专题1.4 全等三角形的判定（二）（专题训练）《知识解读·题型专练》2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦全等三角形判定的综合应用，通过8类题型系统构建从基础计数到辅助线构造的解题方法体系，强化推理能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数全等对数|4题|分类计数法|基于全等判定公理的图形识别| |动态问题|3题|分类讨论法|运动中变量关系的推理分析| |线段数量关系|4题|全等转化法|利用全等性质实现线段代换| |线段位置关系|4题|等量代换法|通过全等证角关系推导位置关系| |尺规作图|3题|作图原理应用|结合全等判定的作图规范| |作垂线辅助线|4题|垂线构造法|构造直角三角形证全等| |延长辅助线|5题|倍长中线法|延长中线构建全等转移线段| |截长补短辅助线|2题|截长/补短法|通过线段截取构造全等|

专题1.4 全等三角形的判定（二）（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 题型·1…数全等三角形的对数 1 题型·2·全等三角形的动态问题 4 题型 3·利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系 7 题型·4·利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系 12 题型·5·结合尺规作图的全等问题 17 题型·6·构造全等三角形的常规辅助线(作垂线法) 19 题型 7.构造全等三角形的常规辅助线(延长法) 28 题型·8·构造全等三角形的常规辅助线(截长补短法) 43 题型·1…数全等三角形的对数 1．如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴共有4对全等三角形， 故选：B． 2．如图，在中，，是中线，于点，于点，则图中全等三角形的对数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理．做题时要从已知条件结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找． 根据边边边定理证明，继而证明，进而可得. 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，D是的中点， ∴． 在和中，， ∴． 在和中，， ∴． 综上所述：，，，共3对． 故选A． 3．如图，四边形中，，对角线相交于点O，，图中全等三角形的对数为（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 根据，，，判断；　得到，结合，判断；根据，得到，判断． 【详解】∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴, ∴共3对全等三角形． 故选：B． 4．如图1，已知，D为的角平分线上一点，连接；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上三点，连接；…，依此类推，第n个图形中全等三角形的对数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，全等三角形的判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握以上性质，并找出图形规律． 根据角平分线的性质得出相等的角，证明，根据图2和图3找出全等三角形的对数，最后总结出规律即可． 【详解】解：由图1可得，D为的角平分线上一点， ∴， 又∵，， ∴； 同理图2中有3对全等三角形； 图3中有6对全等三角形； ∴第n个图形中全等三角形的对数是， 故选：D． 题型·2·全等三角形的动态问题 5．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．点的运动速度为，当与全等时，的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质， 设点Q的运动速度为，分两种情况讨论：若，则，即；②若，则，即；分别求出x即可． 【详解】解：设点Q的运动速度为， ∵，． ∴与全等分两种情况： 若， 则， 即， 解得：； 若， 则， 即， 解得：. 综上所述，的值为2或时，与全等. 故选：C． 6．如图，已知在四边形中，，，，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向D运动．要使与全等，点Q的运动速度为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论当或时，根据全等三角形的性质计算即可． 【详解】解：由题意知，，设运动时间为，点Q的运动速度为， 则，，， ∵， ∴要使与全等，则有或， 当时，， 即，解得； 当时，， 即， 解得， 综上所述，点Q的运动速度为或． 7．如图所示框架，其中，，足够长，于点A，于点B，点M从B出发向终端A运动，同时点N从B出发沿射线运动，点M，N运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，依题意可设，则，则，再根据得当与全等时，有以下两种情况：①当，时，则，再由求出的值，进而可得的长；②当，时，则，再由求出的值，进而可得的长，综上所述即可得出答案． 【详解】解：点，运动的速度之比为， 设，则， ， ， 又， 当与全等时，有以下两种情况： ①当，时，则， 由，得：， 解得：， ； ②当，时，则， 由，得：， 解得：， ， 综上所述，的长为或， 故选：B． 题型 3·利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系 8．在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时， °． (2)在（1）条件下，求证： (3)当直线绕点旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平角的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平角的定义即可得到结论； （2）根据垂直的定义得到，，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，根据线段的和差即可得到结论； （3）根据垂直的定义得到，，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，根据线段的和差即可得到结论； 【详解】（1）解：， ； 故答案为：90； （2）证明：于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：， 理由：于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 9．如图，在中，，，是过点的一条直线，且，在的两侧，于点，于点． (1)与全等吗？与、与相等吗？为什么？ (2)图中的，，之间有怎样的等量关系？（写出关系式即可．） (3)若直线绕点旋转到如图所示的位置，其他条件不变，则与，的关系如何？说明理由． 【答案】(1) 解：，． 理由：于，于，， ，，， ， 在和中， ，； (2) 解：． 理由：， ； (3)解：BD=DE−CE． 同（1）可证明 ， ． 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、 、，注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． （1）利用判定，根据全等三角形的对应边相等可以求得，； （2）因为，，所以； （3）因为，，，所以． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 10．已知：如图，在中，，的平分线交于点，．判断与的关系并加以证明． 【答案】，理由如下： 平分 ， ． 又 ． ， 又 ， 同理： 又， ． 【分析】先证明，得出，进而证明，再根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】略 11．如图，中，是的中点，过点的直线交于，交的平行线于，，交于点，连接、． (1)求证：； (2)请你判断与在数量上有何关系，并说明你的理由． 【答案】(1) 证明：是中点， ． ， ． 又， ． ． (2) 解：． 证明：， ． ， ． 在中，， ，， ． 【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质；此题把全等三角形的判定与性质和三角形的三边的关系结合起来，综合利用它们解决题目的问题； （1）根据已知条件容易证明，利用全等三角形的性质就可以解决问题； （2）根据（1）知道，，而，容易得到，再根据三角形三边长的关系可以证明题目的结论． 【详解】（1）略 （2）略 题型·4·利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系 12．如图，点B在线段上，点E在线段上，为的高，，． (1)求证：； (2)如图：于F，于G，探究与的关系，并证明你的结论． 【答案】(1) 证明：∵为的高， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； (2) 解：且，证明如下： ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 综上所述，与的关系为且． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）利用证明，即可； （2）根据全等三角形的性质可得，，再由，可得，再证明，可得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 13．如图，点和点在线段上，． (1)求证：； (2)判断线段与的关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，且，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）根据全等三角形的性质可得，进而得到，即可得证； （2）根据全等三角形的性质可得，，推出，得到，，推出． 【详解】（1）证明： ， ， ， ； （2），且，理由如下： ， ，， 在和中， ， ， ，， ． 14．如图，在中，、分别是的高，在上取一点，使，在的延长线上取一点，使，连接与．判断与的关系并证明你的结论． 【答案】 ， 证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴； ∴， 又， ∴， 则． 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．与垂直，由同角的余角相等得到一对角相等，再由已知两对边相等，证明，得，，利用等角的余角相等即可得证． 【详解】略 15．如图，已知四边形中，，，，是中点，与相交于点，连接． (1)判断线段与关系，并说明理由； (2)若，求面积． 【答案】(1) 解：，，理由如下 ，是的中点， ，， ， ，， ， ， 在和中 ； ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； (2) 【分析】此题考查是平行线的性质和全等三角形的判定， （1）先根据已知条件和中点定义证出：，然后根据平行线的性质证出：，最后利用即可证出：，根据全等三角形的性质即可得，再由角的转化可得，即可证明； （2）根据计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ∵，， ． 题型·5·结合尺规作图的全等问题 16．如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） (1)在图1中，画出边上的中线； (2)在图2中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合）． 【答案】(1)解：如图即为所作， (2)解：如图即为所作， 【分析】（1）找出的中点，连接即可； （2）根据三边对应相等找出点，即可得． 【详解】（1）略 （2）解：图略 由图可得， ． 17．中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节日，节日时间为每年“秋分”．该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感．工作人员小张在丰收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（）． (1)小张只要从两块碎片中选择第____块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是____（填“”或“”或“”或“”）． (2)求作，使得（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)②； (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理，可得只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA； （2）分别作，即可求解． 【详解】（1）解：因为只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 所以小张只要从两块碎片中选择第②块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是 （2）如图所示：为所求 18．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，在中，； 求作：，使，． 【答案】 如图所示，即为所求 【分析】本题考查了作三角形；根据题意作，．连接，即可求解． 【详解】略 题型·6·构造全等三角形的常规辅助线(作垂线法) 19．【问题背景】等腰直角三角形是一种特殊的三角形；它的两条直角边长度相等，另外两个锐角相等，都为；在数学问题中，常常利用等腰直角三角形的特殊性质来求解角度、边长等问题．在工程设计中，等腰直角三角形的稳定性可以应用于一些结构的构建．例如某些特定的支撑架结构可能会利用等腰直角三角形的形状来保证稳定性． 【问题解决】小明将一个等腰直角三角板的直角顶点放置在轴上；点、点分别是轴、轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． (1)如图（1），已知点的横坐标为，直接写出点的坐标； (2)如图（2），当等腰运动到使点恰为中点时，连接， 求证：． 【答案】(1) (2) 如图2，过点作交轴于点， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴ ∴，． ∵，， ∴． 在和中 ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键． （1）过点作轴于点，用构建，再利用全等三角形的性质求出，进而求出点的坐标； （2）过点作交轴于点，用易得，进而得到，用易得，再利用全等三角形的性质求解． 【详解】（1）解：如图（1），过点作轴于点， ∴，． ∵， ∴， ∴ 在和中 ∴， ∴， ∴． （2）略 20．（1）如图，已知是等腰直角三角形，，，过点 作直线 ，，垂足为点 ，，垂足为点 ． 若 ，，连接 ，则 _________； （2）如图，已知是等腰直角三角形，，，过点 作直线 ，，垂足为点 ，，垂足为点 ，且 ，，连接 ，求 的长； （3）如图，已知是等腰直角三角形，，，以 为斜边构造 ，若 的两直角边长分别为 和 ，连接 ，则 的面积为_______． 【答案】（）；（）；（）或． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用，同角的余角相等，垂直定义等知识，掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用是解题的关键． （）证明，可得，，故； （）证明，可得，，故，再由勾股定理可得的长为； （）分两种情况画出图形，用三角形面积公式可求得答案 【详解】解: （）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：； （）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即的长为； （）当，时，过作于，如图， 同（）可证， ∴， ∴； 当，时，过作于，如图， 同（）可证， ∴， ∴， 综上所述，的面积为或， 故答案为：或． 21．（1）“构造全等”是解决数学几何问题常用的方法之一．如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，分别过点、向直线作垂线，构造了一对全等三角形，这对全等的三角形是__________； （2）如图2，在平面直角坐标系中，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，根据（1）中的方法，求点的坐标； （3）如图，点为轴负半轴上一动点．当点沿轴负半轴向下运动时，以为顶点，为腰作等腰直角三角形，过点作轴于点，求的长．（用含的式子表示） 【答案】（1）和；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了坐标与图形及三角形全等的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． （1）根据证明； （2）作轴于，证明，得，进而可得； （3）作轴于，证明，得，结合线段的和差关系即可求解． 【详解】解：（1）和． 由题意得 在和中， （2）过点作轴于点，如答图1所示． 在和中， （3）过点作轴于点，如答图2所示． 在和中， 轴，轴， 轴， 点为轴负半轴上一动点， ． 22．如图，在平面直角坐标系中，点是第二象限内一点，动点A、B同时从点出发，点A以每秒2个单位长度的速度沿y轴的正半轴方向运动，点B以每秒3个单位长度的速度沿x轴的负半轴方向运动，设运动的时间为秒． (1)若a、b满足，求点C的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求t的值； (3)如图2，若是以为斜边的等腰直角三角形，点D是边的中点，连接，过B作交于点E，连接，探究是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，为1 【分析】此题考查非负数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）据绝对值和平方数的非负性，两个非负数相加为0时，这两个非负数各自的值都为0，据此解方程算出和的值，再结合点C在第二象限的位置特点，就能确定点C的坐标； （2）过点C作轴的垂线构造直角三角形，再根据点A、B的运动速度和时间，分别表示出的长度，由是等腰直角三角形，可得且，利用角的互余关系推导出，可证明 ，则，列方程求解即可得出的值． （3）记于点，过点A作交的延长线于点F，利用垂直的性质和角的等量代换，得到，再结合的条件，证明 ，则，，之后利用点D是中点的性质，结合已得结论证明 ，则，最终确定为定值． 【详解】（1）解：， ，， ，， ； （2）解：过C作轴于． ， ， 由题意得，， 是以斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 解得，； （3）解：为定值1，理由如下： 记于点H，过点A作交的延长线于点F， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， 又， ， ， 为定值． 题型 7.构造全等三角形的常规辅助线(延长法) 23．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)方法①∶证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 方法②：证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； (2)如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， 设与交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． (3)与面积相等，理由如下； 由（2）可知， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 【分析】（1）方法①：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明；方法②：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而推出，，再证明，即可得出，设与交于点H，由，即可得出，等量代换可得出，由三角形内角和定理即可得出． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：略； 24．【背景问题】老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是多少？ 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出的取值范围是___________； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，求证：． 【答案】（1）（2）（3）见解析 【分析】（1）延长至点E，使，连接， 证明，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）延长至点F，使，连接，可证，可得，，证明，得到，即得； （3）延长到R，使得，连接，证明，可得，，可证，可得， ，得，． 【详解】解：（1）延长至点E，使，连接，则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 即； 故答案为：； （2）延长至点F，使，连接，则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）延长到R，使得，连接， ∵点Q是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ，，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25．阅读下列材料，解决相应问题： 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 证明方法如下： 证明：如图2，延长至，使， 是边上的中线， 在和中， ， 在中，， ． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 解决下列问题： (1)如图3，，，则的取值范围是___________； (2)如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：与的数量关系为． 理由如下： 延长至点，使，连接，如图所示： 是中线， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 任务二：延长至点，使，连接，证明，得出，由三角形三边关系可得出答案； 任务三：延长至点，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：延长至点，使，连接，如图所示： ， 是中线， ， 在和中， ， ∴， ， 在中，由三角形三边关系可得， ，， 即， ， ∴， 故答案为：； （2）略 26．【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是__________； A．    B．   C．   D． （2）利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是______； A．    B．    C．    D． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，，，，小明类比图1的方法，延长到点，使，连接，得到，如图3，试判断线段与的数量关系，并说明理由． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积为______． 【答案】（1）B （2）D （3） （4） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的面积，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据全等三角形的判定定理即可解答； （2）根据三角形三边的关系即可求出的取值范围，进而可求出得取值范围； （3）延长到，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，即可得到结论； （4）由（3）可得，，，，则，说明即可求解． 【详解】解：（1）延长到点，使， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， 故选：B； （2）∵， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故选：D； （3）， 延长到，使得，连接，如图， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）延长到，使得，连接， 由（3）可知，， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 27．【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 【答案】（1）； （2）证明：延长至点，使得，连接，如图2： 由题意得：， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）18 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得 ， 即：， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图3， 由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 题型·8·构造全等三角形的常规辅助线(截长补短法) 28．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在中，平分，．求证： 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题 方法二：如图3，延长到点，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题 (1)根据阅读材料，任选一种方法证明 (2)根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题：如图4，四边形中，是上一点，，，，求证： 【答案】(1) 证明： 法一：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 法二：∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ (2) 证明：在上取一点，使得，如图所示： ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 即：， ∴， 即：， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：“截长补短”模型和“一线三等角”模型，熟记相关模型，作出正确的辅助线是解题关键． （1）法一：证得，；根据可得，故，即可求证；法二：由条件得，推出，证即可求证； （2）在上取一点，使得，可得；根据得，进一步可得，推出；根据“一线三等角”模型可证，即可得出结论． 【详解】（1）略． （2）略． 29．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】 （1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 全等三角形的判定（二）（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 题型·1…数全等三角形的对数 1 题型·2·全等三角形的动态问题 2 题型 3·利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系 3 题型·4·利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系 5 题型·5·结合尺规作图的全等问题 6 题型·6·构造全等三角形的常规辅助线(作垂线法) 8 题型 7.构造全等三角形的常规辅助线(延长法) 10 题型·8·构造全等三角形的常规辅助线(截长补短法) 14 题型·1…数全等三角形的对数 1．如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 2．如图，在中，，是中线，于点，于点，则图中全等三角形的对数（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形中，，对角线相交于点O，，图中全等三角形的对数为（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 4．如图1，已知，D为的角平分线上一点，连接；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上三点，连接；…，依此类推，第n个图形中全等三角形的对数是（ ） A． B． C． D． 题型·2·全等三角形的动态问题 5．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．点的运动速度为，当与全等时，的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 6．如图，已知在四边形中，，，，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向D运动．要使与全等，点Q的运动速度为（     ） A．或 B．或 C． D． 7．如图所示框架，其中，，足够长，于点A，于点B，点M从B出发向终端A运动，同时点N从B出发沿射线运动，点M，N运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D． 题型 3·利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系 8．在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时， °． (2)在（1）条件下，求证： (3)当直线绕点旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 9．如图，在中，，，是过点的一条直线，且，在的两侧，于点，于点． (1)与全等吗？与、与相等吗？为什么？ (2)图中的，，之间有怎样的等量关系？（写出关系式即可．） (3)若直线绕点旋转到如图所示的位置，其他条件不变，则与，的关系如何？说明理由． 10．已知：如图，在中，，的平分线交于点，．判断与的关系并加以证明． 11．如图，中，是的中点，过点的直线交于，交的平行线于，，交于点，连接、． (1)求证：； (2)请你判断与在数量上有何关系，并说明你的理由． 题型·4·利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系 12．如图，点B在线段上，点E在线段上，为的高，，． (1)求证：； (2)如图：于F，于G，探究与的关系，并证明你的结论． 13．如图，点和点在线段上，． (1)求证：； (2)判断线段与的关系并证明． 14．如图，在中，、分别是的高，在上取一点，使，在的延长线上取一点，使，连接与．判断与的关系并证明你的结论． 15．如图，已知四边形中，，，，是中点，与相交于点，连接． (1)判断线段与关系，并说明理由； (2)若，求面积． 题型·5·结合尺规作图的全等问题 16．如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） (1)在图1中，画出边上的中线； (2)在图2中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合）． 17．中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节日，节日时间为每年“秋分”．该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感．工作人员小张在丰收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（）． (1)小张只要从两块碎片中选择第____块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是____（填“”或“”或“”或“”）． (2)求作，使得（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 18．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，在中，； 求作：，使，． 题型·6·构造全等三角形的常规辅助线(作垂线法) 19．【问题背景】等腰直角三角形是一种特殊的三角形；它的两条直角边长度相等，另外两个锐角相等，都为；在数学问题中，常常利用等腰直角三角形的特殊性质来求解角度、边长等问题．在工程设计中，等腰直角三角形的稳定性可以应用于一些结构的构建．例如某些特定的支撑架结构可能会利用等腰直角三角形的形状来保证稳定性． 【问题解决】小明将一个等腰直角三角板的直角顶点放置在轴上；点、点分别是轴、轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． (1)如图（1），已知点的横坐标为，直接写出点的坐标； (2)如图（2），当等腰运动到使点恰为中点时，连接， 求证：． 20．（1）如图，已知是等腰直角三角形，，，过点 作直线 ，，垂足为点 ，，垂足为点 ． 若 ，，连接 ，则 _________； （2）如图，已知是等腰直角三角形，，，过点 作直线 ，，垂足为点 ，，垂足为点 ，且 ，，连接 ，求 的长； （3）如图，已知是等腰直角三角形，，，以 为斜边构造 ，若 的两直角边长分别为 和 ，连接 ，则 的面积为_______． 21．（1）“构造全等”是解决数学几何问题常用的方法之一．如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，分别过点、向直线作垂线，构造了一对全等三角形，这对全等的三角形是__________； （2）如图2，在平面直角坐标系中，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，根据（1）中的方法，求点的坐标； （3）如图，点为轴负半轴上一动点．当点沿轴负半轴向下运动时，以为顶点，为腰作等腰直角三角形，过点作轴于点，求的长．（用含的式子表示） 22．如图，在平面直角坐标系中，点是第二象限内一点，动点A、B同时从点出发，点A以每秒2个单位长度的速度沿y轴的正半轴方向运动，点B以每秒3个单位长度的速度沿x轴的负半轴方向运动，设运动的时间为秒． (1)若a、b满足，求点C的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求t的值； (3)如图2，若是以为斜边的等腰直角三角形，点D是边的中点，连接，过B作交于点E，连接，探究是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 题型 7.构造全等三角形的常规辅助线(延长法) 23．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 24．【背景问题】老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是多少？ 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出的取值范围是___________； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，求证：． 25．阅读下列材料，解决相应问题： 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 证明方法如下： 证明：如图2，延长至，使， 是边上的中线， 在和中， ， 在中，， ． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 解决下列问题： (1)如图3，，，则的取值范围是___________； (2)如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 26．【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是__________； A．    B．   C．   D． （2）利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是______； A．    B．    C．    D． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，，，，小明类比图1的方法，延长到点，使，连接，得到，如图3，试判断线段与的数量关系，并说明理由． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积为______． 27．【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 题型·8·构造全等三角形的常规辅助线(截长补短法) 28．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在中，平分，．求证： 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题 方法二：如图3，延长到点，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题 (1)根据阅读材料，任选一种方法证明 (2)根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题：如图4，四边形中，是上一点，，，，求证： 29．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $