专题05 三角形的中位线和等腰梯形（九大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

专题05 三角形的中位线和等腰梯形（九大题型） 【题型1:利用三角形的中位线求线段的长度】.....................................................................1 【题型2:利用三角形的中位线求角度】................................................................................3 【题型3:利用三角形的中位线求周长】.................................................................................4 【题型4:利用三角形的中位线求面积】.................................................................................5 【题型5:利用三角形的中位线求最值】.................................................................................7 【题型6:与三角形中位线有关的规律探究】 ......................................................................8 【题型7:三角形中位线的实际应用】....................................................................................9 【题型8 中点四边形】...........................................................................................................10 【题型9 等腰梯形的性质定理】.............................................................................................11 【题型1:利用三角形的中位线求线段的长度】 1．如图，在中，，，，E，F分别是和的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 3．如图，在中，点、分别是边、的中点，连接，点在线段上，连接、，，若，，则的长为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 4．如图，在中，平分，是的中点，，，，则（　　） A．1 B． C．2 D． 5．在中，，分别是，的中点，，，垂足分别为，，交于点，且．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，点E、F分别是边、的中点，连接、．点G、H分别是、的中点，连接．若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【题型2:利用三角形的中位线求角度】 7．如图，在中，，分别是边，上的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形中，，连接，，取的中点，的中点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9.如图，在正方形中，点E和点F分别在边和上，且，连接交于点G，点M是的中点，点N是上一点，，若，则的度数为（   ） A．α B． C． D． 10．如图，分别是，的中点，连接，，若，是的平分线，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 11．如图，在中，，点D，E分别是，的中点，若点F在线段上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，为对角线与的交点，，为的中点，并且，，则的度数是（    ） A．143° B．127° C．53° D．37° 【题型3:利用三角形的中位线求周长】 13．如图，的周长为8，对角线、相交于点，点为的中点，，则的周长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．如图，的周长为4，点D，E，F分别是的中点，则的周长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 15．如图所示，已知的周长为1，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2006个三角形的周长为（　　） A． B． C． D． 16．如图，在平行四边形中，为对角线，点是的中点，且，，四边形的周长为10，则平行四边形的周长为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 【题型4:利用三角形的中位线求面积】 17．如图，是内部一点，，且，，依次取，，，的中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．48 18．如图，中，，点分别是的中点， ， ，，四边形面积是（　　） A．4 B． C． D． 19．如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 _______． 20．如图，矩形的面积为1．顺次连接各边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边中点得到四边形，依此类推，求四边形的面积是__________________ ． 21．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，DE是△ABC的中位线，BF，CG分别平分∠ABC和∠ACB，与DE交于点F，G（点G在点F的左侧），若GF=1，BC=6，则△ABC的面积是_______． 【题型5:利用三角形的中位线求最值】 22．已知菱形中，，，边，上有点E、点F两动点，始终保持，连接，，取中点G，连接，则的最小值是_____ ． 23．如图，在中，，，点D，点E分别是，边上的动点，连接，点F，点M分别是，的中点，则的最小值为__________． 24．如图，在正方形内，有一动点，连接、，满足，且，点是的中点，连接，则的最小值是_________． 25．如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接、则线段的最小值为_____．    26．如图，已知，，，，是平面内的一个动点，且，连接，点是的中点，连接，则的最大值与最小值的差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型6:与三角形中位线有关的规律探究】 28．如图，是边长为1的等边三角形，分别取、边的中点D、E，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作，照此规律作下去，则等于_______． 29．如图，在中，已知，，，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，，按这样的规律下去，的周长为______． 30．如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是_____． 【题型7:三角形中位线的实际应用】 31．如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 32．游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 33．【知识回顾】我们在八年级上学期已学习定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【新知应用】请你利用矩形的性质，证明该定理． 已知：如图1，在中，，O是的中点； 求证：　 　． 证明： 【灵活运用】如图2，四边形中，，E，F分别是的中点，连接，求证：． 34．小丽家有一个菱形的小院子，院里有四棵小树E，F，G，H刚好在其院子各边的中点上，若在四边形内种上小草，则这块草地的形状是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【题型8:中点四边形】 35．如图顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 36．顺次连结菱形四边的中点所得的四边形是（   ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．以上都不对 37．如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，在下列条件中，能使四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 38．如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和得到四边形．若，，则四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 39．阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)这个中点四边形的形状是 ； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明． 【题型9:等腰梯形的性质定理】 40．下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 41．如图，将直角梯形沿方向向下平移2个单位得到直角梯形，已知，，，则阴影部分的面积为（    ） A．8 B．10 C．12 D． 42．如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（   ） A． B． C． D．无法确定 43．如图，在中，点是线段上一点，于点，四边形为矩形，若，的面积为，矩形的面积为，则下列图形中面积可以确定的是（    ） A．的面积 B．四边形的面积 C．梯形的面积 D．的面积 44．如图，等腰梯形中， ，，则______． 45．如图，在直角梯形中，（），，E是上一点，且，则直角梯形的面积为_______． 46．如图，在等腰梯形中，，对角线于点，，，垂足分别为、，，，则______．    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形的中位线和等腰梯形（九大题型） 【题型1:利用三角形的中位线求线段的长度】.....................................................................1 【题型2:利用三角形的中位线求角度】................................................................................6 【题型3:利用三角形的中位线求周长】.................................................................................11 【题型4:利用三角形的中位线求面积】.................................................................................15 【题型5:利用三角形的中位线求最值】...............................................................................20 【题型6:与三角形中位线有关的规律探究】 .....................................................................26 【题型7:三角形中位线的实际应用】....................................................................................30 【题型8 中点四边形】...........................................................................................................34 【题型9 等腰梯形的性质定理】.............................................................................................39 【题型1:利用三角形的中位线求线段的长度】 1．如图，在中，，，，E，F分别是和的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查中位线的性质．根据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 2．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形，三角形中位线的知识，根据四边形是平行四边形，得到；再根据点E是的中点，得出是的中位线，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴根据三角形的中位线定理可得：， 则． 故选：A． 3．如图，在中，点、分别是边、的中点，连接，点在线段上，连接、，，若，，则的长为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是利用中位线定理得出的长度，结合直角三角形斜边中线性质求出，进而计算． 由D、E是、中点，得是的中位线，故；在中，E是中点，故；用减去得的长度． 【详解】解：∵D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，E是中点， ∴． ∴． 故选：C． 4．如图，在中，平分，是的中点，，，，则（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形． 延长交的延长线于点，证明，则，即可求得的长，点E是的中点，求得的长，从而得到是中位线，即可求得的长． 【详解】解：延长交的延长线于点，如图， ， ， 平分， ， ∵， ∴ ， ∵是的中点， ∴是的中位线， ． 故选：A． 5．在中，，分别是，的中点，，，垂足分别为，，交于点，且．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点H，连接，证明四边形是平行四边形，，根据三角形中位线定理，中点的意义解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，补角的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：取的中点H，连接， ∵，分别是，的中点，的中点为H， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，在矩形中，点E、F分别是边、的中点，连接、．点G、H分别是、的中点，连接．若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，利用线段中点正确作辅助线是解题关键．连接并延长交于点，连接，利用矩形的性质证明，再利用勾股定理，求得，最后利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 在矩形中，点E、F分别是边、的中点，，， ，，，，， ，， 点H分别是的中点， ， ， ， ， ， 点G、H分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：D． 【题型2:利用三角形的中位线求角度】 7．如图，在中，，分别是边，上的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理，根据，分别是边，上的中点，可得是的中位线，继而得到，再根据平行线的性质可得答案．解题的关键是掌握中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【详解】解：∵在中，，分别是边，上的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴， 即的度数为． 故选：B． 8．如图，四边形中，，连接，，取的中点，的中点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、三角形中位线定理，熟记三角形中位线平行于第三边是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，根据等边三角形的性质得到，进而求出，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：在中，， 则， 在中，点是的中点， 则， 为等边三角形， ， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 9.如图，在正方形中，点E和点F分别在边和上，且，连接交于点G，点M是的中点，点N是上一点，，若，则的度数为（   ） A．α B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点，连接，先证明是三角形的中位线，则，那么，证明，得到，再由直角三角形斜边中线性质得到，再由等边对等角以及三角形外角即可求解． 【详解】解：取中点，连接， ∵， ∴设， 则， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴是三角形的中位线， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵中点为， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识点，解题的关键是构造三角形中位线． 10．如图，分别是，的中点，连接，，若，是的平分线，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分别是，的中点，可得是的中位线，即，再由，是的平分线，即可得到的度数． 【详解】解： 分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， 是的平分线， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质、平行线的性质、角平分线的性质，是解题的关键． 11．如图，在中，，点D，E分别是，的中点，若点F在线段上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中位线性质得，根据平行线性质得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，根据等边对等角可得，即可由三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵点D，E分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴是直角三角形， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行线性质，直角三角形性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半． 12．如图，在中，为对角线与的交点，，为的中点，并且，，则的度数是（    ） A．143° B．127° C．53° D．37° 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得OA=OC，AB∥CD，∠B=∠D=53°，再由三角形中位线定理可得OE∥CD，然后根据，可得∠COE=90°，再由，可得∠COF=∠B=53°，即可求解． 【详解】解：在中，为对角线与的交点， ∴OA=OC，AB∥CD，∠B=∠D=53°， ∵为的中点， ∴OE∥CD， ∵， ∴AC⊥CD，即∠ACD=∠BAC=90°， ∴∠COE=90°，∠B+∠ACB=90°， ∵， ∴∠COF+∠ACB=90°， ∴∠COF=∠B=53°， ∴∠EOF=∠COE+∠COF=143°． 故选：A 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【题型3:利用三角形的中位线求周长】 13．如图，的周长为8，对角线、相交于点，点为的中点，，则的周长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线的性质等知识．根据平行四边形性质得到，，根据中位线性质求出，进而求出，即可求出的周长为． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵的周长为8， ∴， ∵点为的中点， ∴，为中位线， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：B 14．如图，的周长为4，点D，E，F分别是的中点，则的周长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线定理，根据题意，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E，F分别是的中点， ∴， ∵的周长为4， ∴， ∴ ∴的周长为2． 故选B 15．如图所示，已知的周长为1，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2006个三角形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中位线定理．根据三角形的中位线定理，找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的规律． 【详解】解：的周长为1，新的三角形的三条边为的三条中位线， 根据中位线定理，三条中位线之和为三角形三条边的， 所以第2个三角形周长为； 第3个三角形的周长为； 以此类推，第个三角形的周长为； 所以第2006个三角形的周长为． 故选：D． 16．如图，在平行四边形中，为对角线，点是的中点，且，，四边形的周长为10，则平行四边形的周长为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】D 【分析】根据点O是BD的中点，且AD//EO，OF//AB，可得OE，OF分别是三角形ABD，三角形BCD的中位线，四边形OEBF是平行四边形，则AD=2OE，CD=2OF，OE=BF，OF=BE，由此可以推出OE+OF=5，再由四边形ABCD的周长=AB+BC+AD+CD=2（AD+CD）=4（OE+OF）进行求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵点O是BD的中点，且AD//EO，OF//AB， ∴OE，OF分别是三角形ABD，三角形BCD的中位线，BC//EO， ∴四边形OEBF是平行四边形，AD=2OE，CD=2OF，OE=BF，OF=BE， ∵四边形OEBF的周长为10， ∴OE+BE+BF+OF=10， ∴OE+OF=5， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD的周长=AB+BC+AD+CD=2（AD+CD）=4（OE+OF）=20， 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【题型4:利用三角形的中位线求面积】 17．如图，是内部一点，，且，，依次取，，，的中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．48 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质与判定，先根据三角形中位线定理可得，，，从而可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得平行四边形是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得． 【详解】解：点分别是，的中点，且， ， 同理可得：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 平行四边形是矩形， ∴四边形的面积是， 故选：A． 18．如图，中，，点分别是的中点， ， ，，四边形面积是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明是菱形，再通过勾股定理、中位线性质、直角三角形斜边中线性质求出菱形的对角线长度，再根据菱形面积公式求出面积． 【详解】解：连接交于点G， ∵分别是的中点 ∴为的中位线 ∵， ， ∴四边形是平行四边形， 又∵为中线 ∴是菱形 ， ∴   ∴ 故选B 【点睛】本题考查菱形的判定与面积求法、中位线的性质，掌握菱形的判定定理是本题关键． 19．如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 _______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，与三角形中线、中位线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据中线的性质，可得，同理，，根据三角形中位线的性质可得，即可得到的面积． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又∵点是 的中点， ∴，， ∴． 又∵、是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 20．如图，矩形的面积为1．顺次连接各边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边中点得到四边形，依此类推，求四边形的面积是__________________ ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，图形类的规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．连接，可证得四边形是平行四边形，从而得到，同理可得，进而得到，同理，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是各边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴， 同理， ……， 由此发现， ， ∴， 故答案为：． 21．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，DE是△ABC的中位线，BF，CG分别平分∠ABC和∠ACB，与DE交于点F，G（点G在点F的左侧），若GF=1，BC=6，则△ABC的面积是_______． 【答案】7 【分析】根据三角形中位线定理得到DE=BC=3，DEBC，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠DFB=∠DBF，∠EGC=∠ECG，根据等腰三角形的判定定理得到BD=DF，CE=EG，AB+AC=8，根据勾股定理、三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，BC=6， ∴DE=BC=3，DEBC， ∴∠DFB=∠FBC，∠EGC=∠BCG， ∵BF，CG分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠DBF=∠FBC，∠ECG=∠BCG， ∴∠DFB=∠DBF，∠EGC=∠ECG， ∴BD=DF，CE=EG， ∵DE=3，GF=1， ∴BD+CE=DF+EG=4， ∵DE是△ABC的中位线， ∴AB+AC=8， 在Rt△ABC中， =36， ∴2AB•AC==64-36=28， ∴S△ABC=AB•AC=7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，完全平方公式变形求值，掌握以上知识是解题的关键． 【题型5:利用三角形的中位线求最值】 22．已知菱形中，，，边，上有点E、点F两动点，始终保持，连接，，取中点G，连接，则的最小值是_____ ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理及点到直线的距离．先利用菱形的性质和已知条件推导出三角形关系，再构造辅助线并分析三角形关系，利用三角形中位线定理建立与的关系，最后求的最小值进而求的最小值． 【详解】解：如图，过点D作交延长线于点H，延长交于点M，连接， 在菱形中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时最小， 根据点到直线的距离垂线段最短可知：的最小值即为， 在菱形中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为9， ∴的最小值为， 故答案为：． 23．如图，在中，，，点D，点E分别是，边上的动点，连接，点F，点M分别是，的中点，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．连接，过点作于,根据三角形中位线定理得到,根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式、垂线段最短解答即可. 【详解】解：如图，连接，过点作于， 点，点分别是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 当时，最小，此时， ， 解得：， 的最小值为， 故答案为：． 24．如图，在正方形内，有一动点，连接、，满足，且，点是的中点，连接，则的最小值是_________． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键； 取的中点，连接、，根据三角形中位线定理可得，利用勾股定理可得，进而求解； 【详解】解：因为，且四边形是正方形，所以点在以点为圆心， 长为半径的圆弧上； 取的中点，连接、； 因为点是的中点，点是的中点， ， 已知，正方形的边长 则， 即点在以点为圆心，为半径的圆弧上(在正方形内的部分)； 在中， ， 根据勾股定理 因为 (当且仅当、、三点共线时，等号成立)， 已知， ， 所以的最小值为； 故答案为： 25．如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接、则线段的最小值为_____．    【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠问题，三角形中位线定理，三角形三边关系，勾股定理，关键是通过作辅助线构造三角形的中位线，由三角形三边关系定理得到．延长到K使，连接，，由三角形中位线定理得到，由勾股定理求出，由折叠的性质得到，由三角形三边关系定理得，即可求出线段的最小值为． 【详解】解：如图，延长到K使，连接，，   为的中点， 是的中位线， ， 四边形是矩形， ， ， ， 由折叠的性质得到，由三角形三边关系定理得：， ， 线段的最小值为． 故答案为：． 26．如图，已知，，，，是平面内的一个动点，且，连接，点是的中点，连接，则的最大值与最小值的差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及圆的相关知识，通过构造辅助三角形，结合圆的性质，利用中位线的性质求解的长度，再由点E的位置求解最值问题是解决本题的关键． 先由勾股定理可求解的长度，由距离不变确定点D的运动轨迹，再通过连接辅助线构造三角形，分别求解三角形的两边长度，再由三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：连接，取的中点记作点F，连接，， 因为，，， 所以， 因为点F为的中点， 由直角三角形斜边中线定理可知，， 因为点是的中点，点F为的中点，， 所以在中，由中位线的性质可知， 因为是平面内的一个动点，且， 所以点D的运动轨迹是以C为圆心，3为半径的圆， 所以当点B，E，F三点共线，且点E在线段的延长线上时，取得最大值， 即， 当点B，E，F三点共线，且点E在线段上时，取得最小值， 即， 所以的最大值与最小值的差为． 故选：C． 27．如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的中位线定理，三角形三边之间的关系．取的中点N，连接，则，根据勾股定理求出，由三角形的中位线定理得出，根据三角形三边之间的关系得出，当点B、M、N在同一直线上时，取最大值，即可求解． 【详解】解：取的中点N，连接， ∵点N为中点，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵点M为中点，点N为中点，， ∴， ∴在中，，即， 当点B、M、N在同一直线上时，， 此时取最大值， 故选：A． 【题型6:与三角形中位线有关的规律探究】 28．如图，是边长为1的等边三角形，分别取、边的中点D、E，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作，照此规律作下去，则等于_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质、菱形的性质与判定，熟练掌握三角形中位线定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．利用三角形中位线定理、等边三角形的性质，证出四边形是菱形，可求出的值，同理可得出、、的值，找出规律即可得出的值． 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵D、E分别是、边的中点， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长；， ∵，分别是，边的中点， ∴， 同理可得：，，…… ∴依此类推，（为正整数）， 当时，， ∴． 故答案为：． 29．如图，在中，已知，，，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，，按这样的规律下去，的周长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，三角形中位线定理，由再利用中位线的性质可得： 再总结规律可得：从而运用规律可得答案． 【详解】解：探究规律： ，，， 分别为的中点， 同理： 总结规律： 运用规律：当时，． 故答案为：． 30．如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键．连接、交于点，根据菱形的性质得到，，根据等边三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理、矩形的判定得到四边形为矩形，求出四边形的面积，总结规律，关键规律解答即可． 【详解】解：解：如图，连接、交于点， 四边形为菱形， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 顺次连接菱形各边中点，可得四边形， ，，，，， 四边形为矩形， 四边形的面积为， 则四边形的面积是， 故答案为：． 【题型7:三角形中位线的实际应用】 31．如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 【答案】 【分析】根据中位线定理得到，即可求解． 【详解】解：由题可得：、为、的中点， 是的中位线， ， ， ． 32．游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 【答案】100 【分析】由题意可知，是的中点，且、都与地面垂直，因此．根据三角形中位线定理，在中，是中位线，利用中位线性质即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中点，且，， ∴． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． ∴小朋友离地的最大距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是识别出是的中位线，从而利用中位线性质求出的长度． 33．【知识回顾】我们在八年级上学期已学习定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【新知应用】请你利用矩形的性质，证明该定理． 已知：如图1，在中，，O是的中点； 求证：　 　． 证明： 【灵活运用】如图2，四边形中，，E，F分别是的中点，连接，求证：． 【答案】；见解析 【分析】[新知应用] 求证：．延长至点D，使，连接，证得四边形是平行四边形，根据，得到平行四边形是矩形，即可推出； [灵活运用]根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，及三角形的中位线定理得到，进而得到，再利用等边对等角得到． 【详解】[新知应用] 解：已知：如图1，在中，，O是的中点； 求证：． 证明：延长至点D，使，连接， ∵O是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：； ［灵活运用］ 证明：∵，E是的中点， ∴， ∵F是的中点， ∴EF是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质定理，熟练掌握各定理是解题的关键． 34．小丽家有一个菱形的小院子，院里有四棵小树E，F，G，H刚好在其院子各边的中点上，若在四边形内种上小草，则这块草地的形状是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】连接菱形的对角线和，先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，推出平行四边形有一个内角是直角，即可判定形状． 【详解】解：如图，连接，， ∵E、F、G、H分别是菱形各边的中点， ∴由三角形中位线定理得，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形． 【题型8:中点四边形】 35．如图顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 【答案】D 【分析】根据矩形的性质和三角形中位线定理证明四边形是菱形，四边形和四边形是矩形，再根据菱形的面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、、、， 矩形， ，，，，，， 分别为矩形四条边的中点， 分别是的中位线， ，， ， 四边形是菱形， ，，， 四边形是矩形， 同理可证，四边形是矩形， ，， 菱形的面积． 36．顺次连结菱形四边的中点所得的四边形是（   ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，矩形的判定，菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．利用中位线定理证明，则四边形是平行四边形，由得到，即可得到结论． 【详解】解：在菱形中，分别是的中点， 连接、， 在中， ∵， 同理 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 故选A． 37．如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，在下列条件中，能使四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理，根据题意可得，，，推出四边形平行四边形；若，则，即，即可求解； 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得：分别是的中位线， ∴，，， ∴四边形平行四边形， 若， 则，即， ∴四边形为矩形， 故选：D 38．如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和得到四边形．若，，则四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理，由题意得四边形是矩形，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：分别是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积 故选：C 39．阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)这个中点四边形的形状是 ； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明． 【答案】(1)平行四边形 (2)菱形，见解析 【分析】本题考查了中点四边形、菱形的判定方法、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握中点四边形，证明三角形全等得出是解决问题（2）的关键． （1）连接，由三角形中位线定理得出，，，，得出，，即可得出结论； （2）连接、，由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，得出，由三角形中位线定理得出，，，，，得出，，证出四边形是平行四边形；再得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：中点四边形是平行四边形； 理由如下：连接，如图1所示： ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形； （2）解：四边形为菱形．理由如下： 连接与，如图2所示： ∵和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，， 四边形是平行四边形； ， ， 四边形为菱形． 【题型9:等腰梯形的性质定理】 40．下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形及等腰梯形、直角梯形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握其性质及判定方法．根据梯形、等腰梯形、直角梯形的判定定理，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】解：∵梯形的定义是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形， ∴对各选项分析如下： A. 有一组邻边相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形中垂直的腰与底边可能相等，故A错误，与题意不符； B. 有一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形，平行四边形也满足一组对边相等，故B错误，与题意不符； C. 有两个相邻内角相等的梯形不一定是等腰梯形，直角梯形中相邻的两个直角相等，但它不是等腰梯形，故C错误，与题意不符； D. ∵梯形一组对边平行，若有一个角是直角，则与这个角相邻的同旁内角也为直角，符合直角梯形的定义，故D正确，符合题意； 故选：D． 41．如图，将直角梯形沿方向向下平移2个单位得到直角梯形，已知，，，则阴影部分的面积为（    ） A．8 B．10 C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角梯形，平移的性质．根据平移的性质得，由于，可得，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：如图所示：由平移的性质得，， ∵， ∴， 设交于点O，过O作于Q， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：B 42．如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查等腰梯形的性质，根据等腰梯形的腰相等求解即可 【详解】解：四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，， ∴， ∴， 故选∶C． 43．如图，在中，点是线段上一点，于点，四边形为矩形，若，的面积为，矩形的面积为，则下列图形中面积可以确定的是（    ） A．的面积 B．四边形的面积 C．梯形的面积 D．的面积 【答案】D 【分析】过点作于点，交于点，根据矩形的性质和梯形的性质利用面积公式解答即可． 【详解】解：过点作于点，交于点， 则， ， ， 则， ， 则， 四边形为矩形， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， 的面积可以确定， 故选：D． 【点睛】此题考查梯形，解题的关键是根据矩形的性质得出解答． 44．如图，等腰梯形中， ，，则______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 过点作，交于点，证明四边形是平行四边形，得出对边相等，证明为等边三角形，得出三条边相等，然后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：3． 45．如图，在直角梯形中，（），，E是上一点，且，则直角梯形的面积为_______． 【答案】27 【分析】过C作，交延长线于G，延长至F，使，连接，证得四边形为正方形，证明，得到，从而证明，则有，由勾股定理可求得，即可求得直角梯形的面积． 【详解】解：过C作，交延长线于G，延长至F，使，连接． 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角梯形中， ∵， ∴， ∴四边形为正方形． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：27． 【点睛】此题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握直角梯形的性质，正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握辅助线的作法，是解此题的关键． 46．如图，在等腰梯形中，，对角线于点，，，垂足分别为、，，，则______．    【答案】6 【分析】过作交延长线于点，则，证四边形为平行四边形得证为等腰直角三角形，利用勾股定理得，再根据等腰三角形的三线合一得及直角三角形的性质得，从而求得，再四边形是平行四边形，即可得解． 【详解】解：过作交延长线于点，则，   ， 四边形为平行四边形， ，， ， ∴， ， 又四边形是等腰梯形， ， ， 为等腰直角三角形， ∴， ， ，即， ， ，， ∴， ， ， ， ， ，， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，等腰梯形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质以及等腰梯形的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $