专题04 全等三角形的判定 基础题练习 -2026-2027学年苏科版八年级上册数学

**基本信息** 以十二大题型系统覆盖全等三角形判定全方法，构建"判定方法-性质综合-实际应用"三层逻辑链，强化推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |SAS判定与性质综合|8题|边角边判定及对应边/角性质应用|从基础判定到性质综合，结合网格/动态问题| |ASA/AAS判定与性质综合|8题|角边角/角角边判定及转化|通过残缺三角形复原、折叠问题强化应用| |SSS判定与性质综合|8题|边边边判定及尺规作图原理|关联对称图形、网格找点等空间观念| |HL判定与性质综合|8题|斜边直角边判定及直角三角形特性|结合跷跷板模型、动点全等分类讨论| |综合应用|16题|判定方法选择、网格角度计算、作图验证|从单一方法到多方法灵活选用，培养应用意识|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题04 全等三角形的判定基础题（十二大题型48道题） 目录 知识点一用SAS证明三角形全等（SAS） 1 知识点二全等的性质和SAS综合（SAS） 2 知识点三用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 3 知识点四全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 4 知识点五用SSS证明三角形全等（SSS） 5 知识点六全等的性质和SSS综合（SSS） 6 知识点七三角形的稳定性及应用 8 知识点八用HL证全等（HL） 8 知识点九全等的性质和HL综合（HL） 9 知识点十利用全等图形求正方形网格中角度之和 10 知识点十一灵活选用判定方法证全等 11 知识点十二结合尺规作图的全等问题 12 知识点一用SAS证明三角形全等（SAS） 1．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，度，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图1，已知，D为的角平分线上一点，连接；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上三点，连接；…，依此类推，第n个图形中全等三角形的对数是（ ） A． B． C． D． 3．如图，，射线于，点和分别在线段和射线上运动，且．当____________时，以点，，为顶点的三角形与全等． 4．如图是一件盘口壶及其示意图，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，则底部内径的长度为______． 知识点二全等的性质和SAS综合（SAS） 5．的边上有三点、、，各点位置如图所示．若，，，则根据图中标示的长度，求四边形周长是（    ） A． B． C． D． 6．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（     ） A． B． C． D． 7．如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论有_________ 8．如图是一款便携折叠椅及它的侧面示意图，折叠椅椅脚，交于点，且点是，的中点．若上方椅面宽度，则椅脚底部的宽度是________． 知识点三用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 9．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（     ） A． B． C． D． 10．手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三角形中，和老师的三角形全等的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 11．如图，四边形中，，，为线段上一点，将沿折叠得到，边恰与在同一直线上，交交于点．若，，则的长为______． 12．如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60cm，当淇淇从水平位置垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是______cm． 知识点四全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 13．如图所示，在和中，，点，，在同一条直线上，且，于点，若，，则（     ） A． B． C． D． 14．一个等腰直角三角板不小心掉到两根柱子之间（如图所示），这一幕恰巧被小马同学看见，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为（    ） A． B． C． D． 15．如图，的面积为，平分，过点作于点，连接，则的面积为___________． 16．如图，在中，点D、E分别在边、上，，，．若，则的周长为 ___ cm． 知识点五用SSS证明三角形全等（SSS） 17．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 18．如图，四边形中，对角线所在的直线是其对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 19．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上，若和全等，且点E也在正方形网格的格点上，则符合条件的点E有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．如图，勤劳的小蜜蜂A、B、C、D、E、F分别位于蜂房（由若干个正六边形拼成）向阳面的一侧劳作，若任何不共线三点位置都可以组成一个三角形，则与全等的三角形是________． 知识点六全等的性质和SSS综合（SSS） 21．按如下步骤（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 22．如图，已知点P在直线l外，利用如下方法也可以作出过点P与直线l平行的直线：在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交直线l于点B；以点P为圆心，以的长为半径作弧；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点C；作直线，则．请说明这种作平行线方法的道理（    ） A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上答案均不对 23．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线，这里构造全等三角形的依据是________（从“”中选择一个回答）． 24．如图，点是内的一点，点分别是点关于，，的对称点．则_____°． 知识点七三角形的稳定性及应用 25．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（     ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 26．要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（     ） A． B． C． D． 28．下列图形中哪些具有稳定性？ 知识点八用HL证全等（HL） 29．如图，在四边形中，，要根据证明，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 30．如图，两个直角三角形全等的是（    ） A．③④ B．①③ C．①② D．①④ 31．你一定玩过跷跷板吧如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点上下转动，立柱与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．根据________判定，所以________． 32．如图，，，，射线，点和分别在线段和射线上运动，且．当___________时，与全等． 知识点九全等的性质和HL综合（HL） 33．如图，在中，，是上一点．，，垂足分别为，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 34．将两个大小完全一样的直角三角尺按如图所示的方式摆放在中，它们的顶点重合于点，则点一定在（    ） A．的平分线上 B．边的高线上 C．边的中线上 D．边的垂直平分线上 35．如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 36．如图，在中，，，的面积为10，作，且，连接，点为射线上的动点，当的长度最短时，的面积为________． 知识点十利用全等图形求正方形网格中角度之和 37．如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 38．如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 39．如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 40．如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 知识点十一灵活选用判定方法证全等 41．在与中，下列条件能判断与全等的个数是（     ） ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． A． B． C． D． 42．如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 43．如图，的网格中，有格点．除点外有一个格点，使得与全等，这样的点最多有________个． 44．如图，已知的三个内角和三条边，则以下三个三角形中，一定和全等的是________．（填“甲”“乙”“丙”） 知识点十二结合尺规作图的全等问题 45．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（   ） A． B． C． D． 46．如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线．这个作图是在作（    ） A．一个角等于已知角 B．线段的垂线 C．线段垂直平分线 D．平分已知角 47．如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 48．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题04 全等三角形的判定基础题（十二大题型48道题） 目录 知识点一用SAS证明三角形全等（SAS） 1 知识点二全等的性质和SAS综合（SAS） 4 知识点三用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 8 知识点四全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS 11 知识点五用SSS证明三角形全等（SSS） 15 知识点六全等的性质和SSS综合（SSS） 18 知识点七三角形的稳定性及应用 20 知识点八用HL证全等（HL） 22 知识点九全等的性质和HL综合（HL） 24 知识点十利用全等图形求正方形网格中角度之和 27 知识点十一灵活选用判定方法证全等 31 知识点十二结合尺规作图的全等问题 33 知识点一用SAS证明三角形全等（SAS） 1．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，度，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余，求出，再证明，根据全等三角形的对应角相等得出结论． 【详解】如图，在中，， 则， 在和中， ， ， ． 2．如图1，已知，D为的角平分线上一点，连接；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上三点，连接；…，依此类推，第n个图形中全等三角形的对数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，全等三角形的判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握以上性质，并找出图形规律． 根据角平分线的性质得出相等的角，证明，根据图2和图3找出全等三角形的对数，最后总结出规律即可． 【详解】解：由图1可得，D为的角平分线上一点， ∴， 又∵，， ∴； 同理图2中有3对全等三角形； 图3中有6对全等三角形； ∴第n个图形中全等三角形的对数是， 故选：D． 3．如图，，射线于，点和分别在线段和射线上运动，且．当____________时，以点，，为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【分析】根据，可得要使以点，，为顶点的三角形与全等，利用，分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵以点，，为顶点的三角形与全等， ∴当，时，此时，点与点重合，， 当，时，， 综上所述：或时，以点，，为顶点的三角形与全等． 4．如图是一件盘口壶及其示意图，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，则底部内径的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义，对顶角相等，连接，设与交于点，由为，中点，则，，然后证明，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵为，中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴底部内径的长度为， 故答案为：． 知识点二全等的性质和SAS综合（SAS） 5．的边上有三点、、，各点位置如图所示．若，，，则根据图中标示的长度，求四边形周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，得到，，，进而得到四边形周长，计算即可． 【详解】解：，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴四边形周长 ． 6．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，证明，推出，根据网格特点，可知，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 由图可知，， ∴. 7．如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论有_________ 【答案】③⑤ 【分析】由、分别是、上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点，使，连接，先证明，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与、分别是、上的任意点互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：、分别是、上的任意点， 与不一定相等，故①错误； 于点，于点， ， ， 的另一个条件是， 与不一定相等， 与不一定全等，故②错误； 延长到点，使，连接，则， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ，， 平分，故③⑤正确； 若平分，而， ，与、分别是、上的任意点矛盾，故④错误； 综上可知，正确的结论有③⑤． 8．如图是一款便携折叠椅及它的侧面示意图，折叠椅椅脚，交于点，且点是，的中点．若上方椅面宽度，则椅脚底部的宽度是________． 【答案】26 【分析】根据全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵点是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 知识点三用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 9．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断． 【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件， 两角的夹边也可测量，为已知条件， 故可根据即可得到与原图形全等的三角形，即亮亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等． 10．手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三角形中，和老师的三角形全等的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可解答． 【详解】解：由题意和图可知，甲同学制作的三角形与老师的三角形有两边和一角相等，但是角不是两边的夹角，所以不能判定其全等； 乙同学制作的三角形与老师的三角形也是两边和一角相等，并且角是两边的夹角，所以两个三角形全等； 丙同学制作的三角形与老师的三角形有两角一边对应相等，也可判定其全等， 所以，和老师的三角形全等的是乙和丙． 11．如图，四边形中，，，为线段上一点，将沿折叠得到，边恰与在同一直线上，交交于点．若，，则的长为______． 【答案】/ 【分析】作于点H，构造长方形．设，则，由折叠得，，，证明，推出，，设，可得，由长方形的性质得，，最后用勾股定理解即可求解． 【详解】解：，， ， 如图，作于点H， ， 四边形是长方形． ， ， 设，则， 由折叠知，，，， ，，， ， ，， 设，则， ， ， 四边形是长方形， ，， ， ，， ， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质等，有一定难度，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形． 12．如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60cm，当淇淇从水平位置垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是______cm． 【答案】45 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点O作地面于点G，则，证明，得出，即可推出结果 【详解】如图，过点O作地面于点G，则， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是． 故答案为：45． 知识点四全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 13．如图所示，在和中，，点，，在同一条直线上，且，于点，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角的余角相等得出，利用证明，得出，，进而求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴. 14．一个等腰直角三角板不小心掉到两根柱子之间（如图所示），这一幕恰巧被小马同学看见，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，即可推出结果． 【详解】解：每块砖的厚度， ，， 由题意可知，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 15．如图，的面积为，平分，过点作于点，连接，则的面积为___________． 【答案】 【分析】延长交于点，根据角平分线的定义和垂直的定义，利用证明，从而得到，即为的中点，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得的面积等于面积的一半； 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 16．如图，在中，点D、E分别在边、上，，，．若，则的周长为 ___ cm． 【答案】7 【分析】由全等三角形的性质推出，，求出，得到的周长． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴的周长． 知识点五用SSS证明三角形全等（SSS） 17．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 【答案】/边边边 【分析】由作图过程可得，，再加上公共边，可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴． 18．如图，四边形中，对角线所在的直线是其对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质．根据轴对称的性质得出，，根据对应角相等，对应边相等逐项判断即可求解． 【详解】解：∵在四边形中，对角线所在的直线是其对称轴，点P是直线上的点， ∴，，，，， ∴，， ∴，， 故A，B，D选项正确， 无法判断， 故C选项不正确， 故选：C． 19．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上，若和全等，且点E也在正方形网格的格点上，则符合条件的点E有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用可证明和，即可得到答案． 【详解】解：如图，和，符合条件的点E有2个， 故选：B． 20．如图，勤劳的小蜜蜂A、B、C、D、E、F分别位于蜂房（由若干个正六边形拼成）向阳面的一侧劳作，若任何不共线三点位置都可以组成一个三角形，则与全等的三角形是________． 【答案】， 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 根据全等三角形的判定定理结合图形进行判断即可． 【详解】解：根据图象可知和及全等， 理由是：∵根据图形可知， 在和中， ∴， 根据图形可知， 在和中， ∴， 故答案为：，． 知识点六全等的性质和SSS综合（SSS） 21．按如下步骤（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由作图可知， ，，， ， ． 22．如图，已知点P在直线l外，利用如下方法也可以作出过点P与直线l平行的直线：在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交直线l于点B；以点P为圆心，以的长为半径作弧；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点C；作直线，则．请说明这种作平行线方法的道理（    ） A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上答案均不对 【答案】A 【分析】根据作图过程可得，再根据“边边边”证明，可得，则此题可解． 【详解】解：根据作图的过程可知, ∴， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 23．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线，这里构造全等三角形的依据是________（从“”中选择一个回答）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理．根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出答案即可． 【详解】解：在和中， . ∴， ∴， 即就是的平分线， 故答案为：． 24．如图，点是内的一点，点分别是点关于，，的对称点．则_____°． 【答案】 【分析】本题考查了考查了轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，连接，由对称性可得，利用可证明，可得，即可求解 ． 【详解】解：连接， ∵点E，F，G分别是点D关于的对称点， ∴， 在与中， ∴， ∴； 同理得：， ∴； ∴， 故答案为：． 知识点七三角形的稳定性及应用 25．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（     ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：由题意得，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性． 26．要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性，要使六边形木架不变形，需将其分割成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，需要的木条数等于对角线的条数． 【详解】解：∵三角形具有稳定性，要使六边形木架不变形，需把它分成三角形． ∵过边形的一个顶点作对角线，有条对角线， ∴对于六边形，至少要再钉上根木条． 27．以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的稳定性，进行判断即可． 【详解】解：由图可知A，B，D都应用了三角形的稳定性， C应用了四边形的不稳定性． 28．下列图形中哪些具有稳定性？ 【答案】①④⑥具有稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性这一特性，判断所给图形是否由三角形构成或可分割成三角形，从而确定哪些图形具有稳定性即可． 【详解】解：图形①：被分割成了多个三角形，具有稳定性； 图形②：是四边形内加一条线段，形成了两个四边形，四边形不具有稳定性，所以整个图形不具有稳定性； 图形③：下方是被分割的四边形，四边形不具有稳定性，所以整个图形不具有稳定性； 图形④：被分割成了多个三角形，具有稳定性； 图形⑤：是两个四边形组成的图形，四边形不具有稳定性，所以整个图形不具有稳定性； 图形⑥：被分割成了多个三角形，具有稳定性， 综上所述，具有稳定性的是①④⑥． 知识点八用HL证全等（HL） 29．如图，在四边形中，，要根据证明，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， 若证明， 则应该添加． 30．如图，两个直角三角形全等的是（    ） A．③④ B．①③ C．①② D．①④ 【答案】B 【详解】解：①和②无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等； ①和③两个直角三角形满足“”，可证明两个三角形全等； ③和②无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等； ①②的一条直角边等于④的斜边，无法得到全等； ③和④无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等， 则满足题意的为选项B． 31．你一定玩过跷跷板吧如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点上下转动，立柱与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．根据________判定，所以________． 【答案】 【分析】用数学方法解决生活中有关的实际问题，转化为全等三角形解决问题． 【详解】解：由题可知，,,, , 在和中， , , 32．如图，，，，射线，点和分别在线段和射线上运动，且．当___________时，与全等． 【答案】3或4 【分析】本题考查证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．因为且，所以若使与全等，只需当时， 此时，或当时，此时，据此解答即可． 【详解】解：， ， ， 若使与全等， 只需①当时， 此时， ②当时，此时， 故答案为：3或4． 知识点九全等的性质和HL综合（HL） 33．如图，在中，，是上一点．，，垂足分别为，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，可求得，从而有对应角相等，即可求的度数． 【详解】解：，，且知，， ， 在和中， ， ， ， ． 34．将两个大小完全一样的直角三角尺按如图所示的方式摆放在中，它们的顶点重合于点，则点一定在（    ） A．的平分线上 B．边的高线上 C．边的中线上 D．边的垂直平分线上 【答案】A 【分析】连接，证明出，得到，即可得到点一定在的平分线上． 【详解】解：如图，连接 根据题意得，， 又∵ ∴ ∴ ∴点一定在的平分线上． 35．如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据直角边斜边判定，根据对应边相等得到，继而得到． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 36．如图，在中，，，的面积为10，作，且，连接，点为射线上的动点，当的长度最短时，的面积为________． 【答案】1 【分析】先结合垂线段最短，得的延长线，再证明，得，，又因为，证明，故，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当的长度最短时，即的延长线，如图所示： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵的延长线， ∴， ∴， ∴， ∵ 故， ∴， 则， ∴． 知识点十利用全等图形求正方形网格中角度之和 37．如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较．构造全等三角形，让与两个角的顶点重合，即可解答． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵在的内部， ∴． 故选：C． 38．如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的和差等知识点，根据网格发现全等三角形以及相等的角是解题的关键． 根据网格提供的信息，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可． 【详解】解： 由图形可知：，则，即①正确； 由图形可知：，则， ∴，即②正确； 由，但，则与不全等， ∴，故③错误； 由图形可知：，则，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选B． 39．如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出是解题的关键． 通过证明三角形全等得出再根据即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，在和中， 故答案为：. 40．如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 【答案】 /90度 /45度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的特点， 首先证明出，得到，然后等量代换得到，即可求出；然后由得到． 【详解】解：如图所示， ∵由网格特点得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：，． 知识点十一灵活选用判定方法证全等 41．在与中，下列条件能判断与全等的个数是（     ） ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理，逐一判断条件中边与角是否对应匹配，即可求解． 【详解】解：①，，，由能判断与全等； ②，，，由能判断与全等； ③，，，对应边不匹配，不能判断与全等； ④，，，对应边不匹配，不能判断与全等； 综上，能判定全等的共个． 42．如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、添加，由“”不可证，故选项A符合题意； B、添加，由“”可判定，选项B不符合题意； C、添加，由“”可证，故选项C不合题意； D、添加，可得到，由“”可证，故选项D不合题意． 43．如图，的网格中，有格点．除点外有一个格点，使得与全等，这样的点最多有________个． 【答案】 【分析】借助网格作出与全等的三角形，一共可以作出三个三角形，所以符合条件的点最多有个． 【详解】解：如下图所示， 一共可以作出三个三角形与全等， 符合条件的点最多有个． 44．如图，已知的三个内角和三条边，则以下三个三角形中，一定和全等的是________．（填“甲”“乙”“丙”） 【答案】乙 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：甲图形中只有一个内角和一条对边对应相等，无法证明全等； 乙图形可以根据三条边分别对应相等的两个三角形全等，证明乙图形和全等； 丙图形中只有两个内角对应相等，无法证明全等． 故答案为：乙． 知识点十二结合尺规作图的全等问题 45．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作如下标识， 根据作法可知，，， ∴， ∴， 则画出的依据是， 46．如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线．这个作图是在作（    ） A．一个角等于已知角 B．线段的垂线 C．线段垂直平分线 D．平分已知角 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的判定定理证明，则，可得射线是角平分线． 【详解】证明：由作图过程可得， 在和中， ， ， ， 射线是角平分线． 故选：D． 47．如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 48．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：如图所示：    使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 学科网（北京）股份有限公司 $