发展，个人网络信息安全成为越来越重要的事．在网上进行登录时，往往需要设置组合密码提高信息安全级别．为提升同学们的网络安全意识，我校数学组和信息组拟开展“密码猜猜猜”的跨学科综合实践活动．活动前老师设计了一个密码规则，并给出了如表“密文—明文”提示，请同学们猜一猜．若密码的密文为“”，则可破译出它表示的明文是_____． 密码猜猜猜 密文 明文 284214 563224 244824 【答案】452718 【分析】根据给定密文和明文得到密文中后两个数字的积为明文的前两位数字，第一个数字和第三个数字的积为明文的中间两位数字，明文的前两个数字与中间两位数字的差值的绝对值为明文的最后两位数字，据此即可得出结果. 【详解】解：观察可知：密文中后两个数字的积为明文的前两位数字，第一个数字和第三个数字的积为明文的中间两位数字，明文的前两个数字与中间两位数字的差值的绝对值为明文的最后两位数字， ∴对应的明文的前两个数字为，中间两位数字为，最后两位数字为， 故明文为. 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 16．（8分）已知，． (1)求； (2)当为时，求（1）中代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减与化简求值． （1）利用多项式加法法则，合并同类项即可得到的结果. （2）将代入（1）中所得代数式，按照有理数的混合运算法则计算即可. 【详解】（1）解： 已知， （2）解： 当时 ， 17．（8分）如图，长方形的长为，宽为．现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出四分之一圆． (1)用含，的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求图中阴影部分的面积．（取） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）长方形的面积减去四个圆的面积即可求解，四个圆的面积的和是一个整圆的面积； （2）把，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知，阴影部分的面积为； （2）解：当，时， 阴影部分的面积为． 18．（8分）如果多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次．求m，n的值． 【答案】， 【详解】解：原式 ； ∵多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次， ∴， ∴，． 19．（10分）若x，y互为相反数，m，n互为倒数，a的绝对值是5，求代数式的值． 【答案】或9 【分析】先根据相反数、倒数、绝对值的定义得到，，，再代值计算即可． 【详解】解：∵x，y互为相反数，m，n互为倒数，a的绝对值是5， ∴，，， ∴， 当时， ； 当时， ． 综上所述，代数式的值为或9． 20．（10分）计算：已知，， (1)当异号时，求的值； (2)求的最大值． 【答案】(1)； (2)的最大值是5． 【分析】（1）根据x，y异号，进而得出，或，，代入求解即可； （2）由题意，，分情况计算，取最大值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵x，y异号，即， ∴，或，， ∴； （2）解：由题意知：，， 当，时； 当，时，； 当，时，； 当，时，， 故的最大值是5． 21．（12分）如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建花坛，其余部分铺设草坪（阴影部分）． (1)请你直接写出花坛的面积．_____平方米．（用含的代数式表示） (2)求草坪的面积是多少平方米？（用含的代数式表示，结果请化简） (3)若，，草坪的单价为每平方米40元，求购买草坪所需的总费用． 【答案】(1) (2)草坪的面积是平方米 (3)购买草坪的总费用为6200元 【分析】（1）根据正方形面积公式进行计算即可； （2）根据草坪面积=长方形面积-正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简即可； （3）将，，代入（2），计算即可． 【详解】（1）解：花坛的面积为平方米． （2）解：∵， ∴ ， ∴草坪的面积是平方米； （3）解：当，时，， ∴（元）． 答：购买草坪的总费用为6200元． 22．（12分）若一个四位正整数（各个数位均不为0），十位和千位数字相同，个位和百位数字相同，则称该数为“双生数”例如：3131、4646都是“双生数”；将一个四位正整数的百位和十位交换位置后得到一个四位数，规定．例如：若 则． (1)填空： ； (2)证明任意“双生数”的一定能被10整除； (3)若一个“双生数”，当能被整除时，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明：设任意“双生数”，即， 将这个任意“双生数”的百位和十位交换位置后得到一个四位数，则， ∴， ∴任意“双生数”的一定能被10整除； (3)9898 【分析】（1）根据进行求解即可； （2）设任意“双生数”，即， 将这个任意“双生数”的百位和十位交换位置后得到一个四位数，则，然后根据进行求解即可； （3）由题意易得，则有，然后可得能被整除， 要使的值为最大，则的值要为最大，且，即，（b为整数），进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）证明：设任意“双生数”，即， 将这个任意“双生数”的百位和十位交换位置后得到一个四位数，则， ∴， ∴任意“双生数”的一定能被10整除； （3）解：∵， ∴， ∵能被整除， ∴的结果为整数， ∴能被整除， 要使的值为最大，则的值要为最大，且，即，（b为整数） ∴当时，则，不能被7整除，故不符合题意； 当时，则，能被7整除， ∴， ∴这个“双生数”的最大值为9898． 23．（14分）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：；；，从而在化简时，可分以下三种情况： 当时，原式；当时，原式； 当时，原式； ，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是； (2)化简； (3)直接写出代数式的化简结果 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题解题的关键是找出各个绝对值表达式中的零点值，将数轴划分为若干区间，在每个区间内去掉绝对值符号，化简代数式，最后合并结果． (1)直接根据定义求零点值； (2)涉及两个绝对值之差，需分情况讨论； (3)包含三个绝对值之和，涉及三个零点值，需划分四个区间进行讨论． 【详解】（1）解：令，解得， 因此的零点值是． （2）解：令和， 解得和． 这两个值将实数轴分为三个区间：． 当时，， 原式． 当时，， 原式． 当时，， 原式． （3）解：令，解得．因此分成四个区间：． 当时，， 原式． 当时，，但， 原式． 当时，， 原式． 当时，此时所有表达式非负， 原式． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 整式及其加减（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．与的和的倍是（    ） A． B． C． D． 2．下列是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．在下列说法中，正确的是（     ） A．的系数为 B．的次数为6 C．是四次三项式 D．若与是同类项，则 5．若，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．不确定，与k值大小有关 6．已知，，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．以上都有可能 7．如图，学校计划用篱笆围成一个长方形花圃．为充分利用资源，该长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面用篱笆围成，中间再用两道篱笆分成3个长方形分别种植不同品种的花卉，所用篱笆总长为24米．设的长度为米，则长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 8．有理数a，b，c均不为0，且，设，则代数式的值为（     ）． A． B．0或1 C． D．或 9．如图1，连接等边三角形三边中点构成的小三角形，称为“中点等边三角形”（阴影部分），显然图1中有1个“中点等边三角形”；如图2，在图1中三个空白等边三角形中继续做“中点等边三角形”，可得图2中有4个“中点等边三角形”；如图3，在图2中9个空白等边三角形中继续做“中点等边三角形”，可知图3中有13个“中点等边三角形”，，依次类推，第5个图形中“中点等边三角形”的个数为（     ） A．120 B．121 C．122 D．123 10．已知整式M：，其中，，，为整数，为正整数，n为自然数，且，下列说法： ①不存在满足条件的单项式； ②满足条件的所有整式中，二次三项式共有4个； ③当时，满足条件的所有整式和为； ④存在两个自然数n，使满足条件的整式M有且仅有7个． 其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．的结果是________． 12．当=______时，关于的多项式中不含有项． 13．对于实数x，y，给出定义：，例如．已知，，则=________． 14．随着信息时代的发展，个人网络信息安全成为越来越重要的事．在网上进行登录时，往往需要设置组合密码提高信息安全级别．为提升同学们的网络安全意识，我校数学组和信息组拟开展“密码猜猜猜”的跨学科综合实践活动．活动前老师设计了一个密码规则，并给出了如表“密文—明文”提示，请同学们猜一猜．若密码的密文为“”，则可破译出它表示的明文是_____． 密码猜猜猜 密文 明文 284214 563224 244824 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）化简 (1) (2) 16．（8分）已知，． (1)求； (2)当为时，求（1）中代数式的值． 17．（8分）如图，长方形的长为，宽为．现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出四分之一圆． (1)用含，的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求图中阴影部分的面积．（取） 18．（8分）如果多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次．求m，n的值． 19．（10分）若x，y互为相反数，m，n互为倒数，a的绝对值是5，求代数式的值． 20．（10分）计算：已知，， (1)当异号时，求的值； (2)求的最大值． 21．（12分）如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建花坛，其余部分铺设草坪（阴影部分）． (1)请你直接写出花坛的面积．_____平方米．（用含的代数式表示） (2)求草坪的面积是多少平方米？（用含的代数式表示，结果请化简） (3)若，，草坪的单价为每平方米40元，求购买草坪所需的总费用． 22．（12分）若一个四位正整数（各个数位均不为0），十位和千位数字相同，个位和百位数字相同，则称该数为“双生数”例如：3131、4646都是“双生数”；将一个四位正整数的百位和十位交换位置后得到一个四位数，规定．例如：若 则． (1)填空： ； (2)证明任意“双生数”的一定能被10整除； (3)若一个“双生数”，当能被整除时，求的最大值． 23．（14分）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：；；，从而在化简时，可分以下三种情况： 当时，原式；当时，原式； 当时，原式； ，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是； (2)化简； (3)直接写出代数式的化简结果 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 整式及其加减（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D D D A A D D B B 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11． 12． 13． 14．452718 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 16．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 已知， （2）解： 当时 ， 17．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意知，阴影部分的面积为； （2）解：当，时， 阴影部分的面积为． 18．【答案】， 【详解】解：原式 ； ∵多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次， ∴， ∴，． 19．【答案】或9 【详解】解：∵x，y互为相反数，m，n互为倒数，a的绝对值是5， ∴，，， ∴， 当时， ； 当时， ． 综上所述，代数式的值为或9． 20．【答案】(1)； (2)的最大值是5． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵x，y异号，即， ∴，或，， ∴； （2）解：由题意知：，， 当，时； 当，时，； 当，时，； 当，时，， 故的最大值是5． 21．【答案】(1) (2)草坪的面积是平方米 (3)购买草坪的总费用为6200元 【详解】（1）解：花坛的面积为平方米． （2）解：∵， ∴ ， ∴草坪的面积是平方米； （3）解：当，时，， ∴（元）． 答：购买草坪的总费用为6200元． 22．【答案】(1) (2)证明：设任意“双生数”，即， 将这个任意“双生数”的百位和十位交换位置后得到一个四位数，则， ∴， ∴任意“双生数”的一定能被10整除； (3)9898 【详解】（1）解：由题意得：； （2）证明：设任意“双生数”，即， 将这个任意“双生数”的百位和十位交换位置后得到一个四位数，则， ∴， ∴任意“双生数”的一定能被10整除； （3）解：∵， ∴， ∵能被整除， ∴的结果为整数， ∴能被整除， 要使的值为最大，则的值要为最大，且，即，（b为整数） ∴当时，则，不能被7整除，故不符合题意； 当时，则，能被7整除， ∴， ∴这个“双生数”的最大值为9898． 23．【答案】(1)3 (2) (3) 【详解】（1）解：令，解得， 因此的零点值是． （2）解：令和， 解得和． 这两个值将实数轴分为三个区间：． 当时，， 原式． 当时，， 原式． 当时，， 原式． （3）解：令，解得．因此分成四个区间：． 当时，， 原式． 当时，，但， 原式． 当时，， 原式． 当时，此时所有表达式非负， 原式． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $