专题1.6 等腰三角形（ 专题训练） -2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 以题型为载体系统覆盖等腰三角形核心知识，从定义到性质应用形成递进逻辑链，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义|4题|结合边长/周长计算，突出分类讨论|从概念出发，巩固等腰三角形边的性质| |等边对等角|4题|依托图形变换求角度，强化内角关系|性质应用，衔接三角形内角和定理| |三线合一|4题|融合尺规作图与实际应用，体现性质综合性|深化性质理解，关联轴对称知识| |图形识别|4题|复杂图形中等腰三角形计数，考查几何直观|提升图形分析能力，巩固性质判定| |格点作图|4题|网格中确定等腰三角形顶点，培养空间观念|结合坐标与几何，强化作图规范| |性质与判定|10题|综合证明与计算，突出逻辑推理|整合知识体系，对接中考综合题型|

专题1.6 等腰三角形（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 题型·1·等腰三角形的定义 1 题型·2.等边对等角 3 题型·4·三线合一 5 题型·4·找出图中的等腰三角形 7 题型·5··格点中画等腰三角形 10 题型·6.等腰三角形的性质与判定 13 题型·1·等腰三角形的定义 1．等腰三角形的两条边分别为和，则它的周长是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】未明确腰和底，需分类讨论并验证三边关系． 【详解】解：∵等腰三角形的两条边长分别为和， ∴分两种情况：当腰长为，底边长为时， ∵，符合三边关系， ∴周长为； 当腰长为，底边长为时， ∵，符合三边关系， ∴周长为． 故周长为或． 2．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】分两种情况：①当腰长为时，②当底边长为时，再结合三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：①当腰长为时，则底边长为， 三角形的三边长分别为，，，此时，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，舍去； ②当底边长为时，则腰长为， 三角形的三边长分别为，，，此时，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意； 综上，该等腰三角形的腰长为． 3．已知等腰三角形有两条边的长分别是，，则这个等腰三角形的腰长为（   ） A．2 B．12 C．2或5 D．5 【答案】D 【分析】题目未明确等腰三角形的腰和底，需要分情况讨论，结合三角形三边关系验证能否组成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论：①当腰长为时，三角形三边长为，∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故此情况舍去； ②当腰长为时，三角形三边长为，∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴这个等腰三角形的腰长为． 故选：D． 4．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，分两种情况讨论，即顶角为比例中的1份和顶角为比例中的4份，再利用三角形内角和为列方程求解． 【详解】解：设等腰三角形两个内角的度数分别为、， 情况1：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，即顶角度数为； 情况2：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，，即顶角度数为； 因此该等腰三角形的顶角度数为或． 题型·2.等边对等角 5．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据旋转的性质得出及，从而判定为等腰直角三角形，即可得到的度数． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 是等腰直角三角形， ． 6．如图，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则． 7．如图，在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由可知，，由可知，由三角形外角的性质可知，根据可知，再在中，由三角形内角和定理即可得出关于的一元一次方程，求出的值即可． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得． ． 8．如图，在中，若，垂直平分，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂直平分线性质得到，再由角平分线判定得到，最后结合直角三角形内角和列方程求解． 【详解】解： 垂直平分， ， ， ， ， ，， 平分， ， ， 解得． 题型·4·三线合一 9．如图，在中，，在上分别截取，使，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：由作图可知：平分， ∵，， ∴． 10．如图，在中，，，，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，，（三线合一）， 故选项A、C中结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故选项D中结论正确，不符合题意； ∵与不一定相等， ∴不一定正确，故选项B中结论不正确，符合题意． 11．为了使电线杆垂直于地面，如图所示，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳，，当固定点，到电线杆底端的距离相等且点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于了，工程人员这种操作方法的依据是（     ） A．等腰三角形“三线合一”的性质 B．垂线段最短 C．等角对等边 D．垂直平分线上的点到两个端点的距离相等 【答案】A 【分析】根据题意，得到，三线合一得到. 【详解】解：由题意，工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”的性质. 12．如图，在中，，点为边上一点，连接，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴是的角平分线； 又∵， ∴． 题型·4·找出图中的等腰三角形 13．如图，在中，点、在上，，，且，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，利用直角三角形的特征及等腰三角形的判定可得、、是等腰三角形，再利用证得，进而可得是等腰三角形，进而可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】解：， 点、分别是和的中点，， 又，， ，， 、、是等腰三角形，， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形， 则图中等腰三角形的个数为4个， 故选B． 14．如图所示，共有等腰三角形（    ） A．4个 B．3个 C．5个 D．1个 【答案】C 【分析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰三角形的个数． 【详解】解：根据三角形的内角和定理，得：， 根据三角形的外角的性质，得 ． 再根据等角对等边，得 等腰三角形有，，，和，共个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的判定定理． 15．如图，四边形沿对角线对折后重合，连接交于点，若，则图中等腰三角形的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由对折后重合得相等的线段和相等的角，由平行线得相等的角，再得相等的线段，判断出等腰三角形； 【详解】解：由对折后重合得，，， ，， 和为等腰三角形， ， ， ，， ，， 和为等腰三角形， 因此共有个等腰三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，在图形中找出相应条件是解题关键． 16．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得，的关系，根据平行线的性质可得，的关系，根据等腰三角形的判定可得，，进而完成解答． 【详解】解：∵与的平分线相交于点O， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴，即都为等腰三角形． 又∵，， ∴，且， ∴都为等腰三角形． ∵，与的平分线相交于点O， ∴， ∴，即是等腰三角形． 故等腰三角形有：． 故选：B． 题型·5··格点中画等腰三角形 17．如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义结合网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 当点C在或或或的位置上时，， 当点C在或位置上时，， ∴满足条件的格点C的个数有6个． 18．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确画出图形是解题的关键．分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰；画出图形，即可解决问题． 【详解】解：如图，分两种情况讨论： ①为等腰直角底边时，符合条件的格点C有0个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个； 综上所述，满足条件的格点C的个数是3个． 故选：B． 19．我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形底边；②为等腰直角三角形其中的一条腰． 【详解】解：①为等腰直角三角形底边时，符合条件的格点有2个：、； ②为等腰直角三角形其中的一条腰时，符合条件的格点有2个：、． 如图所示，共有4个格点满足． 20．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为腰；②为底边． 【详解】解：如图，①是腰时，红色的4个点可以作为点C，②是底边时，黑色的2个点都可以作为点C，所以，满足条件的点C的个数是． 故选：A． 题型·6.等腰三角形的性质与判定 21．如图，点是的边的中点，且恰好在的平分线上，，，垂足分别为，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：平分，，， ， 是的中点， ， ，， ， 在和中 ， ， ， 是等腰三角形． (2)9 【分析】（1）先利用角平分线性质得到垂线段，结合中点推出，证明两个直角三角形全等，得到，再依据等角对等边证出，从而证明是等腰三角形． （2）在中根据30°直角三角形性质求出长度并算出，结合第一问等腰结论判定为等边三角形，得到总长，最后用线段和差算出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在中，，， ， ， 由（1）得，又， 是等边三角形， ， 为中点， ，即， ， ． 22．如图，，，、相交于点O． (1)求证：； (2)连接，则与的数量关系是_____． 【答案】(1)证明：在和中， ∴； (2) 【分析】（1）根据“”证明； （2）由得，得，进而得出，从而可得出． 【详解】（1）略； （2）解：如图， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 23．如图，中，，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点． (1)求证：为等腰三角形． (2)若E为的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由三线合一定理可得，再由同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行可证明，根据平行线的性质得出，，根据等腰三角形的判定即可得出结论； （2）过点A作，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，为边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）证明：过点A作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 24．如图，、相交于，，． (1)求证：； (2)延长、交于点，则线段与线段之间的位置关系是_______． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1），即可证出； （2）连接，由（1）得，结合，得出，证出；再证明，得出平分．证明是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中： ， ​∴， ∴． （2）解：（垂直平分）， 证明：连接， 由（1）得，即， 又， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴平分． 又∵， ∴， ∴， 即， ∴是等腰三角形， ∴（顶角平分线垂直平分底边）． 25．如图，在中，，点在的右侧，连接、，平分，过点作交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质证即可； （2）根据等角的余角相等，结合等角对等边得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ，     平分， ，     ，     是等腰三角形． （2）解：， ，，     ， ，，     ，     ． 26．如图，在中，，是的中点，过作，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，由等腰三角形的判定与性质得到，再结合题中条件判定，最后由垂直平分线的判定与性质即可得证； （2）由等边对等角及平行线的性质得出，再由全等三角形的判定与性质即可得证． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ，是的中点， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 27．如图，在中，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 证明：延长到M，使，连接，如图所示： 由（1）知：， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据角平分线定义得，再根据得，由此即可得出结论； （2）延长到M，使，连接，先证和全等得，再证明得，则，然后再根据含有角的直角三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 28．如图，在中，，点在的延长线上，，垂足为交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若是的中点，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴，，     ∴， ∵， ∴， ∴； ∴是等腰三角形. (2) 【分析】（1）等边对等角，结合等角的余角相等，以及对顶角相等，得到，即可得证； （2）过点A作于点，三线合一，得到，证明，得到，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点A作于点，由（1）知，， ． 是的中点， ． 又， ， ， ． 29．如图，在中，，，，垂足是点D．E是上一点，连接，过点B作于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为10 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）由等腰直角三角形的性质得出，再证明，，进而根据即可证明． （2）先证明是等腰直角三角形，再利用等腰三角形三线合一，得到，最后结合全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∵于点F， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，，于点D， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为10． 30．在中，平分，，垂足为点，过点作，交于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求线段的长． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． (2)的长为 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证； （2）先根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，从而可得，由此即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 等腰三角形（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 题型·1·等腰三角形的定义 1 题型·2.等边对等角 1 题型·4·三线合一 2 题型·4·找出图中的等腰三角形 4 题型·5··格点中画等腰三角形 5 题型·6.等腰三角形的性质与判定 6 题型·1·等腰三角形的定义 1．等腰三角形的两条边分别为和，则它的周长是（     ） A． B． C． D．或 2．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（     ） A． B． C． D．或 3．已知等腰三角形有两条边的长分别是，，则这个等腰三角形的腰长为（   ） A．2 B．12 C．2或5 D．5 4．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 题型·2.等边对等角 5．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，若，垂直平分，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型·4·三线合一 9．如图，在中，，在上分别截取，使，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，在中，，，，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 11．为了使电线杆垂直于地面，如图所示，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳，，当固定点，到电线杆底端的距离相等且点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于了，工程人员这种操作方法的依据是（     ） A．等腰三角形“三线合一”的性质 B．垂线段最短 C．等角对等边 D．垂直平分线上的点到两个端点的距离相等 12．如图，在中，，点为边上一点，连接，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型·4·找出图中的等腰三角形 13．如图，在中，点、在上，，，且，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 14．如图所示，共有等腰三角形（    ） A．4个 B．3个 C．5个 D．1个 15．如图，四边形沿对角线对折后重合，连接交于点，若，则图中等腰三角形的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 题型·5··格点中画等腰三角形 17．如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 18．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 19．我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 20．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 题型·6.等腰三角形的性质与判定 21．如图，点是的边的中点，且恰好在的平分线上，，，垂足分别为，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 22．如图，，，、相交于点O． (1)求证：； (2)连接，则与的数量关系是_____． 23．如图，中，，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点． (1)求证：为等腰三角形． (2)若E为的中点，求证：． 24．如图，、相交于，，． (1)求证：； (2)延长、交于点，则线段与线段之间的位置关系是_______． 25．如图，在中，，点在的右侧，连接、，平分，过点作交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 26．如图，在中，，是的中点，过作，且．求证： (1)； (2)． 27．如图，在中，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 28．如图，在中，，点在的延长线上，，垂足为交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若是的中点，，求的长． 29．如图，在中，，，，垂足是点D．E是上一点，连接，过点B作于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 30．在中，平分，，垂足为点，过点作，交于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求线段的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $