专题06角平分线的性质与判定的综合（题型专练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以角平分线性质与判定为核心，通过11类题型系统构建“原理-技巧-应用”三层方法体系，逻辑链从基础计算到综合探究，覆盖中考高频考法。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|4题型（线段长/周长/最值/面积）|作双垂线得等距，等量代换与模型转化（如垂线段最短）|从性质定理（角平分线→等距）到不同场景计算应用，逐步深化| |判定与综合|3题型（判定/性质判定综合/尺规作图）|证垂直+等距得角平分线，性质与判定双向推理，四步作图法|从判定定理（等距→角平分线）到性质判定综合应用，结合作图原理| |拓展应用|4题型（实际应用/垂直平分线综合/探究题）|实际场景建模，双性质结合（角平分线+中垂线），特殊到一般探究|从实际问题抽象到综合几何证明，培养推理与创新意识|

专题06 角平分线的性质与判定的综合 （题型突破·举一反三） 题型01 利用角平分线的性质解决求线段长问题 题型02 利用角平分线的性质解求周长问题 题型03 利用角平分线的性质解决最值问题 题型04 利用角平分线的性质解决面积问题 题型05 利用角平分线的性质解决证明问题 题型06 角的平分线尺规作图 题型07 角的平分线的判定的应用 题型08角的平分线的性质与判定的综合应用 题型09 角的平分线的性质的实际应用 题型10角的平分线与线段垂直平分线的综合 题型11 与角的平分线有关的探究题 ▌题型01 利用角平分线的性质解决求线段长问题 【典例1】【答案】B 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】【答案】D ▌题型02 利用角平分线的性质解求周长问题 【典例2】【答案】B 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】 【答案】12． 【分析】根据角平分线的性质可证∠ABD＝∠CBD，即可求得∠CBD＝∠C，即BD＝CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE＝DF，即可解题． 【详解】解：∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠C， ∴BD＝CD， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DF， ∴△DFC的周长＝DF+CD+CF＝DE+BD+CF＝3+5+4＝12． 【点睛】本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE＝DF是解题的关键． ▌题型03 利用角平分线的性质解决最值问题 【典例3】【答案】A 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】【答案】C ▌题型04 利用角平分线的性质解决面积问题 【典例4】【答案】C 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】【答案】27 ▌题型05 利用角平分线的性质解决证明问题 【典例5】 【答案】 证明：∵平分，于E ，于F， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了角平分线的性质和直角三角形全等的判定，根据角平分线的性质得出，再由证明即可得出结论． 【详解】略 【变式1-1】 【答案】证明：∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】利用角平分线的定义得出，证明，由全等三角形的性质得出，根据角平分线的性质即可得出． 【详解】略 【变式1-2】 【答案】证明： 平分， ， ，， ， ， ，即平分， ，， ． 【分析】先证明，得到，即平分，因为，，根据角平分线的性质，可得． 【详解】略 【变式1-3】 【答案】(1) 证明：∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； (2)2 【分析】本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质与全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据角平分线性质和全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，再利用线段和差计算即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，，, ∴ ∴在和中， ∴， ∴， ∴， 即，， ∴． ▌题型06 角的平分线尺规作图 【典例6】【答案】D 【变式1-1】 【答案】如图，点即为所求； 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及等高三角形的面积比等于底边比，作的角平分线，交于，则点到的距离相等，则，满足题意，故点即为所求. 【详解】略 【变式1-2】 【答案】(1) (2)证明：是的平分线， ． 在和中 ． ． 【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径作弧，与、相交，分别以交点为圆心，大于两个交点之间距离的一半为半径作弧，交于一点，过点B和两弧的交点作射线，交于点E； （2）结合角平分线的定义，可得，证明，即可证得结论； 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-3】 【答案】(1)的平分线如图所示： (2)3 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和步骤解答即可； （2）作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式求出即可. 【详解】（1）略； （2）解：作于点E，如图， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴. ▌题型07 角的平分线的判定的应用 【典例7】【答案】A 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】 【答案】见详解. 【分析】由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），则可得DE＝DF，然后由角平分线的判定定理，即可证得AD平分∠BAC． 【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF， ∵AD＝AD， Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠DAE＝∠DAF， ∴AD平分∠BAC． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． ▌题型08 角的平分线的性质与判定的综合应用 【典例8】 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质． (1)利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论成立； (2)根据全等三角形的性质可知，根据线段之间的关系可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可知，根据线段之间的关系可得的长度． 【详解】（1）证明： ，， ， 在和中，， ， ， 平分； （2）解：，， ， ， ， 在和中，， ， ， ． 【变式1-1】 【答案】（1）5cm； （2）见详解. 【分析】（1）过点P作PF⊥BE于F，根据角平分线的性质解答即可； （2）根据角平分线的性质得到PF＝PD，进而得到PD＝PH，根据角平分线的判定定理证明结论． 【详解】（1）解：过点P作PF⊥BE于F， ∵点P在∠ABC的平分线，PH⊥BA，PF⊥BE， ∴PF＝PH＝5cm，即点P到直线BC的距离为5cm； （2）证明：∵点P在∠ACE的平分线，PH⊥BA，PF⊥BE， ∴PF＝PD， ∵PF＝PH， ∴PD＝PH， ∵PD⊥AC，PH⊥BA， ∴点P在∠HAC的平分线上． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【变式1-2】 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键． （1）根据直角三角形全等的判定证明，所以，再根据角平分线的性质定理的逆定理，即可证明结论； （2）根据直角三角形全等的判定证明，可得，进一步即可求得答案． 【详解】（1）证明：，， ，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2）解：，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 【变式1-3】 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质和判定是解题的关键． （1）过点E作于F，根据角平分线的性质证明,再根据角平分线的判定证明平分； （2）先，，然后根据全等三角形的性质即可证得． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于F， ，平分， ， ∵E是的中点， ， ， 又， 是的平分线. （2）证明：在和中， ， ， ， 同理可证：， ， ． ▌题型09 角的平分线的性质的实际应用 【典例9】【答案】A 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】 【答案】(1)如图，点即为所求． (2)到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】（1）利用角平分线的性质作出图形即可； （2）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-3】 【答案】 点如图所示． 【分析】明确到角两边距离相等的点在角的平分线上，因为点P需要同时到的距离相等，所以点P在的角平分线上．因为点P还需要到的距离相等，所以点P也在的角平分线上．两个角平分线的交点即为满足条件的点P，通过尺规作图作出两个角的平分线，取交点即可． 【详解】解：作的角平分线，再作的角平分线， 两条角平分线在图中围成区域内的交点就是满足条件的点． 理由：∵点在的平分线上， ∴到、距离相等； 又∵点同时在的平分线上， ∴到、距离相等； ∴到、、距离相等； 最终就是点到三面墙的距离都相等，符合要求． ▌题型10 角的平分线与线段垂直平分线的综合 【典例10】 【答案】 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； ； ； ； 到角两边距离相等的点在角的角平分线上． 【分析】本题考查中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据中垂线的性质，证明两个直角三角形全等，角平分线的判定定理，进行作答即可． 【详解】证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） ∵， ∴． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据：到角两边距离相等的点在角的角平分线上） 即平分． 【变式1-1】 【答案】(1) 证明：连接，，如图： 点D在的垂直平分线上， ， 点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】本题考查角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）连接，，根据垂直平分线的性质得到，再证得，从而得出结论； （2）易证得，根据全等三角形的性质得到，再利用（1）的结论，根据线段的和差关系进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ， 、、、， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-2】 【答案】(1) 证明：连接，． 是的角平分线，，， ． 是的垂直平分线， ． ，， ． 在和中， ， ， ． ． (2)36 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）连接，．根据角平分线的性质定理得出，，根据是的垂直平分线，得出．证明，即可得． （2）根据全等三角形的性质得出，结合，得出，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ， ， ，， ． 在和中， ， ， ． ． ． 的长为36． 【变式1-3】 【答案】(1) 证明：∵平分，，， ∴，， ∵于点，为的中点， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线及线段垂直平分线的性质得到相等线段，利用斜边和直角分别对应相等证明两直角三角形全等； （2）由≌可得，再结合≌可得，即可求得的长； （3）利用面积的不同表示方法相等列方程求出它们比值. 【详解】（1）略 （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形判定和性质、三角形的面积等知识点；关键是通过全等找线段的等量关系，利用面积相等求线段长. ▌题型11 与角的平分线有关的探究题 【典例11】 【答案】(1) 证明：在与中， ， ． (2) 如图所示： (3)3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定方法，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）过点作于，根据全等三角形的性质，得到，利用面积公式推出，即可得证； （3）证明，，推出，进而得到的面积，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）过点作于， ， ，， 又，即， ， 又，， ， 平分． （3）在和中，， ， 同理：， ， ， 的面积， ， ， 解得：； 故答案为：3． 【变式1-1】 【答案】（1）； （2）； （3）证明：如图，过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M， 由题可知，，， ， 平分， ， ， ， 即平分． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，三角形面积的计算，折叠的性质，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）折叠得到，进而得到，，进而求出的长，再根据三角形的周长公式结合等量代换进行求解即可． （2）根据折叠得出，，，根据求出结果即可； （3）过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，根据角平分线的性质得出，，证明，根据角平分线的判定得出答案即可． 【详解】（1）解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． （2）解：根据折叠可知：，，， ； （3）略 【变式1-2】 【答案】(1)证明∶如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴． (2)小刚的证明思路∶如图②，延长到，使，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)解∶；理由如下： 如图：作于M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）小明的证明方法：证出，再证明可得，再利用等量代换即可证明结论； （2）小刚的证明方法：证出得出，再证明，再利用等角对等边以及等量代换即可证明结论； （3）如图：作于M，先根据角平分线的性质得出，证明得出，证明得出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式1-3】 【答案】（1）． 证明：在和中， ，， ， ， 是的平分线． （2）证明：如图，过点作于， ， ，， 平分， ， 是的中点， ， ， 又，， 是平分线． （3） 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的面积． （1）证明，即可得出结论； （2）过点作于，先由角平分线的性质得到，从而可证得，根据角平分线的判定，即可得证． （3）过点作交延长线于，作于，作于，根据角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作交延长线于，作于，作于，如图， 平分，平分， ，， ， ， ，，， ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 角平分线的性质与判定的综合 （题型突破·举一反三） 题型01 利用角平分线的性质解决求线段长问题 题型02 利用角平分线的性质解求周长问题 题型03 利用角平分线的性质解决最值问题 题型04 利用角平分线的性质解决面积问题 题型05 利用角平分线的性质解决证明问题 题型06 角的平分线尺规作图 题型07 角的平分线的判定的应用 题型08角的平分线的性质与判定的综合应用 题型09 角的平分线的性质的实际应用 题型10角的平分线与线段垂直平分线的综合 题型11 与角的平分线有关的探究题 ▌题型01 利用角平分线的性质解决求线段长问题 1. 角平分线性质定理：角平分线上的点，到角两边的距离相等（垂直距离）。 2. 解题操作：过角平分线上的点向角两条边作垂线，得到两条相等垂线段。 3. 等量代换思路：已知一条垂线段长度，直接得另一条垂线段长；结合全等、直角三角形边长计算 4. 隐含条件：看到角平分线 + 垂直，立刻标记等长垂线段。 【典例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式1-1】如图，是中的角平分线，于点E，的面积，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 【变式1-2】（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点，若满足，则的长度为（     ） A． B． C．或 D．或 ▌题型02 利用角平分线的性质解求周长问题 1. 基础定理同上，重点构造双垂线。 2. 模型：三角形内一点在角平分线上，向两边作垂线，拆分边长。 3. 周长转化技巧：将斜边线段等量替换为垂线段，消去未知边，整体求和。 4. 常见图形：直角三角形、等腰三角形、任意三角形内切相关周长计算。 【典例2】如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AE交BC于点E，ED⊥AB于点D，若△ABC的周长为12，AC＝3，则△BDE的周长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式1-2】如图，在△ABC中，O是△ABC三个内角平分线的交点，若△ABC面积为36，且O到边AC的距离为4，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．12 C．18 D．30 【变式1-3】如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC， 已知BD＝5，DE＝3，CF＝4，求△DFC的周长． ▌题型03 利用角平分线的性质解决最值问题 1. 核心原理：垂线段最短 + 角平分线等距。 2. 固定模型：角平分线上一动点，到角一边线段最短 = 该点到另一边垂线段长。 3. 解题步骤： ① 作定点关于角平分线对称点； ② 转化线段和差，利用垂线段最短求最小长度； 常见考法：两线段之和最小、线段差最大。 【典例3】如图，已知平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（　　） A．PQ≤5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ＞5 【变式1-2】如图，是的平分线，点，分别是，上的动点，，当的面积是时，线段的长不可能为（     ） A．4.5 B．4 C．3 D．2 【变式1-3】）如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 ▌题型04 利用角平分线的性质解决面积问题 1. 角平分线上任意一点到两边距离相等，即两个三角形高相等。 2. 面积公式：，高相等时，面积比 = 底边长之比。 3. 三角形内心拓展：三角形三条角平分线交于内心，内心到三边距离相等，可分割三角形为三个等高小三角形，总面积 = 三小三角形面积相加。 4. 已知距离可直接快速求分片面积。 【典例4】（25-26八年级下·福建漳州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（     ）． A．20 B．12 C．10 D．6 【变式1-1】如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是20，，，则的面积是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，的三边的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是_____． ▌题型05 利用角平分线的性质解决证明问题 1. 证明线段相等：证点在角平分线上，作两边垂线，得垂线段相等； 2. 证明角相等：先证点到角两边距离相等，再用判定定理得角平分线； 3. 证明垂直、全等：双垂线构造直角全等三角形（AAS）； 4. 证明线段和差、倍数关系：等距线段等量替换。 【典例5】已知：如图，平分，于E，于F，且．求证：． 【变式1-1】如图，在四边形中，对角线平分，点在上，于点于点．试说明：． 【变式1-2】如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 【变式1-3】（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，平分，，垂足分别为E，F，点B在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长． ▌题型06 角的平分线尺规作图 1. 作图步骤（标准四步）： ① 以顶点 O 为圆心，适当长画弧，交两边于 M、N； ② 分别以 M、N 为圆心，大于等长为半径画弧，两弧交于 P； ③ 连接 OP，OP 即为角平分线。 2. 作图原理：SSS 全等，证明两角相等； 3. 答题规范：保留作图痕迹，写明结论。 4. 拓展：作三角形内角平分线、外角平分线。 【典例6】如图，在中，利用尺规作图作出了射线交于点P．根据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点P到，的距离相等 D． 【变式1-1】如图，已知在中，，．请用尺规作图法，在上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1-2】（2026·广东梅州·三模）如图，在中，点 是 上的一点，且 ． (1)实践与操作：作的平分线，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：． 【变式1-3】如图，已知，． (1)尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在第（1）题的前提下，若，，求的长． ▌题型07 角的平分线的判定的应用 1. 判定定理：在角内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 2. 使用前提：① 点在角内部；② 两条线段均垂直于角的两边；③ 垂线段长度相等。 3. 解题逻辑：证垂直→证垂线段相等→推出角平分线。 4. 常考：证明射线平分已知角、证明三线共点。 【典例7】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（   ） A．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到角的两边距离相等 C．角平分线的定义 D．角平分线是对称轴 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，中，的平分线与的外角平分线相交于点D，连结，则下列结论中正确的是（   ） A．平分的外角 B．平分 C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知点在的外部、的内部．若点到，的距离相等，则下列关于点位置的说法最准确的是（   ） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．是的平分线的交点 【变式1-3】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF 求证：AD平分∠BAC． ▌题型08 角的平分线的性质与判定的综合应用 1. 区分两个定理： · 性质：知角平分线→得垂线段相等； · 判定：知垂线段相等→得角平分线； 2. 综合流程：条件给角平分线→用性质得等距；再用等距→判定另一组角平分线； 3. 经典模型：双角平分线、内外角平分线夹角、三角形内心综合证明与计算。 【典例8】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，，两点分别在射线，上，点在的内部，且，，，垂足分别为，，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H． （1）若点P到直线BA的距离为5cm，求点P到直线BC的距离； （2）求证：点P在∠HAC的平分线上． 【变式1-2】已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【变式1-3】如图，四边形中，，点E为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：． ▌题型09 角的平分线的性质的实际应用 1. 建模思路：把实际场景抽象成角，关键点为角平分线上的点； 2. 常见场景：仓库选址、公路 / 河道距离相等、区域平分； 3. 解题关键：“到两条道路距离相等” 等价于 “在夹角平分线上”； 4. 结合最值：同时满足距离相等 + 路程最短，结合垂线段最短求解。 【典例9】（25-26八年级下·山西运城·期末）运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（     ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条高线的交点处 【变式1-1】（25-26八年级上·天津·期末）某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【变式1-2】如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 【变式1-3】校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到三面墙的距离都相等，请确定点的位置． ▌题型10 角的平分线与线段垂直平分线的综合 题目同时出现「角平分线 + 垂直平分线交点」：连接交点到线段两个端点，同时向角两边作垂线 1. 题目同时出现「角平分线 + 垂直平分线交点」：连接交点到线段两个端点，同时向角两边作垂线 2. 有角平分线：作双垂，得到两条相等垂线段 3. 有垂直平分线：连两端，得到两条相等斜线段· 有垂直平分线：连两端，得到两条相等斜线段 4. 出现直角三角形：优先用HL 全等证明线段相等 【典例10】（25-26八年级上·河南新乡·期末）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，过的边的垂直平分线上的点M，作的另外两边所在直线的垂线，垂足分别为D，E，，作射线，求证：平分． 证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据： ） ∵， ∴ ． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据： ） 即平分． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F． (1)求证：． (2)若，，则 ． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，的角平分线和边的垂直平分线相交于点E，，，垂足分别为点M、N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1-3】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，已知在中，，，，为边上一点，点为的平分线与的交点，过点作于点，为的中点，于点． (1)求证：≌； (2)求的长； (3)求． ▌题型11 与角的平分线有关的探究题 5. 基础工具：性质 + 判定、全等、直角三角形、内外角平分线夹角公式； 2. 常见探究方向： ① 单 / 双角平分线夹角定值推导； ② 动点变化中线段、角度、面积不变规律； ③ 线段和差、数量关系猜想与证明； 3. 解题步骤：特殊值计算猜想结论→一般情况作垂线构造等距线段→全等严谨证明。 【典例11】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若四边形的面积为12，，求的长． 【变式1-1】【课本重现】如图1，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为． （1）求的周长． 【知识应用】如图2，在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． （2）若，，求的面积； （3）求证：平分． 【变式1-2】已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，请按小明的思路进行证明． (2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接请按小刚的思路进行证明． (3)如图③，在四边形中，对角线平分，，，过点作，垂足为点，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【变式1-3】【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”完整的证明过程． 已知：点在上，，，垂足分别为、，且． 求证：是的平分线． 请根据上述已知和求证，写出证明过程． 【定理应用】 （2）如图2，，是的中点，平分．求证：是的平分线． 【拓展提升】 （3）如图3，中，点在边上，平分，平分．若，，，，请求出的面积．提示：过点作的垂线 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 角平分线的性质与判定的综合 （题型突破·举一反三） 题型01 利用角平分线的性质解决求线段长问题 题型02 利用角平分线的性质解求周长问题 题型03 利用角平分线的性质解决最值问题 题型04 利用角平分线的性质解决面积问题 题型05 利用角平分线的性质解决证明问题 题型06 角的平分线尺规作图 题型07 角的平分线的判定的应用 题型08角的平分线的性质与判定的综合应用 题型09 角的平分线的性质的实际应用 题型10角的平分线与线段垂直平分线的综合 题型11 与角的平分线有关的探究题 ▌题型01 利用角平分线的性质解决求线段长问题 1. 角平分线性质定理：角平分线上的点，到角两边的距离相等（垂直距离）。 2. 解题操作：过角平分线上的点向角两条边作垂线，得到两条相等垂线段。 3. 等量代换思路：已知一条垂线段长度，直接得另一条垂线段长；结合全等、直角三角形边长计算 4. 隐含条件：看到角平分线 + 垂直，立刻标记等长垂线段。 【典例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作，根据角平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵，是的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴点D到的距离是． 【变式1-1】如图，是中的角平分线，于点E，的面积，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】过点作于点，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法得，再结合三角形面积公式列方程求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 是中的角平分线，于点，于点， ， 的面积，， ，即， ， 解得． 【变式1-2】（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而求出长． 【详解】解：过点作于，如图， ∵，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ． 【变式1-3】如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点，若满足，则的长度为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】如图，过点作于点，由角平分线的性质得，，证明得，而，则，证明得，再分两种情况讨论，一是点在线段上，则，二是点在线段的延长线上，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵点是的角平分线上一点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为上一点，点是线段上一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 如图1，点在线段上， 此时； 如图2，点在线段的延长线上， ， 此时， 综上所述，的长度为或． ▌题型02 利用角平分线的性质解求周长问题 1. 基础定理同上，重点构造双垂线。 2. 模型：三角形内一点在角平分线上，向两边作垂线，拆分边长。 3. 周长转化技巧：将斜边线段等量替换为垂线段，消去未知边，整体求和。 4. 常见图形：直角三角形、等腰三角形、任意三角形内切相关周长计算。 【典例2】如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质， 根据是的垂直平分线得，继而得到，可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴周长为． 故选：B． 【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AE交BC于点E，ED⊥AB于点D，若△ABC的周长为12，AC＝3，则△BDE的周长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D． 【分析】根据角平分线的性质得出DE＝CE，AD＝AC＝3，再根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AE交BC于点E，ED⊥AB于点D， ∴DE＝CE，AD＝AC＝3， ∵△ABC的周长为12， 即AB+BC+AC＝AD+BD+BE+CE+AC＝12， ∴3+BD+BE+CE+3＝12， ∴BD+BE+CE＝6， 即BD+BE+DE＝6， ∴△BDE的周长为6， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的周长公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【变式1-2】如图，在△ABC中，O是△ABC三个内角平分线的交点，若△ABC面积为36，且O到边AC的距离为4，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．12 C．18 D．30 【答案】C． 【分析】先根据角平分线的性质得到O到边AB、BC的距离都为4，再利用三角形面积公式得到AB×4AC×4BC×4＝36，然后整理求出AB+AC+BC的值即可． 【详解】解：∵O是△ABC三个内角平分线的交点， ∴点O到AB、BC、AC的距离相等， ∵O到边AC的距离为4， ∴O到边AB、BC的距离都为4， ∴S△ABCAB×4AC×4BC×4＝36， ∴AB+AC+BC＝18， 即△ABC的周长为18． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积． 【变式1-3】如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC， 已知BD＝5，DE＝3，CF＝4，求△DFC的周长． 【答案】12． 【分析】根据角平分线的性质可证∠ABD＝∠CBD，即可求得∠CBD＝∠C，即BD＝CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE＝DF，即可解题． 【详解】解：∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠C， ∴BD＝CD， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DF， ∴△DFC的周长＝DF+CD+CF＝DE+BD+CF＝3+5+4＝12． 【点睛】本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE＝DF是解题的关键． ▌题型03 利用角平分线的性质解决最值问题 1. 核心原理：垂线段最短 + 角平分线等距。 2. 固定模型：角平分线上一动点，到角一边线段最短 = 该点到另一边垂线段长。 3. 解题步骤： ① 作定点关于角平分线对称点； ② 转化线段和差，利用垂线段最短求最小长度； 常见考法：两线段之和最小、线段差最大。 【典例3】如图，已知平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，进而求出的最小值． 【详解】解：如图，当时，线段的长度取得最小值， 平分，，， ． 【变式1-1】如图，点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（　　） A．PQ≤5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ＞5 【答案】B． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答． 【详解】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5， ∴点P到OB的距离为5， ∵点Q是OB边上的任意一点， ∴PQ≥5． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 【变式1-2】如图，是的平分线，点，分别是，上的动点，，当的面积是时，线段的长不可能为（     ） A．4.5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】先过点作，利用三角形面积公式求出的长度，再依据角平分线的性质得到到的最短距离，结合垂线段最短确定的取值范围，最后判断选项． 【详解】解：过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴点到的垂线段长度等于， ∵垂线段最短， ∴， ∴的长可能为、、，的长不可能为． 【变式1-3】）如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】过作于，在线段上取一点，使，连接，，根据角平分线得到，，再证明，得到，则，最后根据点分别为上一个动点，得到当在上，与重合时，最小． 【详解】解：过作于，在线段上取一点，使，连接，， ∵ 为的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴当在上时， ∵点分别为上一个动点， ∴当在上，与重合时，最小． ▌题型04 利用角平分线的性质解决面积问题 1. 角平分线上任意一点到两边距离相等，即两个三角形高相等。 2. 面积公式：，高相等时，面积比 = 底边长之比。 3. 三角形内心拓展：三角形三条角平分线交于内心，内心到三边距离相等，可分割三角形为三个等高小三角形，总面积 = 三小三角形面积相加。 4. 已知距离可直接快速求分片面积。 【典例4】（25-26八年级下·福建漳州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（     ）． A．20 B．12 C．10 D．6 【答案】C 【分析】如图：过D作于F，利用角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积关系以及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过D作于F， ∵是的角平分线，，垂足为， ∴， ∴的面积为． 【变式1-1】如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是20，，，则的面积是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质和三角形的面积先求出点D到的距离，然后再根据三角形中线的性质即可得出结论． 【详解】解：过点作，，垂足分别为， 是角平分线， ，设，， ∴， ， 解得，， ， 是的中线， ． 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，的三边的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过点作于，于，于，由角平分线的性质可得，即可得，据此即可求解． 【详解】解：如图，分别过点作于，于，于， ∵为的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 【变式1-3】如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是_____． 【答案】27 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题关键是将三角形分成三个等高的三角形，利用周长来求面积．先利用角平分线的性质得到O点到各边的距离相等，再将三角形分成3个三角形，将它们的面积相加即可． 【详解】解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示： ∵点O为与的平分线的交点，且， ∴， ∵，的周长是， ∴ ； 故答案为：． ▌题型05 利用角平分线的性质解决证明问题 1. 证明线段相等：证点在角平分线上，作两边垂线，得垂线段相等； 2. 证明角相等：先证点到角两边距离相等，再用判定定理得角平分线； 3. 证明垂直、全等：双垂线构造直角全等三角形（AAS）； 4. 证明线段和差、倍数关系：等距线段等量替换。 【典例5】已知：如图，平分，于E，于F，且．求证：． 【答案】 证明：∵平分，于E ，于F， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了角平分线的性质和直角三角形全等的判定，根据角平分线的性质得出，再由证明即可得出结论． 【详解】略 【变式1-1】如图，在四边形中，对角线平分，点在上，于点于点．试说明：． 【答案】证明：∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】利用角平分线的定义得出，证明，由全等三角形的性质得出，根据角平分线的性质即可得出． 【详解】略 【变式1-2】如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 【答案】证明： 平分， ， ，， ， ， ，即平分， ，， ． 【分析】先证明，得到，即平分，因为，，根据角平分线的性质，可得． 【详解】略 【变式1-3】（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，平分，，垂足分别为E，F，点B在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； (2)2 【分析】本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质与全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据角平分线性质和全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，再利用线段和差计算即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，，, ∴ ∴在和中， ∴， ∴， ∴， 即，， ∴． ▌题型06 角的平分线尺规作图 1. 作图步骤（标准四步）： ① 以顶点 O 为圆心，适当长画弧，交两边于 M、N； ② 分别以 M、N 为圆心，大于等长为半径画弧，两弧交于 P； ③ 连接 OP，OP 即为角平分线。 2. 作图原理：SSS 全等，证明两角相等； 3. 答题规范：保留作图痕迹，写明结论。 4. 拓展：作三角形内角平分线、外角平分线。 【典例6】如图，在中，利用尺规作图作出了射线交于点P．根据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点P到，的距离相等 D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图痕迹判断为的平分线，利用角平分线的性质及三角形面积公式逐项判断． 【详解】解：由作图痕迹可知为的平分线， 故A选项说法一定正确，不合题意； 为的平分线， 点P到，的距离相等， 故C选项说法一定正确，不合题意； 设点P到，的距离为h， 则， 故B选项说法一定正确，不合题意； 根据现有条件不能得出， 故D选项说法不一定正确，符合题意． 【变式1-1】如图，已知在中，，．请用尺规作图法，在上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求； 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及等高三角形的面积比等于底边比，作的角平分线，交于，则点到的距离相等，则，满足题意，故点即为所求. 【详解】略 【变式1-2】（2026·广东梅州·三模）如图，在中，点 是 上的一点，且 ． (1)实践与操作：作的平分线，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明：是的平分线， ． 在和中 ． ． 【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径作弧，与、相交，分别以交点为圆心，大于两个交点之间距离的一半为半径作弧，交于一点，过点B和两弧的交点作射线，交于点E； （2）结合角平分线的定义，可得，证明，即可证得结论； 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-3】如图，已知，． (1)尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在第（1）题的前提下，若，，求的长． 【答案】(1)的平分线如图所示： (2)3 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和步骤解答即可； （2）作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式求出即可. 【详解】（1）略； （2）解：作于点E，如图， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴. ▌题型07 角的平分线的判定的应用 1. 判定定理：在角内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 2. 使用前提：① 点在角内部；② 两条线段均垂直于角的两边；③ 垂线段长度相等。 3. 解题逻辑：证垂直→证垂线段相等→推出角平分线。 4. 常考：证明射线平分已知角、证明三线共点。 【典例7】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（   ） A．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到角的两边距离相等 C．角平分线的定义 D．角平分线是对称轴 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的判定．根据角平分线的判定定理解答即可． 【详解】解：根据题意得：点P到的两边距离相等， ∴点P在的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）， 即平分． 故选：A 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，中，的平分线与的外角平分线相交于点D，连结，则下列结论中正确的是（   ） A．平分的外角 B．平分 C． D． 【答案】A 【分析】过点D作于点E，于点N，于点G，利用角的平分线的判定和性质，解答即可．本题考查了角的平分线的判定和性质，熟练掌握性质和解析式是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，于点N，于点G， ∵的平分线与的外角平分线相交于点D， ∴，， ∴， ∴点D一定在的角平分线上， 则平分的外角， 故选：A． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知点在的外部、的内部．若点到，的距离相等，则下列关于点位置的说法最准确的是（   ） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．是的平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，根据到角两边相等的点在角的角平分线上，进行判断即可． 【详解】解：∵点到，的距离相等， ∴点在的平分线上，在的平分线上，在角平分线上， ∴是的平分线的交点； 故选D． 【变式1-3】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF 求证：AD平分∠BAC． 【答案】见详解. 【分析】由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），则可得DE＝DF，然后由角平分线的判定定理，即可证得AD平分∠BAC． 【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF， ∵AD＝AD， Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠DAE＝∠DAF， ∴AD平分∠BAC． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． ▌题型08 角的平分线的性质与判定的综合应用 1. 区分两个定理： · 性质：知角平分线→得垂线段相等； · 判定：知垂线段相等→得角平分线； 2. 综合流程：条件给角平分线→用性质得等距；再用等距→判定另一组角平分线； 3. 经典模型：双角平分线、内外角平分线夹角、三角形内心综合证明与计算。 【典例8】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，，两点分别在射线，上，点在的内部，且，，，垂足分别为，，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质． (1)利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论成立； (2)根据全等三角形的性质可知，根据线段之间的关系可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可知，根据线段之间的关系可得的长度． 【详解】（1）证明： ，， ， 在和中，， ， ， 平分； （2）解：，， ， ， ， 在和中，， ， ， ． 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H． （1）若点P到直线BA的距离为5cm，求点P到直线BC的距离； （2）求证：点P在∠HAC的平分线上． 【答案】（1）5cm； （2）见详解. 【分析】（1）过点P作PF⊥BE于F，根据角平分线的性质解答即可； （2）根据角平分线的性质得到PF＝PD，进而得到PD＝PH，根据角平分线的判定定理证明结论． 【详解】（1）解：过点P作PF⊥BE于F， ∵点P在∠ABC的平分线，PH⊥BA，PF⊥BE， ∴PF＝PH＝5cm，即点P到直线BC的距离为5cm； （2）证明：∵点P在∠ACE的平分线，PH⊥BA，PF⊥BE， ∴PF＝PD， ∵PF＝PH， ∴PD＝PH， ∵PD⊥AC，PH⊥BA， ∴点P在∠HAC的平分线上． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【变式1-2】已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键． （1）根据直角三角形全等的判定证明，所以，再根据角平分线的性质定理的逆定理，即可证明结论； （2）根据直角三角形全等的判定证明，可得，进一步即可求得答案． 【详解】（1）证明：，， ，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2）解：，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 【变式1-3】如图，四边形中，，点E为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质和判定是解题的关键． （1）过点E作于F，根据角平分线的性质证明,再根据角平分线的判定证明平分； （2）先，，然后根据全等三角形的性质即可证得． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于F， ，平分， ， ∵E是的中点， ， ， 又， 是的平分线. （2）证明：在和中， ， ， ， 同理可证：， ， ． ▌题型09 角的平分线的性质的实际应用 1. 建模思路：把实际场景抽象成角，关键点为角平分线上的点； 2. 常见场景：仓库选址、公路 / 河道距离相等、区域平分； 3. 解题关键：“到两条道路距离相等” 等价于 “在夹角平分线上”； 4. 结合最值：同时满足距离相等 + 路程最短，结合垂线段最短求解。 【典例9】（25-26八年级下·山西运城·期末）运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（     ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条高线的交点处 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，而根据题意可得充电点到三条路的距离相等，故充电点应该建在三个角的角平分线的交点处． 【详解】解：充电点到三条路的距离相等， 充电点应该建在三个角的角平分线的交点处， 故选：A． 【变式1-1】（25-26八年级上·天津·期末）某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质， 由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的修建点有2个． 【详解】解：作和的平分线相交于，过作于E，于F，于G，    ∴， 即和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； 同理∶ 和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：B． 【变式1-2】如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 【答案】(1)如图，点即为所求． (2)到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】（1）利用角平分线的性质作出图形即可； （2）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-3】校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到三面墙的距离都相等，请确定点的位置． 【答案】 点如图所示． 【分析】明确到角两边距离相等的点在角的平分线上，因为点P需要同时到的距离相等，所以点P在的角平分线上．因为点P还需要到的距离相等，所以点P也在的角平分线上．两个角平分线的交点即为满足条件的点P，通过尺规作图作出两个角的平分线，取交点即可． 【详解】解：作的角平分线，再作的角平分线， 两条角平分线在图中围成区域内的交点就是满足条件的点． 理由：∵点在的平分线上， ∴到、距离相等； 又∵点同时在的平分线上， ∴到、距离相等； ∴到、、距离相等； 最终就是点到三面墙的距离都相等，符合要求． ▌题型10 角的平分线与线段垂直平分线的综合 题目同时出现「角平分线 + 垂直平分线交点」：连接交点到线段两个端点，同时向角两边作垂线 1. 题目同时出现「角平分线 + 垂直平分线交点」：连接交点到线段两个端点，同时向角两边作垂线 2. 有角平分线：作双垂，得到两条相等垂线段 3. 有垂直平分线：连两端，得到两条相等斜线段· 有垂直平分线：连两端，得到两条相等斜线段 4. 出现直角三角形：优先用HL 全等证明线段相等 【典例10】（25-26八年级上·河南新乡·期末）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，过的边的垂直平分线上的点M，作的另外两边所在直线的垂线，垂足分别为D，E，，作射线，求证：平分． 证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据： ） ∵， ∴ ． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据： ） 即平分． 【答案】 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； ； ； ； 到角两边距离相等的点在角的角平分线上． 【分析】本题考查中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据中垂线的性质，证明两个直角三角形全等，角平分线的判定定理，进行作答即可． 【详解】证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） ∵， ∴． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据：到角两边距离相等的点在角的角平分线上） 即平分． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F． (1)求证：． (2)若，，则 ． 【答案】(1) 证明：连接，，如图： 点D在的垂直平分线上， ， 点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】本题考查角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）连接，，根据垂直平分线的性质得到，再证得，从而得出结论； （2）易证得，根据全等三角形的性质得到，再利用（1）的结论，根据线段的和差关系进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ， 、、、， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，的角平分线和边的垂直平分线相交于点E，，，垂足分别为点M、N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，． 是的角平分线，，， ． 是的垂直平分线， ． ，， ． 在和中， ， ， ． ． (2)36 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）连接，．根据角平分线的性质定理得出，，根据是的垂直平分线，得出．证明，即可得． （2）根据全等三角形的性质得出，结合，得出，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ， ， ，， ． 在和中， ， ， ． ． ． 的长为36． 【变式1-3】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，已知在中，，，，为边上一点，点为的平分线与的交点，过点作于点，为的中点，于点． (1)求证：≌； (2)求的长； (3)求． 【答案】(1) 证明：∵平分，，， ∴，， ∵于点，为的中点， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线及线段垂直平分线的性质得到相等线段，利用斜边和直角分别对应相等证明两直角三角形全等； （2）由≌可得，再结合≌可得，即可求得的长； （3）利用面积的不同表示方法相等列方程求出它们比值. 【详解】（1）略 （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形判定和性质、三角形的面积等知识点；关键是通过全等找线段的等量关系，利用面积相等求线段长. ▌题型11 与角的平分线有关的探究题 5. 基础工具：性质 + 判定、全等、直角三角形、内外角平分线夹角公式； 2. 常见探究方向： ① 单 / 双角平分线夹角定值推导； ② 动点变化中线段、角度、面积不变规律； ③ 线段和差、数量关系猜想与证明； 3. 解题步骤：特殊值计算猜想结论→一般情况作垂线构造等距线段→全等严谨证明。 【典例11】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若四边形的面积为12，，求的长． 【答案】(1) 证明：在与中， ， ． (2) 如图所示： (3)3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定方法，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）过点作于，根据全等三角形的性质，得到，利用面积公式推出，即可得证； （3）证明，，推出，进而得到的面积，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）过点作于， ， ，， 又，即， ， 又，， ， 平分． （3）在和中，， ， 同理：， ， ， 的面积， ， ， 解得：； 故答案为：3． 【变式1-1】【课本重现】如图1，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为． （1）求的周长． 【知识应用】如图2，在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． （2）若，，求的面积； （3）求证：平分． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：如图，过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M， 由题可知，，， ， 平分， ， ， ， 即平分． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，三角形面积的计算，折叠的性质，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）折叠得到，进而得到，，进而求出的长，再根据三角形的周长公式结合等量代换进行求解即可． （2）根据折叠得出，，，根据求出结果即可； （3）过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，根据角平分线的性质得出，，证明，根据角平分线的判定得出答案即可． 【详解】（1）解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． （2）解：根据折叠可知：，，， ； （3）略 【变式1-2】已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，请按小明的思路进行证明． (2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接请按小刚的思路进行证明． (3)如图③，在四边形中，对角线平分，，，过点作，垂足为点，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明∶如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴． (2)小刚的证明思路∶如图②，延长到，使，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)解∶；理由如下： 如图：作于M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）小明的证明方法：证出，再证明可得，再利用等量代换即可证明结论； （2）小刚的证明方法：证出得出，再证明，再利用等角对等边以及等量代换即可证明结论； （3）如图：作于M，先根据角平分线的性质得出，证明得出，证明得出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式1-3】【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”完整的证明过程． 已知：点在上，，，垂足分别为、，且． 求证：是的平分线． 请根据上述已知和求证，写出证明过程． 【定理应用】 （2）如图2，，是的中点，平分．求证：是的平分线． 【拓展提升】 （3）如图3，中，点在边上，平分，平分．若，，，，请求出的面积．提示：过点作的垂线 【答案】（1）． 证明：在和中， ，， ， ， 是的平分线． （2）证明：如图，过点作于， ， ，， 平分， ， 是的中点， ， ， 又，， 是平分线． （3） 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的面积． （1）证明，即可得出结论； （2）过点作于，先由角平分线的性质得到，从而可证得，根据角平分线的判定，即可得证． （3）过点作交延长线于，作于，作于，根据角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作交延长线于，作于，作于，如图， 平分，平分， ，， ， ， ，，， ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $